02Conducteurs en équilibre new

Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2) 1
Lorsqu’on apporte des charges (par contact) sur un isolant, ces charges restent à l’endroit où on les dépose, alors que sur
un conducteur, elles sont susceptibles de se déplacer et ne restent pas où on les a déposées.
Cette différence de comportement est liée à la différence de structure de la matière : dans un isolant, il n’y a pas
d’électrons libres; alors que dans un conducteur métallique, un électrolyte ou un semi-conducteur, il y a un nombre
important d’électrons libres ou d’ions libres, ou plus généralement de porteurs de charges mobiles.
Dans ce chapitre, nous allons considérer des conducteurs métalliques, mais les résultats s’appliquent aussi aux électrolytes.
I. Propriétés générales des conducteurs en équilibre électrostatique
Rappel : on appelle conducteur un corps à l’intérieur duquel les charges mobiles peuvent se déplacer sous l’action d’une
force, aussi petite soit-elle.
1. Définition de l’équilibre électrostatique
Un conducteur est en équilibre dans son propre référentiel s’il n’est le siège d’aucun courant, c’est-à-dire aucun
mouvement d’ensemble des porteurs de charge. L’équilibre est dit de plus électrostatique si la seule cause possible de
mouvement d’ensemble des porteurs de charge est un champ électrostatique.
Aucun courant à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Remarque : Parmi les autres causes possibles de courant, citons un gradient de concentration (générateur électrochimique),
un gradient de température (effets thermoélectriques), un champ électromoteur (induction électromagnétique). Dans ce
chapitre, on ne considèrera aucune de ces causes, on considérera que la seule cause possible de courant est un champ
électrostatique; on n’étudiera donc que des équilibres électrostatiques sans préciser « électrostatiques ».
2. Conséquences immédiates de la définition
a) En un point intérieur à un conducteur en équilibre, le champ électrique est
nul
0E
int
r
r
=
(d’après la définition ci-dessus et celle d’un conducteur)
b) Le volume d’un conducteur en équilibre est équipotentiel
Puisque VgradE −=
r
cstV
int
=
Remarque : le potentiel étant continu pour toute distribution volumique, la surface d’un conducteur en équilibre est
équipotentielle.
c) A l’intérieur d’un conducteur en équilibre, la densité volumique de charge
est nulle.
On déduit cette propriété de l’équation locale de Maxwell Gauss.
0
int
=ρ : la densité volumique totale de charges est nulle (charges mobiles et fixes)
CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
CONDENSATEURS

Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2) 2
d) Les charges excédentaires portées par un conducteur en équilibre ne
peuvent être que superficielles
En effet d’après la propriété précédente, si on apporte une charge Q sur un conducteur initialement neutre, à l’équilibre,
cette charge ne pouvant pas être répartie en volume, elle se répartit nécessairement en surface.
En fait la théorie quantique montre qu’on a une distribution volumique sur une épaisseur très faible (<1nm) .
3. Théorème de Coulomb
La surface du conducteur étant équipotentielle, le champ au voisinage immédiat du conducteur (à l’extérieur), est normal à
la surface du conducteur (propriété des équipotentielles et des gradients). Ceci est cohérent avec la continuité de la
composante tangentielle du champ (nulle à l’intérieur du conducteur, donc à l’extérieur également).
Utilisons la relation de discontinuité (relation de passage) à la traversée d’une distribution surfacique établie au chapitre
précédent (
21
0
12
nEE
→
ε
σ
=− rr ), avec ici l’intérieur du conducteur comme côté (1) et l'extérieur comme côté (2).
Soit M
s
un point de la surface du conducteur, σ(M
s
) la densité surfacique de charge en ce point, M
ext
un point situé à
l’extérieur du conducteur; posons
sext
MM extsext
)M(Elim)M(E
→
=
r
r
Théorème de Coulomb :
)M(n
)M(
)M(E
sext
0
s
sext
r
r
ε
σ
=
Remarque : Il s’agit d’une relation locale : permet de connaître σ connaissant
E
r
et inversement. Le champ est d’autant
plus intense que la valeur absolue de la densité de charge est grande.
Conséquences : Dans le cas d’un système de plusieurs conducteurs en équilibre (séparés par le vide), une ligne de champ
part nécessairement d’une région chargée positivement de certains conducteurs, et se dirige, soit vers l’infini, soit vers des
régions chargées négativement d’un autre conducteur . En effet, elle ne peut pas se refermer sur le même conducteur
puisqu’il est équipotentiel et que le potentiel décroît constamment le long d’une ligne de champ.
Effet de pointe (Hors programme) : Pour une sphère unique de rayon R, de potentiel V, de densité de charge σ , on a
V=Q/(4 πε
0
R)=( σ 4 π R
2
) /(4 πε
0
R)= σ R/ ε
0
. Soit maintenant un conducteur en équilibre présentant deux zones de courbures
très différentes (zone 1 de rayon de courbure R
1
, de densité de charge σ
1
, zone 2 de rayon de courbure R
2
, de densité de
charge σ
2
). S’agissant de 2 zones d’un même conducteur en équilibre, le potentiel est le même pour les deux zones. On
admettra qu’en première approximation, il s’exprime comme précédemment pour chaque zone avec les rayons de
courbure : V ̴ σ
1
R
1
/ ε
0
̴ σ
2
R
2
/ ε
0
: plus le rayon de courbure est faible (zone « pointue »), plus la densité surfacique de charge
est élevée, et donc, d’après le théorème de Coulomb, plus le champ au voisinage est intense : c’est au voisinage des pointes
qu’on atteint plus facilement la valeur du champ disruptif de l’air et donc qu’on aura des étincelles.
4. Théorème des éléments correspondants
Définition : Soient deux conducteurs A et B. On appelle « éléments correspondants », deux portions de leurs surfaces
respectives qui se font face aux extrémités d’un même tube de champ T.
Théorème des éléments correspondants :
Les éléments correspondants de deux conducteurs en équilibre portent des charges opposées.

Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2) 3
Démo : appliquons le théorème de Gauss, à la surface fermée Σ=T+Σ
1
+Σ
2
constituée entre les deux conducteurs, du tube
de champ T et complétée à l’intérieur des conducteurs par deux surfaces quelconques Σ
1
et Σ
2
. Soit q
A
et q
B
les charges des
deux éléments correspondants ainsi délimités. Le champ en chaque point de Σ
1
et Σ
2
est nul (intérieur du conducteur), le
champ en chaque point de T est tangent à T donc perpendiculaire à la normale. Le flux sortant de Σ est donc nul.
BA
0
BA
0
BA
T
0
int
qq
qq
0
qq
Sd.ESd.ESd.E
Q
Sd.E
21
−=⇔
ε
+
=⇔
ε
+
=++⇔
ε
=
∫∫∫∫∫∫∫∫
ΣΣΣ
r
r
r
r
r
r
r
r
CQFD
II. Condensateur
1. Phénomène de condensation de l’électricité
Lorsqu’on maintient une tension U=V
1
-V
2
>0 de l’ordre du kV entre deux disques métalliques parallèles 1 et 2, tout en les
rapprochant, on observe pour une distance de l ≈1mm l’apparition d’étincelles. Cette apparition d’étincelles indique que la
norme du champ atteint la valeur du champ disruptif de l’air E
M
=3.10
6
V/m.
D’après le théorème de Coulomb, si, quand on rapproche les deux conducteurs, le champ au voisinage des conducteurs
atteint une valeur importante, c’est que la valeur absolue de la densité surfacique de charge sur les deux conducteurs atteint
également des valeurs importantes (les densités étant opposées sur les deux faces en regard) : il y a eu accumulation
importante de charges sur les deux faces en regard.
Il s’agit d’un phénomène observé et analysé dès 1782 par Volta et baptisé par lui « condensation de l’électricité » : deux
surfaces métalliques en regard entre lesquelles on maintient une différence de potentiel, sont aptes à condenser l’électricité,
i.e. à accumuler des charges (opposées), de grande valeur absolue. Elles forment un condensateur. Cette aptitude à
condenser l’électricité est quantifiée par ce qu’on appelle la capacité du condensateur.
2. Condensateur
On appelle condensateur un système de deux conducteurs (1) et (2) en état d’influence totale, c’est-à-dire tel que toute
ligne de champ issue de (1) aboutisse sur (2). Les faces en regard A
1
et A
2
des deux conducteurs sont appelées
armatures du condensateur.
Remarques :
 Cette définition correspond à une idéalisation : la condition de définition ne serait vérifiée strictement que si (2)
entourait entièrement (1), ce qui n’est jamais exactement réalisé ne serait-ce qu’en raison des fils de jonction avec la
source.
 D’après le théorème des éléments correspondants, les charges des armatures sont opposées
L’armature extérieure peut avoir une charge Q
ext
sur sa face externe mais celle-ci n’intervient pas sur le champ inter armatures (ni sur la capacité).
(1) (2)
Q
2
=-Q
1
=-Q Q
1
notée Q
V
1
-V
2
-Q
Q Symbole :
T
Conducteur A Conducteur B
Σ
2
Σ
1
Charge q
A
Charge q
B

Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2) 4
3. Capacité : définition
On montre que le rapport
21
1
VV Q −
(égal à
12
2
VVQ −
) est une constante, positive, ne dépendant que de la géométrie du
système (et de la nature d’un éventuel diélectrique).
Cette constante est appelée capacité du condensateur, elle s’exprime en farad :
12
2
21
1
VV Q VV Q
C− =
−
=
grandeur positive, s’exprimant en farad (F)
Attention au signe : le premier potentiel au dénominateur doit être celui de l’armature dont la charge est au numérateur.
Q
1
peut se calculer par
∫∫∫∫
ε=σ=
11
A
0
A
1
Sd.EdSQ
r
r
et V
1
-V
2
par
∫
2
1
A
A
ld.E r
r
∫
=−
2
1
A
A
21
ld.EVV r
r (cf. exemples).
4. Calcul de capacités
a) Condensateur sphérique
Il est constitué d'une sphère intérieure (notons son centre
O, son rayon R
1
, son potentiel V
1
, sa paroi externe
« armature A
1
», la charge de celle-ci Q
1
) et d'une
coquille sphérique concentrique qui l'entoure, le vide les
séparant, (notons son potentiel V
2
, sa face interne
« armature A
2
», le rayon de celle-ci R
2
, sa charge Q
2
).
D'après le théorème des éléments correspondants :
Q
2
=-Q
1
.
1
ère
méthode : On se donne Q
1
, on calcule le champ
E
r
(M) en fonction de Q
1
, puis la ddp V
1
-V
2
, on en déduit C.
Soit M un point de l’espace inter armature. La distribution étant à symétrie sphérique, on déduit que le champ en M,
est radial et que sa composante radiale ne dépend que de r=OM :
rr
u)r(E)M(E
r
r
=
Appliquons le théorème de Gauss à travers une sphère Σ (r) de rayon r ∈ ]R
1
,R
2
[ :
²r4 Q
)r(E
Q
)r(E²r4
Q
Sd.E
0
1
r
0
1
r
0
int
)r(
πε
=⇔
ε
=π⇔
ε
=
∫∫
Σ
r
r
Déduisons la ddp entre les deux armatures en calculant la circulation de
E
r
:
−
πε
=
−
πε
===−
∫∫
210
1
R
R
0
1
A
Ar
A
A
21
R
1
R
1
4Q r
1
4Q
dr).r(Eld.EVV
2
1
2
1
2
1
r
r
On déduit
12
210
21
1
RR RR4 VV Q
C−
πε
=
−
=
V
1
V
2
Q
2
Q
1
R
1
R
2

Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2) 5
2
ème
méthode : On se donne la ddp V
1
- V
2
. On cherche V(M) en résolvant l’équation de Laplace avec conditions aux
limites, puis
E
r
(M), puis la densité superficielle de charge σ (M
s
) et la charge Q
1
de l’armature interne. On déduit C.
Vue la symétrie, le potentiel en un point M dans l’espace inter armatures ne peut dépendre que de r=OM
L’équation de Laplace s’écrit en M : 0V
=
∆
, soit, d’après l’expression du Laplacien en sphériques :
r
b
aVbarrV0)rV(
²dr²d r
1+=⇒+=⇒=
Déterminons les constantes d’intégration à partir des conditions aux limites V=V
1
pour r=R
1
et V=V
2
pour r=R
2
.
On trouve :
(
)
12
1122
1
1
12
2112
RR VRVR R
b
Vaet
RR VVRR
b−
−
=−=
−
−
=
On déduit le champ inter armatures
rr
u
²r
b
u
dr
dV
VgradE rr
r=−=−=
On déduit à l’aide du théorème de Coulomb, la densité surfacique de charge sur l’armature interne :
2
1
0r
Rr
01
R
b
u).r(Elim.
1
ε=ε=σ
→
r
r
On déduit ensuite la charge de cette armature :
( )
21
12
012
0
2
111
VV
RR 4RR
b4R4Q −
−πε
=πε=πσ=
Enfin, on déduit la capacité :
12
210
21
1
RR RR4 VV Q
C−
πε
=
−
=
Cas particulier : (R
2
-R
1
)«R
2
. Posons R
2
-R
1
=e ; C s’écrit alors:
eR4
C
2
20
πε
=
Si (R
2
-R
1
)«R
2
(épaisseur faible) :
e
S
C
0
ε
≈
où S est la surface des armatures en regard, e la distance entre elles.
b) Condensateur cylindrique
Il est constitué d'un conducteur intérieur cylindrique (notons son axe Oz, son rayon R
1
, son potentiel V
1
, sa paroi externe
« armature A
1
», la charge de celle-ci pour une hauteur h, Q
1
) et d'un cylindre creux coaxial qui l’entoure, le vide les
séparant (notons son potentiel V
2
, sa face interne « armature A
2
», le rayon de celle-ci R
2
, sa charge pour une hauteur h,
Q
2
).
On néglige les éventuels effets de bords, i.e. on suppose que A
1
et A
2
sont des éléments correspondants.
D'après le théorème des éléments correspondants, la charge de la face interne de l'armature extérieure est Q
2
=-Q
1
.
On se contente d’une seule méthode (la 1
ère
).
A
2
,Q
2
,
V
2
,R
2
A
1
,Q
1
,
V
1
,R
1
V
1
V
2
Q
2
Q
1
R
1
R
2
h