LÉONARD DE PISE ou FIBONACCI

LÉONARD DE PISE ou FIBONACCI
Les débuts de l’algèbre
Liber Abaci
LÉONARD de PISE ou FIBONACCI de filius Bonacii est originaire de Pise (1179 – 1250). Fils de
commerçant, il accompagne son père à Bougie, Algérie. C’est à partir de là qu’il va s’initier aux mathématiques
de langue arabe, en particulier aux chiffres que nous appelons arabes et à l’algèbre. De retour en Italie, il se
consacre aux mathématiques et publie plusieurs ouvrages. Ce sont le Liber Abaci (1202), Practica geometricae
(1220), Liber quadratorum (1225). C’est dans son ouvrage de 1202 qu’on trouve la suite numérique qui lui est
restée associée, la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 qui est aujourd’hui définie de la manière
u
n
suivante u1 = 0, u2 = 1 et un = un-1 + un-2 pour n ≥ 2. Cette suit à la particularité de donner lim( u ) = 5 − 1
2
n +1
appelé nombre d’or.
Le passage qui suit est extrait du Liber Abaci, Scritti di LEONARDO PISANO, publié par Baldassare
Buoncompagni, Volume 1 Rome, page 406 et 407.
Incipit pars tertia de solutione quarumdam
questionum secundum Modum algebrae et
almuchabalae,
scilicet ad proportionem
et
restaurationem
Commencement de la troisième partie sur la
résolution de certaines questions suivant la Méthode I
algébrique et almuquabulique, c'est dire suivant la
proportion et la restauration
Maumeht
Mohammed
Ad compositionem quidem elgebrae (sic), et
almuchabalae tres proprietates, quae sunt in
quolibet numero, considerantur, quae sunt radix,
quadratus, et numerus simplex. Cum itaque aliquis
numerus multiplicatur in se, et provenit aliquid.
Tunc factus ex multiplicatione quadratus est
multiplicati ; et multiplicatus sui quadrati est
radix. Ut cum multiplicatur 3 in se, veniunt 9. Sunt
enim 3 radix de 9 ; et 9 sunt quadratus ternarii. Et
cum numerus non habet respectum ad quadratum
vel radicem, tunc simpliciter numerus appellatur :
hae* autem in solutionibus quaestionum inter se
equantur sex modis, ex quibus tres sunt simplices,
et tres compositi. Primus quidem modus est,
quando quadratus, qui census dicitur, aequatur
radicibus. Secundus, quando census aequatur
numero ; tertius quando radix aequatur numero.
Unde cum in aliqua quaestione invenientur census,
vel partes unius census aequari radicibus, vel
numero, debent redigi ad aequationem. Unius (sic)
census per divisionem ipsarum in numerum
censuum. Verbi gratia : cum duo census*
aequantur.x. radicibus, divides radices per
numerum census, scilicet 10 per 2, exibunt radices
5, quae aequantur uni censui, hoc est radix census
est 5, et census et 25, quia quot radices aequantur
censui, tot unitates sunt in radices censuum. Item
si tres census aequantur radicibus 12, tunc tertia
pars trium censuum (sic) aequatur tertiae parti de
radicibus 12, hoc est unus census aequatur
quattuor radicibus. Quare radix census est 4, et
census est 16. Similiter cum census 1/2 3
aequantur radicibus 21, divides 21 per 1/2 3 ; et
invenies, quod unus census aequatur radicibus 6.
Et si 1/2 unius census equatur 5 radicibus, divides
5 per 2 , hoc est multiplicabis 5 per 2, quae sunt
sub virga ; et divides per l, quod est super virga,
exibunt 10. Ergo unus census aequatur 10
radicibus. Et si 2/3 unius census aequantur 8
radicibus, tunc census aequaliter (sic) radicibus 8 ;
quia divisis 8 per 3 veniunt 12 : haec omnia
intelligentur cum census augmentatus vel
diminutus aequadibur alicui numero. Sed ut haec
apertius habeantur ; ponantur 5 census aequari
denariis 45: divides ergo 45 per 5, venient denarii
9, qui aequantur censui, hoc est census 9, et radix
eius est 3. Similiter cum census 1/3 4 aequatur
denariis 26, divides 26 per 1/3 4, scilicet 78 per
13, exibunt 6, quibus aequatur unus census. Quare
radix ejus est surda, cum sit radix numeri non
quadrati. Et cum 3/4 unius census aequantur
denariis 12, tunc census aequabitur denariis 16,
quia divisis 12 per 3/4, scilicet 48 per 3, venient
16. Quare radix census est 4.
Conformément à la méthode algébrique et
almuquabalique, on considère trois propriétés qui
sont dans n'importe quel nombre et qui sont la
racine, le carré et le nombre simple. Ainsi,
lorsqu'un nombre quelconque est multiplié par
lui-même, quelque chose en provient. A ce
moment le produit de la multiplication est le carré
du multiplié, et le multiplié est la racine de son
carré. Ainsi lorsque 3 est multiplié par lui-même,
il en vient 9. Ce 3 est la racine de 9 ; et 9 est le
carré du trois. Et quand un nombre n'est pas en
relation avec un carré ou une racine, il est appelé
simplement nombre : or dans la résolution des
questions ces propriétés s'égalisent entre elles de
six manières, dont trois sont simples et trois
composées. La première de ces manières est
quand le carré, ici nous disons le cens, égalise les
racines (x 2 = bx). La seconde, quand le cens
égalise le nombre (x 2 = c) et la troisième, quand
les racines égalisent le nombre (bx = c). De là,
dans les questions où des cens ou bien des parties
de cens seront trouvés être égaux à des racines ou
à un nombre, ils doivent se ramener à l'équation
d'un seul cens par la division de ceux là même par
le nombre des cens. Par exemple : quand deux
cens égalisent 10 racines (2x 2 = l0x), tu diviseras
les racines par le nombre de cens, à savoir 10 par
2, en sortiront 5 racines qui égalisent un cens (x 2
= 5x), c'est à dire que la racine du cens est 5 et le
cens 25 (x = 5 et x2 = 25) ; puisqu'autant de
racines égalisent un cens, autant il y a d'unités
dans la racine du cens. De même si trois cens
égalisent 12 racines (3x 2 = 12x), le tiers des trois
cens s'égalise au tiers des 12 racines, c'est à dire
qu'un seul carré égalise quatre racines. Ainsi la
racine du cens est 4 et le cens 16 (x = 4 et x 2 =
16). De la même manière, quand 1/2 de 3 cens
égalisent 21 racines (2x 2 = 21x), tu diviseras 21
par 1/2 de 3 et tu trouveras qu'un seul cens
égalise 6 racines (x 2 = 6x). Et si 1/2 d'un seul
cens égalise 5 racines (1/2 x 2 = 5x), tu diviseras 5
par 1/2, c'est à dire que tu multiplieras 5 par 2,
qui sont sous la barre, et tu divises par 1 qui est
sur la barre, il en sortira 10. Donc un seul cens
égalise 10 racines. Et si 2/3 d'un cens égalise 8
racines (2/3x 2 = 8x), alors le cens sera mis en
balance (en équation) avec les 8 racines, parce
que de 8 divisé par 3 il en sort 12. Tout ceci se
comprendra, lorsque le cens augmenté ou diminué
sera égalisé à un nombre. Mais pour que ceci soit
possédé plus ouvertement, que 5 cens soient
supposés être égaux à 45 deniers (5x 2 = 45). Tu
diviseras par conséquent 45 par 5, il en sort 9
deniers, qui égalisent le cens (x 2 = 9), ainsi le
cens est 9 et sa racine 3. De la même manière,
lorsque 1/3 de 4 cens s'égalise avec 26 deniers, tu
diviseras 26 par 1/3 de 4, soit 78 par 13, il en
sortira 6, auquel s'égalisera un seul cens. Aussi la
racine de celui-ci est sourde parce que ce n'est
pas la racine d'un nombre carré. Et avec 3/4 d'un
cens égal à 12 deniers, le cens s'égalisera à 16
deniers, parce que 12 étant divisé par 3/4, à
savoir 48 par 3, il en sortira 16. La racine du
cens est donc 4.
Nota :
1) Le texte latin est rétabli pour partie avec une orthographe classique qui se sépare du latin médiéval
par quelques traits, entre autres le e tout seul représente souvent un ae.
quaestiones = questiones ; hae = he ; tertia au lieu de tercia.
2) Dans le texte latin donné par Buoncompagni, ce qui semble être des fautes d'orthographe est corrigé :
(composictionem n'existe pas, mais compositionem existe ; même chose pour reddigi, redevenu redigi ;
etc).
3) Les termes aequaliter et aequadibur semblent de mauvaises lectures des manuscrits qui doivent porter
en fait aequantur, mais elles ne sont pas corrigées dans le texte latin.
Enfin, il s’agit d’une traduction la plus proche possible du texte, sans le souci d'élégance de la langue.
Gérard HAMON
IREM Rennes
Avec le concours de Jean BOYÉ