DS n°5 - No Math Error à Mourenx

Nom :
Classe : 2nde
Devoir surveillé n°5
Note :
le 28/03/2017
… / 20
Avis de
l’élève
Oui Non
Je sais :
Avis du
professeur
Oui
Non
Exercice 1
Compléter un programme de calcul.
Encadrer le carré d'un nombre.
Exercice 2
Répondre à des questions concrètes en utilisant des savoirs faire mathématiques.
Exercice 3
Justifier la forme canonique d'une fonction polynôme du 2nd degré.
Déterminer un paramètre / Calculer / Résoudre.
Dresser le tableau de signes d'une fonctions polynôme du 2nd degré.
Déterminer les points d'intersection d'une parabole avec les axes d'un repère.
Exercice 4
Etudier les variations d'une fonction polynôme du 2nd degré / Déterminer son extremum.
Utiliser la calculatrice.
Appliquer l'algorithme de dichotomie.
Résoudre une équation du 2nd degré à partir de la forme canonique.
Exercice 1 : Décomposition et ordre.
…/4
L'objectif de cet exercice est de mettre en place un processus, à partir d'un encadrement de x, pour encadrer :
f (x) = (x ¡ 1)2 + 2
1. Compléter le programme de calcul suivant :
………
x
soustraire 1
…………
(x ¡ 1)2
……………
(x ¡ 1)2 + 2
2. Compléter les encadrements successifs qui découlent de ce programme de calcul lorsque 1 ≤ x ≤ 3 :
1≤ x≤3
⇒
…≤ x¡1≤…
Or, des nombres ……………… sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
On en déduit :
… ≤ ………… ≤ …
⇒
… ≤ (x ¡ 1)2 + 2 ≤ …
3. Faire de même lorsque - 2 ≤ x ≤ 1 :
4. Lorsque 0 ≤ x ≤ 3, Tom a écrit le raisonnement suivant :
0≤ x≤3
⇒
-1 ≤ x ¡ 1 ≤ 2
⇒
1 ≤ (x ¡ 1)2 ≤ 4
⇒
3 ≤ (x ¡ 1)2 + 2 ≤ 6
En affichant sur votre calculatrice la parabole représentative de la fonction f , pensez vous que le
résultat final de Tom soit exact ? Justifier. S'il vous semble faux, corriger le raisonnement de Tom.
Exercice 2 : Un peu de rugby.
…/3
Le week-end dernier, Lilian a essayé de transformer un essai.
La trajectoire du ballon est modélisée par la fonction h définie par :
1
31
63
h(x) = - 4 x2 + 8 x + 64
où x désigne la distance horizontale parcourue par le ballon de rugby,
en mètres, et h(x) est la hauteur correspondante, en mètres.
Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats ci-contre :
1. La fonction h est définie sur un intervalle de la forme [0 ; ®] où
® désigne la distance horizontale parcourue par le ballon avant
de retomber au sol. Déterminer ce réel ®.
2. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon et la distance horizontale alors parcourue.
3. Sachant que le tir de Lilian était cadré, que les poteaux étaient situés à une distance horizontale de 14 m
et à la hauteur de 3,4 m, l'essai a-t-il été transformé ? (Le ballon est-il passé au dessus des poteaux ?)
Exercice 3 : On se place dans le repère orthonormé (O ; I , J).
…/6
f est la fonction définie sur R par la parabole p tracée ci-contre.
1. a) Justifier graphiquement que, pour tout réel x, on peut
définir f par une formule de la forme :
p
f (x) = a(x ¡ 2)2 + 6
où a est un réel négatif.
b) Le point A ( - 1 ; 0 ) appartient à p.
En déduire le calcul de a.
2. On admet que la fonction f peut être définie sur R par :
2
8
10
f (x) = - 3 x2 + 3 x + 3
a) Justifier que pour tout réel x, on a :
2
f (x) = 3 (x + 1)(5 ¡ x)
b) Dresser et justifier le tableau de signe de f (x).
3. On note B le second point d'intersection de p avec l'axe
des abscisses et C celui avec l'axe des ordonnées.
Déterminer les coordonnées de B et C.
Exercice 4 : f est la fonction définie sur R par :
…/7
f (x) = x2 ¡ x ¡ 1
1. a) Etudier les variations de f et justifier que f atteint un extremum, à préciser.
b) En déduire la forme canonique de f (x).
2. On admet que l'équation f (x) = 0 admet deux solutions opposées. On note Á la solution positive.
a) En utilisant le menu graphe de la calculatrice, donner un encadrement de Á à l'unité près.
b) On rappelle ci-dessous l'algorithme de dichotomie :
Compléter le tableau suivant en appliquant cet algorithme pas à pas avec a = 1, b = 2 et N = 3.
Signe de
i
a
m
b
f (a)
Test
Réaffectations
a
f (m) f (a) × f (m) < 0 ?
b
Quel encadrement de Á obtient-on ?
3. Le nombre Á recherché est appelé le nombre d'or.
En résolvant l'équation f (x) = 0 à partir de la forme canonique, déterminer la valeur exacte de Á .
Correction du DS n°5
Exercice 1 : Décomposition et ordre.
L'objectif de cet exercice est de mettre en place un processus, à partir d'un encadrement de x, pour encadrer :
f (x) = (x ¡ 1)2 + 2
1. Compléter le programme de calcul suivant :
x
soustraire 1
x¡1
(x ¡ 1)2
mettre au carré
ajouter 2
(x ¡ 1)2 + 2
2. Compléter les encadrements successifs qui découlent de ce programme de calcul lorsque 1 ≤ x ≤ 3 :
1≤ x≤3
⇒
0≤ x¡1≤2
Or, des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
On en déduit :
0 ≤ (x ¡ 1)2 ≤ 4
⇒
2 ≤ (x ¡ 1)2 + 2 ≤ 6
3. Faire de même lorsque - 2 ≤ x ≤ 1 :
-2 ≤ x ≤ 1
⇒ -3 ≤ x ¡ 1 ≤ 0
Or, des nombres négatifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs carrés.
On en déduit :
0 ≤ (x ¡ 1)2 ≤ 9
⇒
2 ≤ (x ¡ 1)2 + 2 ≤ 11
4. Lorsque 0 ≤ x ≤ 3, Tom a écrit le raisonnement suivant :
0≤ x≤3
⇒
-1 ≤ x ¡ 1 ≤ 2
⇒
1 ≤ (x ¡ 1)2 ≤ 4
⇒
3 ≤ (x ¡ 1)2 + 2 ≤ 6
En affichant sur votre calculatrice la parabole représentative de la fonction f , pensez vous que le
résultat final de Tom soit exact ? Justifier. S'il vous semble faux, corriger le raisonnement de Tom.
Le résultat est faux car le minimum de f sur [0 ; 3] est 2 (atteint quand x = 1) et 2 ∉ [3 ; 6].
Correction du raisonnement de Tom :
0≤ x≤3
⇒
-1 ≤ x ¡ 1 ≤ 2
⇒ 0 ≤ (x ¡ 1)2 ≤ 4
⇒
2 ≤ (x ¡ 1)2 + 2 ≤ 6
Exercice 2 : Un peu de rugby.
Le week-end dernier, Lilian a essayé de transformer un essai.
La trajectoire du ballon est modélisée par la fonction h définie par :
1
31
63
h(x) = - 4 x2 + 8 x + 64
où x désigne la distance horizontale parcourue par le ballon de rugby,
en mètres, et h(x) est la hauteur correspondante, en mètres.
Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats ci-contre :
1. La fonction h est définie sur un intervalle de la forme [0 ; ®] où
® désigne la distance horizontale parcourue par le ballon avant de
retomber au sol. Déterminer ce réel ®.
Remarque 1 : Dans cette question, ® n'a rien à voir avec l'abscisse du
sommet de la parabole qui décrit la trajectoire du ballon.
Modélisation de la situation :
Chercher la valeur de ® revient à chercher la distance horizontale qui
correspond à l'impact du ballon au sol. De plus, la trajectoire du ballon
n'est définie par h(x) que si x ≥ 0 et h(x) ≥ 0.
On utilise la forme factorisée : h(x) = - (4x ¡ 63) 4x+1
64
63
4x ¡ 63 > 0 ⇔ 4x > 63 ⇔ x > 4
-1
64 > 0 donc 4x+1
64 > 0 ⇔ 4x + 1 > 0 ⇔ 4x > - 1 ⇔ x > 4
On en déduit le tableau de signes suivant :
x
-1
4x ¡ 63
-1
4
-∞
14
63
4
0
–
–
–
–
–
–
4x+1
64
–
O
+
+
h(x)
–
O
+
+
+∞
–
O
+
+
O
–
Puisque h(x) n'est définie que si x ≥ 0 et h(x) ≥ 0 alors la fonction h est
définie sur [0 ; 63
4 ], c'est-à-dire [0 ; 15, 75].
Remarque 2 : On pourrait en déduire que le ballon touchera le sol à une
distance horizontale de 15,75 m.
2. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon et la distance horizontale alors parcourue.
-1
a = 4 < 0 confirme que la fonction h atteint un maximum.
2
(x ¡ 31
En utilisant la forme canonique : h(x) = -1
4 ) + 16 , on en déduit que la hauteur maximale
4
atteinte par le ballon est de 16 m. Elle est atteinte pour une distance horizontale de 31
4 = 7,75 m.
3. Sachant que le tir de Lilian était cadré, que les poteaux étaient situés à une distance horizontale de 14 m
et à la hauteur de 3,4 m, l'essai a-t-il été transformé ? (Le ballon est-il passé au dessus des poteaux ?)
La question est de savoir si pour une distance parcourue horizontalement de 14 m le ballon sera au
dessus des poteaux ou non, sachant que les poteaux sont à une hauteur de 3,4 m.
1
31
63
h(14) = - 4£142 + 8 £14 + 64 ≈ - 49 + 54,25 + 0,98 ≈ 6,23 > 3,4
On en déduit que le ballon est passé au dessus des poteaux et que Lilian a transformé l'essai.
Exercice 3 : On se place dans le repère orthonormé (O ; I , J).
S
×
f est la fonction définie sur R par la parabole p tracée ci-contre.
1. a) Justifier graphiquement que, pour tout réel x, on peut
définir f par une formule de la forme :
p
f (x) = a(x ¡ 2)2 + 6
où a est un réel négatif.
C
×
Puisque p est une parabole ouverte vers le bas, la
fonction f est une fonction du 2nd degré définie par une
formule de la forme f (x) = a(x ¡ ®)2 + ¯ avec a < 0.
où (® ; ¯ ) sont les coordonnées du sommet S de p.
Graphiquement : ® = 2 et ¯ = 6.
Donc : ∀ x ∈ R, f (x) = a(x ¡ 2)2 + 6
B
×
b) Le point A ( - 1 ; 0 ) appartient à p.
En déduire le calcul de a.
f (-1) = a(-1 ¡ 2)2 + 6 = a(-3)2 + 6 = 9a + 6
A ( - 1 ; 0 ) ∈ p ⇔ f (-1) = 0 ⇔ 9a + 6 = 0
9a = - 6
-6 -2
a= 9 = 3
10
2 8
2. On admet que la fonction f peut être définie sur R par : f (x) = - 2
3x +3x+ 3
a) Justifier que pour tout réel x, on a : f (x) = 2
3 (x + 1)(5 ¡ x)
2
2
2 2 8
10
2
2
∀ x ∈ R, 2
3 (x + 1)(5 ¡ x) = 3 (5x ¡ x + 5 ¡ x) = 3 (-x + 4x + 5) = - 3 x + 3 x + 3 = f (x)
b) Dresser et justifier le tableau de signe de f (x).
On utilise la forme factorisée : f (x) = 2
3 (x + 1)(5 ¡ x)
2
3 > 0 donc le signe de f (x) ne dépend que des signes de x + 1 et de 5 ¡ x.
x + 1 > 0 ⇔ x > -1
5¡x>0 ⇔ 5>x ⇔ x<5
On en déduit le tableau de signes de f (x) :
x
x+1
5¡x
f (x)
-∞
-1
–
O
+
–
O
5
+
+∞
+
+
O
–
+
O
–
3. On note B le second point d'intersection de p avec l'axe des abscisses et C celui avec l'axe des
ordonnées. Déterminer les coordonnées de B et C.
D'après le tableau des signes de f (x), on sait que : f (x) = 0 ⇔ x = - 1 ou x = 5
On en déduit que les points d'intersection de p avec l'axe des abscisses sont A ( - 1 ; 0 ) et B ( 5 ; 0 ).
10 10
2 8
De plus : f (0) = - 2
3 £0 + 3 £0 + 3 = 3
On en déduit que le point d'intersection de p avec l'axe des ordonnées est C ( 0 ; 10
3 ).
Exercice 4 : f est la fonction définie sur R par :
f (x) = x2 ¡ x ¡ 1
1. a) Etudier les variations de f et justifier que f atteint un extremum, à préciser.
f (x) = x2 ¡ x ¡ 1
On pose : a = 1 ; b = - 1 et c = - 1.
-b
1
® = 2a = 2
1
1
1 2 4 -5
¯ = f (®) = ( 2 )2 – 2 – 1 = 4 – 4 – 4 = 4
1
1
a = 1 > 0 donc f est décroissante sur [ - ∞ ; 2 ] puis croissante sur [ 2 ; + ∞ ].
1
De plus, f admet pour minimum -5
4 quand x = 2 .
b) En déduire la forme canonique de f (x).
∀ x ∈ R, f (x) = a(x ¡ ®)2 + ¯ = (x ¡ 12 )2 ¡
5
4
2. On admet que l'équation f (x) = 0 admet deux solutions opposées. On note Á la solution positive.
a) En utilisant le menu graphe de la calculatrice, donner un encadrement de Á à l'unité près.
Á est la solution positive de f (x) = 0
Graphiquement, on lit : 1 < Á < 2
b) On rappelle ci-dessous l'algorithme de dichotomie :
Compléter le tableau suivant en appliquant cet algorithme pas à pas avec a = 1, b = 2 et N = 3.
Signe de
Test
Réaffectations
a
f (m) f (a) × f (m) < 0 ?
b
i
a
m
b
f (a)
1
1
1,5
2
–
–
Faux
1,5
2
2
1,5
1,75
2
–
+
Vrai
1,5
1,75
3
1,5
1,625
1,75
–
+
Vrai
1,5
1,625
Quel encadrement de Á obtient-on ? On obtient : 1,5 < Á < 1,625
3. Le nombre Á recherché est appelé le nombre d'or.
En résolvant l'équation f (x) = 0 à partir de la forme canonique, déterminer
la valeur exacte
q
q de Á.
f (x) = 0 ⇔ (x ¡ 12 )2 ¡
5
4
= 0 ⇔ (x ¡ 12 )2 = 54 ⇔ x – 1
2=
p
p
1
5
1
5
f (x) = 0 ⇔ x = 2 + 2 ou x = 2 – 2
p
p
1+ 5
1¡ 5
f (x) = 0 ⇔ x = 2 ≈ 1,618 > 0 ou x = 2 ≈ - 0,618 < 0
5
4
ou x – 1
2= -
p
Or, le nombre d'or Á est la solution positive de l'équation x2 ¡ x ¡ 1 = 0 donc Á = 1+2 5 .
5
4