08. Parallélogramme

CH VIII PARALLÉLOGRAMMES
1. Définition
:
A) Théorème 1
SI un quadrilatère a ses côtés parallèles 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
B) Théorème 2
Si un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont parallèles 2 à 2.
Application : Construire avec règle et équerre le point D afin que ABCD soit un parallélogramme.
A
D
C
B
(AB) // (DC)
(BC) // (AD)
A •
• C
• B
DOn trace
la parallèle au côté [AB] passant par le point C.
On trace
la parallèle au côté [BC] passant par le point

2. Diagonales d’un parallélogramme
A) Théorème 3 ( admis )
Traçons les deux diagonales du parallélogramme ABCD.
On remarque que :
O est le milieu de [AC]
O est le milieu de [BD]
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses diagonales se coupent en leur milieu.
B) Théorème 4 ( réciproque du théorème 3 )
SI les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu ALORS
c’est un parallélogramme.
Démonstration :
Je sais que O est le milieu de [AC] et BD]. Donc :
Le symétrique du segment [AB] par rapport à O est [CD].
Théorème : SI deux segments sont symétriques ALORS ils sont parallèles.
Donc [AB] // [CD]
Le symétrique du segment [AD] par rapport à O est [CB].
Donc [AD] // [CB]
D'après le théorème 2 , ABCD est un parallélogramme.
Et le point O est son centre de symétrie.
Application : Finir le parallélogramme ABCD, sans équerre.
A
C
OB
D
//
//
/
/
A
C
B
D
O
// //
/
/
A •
• C
• B
/
/
A •
• C
• B
•
O
•
A •
• C
• B
•
D
/
/
//
//
O
A •
• C
• B
•
D
/
/
//
//
O
•
On trace
la diagonale [AC] et on place son milieu O
①
On trace
le symétrique D du point B par rapport à O.
②
On trace
le parallélogramme ABCD.
③

3. Longueur des côtés
Soit un parallélogramme ABCD et son centre de symétrie O.
Le symétrique de [AB] par rapport à O est [DC]
Le symétrique de [AD] par rapport à O est [BC]
Rappel : SI deux segments sont symétriques
ALORS ils sont de même longueur.
AB = DC et AD = BC
A) Théorème 5
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont égaux 2 à 2.
B) Théorème 6 ( réciproque du théorème 5 )
SI un quadrilatère a ses côtés égaux 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Construire au compas, le point D afin que ABCD soit un parallélogramme
C) Théorème 7 ( On admettra aussi ce théorème )
SI un quadrilatère a deux côtés égaux ET parallèles ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Tracé d’un parallélogramme avec le quadrillage.
A
C
B
D
O
// //
/
/
A •
• C
• B
On reporte les
longueurs AB et BC à l'aide du compas pour trouver le point D.
A
B
E
F
Pour aller de A en B, on se déplace de 5
carreaux vers la droite puis de 1 carreau vers
le haut.
On fait de même en partant de E pour obtenir
le point F

4. Angles d’un parallélogramme
Théorème 8 ( Angles opposés )
Le symétrique de l’angle
BAD
par rapport à O est l’angle
DCA
Le symétrique de l’angle
ABC
par rapport à O est l’angle
CDA
Rappel de théorème : SI deux angles sont symétriques ALORS ils sont égaux.
BAD
=
DCA
et
ABC
=
CDA
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS les angles opposés sont égaux.
B) Théorème 9 ( Angles consécutifs )
Voici à nouveau un parallélogramme ABCD et son centre O.
On a prolongé le côté [AB] pour obtenir l’angle
B1
.
Les angles
ABC
et
B1
sont supplémentaires.
Donc
ABC
+
B1
= 180° ( égalité 1 )
Les angles
B1
et
BAD
sont correspondants et les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Donc :
B1
=
BAD
L’égalité 1 devient :
ABC
+
BAD
= 180°
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS deux angles consécutifs sont supplémentaires.
1
A
C
O
B
D
A
C
O
B
D