énoncé

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ψ 2014-2015 page 1/4 Devoir n°5
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ψ 2014-2015 Devoir n°5
MÉCANIQUE DES FLUIDES
É NERGIE HYDROELECTRIQUE
L'hydroélectricité consiste à convertir l'énergie potentielle de pesanteur d'une masse d'eau,
en énergie cinétique en la mettant en mouvement. Puis en faisant passer l'écoulement d'eau produit
à travers une turbine couplée à un alternateur, l'énergie cinétique de l'écoulement est convertie en
énergie électrique.
1 Potentiel hydroélectrique
a) Une conduite cylindrique amène de l’eau initialement au repos à une altitude z
A
maintenue constante dans une turbine. On branche à la sortie de la turbine une canalisation évacuant
l’eau vers un lac où elle est au repos. Le niveau z
B
de la surface libre du lac est supposé constant. Le
débit volumique traversant la turbine est Q et l’on note H = z
A
- z
B
. Exprimer la puissance P
hydro
reçue par la turbine, en fonction de Q, H, de la masse volumique de l'eau µ
eau
et de l'accélération de
la pesanteur à la surface de la Terre g. (On pourra utiliser le résultat d’un bilan d’énergie d’un
écoulement parfait sans le démontrer.)
b) Quels sont les paramètres à optimiser et comment ?
2 Équilibre hydrostatique d'un
barrage dit « poids »
Pour réguler, contrôler
l'écoulement, puis le canaliser vers la
turbine, il est en général nécessaire
d'utiliser une retenue d'eau, en
construisant un barrage.
On modélise un barrage dit
« poids » comme un prisme de
longueur L et de section triangulaire
rectangle isocèle de côté H (voir
Fig.1). Les dimensions H et L sont de
l'ordre de 100 m. Le barrage est constitué d'un mélange béton-granulats de masse volumique
homogène µ
m
. On suppose que la retenue d'eau ainsi créée est complètement remplie. On note P
0
la
pression atmosphérique, dont on néglige la variation avec l'altitude z. La référence z = 0
correspond au fond horizontal de la retenue d'eau. La hauteur d'eau dans le barrage est notée h et
est égale à H dans cette partie.
a) Démontrer l'expression de la pression hydrostatique dans l'eau en fonction de la
pression P
0
, de l'altitude z, de la masse volumique de l'eau µ
eau
(considérée constante et uniforme) et
de l'accélération de la pesanteur g.
Pourquoi les variations de pression hydrostatique sont-elles négligées dans l'atmosphère
mais pas dans l'eau ?
b) Exprimer la résultante des forces de pression hydrostatique s'exerçant sur le
barrage due à l'eau sur la face amont , puis celle des forces de pression due à l'air sur la face aval.
En déduire l'expression de la force horizontale qui tend à faire céder le barrage.
c) Dans un barrage « poids », la force horizontale est compensée par une force de
frottement solide entre le barrage et le sol. Cette force est dirigée selon
x
e
et sa norme est modélisée
simplement par
frottement
F R
≤ µ , avec µ un coefficient de frottement et
R
, la force de réaction
normale du sol sur le barrage. Écrire l'équilibre des forces s'exerçant sur le barrage verticalement et
horizontalement. En déduire la condition de stabilité du barrage sous forme d'une inégalité. Sachant
que µ est de l'ordre de 1/2, la situation paraît-elle réaliste ?
P
0
H
h
H
H
1
z
x
O
RESERVE
D ’ EAU
CONDUITE
FORCEE
TURBINE
Fig 1 : Schéma de principe du barrage

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d) Les barrages dits « poids » sont un type de barrage de conception particulièrement
simple. Les barrages « voûtes » constituent un autre type, où la vallée contenant la rivière est barrée
par un mur de béton courbé. Sans faire de calculs, proposer des arguments expliquant leur intérêt
par rapport aux barrages « poids ».
3. Écoulement à la sortie du barrage
On cherche à déterminer la vitesse V de l'eau entrant dans la turbine. La retenue du barrage
est remplie avec une hauteur d'eau h(t) variant au cours du temps t, dont la valeur initiale à t = 0
vaut H. La turbine est reliée par une canalisation au fond du barrage et se trouve plus bas à une
altitude z = – H
1
(voir Fig.1). La turbine est à l'air libre et la pression au niveau de la turbine est
égale à la pression atmosphérique P
0
. La section de la turbine S vaut 1m
2
, la surface de la retenue
d'eau S
re
= 10000 m
2
. On suppose que le débit volumique d'eau Q
e
entrant dans la retenue d'eau est
négligeable devant le débit de vidange du barrage. De plus quel que soit la valeur de la hauteur
d'eau h(t), l'aire de la surface libre de l'eau contenue dans la retenue, reste constante et égale à S
re
.
La masse volumique de l'eau µ
eau
est considérée comme constante.
a) En tenant compte de cette dernière hypothèse, exprimer la vitesse de variation de
la hauteur d'eau dans le barrage
dh
dt
en fonction de V , S
re
et S .
b) Rappeler la relation de Bernoulli. Quelles sont les hypothèses de validité ?
Appliquer cette relation au cas du barrage en considérant un point A à la surface de l'eau dans la
retenue puis un point B au niveau de la turbine. Évaluer la vitesse de l'eau au point A .
Simplifier alors l'égalité obtenue précédemment. En déduire l'équation différentielle :
( )
1
re
2
dh S
g h H
dt S
= − +
c) On introduit la nouvelle variable ψ(t) = h(t) + H
1
. Réécrire l'équation différentielle
précédente en fonction de ψ en introduisant la constante
re
2
S
K g
S
=. En déduire l'expression de h
en fonction de t, puis celle de V en fonction de t. Quel peut être l'intérêt de placer la turbine à un
niveau plus bas que le barrage ?
Par la suite, on adoptera les valeurs numériques suivantes pour simplifier les calculs,
H = 100 m et H
1
= 0 m.
d) Exprimer le temps T
H
nécessaire pour vider complètement le barrage, puis faire de
même pour le temps T
H/2
correspondant à une diminution de la hauteur initiale de moitié. Donner
l'ordre de grandeur numérique de T
H
et évaluer le rapport T
H/2
/T
H
.
e) En utilisant l'expression de P
hydro
établie dans la question 1, exprimer la puissance
disponible pour la turbine en fonction du temps t et constantes µ
eau
, g, K, S
re
et H.
Application numérique : Quel est l'ordre de grandeur numérique de la puissance disponible
au début de la vidange ?
f) En déduire l'énergie hydrodynamique E
hydro
(T) récupérable par la turbine
correspondant à une vidange entre t = 0 et t = T. Ensuite exprimer E
hydro
pour T = T
H
et pour T
H/2
.
Évaluer le rapport E
hydro
(T
H/2
) / E
hydro
(T
H
) et commenter par rapport à la valeur du T
H/2
/T
H
. Pourquoi,
lors d'une exploitation commerciale du barrage, est-il intéressant de ne vider la retenue que de la
moitié de la hauteur maximale ?
4.Conduite forcée
Dans cette question, on tient compte de la viscosité du fluide et de ses effets. Une conduite
forcée en acier soudé a une longueur de 500 m, un diamètre constant de 900 mm. Le débit de
l’écoulement dans la conduite est Q = 2,3 m
3
⋅s
–1
. La viscosité dynamique de l’eau dans la conduite
est η = 1,8×10
–3
Pa⋅s et sa masse volumique µ
εαυ
εαυεαυ
εαυ
= 1,0×10
3
kg⋅m
–3
. À l’aide des données fournies
en annexe, évaluer les pertes de charge régulières par unité de longueur et en déduire la perte de
charge totale de la conduite ∆h. (exprimée en hauteur d’eau).

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5.Étude de la turbine Pelton
La turbine est le dispositif permettant de récupérer l'énergie hydraulique en créant le
mouvement de rotation à partir de l'écoulement sortant de la canalisation. L'axe de rotation
entraîne un alternateur qui convertit l'énergie mécanique en énergie électrique. Les turbines Pelton
sont utilisées pour des débits modérés et des hauteurs de chute importantes et se rencontrent dans
les petites usines hydroélectriques de montagne. Ce type de turbines se compose de plusieurs godets
hémisphériques appelés augets et placés à la périphérie d'une roue pouvant tourner autour d'un
axe. Un jet d'eau de débit volumique Q
j
alimenté par la vidange du barrage, agit sur les augets et
fait ainsi tourner la roue (voir Fig. 2).
Le système est émergé et se trouve sous la pression atmosphérique P
0
. La pesanteur est
négligée dans cette étude. Le fluide est supposé parfait.
Pour déterminer la fréquence de rotation de la turbine en régime stationnaire, il suffit
d'effectuer un bilan de quantité de mouvement sur l'axe horizontal sur l'auget le plus bas en contact
avec le jet d'eau. On suppose que le nombre d'augets est suffisamment grand pour que le
mouvement de rotation soit régulier. On considère donc cet auget se déplaçant à une vitesse
horizontale de norme u
c
. L'eau du jet arrive horizontalement sur la coupe avec une vitesse de norme
u
j
et l’on suppose que, grâce à la géométrie de l'auget, l'eau suit la forme hémisphérique et quitte la
coupe avec une vitesse de norme u
s
parallèlement au jet incident. u
c
, u
j
et u
s
sont positifs, définies
dans le référentiel terrestre.
a) Exprimer dans le référentiel tangent à l'auget
c
'
u
et
j
'
u
les vitesses de sortie et
d’arrivée du jet. Montrer alors que la vitesse de sortie s'écrit
s j c
2
u u u
= − en appliquant (en le
justifiant) la relation de Bernoulli dans le référentiel de l'auget.
b) En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le référentiel terrestre où
l’auget peut être considéré comme fixe dans ce calcul car constamment remplacé par un autre
identique, exprimer la force exercée par le fluide sur l'auget en fonction de la masse volumique de
l'eau µ
eau
, du débit Q
j
et des normes des vitesses u
j
et u
c
. On pourra négliger la résultante des forces
de pression exercée par l’air.
c) Montrer que la puissance mécanique transférée à l'auget dans le référentiel
terrestre s'écrit
(
)
C EAU j j C C
2
Q u u u
= µ −P. uj étant fixé par le débit du barrage, donner l'allure de Pc
en fonction de uc/uj. Pour quelle valeur de uc , cette puissance est-elle maximale ? Dans ce cas que
peut-on dire sur l'efficacité du transfert ?
Annexe
Figure 2 À gauche, schéma d'une turbine Pelton mise en rotation par un jet d'eau (le
nombre d'augets sur un système industriel est beaucoup plus grand).
À droite, agrandissement sur un auget en contact avec le jet d'eau, dans le référentiel
tangent de l'auget en translation uniforme à la vitesse u
c.

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matériau de conduite ε (mm)
polyéthylène 0,003
acier commercial sans soudure (neuf) 0,025
acier commercial sans soudure (légèrement
rouillé)
0,250
acier commercial sans soudure (galvanisé) 0,150
acier soudé 0,600
fer de fonderie 0,120
béton 0,180
ciment amianté 0,025
Tableau 1 :rugosité moyenne ε pour quelques matériau