Chp 4 mouvements celestes 25 p 220

Correction 25 p 220
1. a. La troisième loi de Kepler s’appelle la loi des périodes : 
b. D’après la réponse précédente, on peut écrire : 
Or d’après l’énoncé et les données : TP = 248 ans < TE = 557 ans
Pour que les rapports soient égaux alors : aP < aE
 L’orbite d’Eris se trouve au-delà de celle de Pluton.
2. a. Dysnomia tournant autour d’Eris, on peut se référer au référentiel rattaché au centre d’Eris, on peut
parler de référentiel « Eris-centrique ». Les axes de ce référentiel sont dirigés vers des étoiles lointaines
pour pouvoir les considérer fixe.
b. * On considère le système constitué par {Dysnomia, de masse MD}.
* On se place dans le référentiel Eris-centrique supposé galiléen.
* La seule force agissant est la force gravitationnelle qu’exerce Eris sur
Dysnomia, distantes du rayon de l’orbite RD : 
(On utilise le repère de Frenet pour exprimer les vecteurs plus aisément.)
* Le référentiel d’étude étant galiléen, on peut appliquer la deuxième loi de Newton (P.F.D) :
=> 
(L’accélération est colinéaire au vecteur  . Elle est donc radiale et centripète.)
* Dans le repère de Frenet, l’expression du vecteur-accélération est : 
=> 
* En projetant sur les deux axes  , on trouve : 
=> D’après « at », la vitesse est constante. Le mouvement circulaire du satellite est donc uniforme.
=> D’après « an », la vitesse vaut : 
La période de révolution TD du satellite correspond à sa durée de rotation autour d’Eris. Sachant que la
vitesse est constante, on peut écrire : v = d / ∆t = 2.π.RD / TD
=> TD = 
On souhaite déterminer le rapport des masses des planètes, on va donc calculer la masse d’Eris à l’aide de la
relation précédente : 
 => 
 1,63.1022 kg
Attention aux unités : en physique, le temps en seconde, la masse en kg et le rayon en m !
D
𝐹𝐸𝐷
E
Eris
𝑛
𝑡
Eris présente une masse très proche de celle de Pluton voire même
supérieure ! Il s’agit donc d’un système de deux planètes naines et non
d’une planète avec un satellite d’où le déclassement de Pluton.