Chp 4 mouvements celestes 25 p 220

Correction 25 p 220
𝑻𝟐
1. a. La troisième loi de Kepler s’appelle la loi des périodes :
T𝑃 2
b. D’après la réponse précédente, on peut écrire :
Or d’après l’énoncé et les données :
= 𝒄𝒔𝒕𝒆(𝑴𝒔𝒐𝒍𝒆𝒊𝒍 )
𝒂𝟑
a𝑃 3
T𝐸 2
=
a𝐸 3
TP = 248 ans < TE = 557 ans
Pour que les rapports soient égaux alors :
aP < aE
 L’orbite d’Eris se trouve au-delà de celle de Pluton.
2. a. Dysnomia tournant autour d’Eris, on peut se référer au référentiel rattaché au centre d’Eris, on peut
parler de référentiel « Eris-centrique ». Les axes de ce référentiel sont dirigés vers des étoiles lointaines
pour pouvoir les considérer fixe.
𝑡
D
𝑛⃗
b. * On considère le système constitué par {Dysnomia, de masse MD}.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐸/𝐷
* On se place dans le référentiel Eris-centrique supposé galiléen.
E
* La seule force agissant est la force gravitationnelle qu’exerce Eris sur
𝐌 .𝐌
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
Dysnomia, distantes du rayon de l’orbite RD :
𝐅𝐄/𝐃 = + 𝐆. 𝐑𝐃 ² 𝐄 . 𝐧
Eris
𝑫
(On utilise le repère de Frenet pour exprimer les vecteurs plus aisément.)
* Le référentiel d’étude étant galiléen, on peut appliquer la deuxième loi de Newton (P.F.D) :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝑴𝑫 . 𝒂
FE/D
= + G. MRE.M² D . ⃗n⃗
=>
𝐷
𝑎=
G. RME² . ⃗n⃗
𝐷
(L’accélération est colinéaire au vecteur n
⃗ . Elle est donc radiale et centripète.)
* Dans le repère de Frenet, l’expression du vecteur-accélération est :
=>
𝑎=
2
= 𝑑𝑣
. ⃗𝑡 + R𝑣 . ⃗⃗⃗
𝑛
𝑑𝑡
𝑎𝐺
⃗⃗⃗⃗
𝐷
2
⃗⃗ = 𝑑𝑣 . ⃗𝑡 + 𝑣 . ⃗⃗⃗
G. MRE.M² T . n
𝑛
𝑑𝑡
R
𝐷
𝐷
𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣²
=0
𝑎{
M
𝑎𝑛 = R = G. R E²
* En projetant sur les deux axes 𝑡 𝑒𝑡 𝑛
⃗⃗⃗ , on trouve :
𝐷
𝐷
=> D’après « at », la vitesse est constante. Le mouvement circulaire du satellite est donc uniforme.
E
=> D’après « an », la vitesse vaut : 𝑣 = √𝐺. M
R
𝐷
La période de révolution TD du satellite correspond à sa durée de rotation autour d’Eris. Sachant que la
vitesse est constante, on peut écrire :
v = d / ∆t = 2.π.RD / TD
=>
TD =
2.𝜋.R𝐷
𝑉
=
2.𝜋.R𝐷
𝑀
√𝐺. 𝐸⁄R
𝐷
R
3
𝐷
= 2. 𝜋. √𝐺.𝑀
𝐸
On souhaite déterminer le rapport des masses des planètes, on va donc calculer la masse d’Eris à l’aide de la
relation précédente :
R
3
𝐷
𝑇𝐷 = 2. 𝜋. √𝐺.𝑀
𝐸
=>
R
3
(3,60.107 )3
𝑀𝐸 = 4. 𝜋². 𝐺.𝑇𝐷 = 4. 𝜋². (6,67.10−11 ) × (1,30.106) = 1,63.1022 kg
𝐷
Attention aux unités : en physique, le temps en seconde, la masse en kg et le rayon en m !

𝑀𝐸
𝑀𝑃
1,63.1022
= 1,31.1022 = 1,24
Eris présente une masse très proche de celle de Pluton voire même
supérieure ! Il s’agit donc d’un système de deux planètes naines et non
d’une planète avec un satellite d’où le déclassement de Pluton.