Exercice d’application n°1 Le triangle GPH est rectangle en P L’égalité de Pythagore permet d’écrire GP² = GH² - PH² GP² = 5² - 4² = 25-16 = 9 cm GP = 3 cm P [GK] et GP = PK donc P est le milieu de [GK] On a P milieu de [GK] et H milieu de [GB] Or on sait que dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté On conclut que (PH) // (KB) On a (PH) //(KB) et (PH)(GK) Or on sait que si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre On conclut que (KB)(GK) donc le triangle GKB est rectangle en K On a P milieu de [GK] et H milieu de [GB] Or on sait que dans un triangle si un segment relie les milieux de deux côtés alors il mesure la moitié du troisième côté, On conclut que KB = 8 cm (4 est la moitié de 8) Nature du triangle KCD Dans le triangle KCD, on a V milieu de [KC] et F milieu de [CD] Or on sait que dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. On conclut que (VF)//(KD) On a (VF) // (KD) . Ces deux droites sont coupées par (KC). Les angles et sont correspondants. Or on sait que si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu’elles forment sont égaux. On conclut que = =55° Dans le triangle CVF, on a Or on sait que dans un triangle la somme des trois angles vaut 180° On conclut que =180° - (55° + 35°) = 180° - 90° = 90° KCD est un triangle rectangle. Exercice du quadrilatère de Varignon On trace les diagonales de ABCD. Dans le triangle ABC, on a E milieu de [AB) et F milieu de [BC]. Or on sait que dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. On conclut que (EF)//(AC). Dans le triangle ACD, on montre de même que (HG) // (AC) . D’où (EF)//(HG) On montre de même en utilisant les triangles ABD et ACD que (EH)//(FG). EFGH a ses côtés opposés parallèles. C’est un parallélogramme.