1S Devoir à la maison n˚8 Mathématiques I Exercice n˚1 Un salarié embauché dans une entreprise le 1er Janvier 2014 se voit offrir la première année un salaire annuel de U0 = 18000 euros. Le contrat de travail du salarié prévoit que son salaire (prime comprise) augmente chaque année de 2% auquel s’ajoute une prime annuelle de 100 euros. On note Un le salaire annuel reçu par ce salarié pendant l’année 2014 + n. On a donc (et on admettra que) Un+1 = 1,02 Un + 100, pour tout entier positif n . 1. On considère la suite (Vn ) définie par Vn = Un + 5000. a) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme V0 . b) Exprimer Vn en fonction de n. 2. Exprimer Un en fonction de n. 3. Calculer ce que sera le salaire annuel du salarié en 2024. 4. On cherche à déterminer la somme totale des salaires X qu’aura reçue le salarié pendant ses 10 premières années dans l’entreprise à l’aide de l’algorithme suivant : 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: VARIABLES U EST_DU_TYPE NOMBRE n EST_DU_TYPE NOMBRE somme EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME U PREND_LA_VALEUR 18000 somme PREND_LA_VALEUR 18000 POUR n ALLANT_DE 1 A ..... DEBUT_POUR U PREND_LA_VALEUR 1.02*U+100 somme PREND_LA_VALEUR somme+U FIN_POUR AFFICHER somme FIN_ALGORITHME a) Compléter la ligne 8 pour que l’algorithme réponde à la question. b) Compléter et exécuter l’algorithme incomplet algo_dm8.alg disponible en ligne à l’adresse http://www.xm1math.net/textes/premS.html (aller au chapitre 10) après avoir téléchargé le programme AlgoBox à l’adresse http://www.xm1math.net/algobox/download.html. Pour compléter l’algorithme, il suffit de sélectionner la ligne « POUR n ALLANT DE 1 A » et de cliquer sur le bouton « Modifier Ligne ». Donner alors le résultat affiché après exécution de l’algorithme. I Exercice n˚2 Pour tester si un système de production d’électricité par géothermie est viable dans une commune, on entreprend un forage. On note • • • • U0 le coût en euros du creusement du premier mètre ; U1 le coût en euros du creusement du deuxième mètre ; etc. Un−1 le coût en euros du creusement du niéme mètre ; Le coût du forage pour cette entreprise est défini par : U0 = 200 et Un+1 = Un + 50 . (le premier mètre est facturé 200 euros et chaque nouveau mètre coûte 50 euros de plus que le précédent) 1. La suite (Un ) est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison. 2. Calculer le coût du creusement du 50ième mètre du forage. 3. Pour tout entier n > 2, on note Sn le coût total pour creuser les n premiers mètres . On a donc : Sn = U0 + U1 + U2 + · · · + Un−1 = 200 + (200 + 50) + (200 + 2 × 50) + · · · + (200 + (n − 1) × 50) = 200 + 200 + 200 + · · · + 200 +50 + 2 × 50 + · · · + (n − 1) × 50 {z } | n fois = 200n + 50 × (1 + 2 + · · · (n − 1)) a) En adaptant la formule du cours donnant la valeur de 1 + 2 + · · · + n, exprimer 1 + 2 + · · · (n − 1) en fonction de n et montrer que Sn = 175n + 25n2 . b) En déduire la profondeur de forage que l’on peut atteindre pour un coût total de 174 000 euros.