1S Devoir à la maison n˚8 Mathématiques

1S Devoir à la maison n˚8 Mathématiques
IExercice n˚1
Un salarié embauché dans une entreprise le 1er Janvier 2014 se voit offrir la première année un salaire annuel
de U0= 18000 euros. Le contrat de travail du salarié prévoit que son salaire (prime comprise) augmente chaque
année de 2% auquel s’ajoute une prime annuelle de 100 euros. On note Unle salaire annuel reçu par ce salarié
pendant l’année 2014 + n. On a donc (et on admettra que) Un+1 = 1,02 Un+ 100, pour tout entier positif n.
1. On considère la suite (Vn)définie par Vn=Un+ 5000.
a) Montrer que (Vn)est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme V0.
b) Exprimer Vnen fonction de n.
2. Exprimer Unen fonction de n.
3. Calculer ce que sera le salaire annuel du salarié en 2024.
4. On cherche à déterminer la somme totale des salaires Xqu’aura reçue le salarié pendant ses 10 premières
années dans l’entreprise à l’aide de l’algorithme suivant :
1: VARIABLES
2: U EST_DU_TYPE NOMBRE
3: n EST_DU_TYPE NOMBRE
4: somme EST_DU_TYPE NOMBRE
5: DEBUT_ALGORITHME
6: U PREND_LA_VALEUR 18000
7: somme PREND_LA_VALEUR 18000
8: POUR nALLANT_DE 1A.....
9: DEBUT_POUR
10: U PREND_LA_VALEUR 1.02*U+100
11: somme PREND_LA_VALEUR somme+U
12: FIN_POUR
13: AFFICHER somme
14: FIN_ALGORITHME
a) Compléter la ligne 8 pour que l’algorithme réponde à la question.
b) Compléter et exécuter l’algorithme incomplet algo_dm8.alg disponible en ligne à l’adresse
http://www.xm1math.net/textes/premS.html (aller au chapitre 10) après avoir téléchargé le programme
AlgoBox à l’adresse http://www.xm1math.net/algobox/download.html. Pour compléter l’algorithme, il
suffit de sélectionner la ligne « POUR n ALLANT DE 1 A » et de cliquer sur le bouton
«Modifier Ligne ».
Donner alors le résultat affiché après exécution de l’algorithme.
IExercice n˚2
Pour tester si un système de production d’électricité par géothermie est viable dans une commune, on entreprend
un forage. On note
•U0le coût en euros du creusement du premier mètre ;
•U1le coût en euros du creusement du deuxième mètre ;
•etc.
•Un−1le coût en euros du creusement du ni´eme mètre ;
Le coût du forage pour cette entreprise est défini par : U0= 200 et Un+1 =Un+ 50 .(le premier mètre est
facturé 200 euros et chaque nouveau mètre coûte 50 euros de plus que le précédent)
1. La suite (Un)est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison.
2. Calculer le coût du creusement du 50i`eme mètre du forage.
3. Pour tout entier n>2, on note Snle coût total pour creuser les npremiers mètres . On a donc :
Sn=U0+U1+U2+· · · +Un−1
= 200 + (200 + 50) + (200 + 2 ×50) + · · · + (200 + (n−1) ×50)
= 200 + 200 + 200 + · · · + 200
| {z }
nfois
+50 + 2 ×50 + · · · + (n−1) ×50
= 200n+ 50 ×(1 + 2 + · · · (n−1))
a) En adaptant la formule du cours donnant la valeur de 1 + 2 + · · · +n, exprimer 1 + 2 + · · · (n−1) en
fonction de net montrer que Sn= 175n+ 25n2.
b) En déduire la profondeur de forage que l’on peut atteindre pour un coût total de 174 000 euros.