Correction Contrôle n°5

Correction Contrôle n°5
NOM : …………………………………………….
Prénom : ……………………………………………
Calculatrice autorisée
Le sujet devra être rendu avec la copie.
TS2 CRSA
Jeudi 5 février
MODULE : UF3.1 – M2.2 – Statistiques et Probabilités 2
Sauf mention contraire dans l’énoncé, toute réponse doit être justifiée
EXERCICE 1 : (3,5 points)
Dans tout l’exercice, les résultats approchés seront arrondis à 10 – 3 près.
1°) A l’aide de la calculatrice, donner les résultats des probabilités ci-dessous.
Si besoin, donner les transformations nécessaires pour aboutir au résultat.
X suit N (250 ; 10,2)
P( X = 250) = 0 (la loi normale st une loi continue, la probabilité d’une valeur particulière fait toujours 0)
P(240 ≤ X ≤ 260) = normalFRèp(240,260,250,10.2) ≅ 0,673
P(X < 280) = P(X ≤ 280) = normalFRèp(-1099,280,250,10.2) ≅ 0,998
P(X ≥ 262) = normalFRèp(262,1099,250,10.2) ≅ 0,120
2°) Y suit N (54 ; 7,4)
Déterminer le réel k tel que P(Y ≤ k) = 0,98
k = Fracnormal(0.98,54,7.4) ≅ 69,198
Déterminer le réel t tel que P(Y ≥ t) = 0,05
P(Y ≥ t) = 0,05  1 – P(Y < t) = 0,05 1 – P(Y ≤ t) = 0,05  P(Y ≤ t) = 0,95
t = Fracnormal(0.95,54,7.4) ≅ 66,172
EXERCICE 2 : (1,5 points)
Suite à un problème sur son téléphone portable, Dimitri décide d’appeler le service après vente du fabricant.
Le temps d’attente, exprimé en minutes, avant d’être en communication avec un conseiller technique, suit la loi
uniforme sur l’intervalle [1 ;10]. On appelle X la variable aléatoire correspondant au temps d’attente.
Ainsi X suit U ([1 ;10]).
1°) Quelle est la probabilité que Dimitri attende moins de trois minutes ?
31 2
P(X ∈ [1 ;3]) = P(1 ≤ X ≤ 3) =

10  1 9
Il a 2 chances sur 9 d’attendre moins de 3 minutes.
2°) Quelle est la probabilité qu’il attende plus de six minutes ?
10  6 4

P(X ∈ [6 ;10]) = P(6 ≤ X ≤ 10) =
10  1 9
Il a 4 chances sur 9 d’attendre plus de 6 minutes.
3°) Déterminer le temps moyen d’attente.
10  1 11

 5,5
E(X) =
2
2
Le temps moyen d’attente est de 5 minutes 30 secondes.
EXERCICE 3 : (5 points)
Une fabrique de desserts glacés dispose d’une chaîne automatisée pour remplir et emballer des cônes de glace.
PARTIE A :
Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de glace qu’il
contient.
On suppose que X suit la loi normale de paramètres m = 100 et σ = 2,8.
1°) Un cône est considéré comme conforme lorsque la masse de glace qu’il contient appartient à
l’intervalle [95 ;105].
Déterminer la probabilité qu’un cône soit non conforme. (Arrondir à 10 –2 près)
P( 95 ≤ X ≤ 105) = normalFRèp(95,105,100,2.8) ≅ 0,93
Donc P(X ∉ [95 ;105]) = 1 - P( 95 ≤ X ≤ 105) ≅ 0,07
Il y a 93% de chances qu’un cône soit conforme, donc 7% de chances qu’il ne soit pas conforme.
2°) Déterminer le nombre réel h tel que 95% des cônes aient une masse de glace comprise entre 100 – h
et 100 + h. (Arrondir à 10 – 2 près)
On cherche h tel que P( 100 – h ≤ X ≤ 100 + h) = 0,95
P( 100 – h ≤ X ≤ 100 + h) = 0,95  P(X ≤ 100 + h) – P( X < 100 – h) = 0,95
 P(X ≤ 100 + h) – P(X > 100 + h) = 0,95
 P(X ≤ 100 + h) – (1 – P(X ≤ 100 + h)) = 0,95
 P(X ≤ 100 + h) – 1 + P(X ≤ 100 + h) = 0,95
 2P(X≤ 100 + h) = 1,95
 P(X ≤ 100 + h) = 0,975
100 + h = Fracnormal(0.975,100,2.8) ≅ 105,49 donc h ≅ 5,49
Donc 95% des masses de glace se situent entre 94,51g et 105,49g.
PARTIE B :
Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2 000 pour la vente en gros.
On considère que la probabilité qu’un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est
égal à 0,07.
On appelle Y la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2 000 cônes, prélevés au hasard dans la production,
associe le nombre de cônes comportant des défauts. On suppose que la production est suffisamment importante
pour que ce prélèvement soit assimilé à un prélèvement avec remise.
1°) Justifier que Y suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.
Appeler l’examinateur pour valider vos paramètres ……………………………………..
(pas de point à la question si l’examinateur donne la réponse)
Epreuve de Bernoulli : on prend un cornet de glace.
Succès : il présente un défaut : p = 0,07
Echec : le cône ne possède aucun défaut : 0,93
On réalise n = 2 000 fois cette épreuve de manière indépendante (tirage avec remise).
Donc Y suit la loi binomiale de paramètres n = 2 000 et p = 0,07 : X suit B (2 000 ; 0,07)
2°) Si un client reçoit un lot contenant plus de 0,5% de glaces ayant un défaut, l’entreprise procède à un
échange du lot.
Déterminer la probabilité qu’un lot soit échangé.
Arrondir à 10 – 3 près si besoin est.
2000  0,5
 10 glaces.
100
P(Y ≥ 10) = 1 – P(Y < 10) = 1 – P(Y ≤ 9) = 1 – binomFRèp(2000,0.07,9) ≅ 1,06 × 10 – 49 donc 1 à 10 – 3 près.
Chaque lot devra être échangé.
(Il y avait une erreur dans l’énoncé, ce qui n’empêche pas de répondre, mais qui pose problème d’un point de vue
pratique, car si l’entreprise doit renvoyer chaque lot de glace elle pourra rapidement mettre la clé sous la
porte…) La bonne question aurait été : Si un client reçoit un lot contenant plus de 6% de glaces avec un défaut,
l’entreprise procède à un échange de lot.
Et dans ce cas :
2000  7,5
Dans un lot il y a 2 000 glaces, donc 7,5% du lot représente
 150 glaces.
100
P(Y ≥ 150) = 1 – P(Y < 149) = 1 – P(Y ≤ 149) = 1 – binomFRèp(2000,0.07,149) ≅ 0,20
Il y a 20% de chances qu’un lot soit échangé.
Dans un lot il y a 2 000 glaces, donc 0,5% du lot représente
3°) On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale.
Déterminer les paramètres μ et σ de cette loi normale.
Arrondir à 10 – 2 près si besoin est.
Appeler l’examinateur pour valider vos paramètres ……………………………………..
(pas de point à la question si l’examinateur donne la réponse))
E(X) = np = 2 000 × 0,07 = 140
σ(X) =
2000  0, 07  0,93  130,2  11, 41
B (2 000 ;0,07) peut être approximer par N (140 ; 11,41)
4°) En utilisant cette approximation, on veut déterminer la probabilité qu’il y ait entre 105 et 120 cônes
présentant un défaut dans un lot. On nomme Z la variable aléatoire suivant la loi N (μ ; σ).
a) Parmi les quatre propositions suivantes, quelle est celle qui permet de répondre au mieux à la
question ? (Entourer votre choix).
P(105 ≤ Z ≤ 120)
P(105 < Z < 120)
P(104,5 ≤ Z ≤ 120,5)
P(105,5 ≤ Z ≤ 120,5)
Il s’agit d’appliquer la correction de continuité.
b) Répondre à la question (Arrondir à 10 – 3 près)
P(104,5 ≤ Z ≤ 120,5) = normalFRèp(104.5,120.5,140,11.41) ≅ 0,043
Il y a 4,3% de chances qu’il y ait entre 105 et 120 cônes présentant un défaut dans un lot.