Document de cours

Une approche variationnelle de
l’électromagnétisme
Vincent Mazauric
Schneider Electric/Ecole des Mines de Paris
Mai 2013
Table des matières
1 Pourquoi privilégier une approche
magnétisme ?
1.1 Arguments physiques . . . . . . . .
1.2 Considérations opératoires . . . . .
1.3 Enjeux industriels . . . . . . . . .
1.4 Enjeux techniques . . . . . . . . .
1.5 Enjeux de conception . . . . . . . .
variationnelle de l’électro.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
6
6
8
9
10
2 Dé…nition des sources : charges et courants électriques
2.1 Distribution de charges et de courants . . . . . . . . . . .
2.2 Densités de charges et de courants . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Lissage spatial : sources libres, sources liées . . . .
2.2.2 Densités de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Conservation de la charge : densités de courants .
2.3 Sources du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
11
12
13
17
18
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Champ électromagnétique
23
3.1 Champs sources étendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Approximation des régimes quasi-permanents . . . . . . . 28
3.1.2 Retour sur l’approximation des régimes quasi-permanents 32
3.2 Description complémentaire du champ électromagnétique . . . . 33
3.2.1 Equilibres statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Evolution du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Validité des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Bilan de puissance
4.1 Equilibre thermodynamique global . . . . . . . . . .
4.2 Equilibre électromagnétique local . . . . . . . . . . .
4.2.1 Localisation de la fonctionnelle de puissance .
4.2.2 Puissance électrique . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Aspects de Compatibilité Electro-Magnétique
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
(CEM)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
74
80
80
83
85
93
5 Décomposition d’un système électrique
5.1 Notion de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Couplage entre circuit(s) électrique(s) et champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Composants dipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Dispositifs conversion électromécaniques . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Caractéristique électrodynamique . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Classi…cation des dispositifs électromécaniques . . . . . .
5.2.3 Tenseur de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Dispositifs de conversion électromagnétiques . . . . . . . . . . . .
5.4 Connectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
98
102
102
104
106
109
110
6 Conclusion
110
1
95
96
A Notations et symboles principaux
A.1 Grandeurs géométriques . . . . . . . .
A.2 Grandeurs cinématiques et mécaniques
A.3 Grandeurs thermodynamiques . . . . .
A.4 Electromagnétisme . . . . . . . . . . .
A.4.1 Sources . . . . . . . . . . . . .
A.4.2 Champs . . . . . . . . . . . . .
A.4.3 Constantes . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
114
114
115
116
117
117
118
119
Table des …gures
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Principe de la méthodes des éléments …nis . . . . . . . . . . . . .
7
Flux de transformation de l’énergie primaire en énergies …nales .
8
Evolution des consommations d’énergies primaires aux Etats-Unis 9
Développement multipolaire des distributions de charges et des
courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Lissage spatial des charges localisées . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Réfraction des lignes de courant à l’interface entre deux milieux
conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Dé…nition algébrique du courant électrique . . . . . . . . . . . . . 27
Conservation de la charge portée par l’armature d’un condensateur 31
Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Lois des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Environnement du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . 34
Probleme type d’électromagnétisme dans l’approximation des régimes quasi-permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Localisation usuelle des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . 60
Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Déclinaison des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 64
Décomposition d’un système électrique : conditions de passage
réalisées par le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . 84
Exemples de couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Transmission de la puissance électrique . . . . . . . . . . . . . . . 96
E¤ort réluctant agissant à la surface d’un matériau doux . . . . . 105
E¤ort réluctant agissant à la surface d’un matériau dur . . . . . 107
Projection normale du tenseur de Maxwell (contribution magnétique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
E¤et d’une ‡uctutation de charge sur le comportement du réseau 113
Liste des tableaux
1
2
3
4
Critères d’optimisation des di¤érentes échelles d’analyse de la
physique et de l’ingénierie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dénomination des di¤érents domaines fréquentiels. . . . . . . . .
Développement multipolaire des distributions de charges et de
courants pour des milieux à l’état solide . . . . . . . . . . . . . .
Résistivité de quelques matériaux typiques du génie électrique . .
2
10
14
22
30
5
6
Valeurs typiques de permittivités relatives et de résistivités résiduelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résolution d’un problème d’électromagnétisme évolutif . . . . . .
3
52
73
1
Pourquoi privilégier une approche variationnelle de l’électromagnétisme ?
Classiquement, les phénomènes électromagnétiques sont introduits dans le
vide selon trois points de vue :
1. Le point de vue électromagnétique postule l’existence du champ électrique
e et de l’induction magnétique b que les équations de Maxwell relient aux
sources de charges et de courants. Ce cadre su¢ t pour comprendre la propagation (antenne) ou le phénomène d’induction magnétique (transformateur) mais nécessite d’admettre la force de Lorentz subie par une particule
libre pour réaliser le lien avec la mécanique et les considérations énergétiques [1][2]. La charge libre doit alors être su¢ samment petite pour que sa
dynamique ne modi…e pas les sources de champ. Cette approche combine
une description eulerienne des champs et lagrangienne de la charge libre
[3].
2. Le point de vue électrodynamique privilégie l’interaction fondamentale,
i.e. la loi de Coulomb, entre les charges électriques élémentaires et réalise
une uni…cation des phénomènes électriques et magnétiques dans le cadre
de la relativité restreinte [4]. Le champ électromagnétique (e; b) est alors
introduit comme une commodité d’écriture et son calcul ne fait pas intervenir la charge qui subit l’interaction de toutes les autres, conformément
au principe de l’impulsion. On obtient ici une écriture intégrale de la force
agissant sur chaque charge : il s’agit donc d’une description lagrangienne.
3. Le point de vue relativiste postule l’expression du lagrangien d’une particule chargée subissant un champ électromagnétique. La condition d’extremum sur l’intégrale d’action procure, dans un formalisme covariant,
le tenseur du champ électromagnétique et les équations d’Euler-Lagrange
décrivant l’évolution de la particule. Dans la limite des faibles vitesses, on
aboutit aux équations de Maxwell et à la force de Lorentz [5][6][7].
A ce stade, ces trois approches sont inopérantes pour décrire des situations
réelles où les sources sont “macroscopiques” – c’est-à-dire mettant en jeu un
nombre de particules chargées de l’ordre du nombre d’Avogadro N = 6:022
1023 –car :
1. les singularités des champs sont trop nombreuses pour pouvoir être surmontées numériquement lors d’une description eulerienne ;
2. le nombre d’équation à résoudre est trop vaste lors d’une description lagrangienne.
A…n de “régulariser” le problème, on est conduit à introduire deux champs
intrinsèquement macroscopiques qui prennent en compte le comportement collectif de la matière : le déplacement électrique D et le champ magnétique H
[8][9]. Le passage à des champs macroscopiques permet de séparer les échelles
entre :
– l’étude de six champs “macroscopiques”(2 champs de sources “libres”h i
et hji combinés aux 4 champs électromagnétiques macroscopiques E,B,D
et H) obéissant aux quatre équations de Maxwell macroscopiques ;
– des lois de comportement qui re‡ètent le caractère discret des milieux matériels. La justi…cation des propriétés de la matière pertinentes en génie
4
électrique fait appel à des considérations quantiques, essentiellement gouvernées par le principe d’exclusion de Pauli1 . En négligeant les interactions
électrostatiques entre électrons, on met en évidence la notion d’électrons
de valence participant à la cohésion de la matière et d’éventuels électrons
de conduction qui expliquent, à température nulle, les caractéristiques intrinsèquement isolantes ou conductrices des matériaux. A la température
ambiante, on justi…e que certains isolants puissent posséder des propriétés
semi-conductrices. Au delà, le caractère collectif du nuage électronique permet d’expliquer le phénomène d’ordre ferromagnétique en dessous d’une
température critique analysable par la théorie des transitions de phase.
En…n, l’interaction entre les électrons de conduction et le réseau cristallin
est à l’origine du modèle BCS de la supraconductivité. Evidemment, ces
développements sont hors du cadre de ce chapitre mais une vision globale
de ces propriétés est donnée dans [10] et à un moindre niveau dans [11]. On
se contentera de montrer que des lois de comportement existent, qu’elles
respectent certaines propretés et qu’elles possèdent des variables “naturelles” dictées par des considérations macroscopiques. Mais l’inclusion de
ces développements serait pourtant nécessaire :
– car l’approche purement classique, i.e. fondée sur une description orbitale des trajectoires électroniques, n’est pas su¢ sante pour justi…er
l’existence de propriétés magnétiques spontanées ou rémanente à température non-nulle [12] ;
– pour qu’une approche variationnelle semi-classique devienne auto-consistante en transcendant les échelles d’analyse de la matière, comme cela
émerge en métallurgie physique et en mécanique des milieux continus
ou en chimie.
C’est en général à ce stade qu’il est nécessaire de disposer d’une méthode numérique capable de résoudre un problème concret. En raison de sa large di¤usion
dans les sciences de l’ingénieur, la méthode des éléments …nis constitue généralement la technique numérique de référence2 . Cependant, sa prise en compte, à
ce stade, lui confère une signi…cation réductrice, essentiellement de l’ordre de la
recette mathématique. Le point de vue défendu ici consiste, au contraire, à introduire “naturellement”la méthode de résolution –ici la méthode des éléments
…nis. C’est pourquoi on montrera que les principes variationnels sur lesquels elle
repose contiennent l’écriture des équations de Maxwell et des forces électrodynamiques dès que les sources de champs “macroscopiques” sont identi…ées [18].
On espère que cette présentation de l’électromagnétisme classique :
– rassemblera les di¤érentes communautés concernées par le génie électrique
(matériaux, électrotechnique, modélisation...) ;
– facilitera son approche aux étudiants ;
– favorisera son ouverture vers d’autres disciplines telles que la mécanique...
Avant d’entreprendre les développements de ce chapitre nous détaillons l’intérêt que présente une approche variationnelle fondée sur l’énergie.
1 Le principe d’exclusion de Pauli est intimement lié à la notion de spin ( 1 -entier) de
2
l’électron.
2 Pour des références générales concernant la méthode des éléments …nis, on consultera
[13][14]. Les aspects dédiés à l’électromagnétisme sont examinés dans [15] et approfondies :
– en basse fréquence, dans [16] ;
– en haute fréquence, dans [17].
5
1.1
Arguments physiques
L’énoncé du second principe de la thermodynamique décrit la tendance spontanée d’un système physique à maximiser son entropie pour atteindre son état
d’équilibre. Dans le cas où le système évolue en contact avec un thermostat
et d’éventuels générateurs, le second principe justi…e l’existence d’une fonction
d’état –l’enthalpie libre –qui :
– se convertit entre disciplines (électromagnétisme, mécanique, chimie...)
conduisant, par additivité, à une di¤érentielle unique qui exprime le principe des travaux virtuels dans le cas de problèmes couplés (on parle d’un
“couplage fort”).
– permet de dé…nir – donc de discuter – la conversion isotherme optimale,
i.e. réversible. En réalité, on verra à la section 3.2.2 que les équations
de Maxwell écrites dans l’approximation des régimes quasi-permanents
s’expriment au travers d’une condition faible d’évolution réversible, i.e. le
champ et ses sources évoluent :
– de la manière la plus réversible possible,
– en échangeant le moins possible de chaleur avec leur environnement
(thermostat).
– se “consolide”entre échelles d’analyse. D’une manière générale, la matière
“s’adapte” instantanément à son excitation locale si elle est discrétisée
sur une échelle su¢ samment …ne pour qu’elle ne présente plus d’inertie
par rapport à la constante de temps d’excitation : on parle d’absence de
dispersion temporelle. Réciproquement, dans le cas où l’excitation n’est
pas trop rapide, une description collective de la matière permettra de
remplacer les degrés de liberté caractérisant localement l’état de la matière
par quelques valeurs moyennes “relevantes” : c’est le procédé de “coarse
graining” fondé sur la notion d’équilibre thermodynamique local [19]. A
l’échelle de temps des excitations électrotechniques ( 2$ .quelques MHz),
cette discrétisation de la matière peut se faire à une échelle micrométrique
su¢ sante pour (voir section 2.2.1) :
– adopter une représentation continue de la matière et des champs ;
– permettre une description de la matière où les milieux sont locaux et
non-dispersifs, c’est-à-dire qu’ils s’adaptent instantanément sur la valeur
du champ d’excitation prise localement ;
– restituer un comportement local caractérisé par quelques grandeurs “relevantes” : densités d’énergie et de puissance dissipée, lois de comportement...
1.2
Considérations opératoires
Dans le cas où un problème n’admet ni solution analytique, ni solution qui
s’exprime analytiquement, l’existence d’un principe variationnel procure une alternative numérique élégante à la résolution approchée des équations locales.
Sans rentrer dans les détails, l’écriture d’un problème sous une forme variationnelle introduit naturellement l’espace fonctionnel approprié sur lequel on prouve
l’existence et l’unicité d’une solution, puis on établit des critères de convergence
[20].
La méthode des éléments …nis consiste à construire une fonctionnelle approchée où le potentiel thermodynamique pertinent est discrétisé sur un maillage
6
(d’éléments) …ni(s) de l’espace (voir …gure 1). A…n d’assurer la continuité de
la fonctionnelle entre chaque maille, on réalise une interpolation de la densité
d’énergie en fonction de paramètres variationnels (champs, circulations, ‡ux...)
pris sur des éléments canoniques du maillage (respectivement nœuds, arêtes,
facettes...)[21].
Alors, les techniques numériques de minimisation font appel à des algorithmes classiques, robustes et éprouvés [22] :
– de résolution de (larges) systèmes linéaires pour déterminer le lieu du
minimum ;
– d’analyse spectrale pour étudier la sensibilité de la solution.
Après minimisation, la qualité numérique de la solution est analysable en
fonction de la densité du maillage et/ou de l’ordre d’interpolation des éléments
selon un critère simple qui consiste à retenir l’expérience numérique qui a procuré la plus basse enthalpie libre et l’évolution la plus réversible du système
global.
Ces points étant rappelés, la suite de cet exposé ne concernera plus la mise
en oeuvre de la méthode des éléments …nis, ni son intégration dans la chaîne de
conception.
Fig. 1 – Principe de la méthodes des éléments …nis : Les traits pleins correspondent au point de vue thermodynamique défendu dans cet exposé ; Les traits
pointillés correspondent à sa déclinaison numérique (non e¤ectuée ici) ; Les traits
mixtes correspondent à l’enchaînement généralement utilisé pour introduire la
méthode.
7
Fig. 2 –Flux de transformation de l’énergie primaire en énergies …nales (compilé
d’après [25]).
1.3
Enjeux industriels
Outre les objectifs quotidiens de la conception pour améliorer les performances, augmenter la …abilité, baisser les coûts... la réduction des énergies dégradées par les machines constitue une valeur critique pour satisfaire l’exigence
écologique – voire politique – de maîtrise de l’énergie [23] et de réduction des
émissions polluantes. L’industrie électrique est évidemment concernée par cette
tendance [24], puisque :
– le vecteur électrique est désormais identi…é comme celui procurant les
pertes les plus élevées entre l’énergie primaire et l’énergie utile (73% en
2004) (…gure 2). Dans le même ordre d’idée :
– la génération d’électricité est le premier pourvoyeur de gaz à e¤et de
serre, loin devant les transports ou la déforestation,
– l’observation aux Etats-Unis sur le dernier demi-siècle des pertes de
génération et transport correspondent environ au double de l’énergie
électrique …nale produite (…gure 3) ;
– l’ingénierie électrique est malgré tout susceptible de se diversi…er vers
d’autres marchés où elle est jugée moins pénalisante pour l’environnement
que d’autres modes de conversion. C’est la tendance suivie actuellement
par les équipementiers automobiles et aéronautiques pour privilégier des
chaînes de commande et de contrôle “tout électrique” a…n de minimiser
les énergies embarquées [26][27][28] ;
– la distribution électrique doit intégrer la micro-génération tout en préservant la qualité du signal et la …abilité du réseau ;
– l’o¤re des dispositifs de contrôle industriel et de distribution électrique
doit inclure des fonctions “communicantes” – dont la consommation non
négligeable doit être compensée par une réduction des énergies de commande –dans le but de disposer de modes de production ou de distribution
8
Fig. 3 – Evolution des consommations d’énergies primaires aux Etats-Unis :
Quels que soient le palier technologique ou le contexte politique, les pertes électriques sont toujours le double de l’énergie électrique …nale produite [29].
plus souples, réactifs et …ables.
Cette modi…cation du marché accessible au génie électrique renouvelle des
critères d’optimisation essentiellement basés sur la baisse des coûts. Dans cette
perspective, la puissance dissipée et les variations de l’enthalpie libre, i.e. la
puissance maximale convertible, constituent des estimateurs interprétables et
discriminants, donc pertinents pour les décideurs... du moins tant que l’e¤et
de serre n’aura pas “détruit” l’e¢ cacité du thermostat atmosphérique ! Cette
recon…guration prévisible du marché se décline selon des enjeux techniques.
1.4
Enjeux techniques
Essentiellement, les dispositifs électrotechniques réalisent :
– une conversion électro-magnétique pour délivrer un courant [30], un signal
de mesure [31] ou réaliser un isolement galvanique ;
– une conversion électro-mécanique entre une puissance mécanique et un
courant électrique [32].
Dans tous les cas, l’énergie (libre) électromagnétique constitue la “forme
intermédiaire d’énergie” dont on voudra respecter l’intégrité pour :
– maintenir la qualité du signal pour réduire les temps de réponse des dispositifs de mesure ;
– minimiser les puissances dissipées et les énergies de commande des dispositifs de puissance.
On sait que ces deux critères sont intimement liés aux notions plus générales d’information manquante et d’entropie [33]. A…n de satisfaire cet objectif
technique, les développements actuels portent sur :
9
Discipline
Mécanique à 1 corps classique
Mécanique à 1 corps quantique
Thermodynamique à l’équilibre
Thermodynamique hors-d’équilibre
Conception
Production, industrialisation
Objectif d’optimisation
Minimum de l’énergie potentielle
Minimum de l’énergie totale
Minimum du potentiel de Gibbs
Réversibilité maximale
Performance maximale
Minimum du coût
Tab. 1 –Critères d’optimisation des di¤érentes échelles d’analyse de la physique
et de l’ingénierie.
– l’élaboration de matériaux non-dispersifs. Il existe cependant une limite
fréquentielle à l’utilisation de matériaux, liée à l’inertie de la matière ;
– la maîtrise des entrefers où est emmagasinée l’énergie magnétique ;
– la recherche d’architectures miniaturisées couplées à des systèmes de stockage d’énergie potentielle :
– magnétique : aimants, self-inductances,
– mécanique : ressorts, matériaux actifs,
– électrique : capacités.
On conçoit dès lors qu’une approche fondée sur l’énergie permette :
– d’étudier les échanges de puissances entre les di¤érents organes selon un
couplage fort ;
– d’analyser et comparer globalement des solutions techniques dans un contexte
d’optimisation des performances globales des systèmes énergétiques.
1.5
Enjeux de conception
En…n, l’approche variationnelle proposée s’insère dans un paradigme d’optimisation qui transcende les échelles d’analyse de la physique et de l’ingénierie
(voir tableau 1). On constate que chacun des niveaux d’analyse :
– procure une fonctionnelle d’énergie puis de puissance pour aboutir, par
réduction successive des degrés de liberté, aux objectifs d’optimisation de
la réalité industrielle ;
– donne lieu à un principe variationnel qui traduit une condition d’équilibre,
de stationnarité ou, plus trivialement, requise par le marché ;
– se consolide dans une échelle plus grossière.
2
Dé…nition des sources : charges et courants
électriques
Le concept de charge électrique est à l’origine des e¤ets électromagnétiques.
Faisant suite à la découverte de l’électron par Thomson (1897), Millikan quanti…e expérimentalement sa charge [34] :
e=
1:60217733
10
19
C
(1)
Depuis ces expériences interprétables dans le cadre de la physique classique, les
développements de la mécanique quantique ont montré que la cohésion de la
10
matière et ses propriétés étaient gouvernées par l’interaction électrostatique des
charges qui la constituaient [35] si bien que l’on a dû renoncer à une théorie de
l’électromagnétisme exclusivement basée sur une description particulaire. Pour
rendre compte de cette dualité, une étude macroscopique de l’électromagnétisme
fait appel à :
– des champs “macroscopiques” obéissant aux équations de Maxwell ;
– des lois de comportement qui re‡ètent les propriétés intimes de la matière.
Nous examinons ici les conditions dans lesquelles on pourra représenter un
problème d’électromagnétisme par des sources macroscopiques continues :
– Nous partons d’une distribution classique de particules chargées sur laquelle on discrimine les échelles spatiales pour faire apparaître la notion
de charge “libre”. La possibilité de milieux conducteurs et isolants est alors
envisagée ;
– L’existence de courants “libres” s’introduit naturellement en considérant
la conservation de la densité de charges “libres”;
– Les sources liées sont également explicitées a…n de permettre un présentation ultérieure des milieux diélectriques et magnétiques.
2.1
Distribution de charges et de courants
Pour décrire l’évolution d’un système macroscopique, c’est-à-dire incluant
un nombre de particules de l’ordre du nombre d’Avagadro N, on doit renoncer
à suivre individuellement les charges à l’origine des phénomènes électromagnétiques et adopter une description en “champ”. On introduit :
– la distribution totale de charges :
X
qi (x xi (t))
T (x; t) =
i
– la distribution totale de courants :
X
j T (x; t) =
qi v i (x
xi (t))
i
la sommation étant e¤ectuée sur l’ensemble des charges i appartenant au système. Ainsi écrits, les champs scalaire T (x; t) et vectoriels j T (x; t) présente les
mêmes irrégularités spatiales et temporelles que la description particulaire et se
prête aussi mal à une étude directe des e¤ets macroscopiques. Par contre, cette
écriture permet d’isoler les charges contribuant au courant électrique, c’est-àdire les charges délocalisées susceptibles de se déplacer sur des distances grandes
devant la longueur typique de la liaison chimique3 . La distribution de charges
peut ainsi être partitionnée en :
– charges délocalisées, indicées par u (pour “unbound”) ;
– charges localisées contribuant à la cohésion de la matière. A…n de restituer
certaines propriétés d’invariance géométriques dans la matière, il est intéressant de la diviser en “amas moléculaires” l dont chacun dé…nit (…gure
4) :
l
– un centre X l animé d’une vitesse V l = dX
dt ;
3 Pour …xer les idées, le libre parcours moyen des électrons de conduction dans un métal
est typiquement de l’ordre de quelques dizaines d’Angstrom, alors que la maille cristalline est
de l’ordre de l’Angstrom [10][36].
11
Fig. 4 – Développement multipolaire des distributions de charges et des courants : Le …ltrage sur l’amas l des charges et courants localisés permet d’introduire les notions de charge moyenne ql , de moment dipolaire pl et de moment
magnétique ml (au centre). L’intégration sur le matériau dé…nit les densités
…ltrées de charges libres h i et de courants libres hji, ainsi que la polarisation
P et l’aimantation M (à droite).
– une distribution de charges l localisée autour de l’amas moléculaire l :
X
qj (x X l (t) ujl (t))
l (x; t) =
j(l)
où ujl = xj(l) X l est la coordonnée relative de la charge j (l) appartenant à l’amas l ;
– une distribution de courants j l localisée autour de l’amas moléculaire
l:
X
j l (x; t) =
qj v j (x X l (t) ujl (t))
j(l)
dujl
dt
= v j(l) V l est la vitesse relative de la particule j (l) dans
où
l’amas moléculaire l.
Alors les distributions totales de charges et de courants s’écrivent :
X
X
qu (x xu (t)) +
(2)
T (x; t) =
l (x; t)
u
j T (x; t) =
X
l
qu v u (x
u
xu (t)) +
X
j l (x; t)
(3)
l
L’intérêt de cette décomposition est d’exhiber des grandeurs localisées autour
des centres des amas X l .
2.2
Densités de charges et de courants
Les distributions de charges (2) et de courants (3) présentent des singularités
incohérentes avec l’échelle macroscopique à laquelle on souhaite obtenir une
description des phénomènes électromagnétiques. A…n de reconcilier ces deux
échelles, on e¤ectue un lissage spatial. Cette opération permet :
– d’introduire les densités de charges et de courants sur lesquelles les propriétés de conservation s’expriment naturellement ;
– de discriminer les propriétés des milieux fonctionnels du génie électrique.
Alors que l’existence de charges libres caractérise les milieux conducteurs, l’étude
des sources liées est à l’origine des propriétés diélectriques et magnétiques.
12
2.2.1
Lissage spatial : sources libres, sources liées
A…n de discriminer l’allure générale d’une grandeur de ses détails …ns, on
applique une technique de lissage spatial, courante en traitement du signal, sur
la distribution de charges [37]. On commence par réaliser une transformation
de Fourier spatiale surPla distribution de charges (2). Le spectre associé à la
contribution localisée l l (x; t) exhibe (voir …gure 5) :
Fig. 5 –Illustration du lissage spatial des irrégularités sub-atomiques de la densité de charge localisée. Si < a, il ne restera, après lissage, que les modulations
de charge inter-atomiques.
– une fréquence spatiale sub-atomique correspondant aux variations de charges
localisées dans les amas moléculaires ;
– une fréquence spatiale inter-atomique correspondant à la périodicité des
amas moléculaires ;
– des fréquences spatiales de grandes longueurs d’onde correspondant aux
“impuretés” diluées dans le milieu.
Le lissage spatial consiste à appliquer sur ce spectre un …ltre spatial passe-bas
w (k) pour éliminer les fréquences spatiales de petites longueurs d’onde < jk2 c j
qui n’interagissent pas avec l’excitation. Les fréquences spatiales de grandes
longueurs d’onde retenues permettent de “reconstituer” par transformation de
Fourier inverse une densité de charge qui possède des variations spatiales cohérentes avec les excitations usuelles du génie électrique (voir tableau 2).
13
domaine
ondes hertziennes
infrarouge
spectre visible
ultraviolet
fréquence
0 à 1012 Hz
12
10 à 4 1014 Hz
4 1014 à 8 1014 Hz
$
14
2 > 8 10 Hz
longueur d’onde
1 à 0; 3 mm
0; 3 mm à 0; 8 m
0; 8 à 0; 4 m
< 0; 4 m
Tab. 2 –Dénomination des di¤érents domaines fréquentiels. La longueur d’onde
= $c est calculée dans le vide ; c désigne la célérité de la lumière dans le vide
(116) :
Après lissage, la densité de charge totale s’exprime grâce au produit de convolution :
Z
0
h T (x; t)i =
x0 ) d3x0
T (x ; t) w (x
où w désigne la fonction nuage associée au processus de …ltrage dont la longueur
caractéristique est = jk2 c j . Evidemment, la fonction nuage doit être normée
pour assurer la conservation de la charge :
Z
w (x) d3x = 1
mais surtout elle confère sa régularité à la densité de charge totale. On passe
d’une distribution par nature discontinue (2) à une densité su¢ samment régulière pour permettre les opérations du calcul vectoriel à condition que :
– La fonction nuage tolère les mêmes opérations de calcul vectoriel. En général, on choisit une fonction indé…niment dérivable lentement variable
pour jxj < 2 puis à décroissance rapide dérivable autour de 2 ;
– La longueur caractéristique de la fonction nuage recouvre la distance
moyenne entre singularités. Dans le cas le plus contraignant, on voudra
lisser les singularités liées aux impuretés, par exemple celles introduites
par le dopage des semi-conducteurs. Avec un taux de dilution de 10 6 ,
la distance moyenne entre sites dopés est de l’ordre de 0; 1 m de sorte
que devra être au moins micrométrique pour réaliser un bon lissage.
Les excitations analysables selon une description continue de la matière
correspondront donc au spectre hertzien ou à l’infrarouge lointain (voir
tableau 2).
La fonction nuage variant très peu sur les dimensions des amas moléculaires,
elle sera développée au second ordre selon :
1
w (u + x) = w (x) + u grad w (x) + ut r2 w (x) u +
2
(4)
pour permettre d’exhiber les termes d’aimantation dans (11). Alors la densité
de charges localisées sur l’amas moléculaire l se développe selon :
X Z
h l (x; t)i =
qj
(x0 X l (t) ujl (t)) w (x x0 ) d3x0
j(l)
soit :
h l (x; t)i =
X
qj w (x
j(l)
14
X l (t)
ujl (t))
En utilisant le développement (4), il vient :
X
X
h l (x; t)i =
qj w (x X l (t))
qj ujl (t) grad w (x
j(l)
X l (t))
j(l)
1X
+
qj utjl (t) r2 w (x
2
X l (t)) ujl (t) +
(5)
j(l)
De même la densité des courants localisés autour de l’amas moléculaire l se
développe selon :
Z
X
hj l (x; t)i =
qj v j
(x0 X l (t) ujl (t)) w (x x0 ) d3x0
j(l)
=
X
qj V l +
j(l)
dujl
dt
w (x
X l (t)
ujl (t))
soit :
hj l (x; t)i = V l
Vl
X
X
qj w (x
X l (t))
j(l)
qj ujl grad w (x
X l (t)) +
j(l)
X
1
+ Vl
qj utjl r2 w (x
2
X
qj
j(l)
X l (t)) ujl
j(l)
X
qj
j(l)
dujl
w (x
dt
X l (t))
dujl
(ujl grad w (x
dt
X l (t)))+
(6)
Ces expressions introduisent naturellement :
– la charge ql localisée sur l’amas moléculaire l :
X
ql =
qj
j(l)
– le moment dipolaire pl de l’amas moléculaire l :
X
pl =
qj ujl (t)
(7)
j(l)
– le moment quadrupolaire q l de l’amas moléculaire l, tenseur symétrique
d’ordre 2, dont les composantes sont :
1X
qj ujl; (t) ujl; (t)
(8)
ql; =
2
j(l)
et permettent de transformer le dernier terme du développement de la densité des courants localisés hj l (x; t)i autour de l’amas moléculaire l (6) grâce à
l’identité :
X
j(l)
qj
dujl
(ujl grad w (x
dt
X l (t))) =
dq l
grad w (x
dt
15
X l (t))
rot (ml w (x
X l (t)))
où ml désigne le moment magnétique orbital de l’amas moléculaire l :
ml =
1X
ujl
2
dujl
dt
qj
j(l)
(9)
Il s’agit d’un terme du second ordre par rapport aux dimensions des amas moléculaires.
Avec ces notations et quelques transformations4 , les densités de charges (5)
et de courants (6) localisées autour de l’amas moléculaire l s’écrivent au second
ordre :
h l (x; t)i = ql w (x
X l (t)) div (pl w (x
X l (t))
div (q l w (x
X l (t))))+
et :
hj l (x; t)i = ql V l w (x X l (t)) + rot (ml w (x X l (t)))
@
(p w (x X l (t)) div (q l w (x X l (t))))
+
@t l
!!
X
+ rot
pl w (x X l (t)) div
q l w (x X l (t))
Vl
l
!
+
de sorte que, après …ltrage au second ordre par rapport aux dimensions des
amas moléculaires :
– la distribution totale de charge (2) devient :
h
T
(x; t)i =
X
qu w (x
xu (t)) +
u
div
X
pl w (x
ql w (x
Xl (t))
l
Xl (t))
X
div
l
4 Il
X
q l w (x
!!
X l (t))
l
+
(10)
est possible d’établir les identités suivantes :
dpl
w (x X l (t)) V l (pl grad w (x X l (t)))
dt
@ (pl w (x X l (t)))
=
+ pl (V l grad w (x X l (t))) V l (pl grad w (x X l (t)))
@t
@ (pl w (x X l (t)))
+ rot (pl w (x X l (t)) V l )
=
@t
et :
dq l
grad w (x
dt
X l (t))
V l q l r2 w (x
@ (div (q l w (x
@t
X l (t)) =
X l (t))))
16
+ rot (div (q l w (x
X l (t)))
V l)
– la distribution totale de courants (3) s’écrit :
hj T (x; t)i =
X
qu v u w (x
xu (t)) +
u
X
ql V l w (x
l
+ rot
X
ml w (x
!
X l (t))
l
@
+
@t
+rot
X
X
pl w (x
X l (t))
l
pl w (x
X l (t))
Vl
l
div
!
X l (t))
X
q l w (x
l
X
div
q l w (x
!!
X l (t))
X l (t))
Vl
l
!!
+
(11)
L’intérêt de ces développements est de clairement discriminer les propriétés conductrices, isolantes ou magnétiques d’un milieu matériel en exhibant les
contributions de moments multipolaires susceptibles de leur conférer ces propriétés (tableau 3). On examine successivement l’écriture de la densité de charges
puis celle de la densité de courants.
2.2.2
Densités de charges
Il est remarquable de constater que le premier moment multipolaire non-nul
de la densité de charges (10) est indépendant de l’origine Xl où il est calculé5 .
Cette propriété confère un caractère intrinsèque et discriminant au milieu considéré pour les propriétés électriques. On introduit ainsi deux types de milieux
matériels :
Les milieux conducteurs dans lesquels des charges délocalisées circulent et
peuvent contribuer à l’apparition de courants électriques, c’est-à-dire libres.
Alors le premier terme du développement est non-nul (i.e. qu 6= 0 6= ql ).
Les termes multipolaires sont sans caractère intrinsèque puisqu’ils dépendent de l’origine prise sur chacun des amas moléculaires. On est donc
conduit à isoler les deux premiers termes pour dé…nir la distribution
“vraie” de charges :
X
X
(x; t) =
qu (x xu (t)) +
ql (x X l (t))
(12)
u
l
de telle sorte que sa représentation …ltrée dé…nisse la densité de charges
libres :
X
X
h i (x; t) =
qu w (x xu (t)) +
ql w (x X l (t))
(13)
u
l
bien que cette dénomination puisse prêter à confusion car h i (x; t) ne
correspond pas uniquement à la contribution des charges délocalisées mais
plutôt à la charge moyenne par unité de volume.
5 On véri…e par récurrence que si les moments multipolaires sont nuls jusqu’à l’ordre (n
alors le moment d’ordre n ne dépend pas de l’origine Xl où il est calculé.
17
1),
Les milieux diélectriques (ou isolants) pour lesquels il n’existe pas de charges
délocalisées. Alors le milieu est localement neutre (i.e. qu = ql = 0) et la
densité de charge …ltrée (10) s’identi…e à une densité de charges liées dérivant de la polarisation du milieu :
*
+
X
div (P (x; t) divQ (x; t) +
)
l (x; t) =
l
dont on ne conserve que le premier terme multipolaire non-nul, c’est à
dire :
– au premier ordre non-nul, de la densité macroscopique de moment dipolaire :
X
P (x; t) =
pl w (x X l (t))
(14)
l
– au second ordre non-nul, de la densité macroscopique de moment quadrupolaire :
X
q l w (x X l (t))
(15)
Q (x; t) =
l
Ainsi construites, les densités de charges présenteront des variations pertinentes sur des dimensions supérieures à dès que la structure moléculaire
sous-jacente, ici indicée par l, présentera une régularité –voire une périodicité –
bien plus petite que (voir …gure 5). Cela ne pourra évidemment pas être le cas
au voisinage d’une surface ou d’un interface où les discontinuités de la structure
atomique sous-jacente sont susceptibles de “localiser” une densité de charges
sur une épaisseur de l’ordre de . Dans le cas de sources liées, ces singularités
conduiront à une densité surfacique de charges liées6 qui sera prise en compte
par les discontinuités des lois de comportement diélectriques. Dans le cas de
sources libres, cette singularité des densités de charge se rencontre :
– à la surface des milieux conducteurs ; et joue un rôle crucial :
– aux interfaces entre milieux conducteurs di¤érents, par exemple dans
les thermocouples ou aux jonctions métal/semi-conducteur ;
– aux jonctions semi-conductrices, en raison de taux de dopage d’impuretés di¤érents.
– plus rarement aux surfaces diélectriques subissant une électrisation par
frottement.
Nous reviendrons à la partie 3.1 sur ces considérations.
2.2.3
Conservation de la charge : densités de courants
La discrimination entre charges libres et liées admet également une déclinaison en terme de densité de courants. On examine successivement :
– l’équation de conservation (ou de continuité) de la densité de charges
libres ;
– la structure vectorielle de la densité de courants liés, notamment la contribution rotationnelle à l’origine des propriétés magnétiques.
6 On montre facilement que la densité surfacique de charges liées resultant de la polarisation
d’un milieu matériel est :
n (P divQ +
)
où n est la surface sortante au milieu.
18
Densité de courants libres La variation locale de charges libres s’obtient
par dérivation temporelle de (13) :
@h i X X
=
qu
@t
u
@w
(x
@xu;
xu (t))
+
X
ql
l
dxu;
dt
X
@w
@Xl;
(x
X l (t))
dXl;
dt
Cette expression fait apparaître les vitesses instantanées des charges délocalisées
vu et des amas moléculaires Vl pour se transformer selon :
!
X
X
@h i
= div
qu v u w (x xu (t)) +
ql V l w (x X l (t))
(16)
@t
u
l
En isolant la distribution de courants libres :
X
X
qu v u (x xu (t)) +
ql V l (x
j (x; t) =
u
X l (t))
(17)
l
la conservation de la charge libre …ltrée s’exprime par :
div hji +
@h i
=0
@t
où hji est la densité …ltrée de courants libres7 :
X
X
hji (x; t) =
qu v u w (x xu (t)) +
ql V l w (x
u
(18)
X l (t))
(19)
l
coorespondant aux deux premiers termes de la densité de courants (11).
Ainsi écrite, la densité de courants libres hji réalise une moyenne d’ensemble
sur les vitesses des charges mobiles et présente les mêmes propriétés de régularité
que la densité de charges libres h i. En distinguant chacune des espèces de
charges, la densité de courants libres s’écrit également :
X X
hji (x; t) =
qn
v p w (x xp (t))
n
p(n)
où p (n) indice chacune des particules mobiles de l’espèce n. Pour une fonction
nuage quasi-constante jusqu’à dont la décroissance est ensuite su¢ samment
rapide pour que les charges localisées à sa surface soient nettement moins nombreuses que celles contenues dans le nuage, l’expression précédente s’approxime
7 Il faut insister ici sur le fait que les distributions
et j ne font intervenir que des charges
susceptibles de se délocaliser dans le référentiel d’étude bien au-delà de la longueur caractéristique de la fonction nuage (…gure 5). C’est pourquoi, à la di¤érence de h T i et hj T i, les
densités …ltrées h i et hji n’incluent aucune contribution de sources liées c’est à dire restant localisées en deça de . Cette confusion est à l’origine de nombreux raisonnements erronnés dans
les développements des lois de comportements des milieux matériels et dans les procédures
d’homogénéisation.
19
par :
hji (x; t)
hji (x; t)
hji (x; t)
X
n
qn hv n (x; t)i
n
hv n i (x; t)
n
h
X
X
X
w (x
xp (t))
qn w (x
xp (t))
p(n)
X
p(n)
n i hv n i (x; t)
(20)
On retrouve l’expression classique de la densité de courants libres en fonction
de la vitesse de dérive hv n i (x; t) de chaque espèce de charge. Le lissage spatial
a donc un e¤et régularisant :
– sur les variations spatiales des densités de charges et de courants ;
– sur les variations temporelles par un e¤et de moyenne d’ensemble.
En particulier, la densité de courants libres (19) ne fera intervenir que les charges
délocalisées dans le cas d’un conducteur rigide immobile8 .
Densité de courants liés Au coté de la densité de courants libres (19),
l’examen de la densité de courants (11) fait apparaitre successivement :
– une contribution rotationnelle appelée densité de courants d’aimantation.
C’est une terme du second ordre par rapport aux dimensions des amas
moléculaire dont on peut montrer qu’il est indépendant de l’origine choisie
l
0).
en l’absence de moment dipolaire variable dans le temps (i.e. dp
dt
Sous cette hypothèse, la densité macroscopique de moment magnétique
orbital :
X
M (x; t) =
ml w (x X l (t))
(21)
l
revêt un caractère intrinsèque ;
– une densité de courants de polarisation ;
– un terme lié au déplacement d’amas moléculaires polarisables qui n’a pas
reçu d’appellation spéci…que : il sera nul dans le cas de milieux indéformables étudiés dans leur référentiels propres.
L’analyse des relations (11) et (10) montre que les charges liées véri…ent
également une relation de conservation :
*
+
*
+
X
@ X
div
jl +
=0
l
@t
l
l
où, au plus bas ordre non nul relativement aux dimensions des amas moléculaires, la densité de courants liées s’écrit :
8 Pour …xer les idées, le Cuivre cristalise selon un réseau cubique à faces centrées de paramètre de maille 3,61 Å. Chaque atome de cuivre cède un électron de conduction. Pour une
fonction nuage de longueur caractéristique micrométrique, la moyenne d’ensemble concerne
environ 1011 électrons de conduction. Alors la vitesse de dérive des électrons de conduction
(1) est de l’ordre de 1 mm s 1 pour des densités de courants déjà importantes de l’ordre de
107 A m 2 . Elle est très inférieure à la vitesse thermique des charges dont l’orientation est
aléatoire (typiquement la vitesse thermique d’un électron de conduction du Cuivre est de
105 m s 1 à la température ambiante).
20
– pour un milieu diélectrique dipolaire non-permanent (P =
6 0 ; @P
@t 6= 0) :
*
+
!
X
X
@P
j l (x; t) =
+ rot
pl w (x X l (t)) V l +
@t
l
l
Cette expression ne permet pas d’envisager de propriétés magnétiques.
– pour un milieu diélectrique dipolaire permanent ou un milieu quadrupolaire ( @P
@t = 0 ; Q 6= 0) :
*
+
!
X
X
@
j l (x; t) = rotM
(divQ) rotdiv
q l w (x X l (t)) V l +
@t
l
l
L’existence d’un terme d’aimantation permet d’envisager des propriétés
magnétiques du second ordre.
Ainsi introduites, on ne peut pas envisager de propriétés magnétiques signi…catives en ne considérant qu’une description orbitale des courants liés. Une
description quantique est e¤ectivement nécessaire pour justi…er les valeurs magnétiques d’usage –de plusieurs ordres de grandeur plus élevés –e¤ectivement
rencontrées en génie électrique, y compris dans les conducteurs. Néanmoins, la
structure rotationnelle des courants d’aimantation pourra être conservée : c’est
l’équivalence Ampérienne dans laquelle on désignera par aimantation la densité macroscopique de moment magnétique (21). La singularité induite par la
présence d’une surface ou d’un interface conduira à une densité surfacique de
courants liés9 qui sera prise en compte par les discontinuités des lois de comportement magnétique.
2.3
Sources du champ électromagnétique
Le tableau (3) regroupe les di¤érentes contributions concourant à l’établissement du champ électromagnétique. L’équation de conservation de la densité de
charges libres (18) constitue le point de départ de l’approche thermodynamique
qui sera développée à la section suivante puisque c’est sur les densités de charges
et de courants libres qu’un choix judicieux de la fonction nuage w aura rendue
su¢ samment régulière pour tolérer les opérations vectorielles du calcul di¤érentiel, que des générateurs de tension et de courant pourront macroscopiquement
agir pour modi…er l’état électromagnétique du système.
9 On montre facilement que la densité surfacique de courants liés resultant de la magnétisation d’un milieu matériel est :
M n+
où n est la surface sortante au milieu.
21
22
h i (13)
hji (19)
libres
qu 6= 0 6= ql
qu = 0 = ql
0
dipolaire P 6= 0
P =0
@P
@t
1
divP (14)
2
div (divQ) (15)
@(divQ)
rotM (21)
@t
liées
sans caractère intrinsèque
intrinsèque si :
@P
@t = 0 (permanent)
quadrupolaire Q 6= 0
milieu magnétique M 6= 0
moment
Tab. 3 – Développement multipolaire des distributions de charges et de courants pour des milieux à l’état solide : Alors que l’existence
éventuelle de charges délocalisées (ordre 0) permet de discriminer les propriétés conductrices et diélectriques, la présence de courants liés
rotationnels (ordre 2 dans une représentation orbitale des courants liés) est à l’origine des propriétés magnétiques.
ordre
densité de charges h T i (10)
densité de courants hj T i (11)
sources
milieu conducteur
milieu diélectrique
3
Champ électromagnétique
On propose ici de retrouver les équations complémentaires de l’électromagnétisme en adoptant le point de vue de l’exploitant, par exemple EDF, qui
cherche à transmettre une énergie (travail mécanique) entre un lieu de production et un lieu de consommation en réalisant la meilleure transaction possible,
c’est-à-dire avec le minimum de perte de valeur (chaleur) et en consentant le
minimum d’investissement (énergie réactive). Le vecteur choisi pour cette transaction est l’énergie “électrique” dont on va montrer que la loi de conversion
(Faraday) satisfait à l’optimum précédent. On commence par :
– caractériser les champs sources étendus dont dérivent les densités de charges
et de courants “libres”;
– décrire les équilibres magnétostatique et électrostatique ;
– considérer leurs évolutions temporelles dans le cadre de l’approximation
des régimes quasi-permanents10 .
Le réseau électrique intégrant plusieurs dispositifs, on pourra examiner à la
partie suivante les conditions dans lesquelles :
– le réseau fonctionnera de manière optimale dans l’hypothèse où chacun de
ses dispositifs fonctionnent de la manière la plus réversible possible ;
– la conception du réseau pourra se décomposer sur chaque dispositif.
Cette présentation permettra d’exhiber deux types de dispositifs :
– ceux, localisés, dédiés à la conversion d’énergie mécanique en énergie électrique (moteurs, actionneurs... éventuellement couplés à un transformateur) ;
– ceux, étendus – c’est-à-dire privilégiant une orientation donnée par une
“…bre neutre” –, dédiés à la distribution et au transport (cables, jeux de
barres, circuiterie d’appareillage, pistes de circuit imprimé...) dont le rôle
est de transmettre un courant donné en assurant l’adaptation des tensions
entre dispositifs de conversion. A ce titre, ils devront générer le minimum
de pertes Joule et séquestrer le minimum d’énergie réactive (idéalement
0).
3.1
Champs sources étendus
A…n de traduire le caractère spatial de l’intéraction électromagnétique exercée par des répartitions macroscopiques de charges et de courants libres localisés
dans des conducteurs, on introduit deux champs étendus – c’est-à-dire dé…nis
dans tout l’espace –par les équations locales (29) et (30) :
1. le déplacement électrique D dont dérive la densité de charges libres (13)
par l’équation de Maxwell-Gauss :
divD = h i
(22)
Le Théorème de Gauss fournit une interprétation intégrale de cette équation (…gure 6) :
I
Z
D nd2x =
h i d3x = Q (V)
(23)
V
@V
1 0 L’analyse
de la conversion électromécanique opèrant dans l’aproximation des régimes
quasi-permanents, nous n’envisagerons pas d’extension aux régimes fortement variables dans
le temps.
23
Fig. 6 –Théorème de Gauss : La charge électrique libre Q portée par les conducteurs C1 : : : Cn inclus dans le volume V est égale au ‡ux sortant du déplacement
électrique D à travers la surface fermée @V. Dans le cadre des régimes quasipermanents, la charge libre est répartie sur la surface des conducteurs.
où Q (V) désigne la charge totale contenue dans le volume V. Alors l’équation de conservation de la charge (18) devient :
div hji +
@D
@t
=0
si bien qu’il est pertinent d’introduire :
2. le champ (ou excitation) magnétique H, lié aux densités de courants libres
(19) et de courants de déplacement :
JD =
@D
@t
(24)
par l’équation de Maxwell-Ampère :
rotH = hji +
@D
@t
(25)
On constate que D est dé…ni à un rotationnel près alors que H est dé…ni à
un gradient près. Cette indétermination :
– permet de prouver l’existence d’un couple (D; H) à partir de résultats
classiques de la théorie du potentiel ;
– permettra de discriminer le(s) couple(s) (D; H) qui sera (seront) conforme(s)
avec les principes thermodynamiques (voir partie 3.2).
A ce stade, il est intéressant de préciser les propriétés de régularité spatiale
des champs macroscopiques :
– en dehors des surfaces ou interfaces entre milieux, les champs sources D
et H sont intrinsèquement réguliers et macroscopiques, c’est-à-dire que
leurs variations spatiales ne seront perceptibles et n’auront de signi…cation
physique qu’au delà de la longueur caractéristique de la fonction nuage
(…gure 5) ;
– aux surfaces ou interfaces I 11 , l’inhomogénéité entre les milieux est susceptible de localiser des irrégularités de charges libres ou liées sur une
1 1 Si un interface réalise un surface fermée, il délimite deux milieux distincts : ce sera le
cas d’un conducteur C dont la surface fermée @C sépare le conducteur du diélectrique D
(ou plus rarement d’un autre conducteur). Dans le cas général, les interfaces ne réalisent pas
obligatoirement des surfaces fermées : c’est par exemple le cas des jonctions semi-conductrices.
24
épaisseur de l’ordre de . Il est commode d’isoler ces sources de faible
épaisseur et de les faire dériver de discontinuités sur les champs sources
D et H pour introduire deux distributions surfaciques :
– la densité surfacique de charges libres
véri…ant :
n [D] =
(26)
Alors le mouvement de l’interface I dans le référentiel d’observation
provoque une singularité surfacique de courants de déplacement (24)
dont la composante tangentielle véri…e :
@D
@t
n
n = (([D]
=
n)
([D]
n) (V n)
(27)
I
([D] n) n) (V n)
I
où V désigne la vitesse de déplacement de l’interface I dans le référentiel d’observation. Il est ainsi possible d’expliciter la discontinuité
tangentielle du champ magnétique H en introduisant :
– la densité surfacique de courants libres J I véri…ant :
n
[H] = J I
([D]
([D] n) n) (V n)
(28)
En isolant ces contributions surfaciques indicées par i, les champs macroscopiques D et H sont reliés aux sources libres par :
– l’équation de Maxwell-Gauss :
X
divD = R +
n [D] Ii
(29)
i
– l’équation de Maxwell-Ampère :
rotH = J +
@D X
+
n
@t
i
[H]
Ii
(30)
où R et J désignent respectivement les densités volumiques de charges libres et
de courants libres. Ces grandeurs sont régulières par construction. En prenant
la divergence de (30), la relation de conservation de la charge (18) dégénère en
deux expressions de continuité faisant intervenir des grandeurs régulières :
– dans le volume des conducteurs :
divJ +
@R
=0
@t
(31)
– sur la surface (ou sur l’interface) des conducteurs, supposés immobiles ou
en translation ( @n
@t = 0) :
divI J I + n [J ] +
@
=0
@t
(32)
montrant que l’incidence (respectivement la réfraction) des lignes de courants intervient également dans la conservation des charges de surface
(respectivement d’interface)12 .
25
Fig. 7 – Réfraction des lignes de courant à l’interface I entre deux milieux
conducteurs C1 et C2 . L’accumulation de charges libres sur une épaisseur non
réduite par la procédure de …ltrage est décrite par une densité surfacique
=
[D] n susceptible de procurer une densité surfacique de courant J I (33) si le
conducteur est animé d’un mouvement tangentiel de vitesse Vt = (V n)
n dans le référentiel d’observation. Si l’interface est par ailleurs animé d’un
mouvement normal de vitesse Vn = (V n) n, la discontinuité tangentielle de
D provoque une singularité surfacique des courants de déplacement selon (27).
On peut s’interroger sur la réalité physique des courants surfaciques puisque
les courants libres sont essentiellement dûs à des processus collisionnels volumiques qui ne sont précisément pas réduits par la procédure de …ltrage. Outre
les commodités de modélisation13 – par exemple d’un e¤et de peau dans la
limite du “mur électrique” ou d’un supra-conducteur – on doit noter qu’une
accumulation de charge = [D] n à la surface d’un conducteur @C ou sur un
interface I C est susceptible de générer un courant surfacique (…gure 7) :
J I = ([D] n) (V
(V n) n) =
([D] n) ((V
n)
n)
(33)
si le conducteur C est animé d’une vitesse V dans le référentiel d’observation.
Compte-tenu de (28), on aboutit, quel que soit le type d’interface, à l’équation
de continuité :
n
[H] = ([D] n) V
(V n) [D] = n
(V
[D])
(34)
après factorisation grâce à la formule du double-produit vectoriel. Souvent peu
développées dans le cas des interfaces en mouvement, on verra néanmoins que
la prise en compte des discontinuités surfaciques des champs sources est absolument nécessaire pour retrouver les bilans de puissance dans le cas général
de la conversion électromécanique (voir notamment la discussion relative aux
expressions (158c) et (158d)).
L’expression (34) permet d’expliciter une interprétation intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère. Le théorème de Stokes procure une expression inté1 2 div
I représente la divergence selon les coordonnées curvilignes
1 3 que nous n’utiliserons pas dans cet exposé pour éviter toute
physique des courants.
26
de l’interface I.
ambiguité avec le réalité
Fig. 8 –Le courant électrique dans une branche conductrice est compté algébriquement selon la normale nS à la surface S. Dans l’approximation des régimes
quasi-permanents, il est indépendant de la surface S qui coupe le conducteur et
invariant par changement de référentiel d’observation.
grale de l’équation de Maxwell-Ampère (30) sur un circuit fermé @S coupant
les surfaces de discontinuités Ii :
I
Z
XZ
@D
nS d2x +
(nIi [H]) nS dx
(H t) dx =
J+
@t
Ii \S
@S
S
i
Soit compte tenu de la relation de continuité (34) :
I
Z
XZ
@D
nS d2x +
(nIi
(H t) dx =
J+
@t
Ii \S
@S
S
i
(V
[D])) nS dx
(35)
où V désigne la vitesse de la ligne de discontinuité Ii \ S dans la référentiel
d’étude. Il est possible de transformer l’expression précédente en introduisant :
– le courant électrique (libre) traversant la surface S (…gure 8) :
Z
I (S) =
(J nS ) d2x
(36)
S
– la force magnéto-motrice enlassée par le contour @S :
I
(@S)
=
(H V D) tdx
m
(37)
@S
où V désigne la vitesse du contour @S dans le référentiel d’étude.
Alors la relation (35) devient :
(@S) = I (S)
XZ
@D
+
nd2x +
(nIi
S(t) @t
Ii \S
i
m
Z
(V
27
[D])) nS dx
I
(V
D) tdx
@S
(38)
Dans le cas particulier où D est à ‡ux conservatif sur S, on reconnait au membre
de droite la dérivée particulaire (44) du ‡ux électrique traversant la surface S
dans le référentiel d’étude [3] :
Z
(S)
=
(D nS ) d2x
(39)
e
S
Cette condition va s’avérer véri…ée dans le cadre de l’approximation des régime
quasi-permanents. Elle permettra d’établir le théorème d0 Ampère.
3.1.1
Approximation des régimes quasi-permanents
L’approximation des régimes quasi-permanents postule la non-coexistence
entre la densité volumique de courants libres J et les courants de déplacement
(24) dans l’équation de Maxwell-Ampère (30). Elle revient à supposer des régimes su¢ samment lentement variables dans le temps pour pouvoir limiter les
@
au plus bas ordre non-nul. Cette approximation est à l’oridéveloppements en @t
gine de plusieurs propriétés ou descriptions cruciales en électrocinétique et en
magnétisme. A l’intérieur des conducteurs, l’approximation des régimes quasipermanents se traduit par :
– la conservation de la densité de courant libre dans les conducteurs :
divJ = 0
(40)
de sorte que le courant électrique (36) traversant une branche conductrice
b est indépendant de la surface S sur lequel il est évalué : on le notera sans
ambiguité Ib ;
– l’existence d’une densité volumique de charges libres R stationnaire :
@R
=0
@t
qui va s’avérer évanescente.
On remarque que selon cette approximation, il n’y a pas d’hypothèse sur les
variations temporelles de la densité surfacique de charge .
L’approximation des régimes quasi-permanents se traduit :
– localement, par l’absence de charge libre dans les milieux conducteurs ;
– globalement, par le théorème d’Ampère.
Absence de charges libres dans les conducteurs On constate que la
circulation d’un courant, i.e. libre, dans un conducteur s’accompagne toujours
d’une dissipation de chaleur : c’est l’e¤ et Joule. Phénoménologiquement, la densité de puissance Joule est invariante par renversement du temps (inversion du
sens des courants libres et liés) ce qui lui confère un caractère irréversible. En se
limitant à une description locale, le développement de Mac-Laurin de la densité
de puissance Joule ne fera intervenir que des termes d’ordre pair de la densité
de courants libres, selon :
pJoule (J ) = J
1
J+
termes d’ordre pair
Dans cette expression :
28
>0
(41)
– les termes d’ordre supérieur correspondent à des comportements nonlinéaires de la loi de conduction : ils apparaissent par exemple dans l’étude
des comportements avalancheux des semi-conducteurs, cas de …gure exclu
dans ce travail et du reste sans di¢ culté ;
1
– le terme quadratique introduit naturellement le tenseur résistivité
:
c’est un tenseur d’ordre 2 positif et symétrique par construction.
La densité volumique de charge libre R étant une grandeur particulaire –
donc invariante par transformation galiléenne 14 –, la densité de courant dans le
référentiel d’étude véri…e, d’après (20) :
J = J k + RVk
(43)
où :
– Vk désigne la vitesse du repère i par rapport au référentiel d’étude (noté
sans indice) ;
– J (resp. J k ) est la densité de courant dans le conducteur mesurée dans le
référentiel d’étude (resp. référentiel k).
Considérons alors l’ensemble des systèmes présentant la même densité de
courant dans le référentiel du conducteur k mais dont les évolutions respectives
conduiraient à des densités statiques de charges libres volumiques arbitraires.
Evidemment, ils dissiperont de manière identique si les puissances sont mesurées dans les référentiels des conducteurs. Par contre, en raison de l’existence
de densités de charges libres distinctes, les mesures de densités de puissance exhiberont des valeurs di¤érentes dès qu’elles seront e¤ectuées dans un référentiel
galiléen quelconque d’après (41) et (43). Cette observation est naturellement en
contradiction avec l’invariance galiléenne à laquelle doivent satisfaire les densités
de puissance Joule (i.e. dégradée) si bien qu’un conducteur qui dissipe exhibe :
– une densité statique de charges libres volumiques R uniformément nulle.
Les conducteurs dé…nissant des domaines connexes, l’absence de charges
libres permet d’y imposer :
D 0
– une densité de courant J invariante par changement de référentiel, galiléen
ou non ;
1
– un tenseur résistivité
invariant par changement de référentiel, galiléen
ou non, de telle sorte que la densité de puissance (41) reste valable dans
tous les référentiels (quelques valeurs typiquement mesurées sont données
au tableau 4) ;
– une possible accumulation de charges libres sur les surfaces des conducteurs (ou les interfaces entre milieux conducteurs) caractérisée par une
densité surfacique
véri…ant l’équation de conservation (32).
1 4 Rappelons qu’un référentiel, indicé par (0 ), sera galiléen s’il est en mouvement de translation uniforme par rapport à une autre référentiel galiléen. Il s’agit d’une notion relative entre
repères dont les coordonnées véri…ent
x0 = x
V0 t
(42)
où V0 est la vitesse de translation du référentiel (0 ) dans le référentiel d’étude (noté sans
exposant). Conséquence du principe de l’action et de la réaction, la physique newtonienne
postule l’invariance des grandeurs particulaires, i.e. attachées à un domaine matériel, mesurées
au même instant dans deux référentiels galiléens. Comme les horloges sont synchrones en
physique galiléenne, les dérivées temporelles des grandeurs particulaires sont également les
mêmes.
29
1
Cu
Al
Fe
Fe-Si(3%)
Si
isolant
1; 6
2; 45
9
5
109
[
m]
10 8
10 8
10 8
10 7
101
1015
remarque
croissante avec la température,
par augmentation des processus
de di¤usion sur le réseau cristallin
décroissante avec la température,
par libération thermique de porteurs
Tab. 4 – Résistivité de quelques matériaux typiques du génie électrique à la
température ambiante. Alors que les phénomènes di¤usifs accroissent la résistivité des métaux avec la température, celle des semi-conducteurs décroit en
raison de la libération de porteurs de charge avec l’activation thermique.
L’absence de charge libres volumiques confère au courant électrique (36) d’être
invariant par changement de référentiel, galiléen ou non.
L’approximation des régimes quasi-permanents admet également une traduction intégrale à l’origine du théorème d’Ampère particulièrement utile pour
étudier les dispositifs de conversion électromagnétiques ou électromécaniques.
Théorème d’Ampère, loi des nœuds Le caractère conservatif de D dans
l’espace diélectrique (par dé…nition) et dans les conducteurs (sous l’hypothèse
des régimes quasi-permanents) permet d’expliciter la dérivée particulaire du ‡ux
électrique (39) quelle que soit la surface S :
Z
I
XZ
@D
d e (S)
=
nd2x+
(n@Vi (V [D])) nS dx
(V D) tdx
dt
S(t) @t
Ii \S
@S
i
(44)
de sorte que la relation (38) exprime le théorème d’Ampère :
m
(@S) = I (S) +
d
(S)
dt
e
(45)
Cette égalité constitue la deuxième interprétation intégrale relative aux champs
sources, au coté du théorème de Gauss (voir relation (23) et …gure 6)). Une
propriété immédiate est obtenue dans le cas particulier où la surface S est fermée
(S @V). Alors la force magnétomotrice est nulle et le théorème de Gauss (23)
conduit à l’équation de conservation de la charge :
I (@V) +
dQ (V)
=0
dt
(46)
Elle admet deux écritures simpli…ées selon le type de dipositif envisagé.
Régime capacitif Dans le cas remarquable des condensateurs, une in‡uence est réalisée entre deux armatures –également appelées électrodes –(…gure 9) :
– su¢ samment rapprochées –et seulement limitée par le risque de claquage
–pour qu’elles réalisent une opposition de charge et génèrent un déplacement diélectrique signi…catif,
– su¢ samment étendues –et souvent limitées par leurs résistances internes
–pour pouvoir stocker une charge signi…cative ;
30
Fig. 9 – Conservation de la charge portée par l’armature d’un condensateur
par application du théorème d’Ampère à la surface S = Sa [ Sb : alors que
l’écriture simpli…ée du théorème d’Ampère (48) s’applique à la branche coupée
par la surface Sb , le terme de déplacement est prépondérant sur la surface Sa
enlassant l’armature.
de telle sorte que la relation (46) procure le courant de décharge I (Sb ) (respectivement corurant de charge I) de l’armature portant la charge Q :
dQ
=I
dt
I (Sb ) =
(47)
Régime conductif Pour des surfaces d’intégration S su¢ samment pee (S)
tites, les variations du ‡ux électrique d dt
pourront être négligées devant
le courant électrique I (S) pour les fréquences de l’approximation des régimes
quasi-permanents. Sous cette hypothèse qui revient à négliger les e¤ets capacitifs entre branches conductrices, on aboutit à l’écriture simpli…ée du théorème
d’Ampère (…gure 10) :
X
Ib
(48)
m (@S) =
b
Dans le cas d’un bobinage de N spires, la force magnéto-motrice se réduit à
N I.
En considérant une surface fermée S @V, on retrouve la loi des nœuds, également appelée première loi de Kirchho¤ (…gure 11) :
X
I (@V) =
Ib = 0
(49)
b
Rappelons que cette écriture simpli…ée ne sera pas valable dans le cas remarquable (et recherché) des condensateurs pour lesquels la surface d’intégration S
et/ou le déplacement électrique D sont élevés (…gure 9 et relation (47)).
31
Fig. 10 –Théorème d’Ampère : la force magnéto-motrice enlassée par contour
fermé @S orienté par t (pointillé) est égal au courant traversant algébriquement la surface S orientée par n. Pour les deux bobinages représentés, la force
magnétomotrice vaut N1 I1 + N2 I2 .
3.1.2
Retour sur l’approximation des régimes quasi-permanents
On peut s’interroger sur le bien-fondé de la discrimination précédente qui
consiste à réduire l’approximation des régimes quasi-permanents à des dispositifs
relevant de régimes conductif (selon la relation (49)) ou par défaut capacitif (selon la relation (47)) alors même que l’approximation de régimes quasi-permanent
n’impose aucune contrainte à la densité surfacique de charge . Quasiment tous
les auteurs abordant l’électromagnétisme basse fréquence –sans doute soucieux
de respecter la norme IEC et d’éviter certaines di¢ cultés analytiques –négligent
partout les courants de déplacement (24) : Ne subsistent alors que le régime
conductif et son e¤et inductif en régime variable, si bien que la conception d’un
actionneur ou d’une machine doit se faire indépendamment de sa commande
pour laquelle subsiste pourtant presque toujours un phénomène (de décharge)
capacitif. C’est pourquoi cette déclinaison de l’approximation des régimes quasipermanents s’avère excessive et empêche de disposer d’une description dynamique globale d’un système propice à l’étude de son e¢ cacité énergétique –
comme ce sera de plus en plus le cas avec l’émergence de la mécatronique –,
notamment si :
– il inclut des capacités, comme c’est …nalement toujours le cas ; ou si
– ses fréquences d’utilisation génèrent des e¤ets capacitifs non négligeables
entre branches conductrices sans pour autant remettre en cause l’absence
de charge libres dans le volume dans les conducteurs. Alors qu’il est souvent pensé en terme propagatif, ce cas de …gure, très présent en électronique de puissance, apparaît à des fréquences de l’ordre du kHz MHz
32
Fig. 11 –Conservation de la charge dans le volume V selon la relation (46). Dans
le cas ou les e¤ets capacitifs sont négligeables, on retrouve la loi des nœuds (49).
Les courants de branche Ib sont orientés par les normales sortantes du noeud
(ici à 3 branches).
qui, pour des dispositifs métriques, sont bien en-deça de la limite fréquentielle de l’approximation des régimes quasi-permanents. Cette faiblesse de
la modélisation empèche le concepteur de disposer d’un formalisme de
conception complet et conduit souvent à des problèmes di¢ cilement solubles d’intégrité de signal ou de puissance, ou, plus généralement, de compatibilité électromagnétique (CEM) entre le dispositif et sa commande.
A ce stade nous retiendrons que nous devrons revenir sur la validité de l’approximation des régimes quasi-permanents en :
– discutant la durée de vie d’une charge placée dans le volume d’un conducteur pour dégager une limite fréquentielle à l’approximation des régimes
quasi-permanents ;
– évaluant la contribution de la composante tangentielle des courants de déplacements au voisinage des conducteurs pour justi…er l’écriture simpli…ée
du théorème d’Ampère (48) à partir de l’écriture intégrale (45).
Nous complèterons cette approximation par une hypothèse de quasi-stationnarité
qui s’avèrera lui être équivalente.
3.2
Description complémentaire du champ électromagnétique
A…n d’obtenir les équations de Maxwell complémentaires (conservation de
l’induction magnétique et loi de Faraday), nous adoptons le point de vue de
l’exploitant (régie) qui cherche à :
Exigence Transmettre une énergie (travail mécanique) entre un lieu de production et un lieu de consommation en réalisant la meilleure transaction
possible, c’est-à-dire :
– en immobilisant le minimum d’énergie produite (énergie réactive) ;
– en consentant le minimum de perte de valeur (chaleur).
Cette exigence d’exploitation s’applique implicitement à l’énergie mécanique
externe ou appliquée au système.
33
Fig. 12 – Environnement du champ électromagnétique : La régie électrique
cherche à transmettre le travail mécanique de l’actionneur X1 à l’actionneur
X2 . Dans le cas le plus simple, elle peut régler l’excitation I d’un inducteur (par
exemple le rotor d’une machine synchrone) et la puissance mécanique entrante.
L’ensemble échange de la chaleur avec le thermostat T et des charges avec une
“masse” au potentiel V0 .
On adoptera la description simpli…ée de la …gure 12 comme réalité expérimentale. Le premier principe de la thermodynamique [38][39] impose que la
variation d’énergie interne E du système composé par le champ électromagnétique couplé à son générateur de courant I et à la masse V0 s’écrive :
dEcin
dE
+
= Pmeca
dt
dt
ext
dQth
dt
(50)
où :
– Ecin désigne l’énergie cinétique acquise – ou embarquée – par les di¤érents organes constituant le système dans le référentiel d’étude supposé
galiléen15 ; X
– Pmeca ext =
Pmeca exti est à la puissance mécanique reçue par le sysi
tème. Dans le cas d’actionneurs linéaires, on aura (cas de la …gure 12) :
Pmeca
exti
= Fi Vi
1 5 On néglige ici l’énergie potentielle qui pourrait éventuellement être acquise par le système.
Ce terme pourrait être rajouté sans di¢ culté, notamment pour tenir compte de technologies
de stockage, mais serait sans incidence sur l’établissement de la relation (59).
34
i
où Fi désigne la force appliquée sur l’actionneur i et Vi = dX
dt sa vitesse
instantannée. Dans le cas le plus répandu, la puissance mécanique est
appliquée par l’intermédiaire d’un couple Ci (cas d’une turbine entrainant
un alternateur) :
Pmeca exti = Ci
i
où
i désigne sa vitesse de rotation instantanée ;
= T dSdtth désigne la chaleur reçue par le thermostat à la température
T (on ignore ici les procedés qui ont permis d’obtenir le travail mécanique
à transmettre).
Pour une transformation monotherme, l’énoncé de Clausius du second principe de la thermodynamique se réduit à :
–
dQth
dt
dQth
dt
T
dS
dt
(51)
c’est-à-dire que la quantité de chaleur soutirée au thermostat ne peut pas dépasser une certaine valeur obtenue pour une évolution réversible et …xée par
la variation d’entropie S du système16 . Invariant par renversement du temps,
l’e¤et Joule (41) est la manifestation de cette irréversibilité si bien que :
Pmeca
ext
dEcin
dt
d(E
TS)
dt
=
dQth
dS
+T
=
dt
dt
dSth
dS
T
+
dt
dt
= PJoule > 0 (52)
En régime stationnaire, les caractéristiques cinématiques du système restent
constantes :
dEcin
=0
dt
si bien qu’il y a équilibre entre les puissances mécaniques reçue Pmeca ext et
opposée par le système Pmeca int par l’intermédiaire des forces de réaction exercées par le champ électromagnétique sur l’actionneur17 . Sinon les lois de la
dynamique procurent :
Pmeca
ext
+ Pmeca
int
=
dEcin
dt
(53)
de telle sorte qu’un organe du système présente un mouvement accéléré.
En introduisant l’énergie libre (de Helmoltz) :
F =E
TS
(54)
l’expression (52) devient :
Pmeca
int
dF
= PJoule > 0
dt
(55)
1 6 Dans son fonctionnement idéalisé où les dispositifs ne subissent pas de transformation (striction, transition de phase, vieillissement/dégradation), l’entropie du système reste
constante pour une transformation isotherme. Seule l’entropie du thermostat est augmentée.
1 7 désignées comme force résistante dans le cas d’une génératrice et force motrice dans le cas
d’un moteur.
35
On retrouve que la puissance mécanique reçue par le champ électromagnétique
( Pmeca int ) est supérieure à la variation d’énergie libre pour une transformation monotherme quelconque. En particulier, une condition d’optimalité consisterait à minimiser les pertes Joule :
dF
= min (PJoule )
(56)
dt
pour s’assurer l’évolution la plus réversible possible.
Pour rendre compte de la loi de Lenz c’est-à-dire de l’inertie des couplages
avec l’excitation I et la masse V0 , il est nécessaire d’introduire l’enthalpie libre ou
énergie libre de Gibbs G du champ électromagnétique grâce à une transformation
de Legendre sur l’énergie libre (54) :
Pmeca
int
G=F
I
QV0
(57)
où :
– le ‡ux
traduit le couplage entre le champ électromagnétique et l’excitation I ;
– V0 est un potentiel de référence de la masse – en général la terre – à
laquelle le système emprunte la charge Q.
L’équation de conservation (52) devient :
Pmeca
int
d( I) d(QV0 )
dG
= PJoule +
+
dt
dt
dt
(58)
si bien qu’une autre condition d’optimalité –au sens de la réversibilité –s’écrit :
Pmeca
int
dG
d( I) d(QV0 )
= min PJoule +
+
dt
dt
dt
(59)
S’agissant d’évolutions monothermes, l’énoncé de Kelvin du second principe
de la thermodynamique impose au système de ne pouvoir que dégrader du travail
en chaleur au cours d’une transformation cyclique 18 , soient :
I
I
I
I
Pmeca ext dt
dEcin = ( Pmeca int ) dt = PJoule dt 0
(60)
si bien qu’intégrées sur un cycle, les minimisations de (59) ou de (56) procureront des travaux minimaux positifs. Cependant, nous verrons à la section
3.2.2 que c’est bien à partir de la condition (59) que s’obtiendra l’équation de
Maxwell-Faraday, renforçant la nécessité d’une énergie de couplage électrique
dans le maintien d’un champ électromagnétique destiné à transmettre une puissance mécanique (voir également partie 6). En ce sens la relation (59) dé…nit la
fonction d’état d’évolution du système électromagnétique.
Ayant identi…é les sources du champ électromagnétique et dé…ni ses couplages, les principes de la thermodynamique [38][39], assortis de la condition
d’optimalité (59), vont permettre de dériver les champs complémentaires B et
E:
– pour des équilibres statiques, notamment pour expliciter des lois de comportements ;
– dans l’approximation des régimes quasi-permanents (…gure 13).
1 8 Une transformation sera cyclique si les variables d’état macroscopiques initiales et …nales
sont égales.
36
Fig. 13 –Probleme type d’électromagnétisme dans l’approximation des régimes
quasi-permanents. Communément, l’espace V1 , en contact thermique avec un
thermostat à la température T, se partitionne entre : (i) les conducteurs rigides
Ck , éventuellement animés d’une vitesse Vk , auxquels on lie un repère supposée
galiléen Rk ; (ii) l’espace diélectrique D éventuellement déformable pour compenser les déplacements des conducteurs ; (iii) les générateurs, notés G, souvent
sous entendus dans les inducteurs qu’ils alimentent. Pour traduire l’absence de
sources à l’in…ni, la contribution à l’énergie du champ électromagnétique au delà
d’une surface @V1 sera négligeable.
3.2.1
Equilibres statiques
A l’équilibre, les variables d’état macroscopiques (T; fIk g ; fVk g ; X) dé…nissent de manière univoque –c’est-à-dire reproductible –une fonction d’état du
champ électromagnétique. Le premier principe de la thermodynamique confère
une valeur énergétique à cette fonction d’état d’équilibre qui, dans le cas :
– d’excitations fIk g qui doivent être maintenues pour préserver l’équilibre
magnétostatique ;
– d’un contact avec un thermostat à la température T ;
– de liaisons avec des réservoirs de charge (sources de tension et terre) aux
potentiels fVk g ;
est l’enthalpie libre du système G. Le second principe permet d’expliciter sa
di¤érentielle à l’équilibre pour des variations in…nitésimales des variables d’état :
X
X
dG = SdT
Qk dVk + F dX
(61)
mk dIk
k
k
où :
– S = @G
@T désigne l’entropie d’équilibre du système ;
@G
– mk = @I
désigne à ce stade une grandeur conjuguée au courant Ik qui
k
va s’avérer être le ‡ux magnétique associé au courant Ik ;
37
@G
désigne à ce stade une grandeur conjuguée au potentiel Vk
– Qk = @V
k
qui va s’avérer être la charge électrique libre à la surface du conducteur
k;
– la force exercée par l’actionneur (opérateur extérieur) pour maintenir les
conditions aux limites X sur le champ est donnée par le travail virtuel de
l’enthalpie libre :
F = +gradG
(62)
Pour que G soit une fonction d’état, sa valeur doit être indépendante du
chemin suivi pour atteindre l’équilibre caractérisé par les variables d’état macroscopiques (T; fIk g ; fVk g ; X). Ainsi, quel que soit le cycle thermodynamique :
I
dG = 0
Cette propriété impose à dG d’être une forme di¤érentielle totale exacte (ou
fermée). En considérant les restrictions bivariantes de G, la formule de Stokes
procure les identités de Maxwell :
@2G
@ 1@
=
2
@2G
@ 2@
(63)
1
où
1 et 2 désignent génériquement deux variables d’état quelconques de G.
A…n de :
– dégager les propriétés statiques des champs complementaires B et E ;
– justi…er l’existence des lois de comportements B (H) et D (E) ;
on examine séparément les équilibres :
– magnétostatique ;
– électrostatique.
Magnétostatique L’existence d’une densité stationnaire de courants libres
dans des inducteurs est à l’origine d’une énergie magnétostatique. Cette énergie
est celle que les générateurs ont dû fournir pour compenser les forces contreélectromotrices. Une des manifestations de cette énergie magnétostatique est
“l’étincelle de rupture”observée lors de l’ouverture d’un circuit électrique. L’état
magnétostatique résultant d’un équilibre entre :
– des générateurs maintenant les courants d’excitation Ik ;
– des conducteurs Ck traversés par les courants stationnaires ;
– un thermostat à la température T ;
l’équilibre thermodynamique est décrit par son enthalpie libre magnétostatique
Gm (T; X; fIk g). Le second principe permet d’expliciter sa di¤érentielle à l’équilibre :
X
dGm = SdT
(64)
mk dIk + F dX
k
où :
mk
=
@Gm
@Ik
(65)
est toujours, à ce stade, une grandeur conjuguée au courant Ik qui va s’avérer
être le ‡ux magnétique associé au courant Ik et dont on va préciser la propriété.
38
A…n de déporter la géométrie du système dans la dé…nition des domaines
d’intégration, il est intéressant d’introduire la densité d’enthalpie magnétostatique :
Z
Gm (T; X; fIk g) =
V1
gm jT;X;fIk g (x) d3x
(66)
L’écriture de gm n’est pas unique, mais un choix classique consiste à localiser l’enthalpie magnétique selon la mesure d’un champ magnétique H véri…ant
l’écriture statique de l’équation de Maxwell-Ampère (30) :
rot H = J
(67)
pour traduire le caractère étendu de l’interaction électromagnétique. Pour des
évolutions statiques et isothermes, les variations de la densité d’enthalpie libre
se réduisent à une expression de la forme :
dgm = gm jT;X;fIk +dIk g (x)
gm jT;X;fIk g (x) =
B
H
(68)
où l’induction magnétique véri…e :
B=
rH gm
(69)
Condition de stationnarité de l’équilibre magnétostatique : conservation de l’induction magnétique L’enthalpie libre magnétostatique doit
évidemment rester invariante pour toute variation de H ne changeant pas les
courants imposés par les sources. En se limitant à des transformations statiques
et isothermes, la variation d’enthalpie libre magnétostatique s’écrit :
Z
dGm =
( B H) d3x
(70)
V1
Or les variations de H laissant invariants les courants sont potentielles :
H = grad
Elles dé…nissent une classe d’équivalence au sein de laquelle :
Z
Quel que soit
:
dGm ( ) =
( B) grad d3x = 0
(71)
V1
compte-tenu de la relation d’analyse vectorielle [40] :
div (au) = u grada + a divu
le théorème de la divergence procure :
Z
I
dGm ( ) =
divB
d3x +
(B n) d2x
V1
@V1
(72)
XZ
i
Ii
([B] n) d2x = 0
(73)
en présence d’éventuelles discontinuités de [B] aux interfaces Ii . La condition
de stationnarité (71) impose donc :
– dans tout l’espace :
divB = 0
(74)
39
– la continuité de la composante normale de B aux interfaces Ii susceptibles
d’exhiber une discontinuité :
[B] n = 0
(75)
– une condition de décroissance “à l’in…ni” sur la composante normale de
B traduisant l’absence d’énergie magnétique au delà de @V1 . Analytique2
ment, cette condition se traduit par une décroissance plus rapide que jxj
qui caractérise le champ coulombien.
On dit que la condition de stationnarité (71) réalise la formulation faible de
l’équation de Maxwell (74).
On retrouve ainsi que l’induction magnétique B doit posséder (localement)
une divergence nulle pour assurer l’invariance (globale) de l’enthalpie libre magnétostatique sous des variations potentielles de H. Au delà, la résolution de
(71) nécessite la connaissance d’une loi de comportement magnétique dont nous
allons discuter la forme en précisant les conditions d’équilibre.
Interprétation de mk La conservation de l’induction magnétique (74)
permet d’introduire un potentiel vecteur magnétique continu A tel que :
B = rot A
(76)
Compte-tenu de la relation d’analyse vectorielle [40] :
div (u
v) = rot u v
(77)
u rot v
et du théorème de la divergence, la di¤érentielle de l’enthalpie libre magnétique
s’écrit également :
I
XZ
XZ
dGm =
(A J) d3x +
[A
H] nd2x
(A
H) nd2x
k
Ck
i
Ii
@V1
La dernière intégrale s’annule car :
– le théorème d’Ampère (48) garantit une décroissance de (H n) au moins
1
aussi rapide que jxj en l’absence de courant à l’in…ni ;
– la décroissance de la composante normale de B assure une décroissance
1
de (A n) plus rapide que jxj .
La seconde intégrale s’annule également en raison de la continuité de A et la
relation (34). Finalement la di¤érentielle de l’enthalpie libre magnétique (70)
s’écrit également :
XZ
dGm =
(A J) d3x
k
Ck
On parle de limite …liforme lorsqu’un conducteur C de section s se confond
avec sa …bre neutre L orientée par t. Cette limite est satisfaite lorsque : p
– le rayon de courbure R du conducteur est partout très grand devant jsj,
diamètre typique du conducteur, de sorte que la densité de courant puisse
être considérée comme uniforme sur sa section. On aura donc localement :
J=
I
t
jsj
Globalement, cette propriété locale implique que :
40
– la longueur de la
p…bre neutre du conducteur jLj & 2 R est également très
grande devant jsj puisqu’il réalise nécessairement un circuit fermé (i.e.
L @S).
Il est alors possible d’exprimer la di¤érentielle de l’enthalpie libre magnétique à
partir d’intégrales curvilignes puisque successivement :
I
Z
I
X
X
1
dGm =
dIk
d2x (A t) dx =
dIk
(A t) dx
@Sk
sk jsk j (x)
@Sk
k
k
Par identi…cation avec la di¤érentielle de l’enthalpie libre magnétique (64) puis
en utilisant la formule de Stokes, il vient :
I
Z
@Gm
=
(A t) dx =
(B n) d2x = m (Sk )
(78)
mk =
@Ik
@Sk
Sk
Dans le cas de conducteurs …liformes, la grandeurs mk conjuguée au courant
Ik s’identi…e aux ‡ux (de l’induction) magnétique m (Sk ) traversant la surface
Sk délimitée par la conducteur Ck : Cette dénomination est étendue à tout type
de conducteur.
Condition d’équilibre magnétostatique : matrice inductance Pour
une température T …xée par un thermostat, des conditions aux limites X …gées
par les positions des actionneurs et des courants fIk g imposés par le générateurs,
le second principe de la thermodynamique impose que l’équilibre …nalement
constaté soit le résultat d’une “marche vers l’équilibre”où l’entropie du système
isolé constitué du champ, des générateurs, de l’actionneur et du thermostat
n’a pu que croître. Cette condition d’équilibre correspond à un minimum du
potentiel de Gibbs Gm dont la valeur à l’équilibre est précisément l’enthalpie
libre magnétostatique Gm . L’équilibre s’exprime par :
– une condition d’extremum :
X @Gm
(T; X; fIk g ; f
@ mi
i
mk g)
qui procure les lois de comportement “globales”
– une condition de convexité :
X
i;j
mj
@ 2 Gm
(T; X; fIk g ; f
@ mj @ mi
mi
=0
mi
(T; X; fIk g) ;
mk g)
(79)
mi
>0
(80)
pour des variations quelconques f mi g des ‡ux magnétiques.
Le potentiel magnétostatique de Gibbs devant coïncider à l’équilibre avec
l’enthalpie libre, on imposera à la fonctionnelle Gm d’être su¢ samment régulière
pour que ses accroissements suivent ceux de Gm (64) selon :
X
Gm (T; X; fIk + dIk g ; f mk g) Gm (T; X; fIk g ; f mk g) '
mk dIk (81)
k
dans un voisinage su¢ samment restreint de l’équilibre. En di¤érenciant la condition d’équilibre magnétostatique (79) pour une petite variation dIk de la source
41
électrique k, on obtient :
X
j
@ 2 Gm
(T; X; fIk g ; f
@ mj @ mi
mk g)
@ mj
(T; X; fIk g)
@Ik
+
@ 2 Gm
(T; X; fIk g ; f
@Ik @ mi
mk g)
=0
Compte-tenu de (81) et de (65), on aboutit à :
X
j
@ 2 Gm
(T; X; fIk g ; f
@ mj @ mi
mk g)
@ 2 ( Gm )
(T; X; fIk g) =
@Ik @Ij
ik
La convexité du potentiel de Gibbs procure la concavité de l’enthalpie libre
magnétique par rapport à ses variables d’état électriques19 fIk g. On dé…nit
ainsi la matrice inductance L par construction :
– positive compte tenu de (80) ; et
– symétrique en raison des identités de Maxwell (63) ;
dont les coe¢ cients s’écrivent :
Lij (T; X; fIk g) =
@ mi
@ 2 Gm
(T; X; fIk g) =
(T; X; fIk g)
@Ij @Ii
@Ij
(82)
Cette dé…nition généralise la notion de coe¢ cients d’inductance aux milieux
non linéaires et aux circuits non …liformes. Les termes diagonaux Lii dé…nissent
les inductances propres alors que les termes non-diagonaux Lij (i 6= j) correspondent aux e¤ets mutuels entre les conducteurs i et j. Dans le cas général, une
première intégration consistant à porter successivement chacun des courants
à sa valeur de consigne Ik procure les ‡ux magnétiques corespondant à cette
évolution :
mi
(T; X; fIk g) =
mi (T; X; fIk = 0g) +
XZ
0
j
Ij
Lij (T; X; fI1 ;
; Ij
1 ; ij ; 0;
; 0g) dij
alors que l’enthalpie libre résulte de la double-intégration :
Gm (T; X; fIk g) = Gm (T; X; fIk
XZ
i;j i
0
Ii
Z
0
X
0g)
i
i
Lij (T; X; fI1 ;
mi
(T; X; fIk
; Ij
1 ; ij ; 0;
0g) Ii
; 0g) dij
!
di
S’agissant d’une fonction d’état, sa valeur est indépendante du chemin suivi.
Bien que ne constituant pas une fonction d’état “naturelle” pour résoudre
un problème de magnétostatique, il est possible de calculer l’énergie libre magnétique grâce à la transformation de Legendre (57) :
X
Fm = Gm +
(83)
m k Ik
k
1 9 On
retrouve ici la propriété remarquable de l’enthalpie libre d’être concave par rapport à
chacune de ses variables d’état.
42
Sa di¤érentielle :
dFm =
SdT +
X
Ik d
mk
+ F dX
(84)
k
montre que ses variables d’état sont (T; X; f mk g) et la force exercée par l’actionneur sur le champ s’obtient également à partir de la relation :
F = +gradFm
(85)
On parlera de régime linéaire si :
– la matrice inductance ne dépend pas de fIk g ;
– il n’y a pas de ‡ux magnétique rémanent en l’absence de courant d’excitation, i.e. mi (T; X; fIk 0g) = 0.
Alors :
– l’expression des ‡ux magnétiques se simpli…e :
X
Lij (T; X) Ii
(86)
mj (T; X; fIk g) =
i
– l’enthalpie libre adopte une forme bilinéaire de ses variables d’état électriques :
Gm (T; X; fIk g) =
=
1X
Lij (T; X) Ii Ij
2 i;j
1X
Lii (T; X) I2i
2 i
X
Lij (T; X) Ii Ij
i>j
– l’énergie libre magnétique s’écrit en fonction de ses variables d’état naturelles en régime linéaire :
Fm (T; X; f
mk g)
=
=
1X
L
2 i;j
1X
L
2 i
1
1
ij
(T; X)
mi
ii
(T; X)
2
mi
(87)
mj
+
X
L
1
ij
(T; X)
mi
mj
i>j
(88)
Il est également possible de donner une déclinaison locale de ces conditions
d’équilibre.
Loi de comportement : perméabilité magnétique En introduisant la
densité du potentiel magnétostatique de Gibbs gm , l’équilibre s’exprime par :
– une condition d’extremum :
Z
rB gm jT;X;fIk g;f m g (x) Bd3x = 0
(89)
k
V1
– une condition de convexité :
Z
B r2B gm
V1
T;X;fIk g;f
43
mk
g (x)
Bd3x > 0
(90)
sur des variations quelconques B de l’induction.
La minimisation du potentiel de Gibbs pour caractériser l’équilibre magnétostatique nécessite évidemment d’en connaître une forme analytique approchée.
La densité du potentiel magnétostatique de Gibbs devant coïncider à l’équilibre avec la densité d’enthalpie libre, on imposera à la densité fonctionnelle gm
d’être su¢ samment régulière pour que ses accroissements suivent ceux de gm
(68) selon :
gm jT;X;fIk +dIk g;f
mk
g (x)
gm jT;X;fIk g;f
mk
g (x) '
B
H
(91)
dans un voisinage su¢ samment restreint de l’équilibre. Pour pouvoir poursuivre,
il est intéressant de préciser certaines caractéristiques des milieux matériels. On
introduit les notions de milieux [10] :
– permanents, dont les propriétés intrinsèques n’évoluent pas dans le temps,
au moins par comparaison aux variations temporelles de l’excitation.
– locaux, pour lesquels la connaissance des champs en un point su¢ sent à
déterminer la densité d’énergie en ce point. Cette hypothèse signi…e que
la longueur de corrélation du milieu est très faible devant l’échelle où la
matière est étudiée.
– non-dispersifs, pour lesquels la valeur instantanée de la densité d’énergie
ne dépend que de la valeur instantanée des champs, et non pas du passé.
Cette hypothèse traduit l’absence d’inertie de la matière à l’échelle de
temps où elle est étudiée. Cette hypothèse donne une limite à la précédente puisqu’une résolution arbitrairement petite pour éviter la dispersion
temporelle peut conduire à remettre en cause l’hypothèse de localité.
– homogènes, c’est-à-dire que la densité d’énergie ne dépend pas explicitement des coordonnées spatiales du milieu.
Sous ces hypothèses, dites de l’équilibre thermodynamique local :
– la densité de potentiel magnétostatique de Gibbs en un point ne dépend
explicitement que des valeurs instantannées et locales des champs en ce
point, soit :
gm jT;X;fIk g;f
mk
g (x)
gm (T (x) ; H (x) ; B (x))
– la densité d’enthalpie magnétostatique gm est une fonction d’état de ses
variables locales si bien que les identités de Maxwell (63) sont également
satisfaites localement. En particulier :
@ 2 gm
@ 2 gm
=
@Hi @Hj
@Hj @Hi
(92)
Ceci permet de simpli…er considérablement les conditions d’équilibre puisqu’en di¤érenciant la condition d’équilibre magnétostatique (89) pour une petite
variation H des sources, on obtient :
r2B gm (T; H; B) rH B + rH rB gm (T; H; B) = 0
si bien que, compte-tenu de (91) :
r2B gm (T; H; B) rH B = Id
soit, compte-tenu de (69) :
r2B gm (T; H; B) r2H gm (T; H) =
Cette expression fait apparaître :
44
Id
– le hessian de la densité de potentiel magnétostatique de Gibbs à l’équilibre
appelé ici réluctivité magnétique :
(T; H) = r2B gm (T; H; B)
C’est un tenseur d’ordre 2 :
– dé…ni, positif compte-tenu de (90) ; et
– symétrique car inverse de,
– la perméabilité magnétique di¤ érentielle du milieu :
r2H gm (T; H) = [ (T; H)]
(T; H) = rH B =
1
(93)
C’est le tenseur d’ordre 2 :
– dé…ni, symétrique compte tenu des identités de Maxwell (92) ; et
– positif car inverse de la réluctivité magnétique.
Ce résultat est très important car :
– il assure l’existence d’une loi de comportement magnétique liant localement les variations de l’induction d’équilibre à celles de l’excitation ;
– il relie à une mesure expérimentale à l’équilibre de la caractéristique magnétique du milieu :
– la convexité du potentiel magnétostatique de Gibbs, dont on recherche
le minimum, par rapport à des variations B de l’induction,
– la concavité de la densité d’enthalpie libre par rapport à des variations
H de l’excitation.
Pour une évolution quasistatique et monotone du champ magnétique H, on
peut obtenir une caractéristique globale de la loi de comportement magnétique :
B (T; H) =
Z
H
(T; h)
h + Br (T)
(94)
0
où Br (T) = Br (T; 0) désigne l’induction rémanente. Le milieu sera dit :
– réversible si les lois de comportement selon H croissant et décroissant sont
identiques. Sinon il exhibera une propriété hystérétique ;
– linéaire si (T; H) est indépendant de H et l’induction rémanente nulle.
En…n, on constate que le “vide” (de matière) est perméable à l’énergie magnétique. S’agissant d’un milieu parfait et sans inertie, puisqu’il n’y a pas de
matière, on lui attribue une perméabilité de référence telle que (voir appendice
A.4.3) :
B = 0H
à partir de laquelle on rapporte les mesures expérimentales de perméabilité pour
dé…nir la perméabilité relative :
r
=
0
Une conséquence importante est que le champ magnétique H présentera la même
décroissance que l’induction magnétique B sur @V1 , c’est à dire plus rapide que
2
jxj qui caractérise le champ coulombien.
45
Electrostatique L’existence d’une distribution de charges électriques libres à
la surface des conducteurs est à l’origine d’une énergie électrostatique localisée
dans les diélectriques. Cette énergie est, aux pertes par e¤et Joule près, celle que
l’opérateur extérieur a dû fournir pour amener les charges depuis l’in…ni – où
elles sont sans interaction entre elles –jusqu’à la surface des conducteurs. Une
des manifestations de cette énergie électrostatique est le “claquage diélectrique”
observé lorsque des conducteurs chargés isolés sont trop proches les uns des
autres.
Dans les faits, les variations de charges sont opérées par des générateurs et
les charges Qk peuvent subsister après avoir débranché les générateurs : on est
donc amené à envisager deux types de polarisation du diélectrique.
Polarisation par des conducteurs chargés isolés : potentiel électrique L’état électrostatique du diélectrique résulte d’un équilibre entre conducteurs Ck au contact d’un thermostat si bien que l’équilibre thermodynamique
est décrit par l’énergie libre électrostatique Fe (T; X; fQk g). Le second principe
permet d’expliciter sa di¤érentielle à l’équilibre :
X
dFe = SdT +
(95)
k dQk + F dX
k
où :
k
=
@Fe
@Qk
(96)
désigne, à ce stade, un scalaire conjugué à la charge Qk qui va s’avérer être le
potentiel de surface et dont on va préciser la propriété.
Comme pour le cas magnétostatique, il est intéressant d’introduire la densité
d’énergie libre électrostatique fe dé…nie par :
Z
fe (x) d3x
(97)
Fe (T; X; fQk g) =
V1
pour déporter la géométrie du système dans la dé…nition du domaine d’intégration. Là encore, l’écriture de fe n’est pas unique et le choix classique consiste
à localiser l’énergie électrostatique selon la mesure du déplacement électrique
D véri…ant l’équation de Maxwell-Gauss (29) pour traduire le caractère étendu
de l’interaction électromagnétique. Pour des évolutions statiques et isothermes,
les variations de la densité d’énergie libre électrostatique se réduisent à une
expression de la forme :
dfe = fe jT;X;fQk +dQk g (x)
fe jT;X;fQk g (x) = E
D
(98)
où E désigne un champ conjugué au déplacement électrique D dont on va préciser la structure.
L’équilibre électrostatique étant caractérisé par l’absence de charge de volume dans le diélectrique et les conducteurs, l’équation de Maxwell-Gauss s’écrit :
divD = 0
avec les conditions :
46
(99)
– imposant la charge à la surface de chaque conducteur, soit compte tenu
de (26) :
I
I
2
Qk =
dx=
(D n) d2x
(100)
@Ck
@Ck
où est la densité de charge à la surface des conducteurs ;
– empêchant l’accumulation de charge à chaque interface diélectrique Ii
D:
[D] n = 0
(101)
L’énergie libre électrostatique doit rester invariante pour toute variation de
D ne modi…ant pas les charges portées par la surface de chaque conducteur Ck .
Selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange, la stationnarité de l’énergie
libre électrostatique Fe (T; fQk g ; X) sous les contraintes (99), (100) et (101)
s’exprime par :
Z
E
D
Z
Dd3x
Vdiv Dd3x
D
X Z
Ii D
V ([ D] n) d3x
Ii
X
k
Vk
I
( D n) d2x = 0
@Ck
où :
– Vk est le multiplicateur de Lagrange associé à chaque contrainte (100) ;
– V est un champ scalaire continu traduisant la contrainte (99).
En utilisant la relation (72) et le théorème de la divergence, la condition de
stationnarité précédente se transforme selon :
Z
I
XI
(E + gradV) Dd3x+
(V Vk ) ( D n) d3x
V ( D n) d2x = 0
D
k
@Ck
@V1
(102)
L’invariance de l’énergie libre électrostatique sous des variations de D ne changeant pas les charges portées par la surface des conducteurs impose successivement :
– que le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire V selon :
E=
gradV
(103)
soit encore :
rot E = 0
(104)
– qu’en particulier la surface du conducteur Ck réalise l’équipotentielle Vk
de V :
sur @Ck :
V = Vk
(105)
de sorte que le champ électrique E y est normal ;
– une condition de décroissance “à l’in…ni” du potentiel V (donc de E)
traduisant l’absence d’énergie électrostatique au delà de @V1 . Analytiquement, cette condition s’exprime par une décroissance de V au moins
2
aussi rapide que jxj Cette condition s’avèrera plus forte que celle qui
sera explicitée à partir de l’enthalpie libre.
47
Interprétation de k En se limitant aux transformations statiques et
isothermes, la di¤érentielle de l’énergie libre électrostatique s’écrit, grâce à (98)
et (103) :
Z
dFe =
Dd3x
gradV
D
c’est-à-dire, après transformation par (72) :
dFe =
Z
Vdiv Dd3x
D
+
X Z
Ii D
V ([ D] n) d3x +
Ii
XI
k
Vk ( D n) d2x
@Ck
I
V ( D n) d2x
@V1
Les deux premiers termes sont nuls d’après (99) et (101). Le quatrième terme
reprend la condition de décroissance à l’in…ni de (102) et est par conséquent
nul. Le troisième terme fait apparaître les variations des charges (100) portées
par les conducteurs dont les surfaces réalisent les équipotentielles Vk puisque :
I
XI
X
X
2
dFe =
Vk ( D n) d x =
Vk
( D n) d2x =
Vk dQk
k
@Ck
i
@Ck
k
Cette expression identi…e k , scalaire conjugué à la charge Qk dé…ni relation
(95), avec le potentiel de surface Vk introduit comme multiplicateur de Lagrange
associé à chaque contrainte (100). Il est alors possible de considérer l’équilibre
électrostatique d’un milieu diélectrique polarisé par des conducteurs dont les
potentiels sont …xés.
Polarisation par des potentiels de surface L’état électrostatique du
diélectrique résultant d’un équilibre entre :
– les conducteurs Ck dans leur diélectrique au contact d’un thermostat ;
– les générateurs de tension dont le rôle est précisément de maintenir les
potentiels électriques Vk à la surface des conducteurs ;
l’équilibre thermodynamique est décrit par son enthalpie libre électrostatique
Ge (T; fVk g ; X). Le second principe permet d’expliciter sa di¤érentielle à l’équilibre :
X
dGe = SdT
Qk dVk + F dX
(106)
k
où :
@Ge
@Vk
est, à ce stade, une grandeur conjuguée au potentiel Vk qui va s’avérer
charge à la surface du conducteur Ck (100).
Là encore on introduit la densité d’enthalpie libre électrostatique ge
par :
Z
Ge (T; X; fVk g) =
ge (x) d3x
Qk =
(107)
être la
dé…nie
(108)
V1
pour déporter la géométrie du système dans la dé…nition du domaine d’intégration. Son écriture n’est pas unique, mais le choix classique consiste à localiser
l’enthalpie électrostatique selon la mesure du champ électrique (103) pour traduire le caractère étendu de l’interaction électromagnétique. Pour des variations
48
statiques et isothermes, les variations de la densité d’enthalpie libre se réduisent
donc à une expression de la forme :
dge = ge jT;X;fVk +dVk g (x)
ge jT;X;fVk g (x) =
D
E = D grad V
(109)
où D est, à ce stade, un champ conjugué au champ électrique E dont on va
montrer qu’il véri…e l’équation de Maxwell-Gauss.
Pour des évolutions statiques et isothermes, la variation d’enthalpie libre
électrostatique s’écrit après utilisation de la relation (72) et du théorème de la
divergence :
Z
X Z
dGe =
VdivDd3x
V ([D] n) d3x
D
Ii D
Ii
X
Vk
I
(D n) d2x +
@Ck
k
I
V (D n) d2x
@V1
En considérant les variations de V ne modi…ant pas :
– les potentiels Vk des conducteurs pour lesquels :
I
(D n) d2x 6= 0
@Ck
– le potentiel de la masse V0 ;
la condition de stationnarité de l’enthalpie libre électrostatique :
Z
Quel que soit V :
dGe ( V) =
D grad Vd3x = 0
(110)
D
impose bien l’équation de Maxwell-Gauss (99) :
divD = 0
assortie :
– de la continuité normale du déplacement électrique (101) :
[D] n = 0
à chaque interface Ii D ;
– d’une condition de décroissance “à l’in…ni”sur la composante normale de
D. Analytiquement, cette condition se traduit par une décroissance plus
2
rapide que jxj qui caractérise le champ coulombien.
On dit que la condition de stationnarité (110) réalise la formulation faible de
l’équation de Maxwell-Gauss. On peut alors identi…er :
I
Qk =
(D n) d2x
@Ck
avec la charge portée par le conducteur Ck (100)20 . Alors le théorème de Gauss
(23) et la décroissance à l’in…ni de D assure au système global d’être non chargé
(…gure 13).
Au delà, la résolution de (102) ou (110) nécessite la connaissance d’une loi
de comportement diélectrique dont nous allons discuter la forme en précisant
les conditions d’équilibre.
2 0 On remarque alors que le potentiel des conducteurs non-chargés peut librement varier
sans modi…er l’enthalpie libre électrostatique : on parle de potentiel “‡ottant”.
49
Condition d’équilibre électrostatique : matrice capacitance Pour
une température T …xée par un thermostat, des conditions aux limites X …gées par les positions des conducteurs et des courants fVk g imposés par le
générateurs„le second principe de la thermodynamique impose, comme pour le
cas magnétostatique, que l’équilibre …nalement constaté soit le résultat d’une
“marche vers l’équilibre”où l’entropie du système isolé constitué du champ, des
générateurs de tension, des conducteurs et du thermostat n’a pu que croître.
Cette condition d’équilibre correspond à un minimum du potentiel de Gibbs Ge
dont la valeur à l’équilibre est précisément l’enthalpie libre électrostatique Ge .
On procède alors comme pour le cas magnétostatique avec la correspondance :
Ik
(resp. mk )
Gm (T; X; fIk g ; f mk g)
Gm (T; X; fIk g)
mk
!
!
!
!
Vk
Qk (resp. Qk )
Ge (T; X; fVk g ; fQk g)
Ge (T; X; fVk g)
La convexité du potentiel de Gibbs procure la concavité de l’enthalpie libre
électrostatique par rapport à ses variables d’état électriques fVk g. On dé…nit
ainsi la matrice capacitance C par construction positive et symétrique dont les
coe¢ cients s’écrivent :
Cij (T; X; fVk g) =
@Qi
@ 2 ( Ge )
(T; X; fVk g) =
(T; X; fVk g)
@Vj @Vi
@Vj
(111)
Les termes diagonaux Cii dé…nissent les capacités propres alors que les termes
non-diagonaux Cij (i 6= j) correspondent aux e¤ets d’in‡uence entre le conducteurs i et j. Dans le cas général, une première intégration consistant à porter
successivement chacun des conducteurs à son potentiel de consigne Vk procure
les charges électriques corespondant à cette évolution :
Qi (T; X; fVk g) =
Qi (T; X; fVk
0g) +
XZ
j
Vi
Cij (T; X; fV1 ;
0
; Vj
1 ; vj ; 0;
; 0g ; vj ) dvj
alors que l’enthalpie libre résulte de la double-intégration :
Ge (T; X; fVk g) = Ge (T; X; fVk
XZ
i;j i
0
Vi
Z
0
X
0g)
i
v
Cij (T; X; fV1 ;
Qi (T; X; fVk
; Vj
1 ; vj ; 0;
0g) Vi
; 0g) dvj dv
S’agissant d’une fonction d’état, sa valeur est indépendante du chemin suivi.
Dans le cas général, il est possible de retrouver l’énergie libre électrostatique
grâce à la transformation de Legendre (57) :
X
Fe = Ge +
Qk Vk
k
Dans le cas le plus fréquent, le milieu diélectrique suit un régime linéaire
pour lequel :
50
– la matrice capacitance ne dépend pas de fVk g ;
– il n’y a pas de charge électrostatique résiduelle en l’absence de potentiel
de polarisation, i.e. Qi (T; X; fVk 0g) = 0.
Alors :
– l’expression des charges électriques se simpli…e :
X
Qi (T; X; fVk g) =
Cij (T; X) Vj
(112)
j
– l’enthalpie libre adopte une forme bilinéaire de ses variables d’état électriques :
1X
Cij (T; X) Vi Vj
Ge (T; X; fVk g) =
2 i;j
=
1X
Cii (T; X) Vi2
2 i
X
Cij (T; X) Vi Vj
i>j
– l’énergie libre électrostatique s’écrit en fonction de ses variables d’état
naturelles en régime linéaire :
1X
C 1 ij (T; X) Qi Qj
(113)
Fe (T; X; fQk g) =
2 i;j
=
1X
C
2 i
1
ii
(T; X) Q2i +
X
C
1
ij
(T; X) Qi Qj (114)
i>j
Il est également possible de donner une déclinaison locale de ces conditions
d’équilibre.
Loi de comportement : permittivité diélectrique A…n d’expliciter
une loi de comportement diélectrique, on procède comme pour le cas magnétostatique avec la correspondance :
H!E
B!D
On fait ensuite l’hypothèse de milieux diélectriques permanents, locaux, nondispersifs et homogènes pour obtenir des conditions d’équilibre locales. La convexité
du potentiel électrostatique de Gibbs impose l’existence d’une permittivité différentielle diélectrique caractérisant l’équilibre électrostatique du milieu :
(T; E) = rE D
(115)
C’est un tenseur d’ordre 2, symétrique et positif. On introduit alors les notions
de milieu réversible, linéaire et isotrope 21 .
En…n, on constate que le “vide”(de matière) est perméable à l’énergie électrostatique. S’agissant d’un milieu parfait, sans inertie puisqu’il n’y a pas de
matière, on lui attribue une permittivité de référence telle que22 :
D=
0E
2 1 L’étude
quantique de l’excitation d’un matériau diélectrique impose en fait
chacun des axes principaux du tenseur permittivité.
2 2 La propagation d’un signal électromagnétique dans le vide impose [6] :
0 0c
2
51
=1
>
0
selon
(116)
1
r
thermoplastiques
thermodurcissables
élastomères
Conducteur
2
3
2
9
7
4
1
109
109
1012
[
m]
1015
1015
1014
10 8
Tab. 5 – Quelques valeurs typiques de permittivité relatives et de résistivités
résiduelles pour les grandes classes de diélectriques : La vingtaine d’ordre de
grandeur observée entre la résistivité d’un métal (voir tableau 4) et celle d’un
diélectrique à la température ambiante est dûe à l’absence de charge libre dans le
diélectrique et justi…e la discrimination des mileux matériels opérée à la section
2.2.1.
à partir de laquelle on rapporte les mesures expérimentales de permittivité pour
dé…nir la permittivité relative (tableau 5) :
r
=
0
Une conséquence importante est que le champ électrique E présentera la
même décroissance que le déplacement électrique D sur @V1 , c’est à dire au
2
moins aussi rapide que jxj qui caractérise le champ coulombien.
3.2.2
Evolution du champ électromagnétique
A…n de montrer que l’équation de Maxwell-Faraday résulte de la condition
d’optimalité (59), on réalise successivement :
– l’écriture de la relation (58) en fonction des champs étendus ;
– la minimisation de cette relation pour obtenir :
– la densité de courant dans les régions conductrices,
– la distribution de charge à la surface des conducteurs polarisant les
régions diélectriques.
La di¢ culté essentielle de ce développement provient des discontinuités des
champs aux interfaces susceptibles d’exhiber un mouvement. Cette situation,
inévitable dans le cas de circuit comprenant des actionneurs et pourtant rarement rigoureusement traitée, sera surmontée :
– en invoquant l’invariance galiléenne à laquelle doivent obéir les lois de la
physique, puis
– en véri…ant que les mouvements auxquels sont soumis les systèmes électriques confèrent aux charges électriques des forces d’inertie négligeables
qui permettent de rester dans cette limite galiléenne.
On admet que les variations temporelles sont su¢ samment lentes :
où c est la célérité de la lumière (voir appendice A.4.3).
Par analogie, on posera :
s
1
c=
La théorie de la Relativité impose :
c
c
52
– pour rester dans l’approximation des régimes quasi-permanents (section
3.1.1). Rappelons qu’elle implique de limiter les développements au plus
@
, si bien que :
bas ordre en @t
– dans les conducteurs :
– la densité de charges libres est nulle, ce qui permet d’y imposer D 0 ;
– la densité de courant J , le champ magnétique H et l’induction magnétique B s’adaptent instantanément l’un sur l’autre, conformément
à (67) et à la loi de comportement magnétique B (H) (93) supposée
non dispersive ;
– dans les diélectriques, le champ électrique E et le déplacement électrique D s’adaptent instantanément l’un sur l’autre conformément à la
loi de comportement diélectrique D (E) (115) également supposée non
dispersive.
– pour formuler une hypothèse de quasi-stationnarité où l’évolution des
champs est régi par une équation di¤érentielle du 1er ordre. Autrement
dit la connaissance de la carte du champ électromagnétique à un instant
donné su¢ t à la déterminer aux instants ultérieurs dès lors qu’est connue
l’évolution des couplages macroscopiques auxquels le système global est
soumis (…gures 12 et 13). Ainsi la conservation de la puissance (58) dé…nit
une fonctionnelle pour laquelle les seules variations admissibles sont les
variations stationnaires des champs [41] :
@H
@t
@B
@t
=
=
@E
@t
@D
@t
=
=0
Nous verrons que ces hypothèses imposerons certaines restrictions :
– de nature à clari…er l’existence des régimes quasi-permanents ;
– pour lesquelles l’hypothèse de quasi-stationnarité est automatiquement
véri…ée dans l’approximation des régimes quasi-permanents ;
– jamais mises en défaut dans le cas de dispositifs usuels.
Condition de réversibilité Compte-tenu de l’expression adoptée pour la
puissance Joule (41), la conservation de la puissance (58) admet comme expression fonctionnelle la plus simple en fonction des champs étendus B; H; D et
E:
Pmeca
XZ
k
Ck (t)
dG
=
dt
int
1
2
(rotH) d3x +
d
dt
Z
(B H) d3x +
V1
d
dt
Z
(D E) d3x (117)
D(t)
La condition d’extremum est obtenue en annulant les variations de la fonctionnelle (117).
La transformation des dérivées particulaires doit tenir compte non seulement
des variations locales et convectives dans le temps mais également des déformations du domaine d’intégration [3]. C’est pourquoi la puissance du couplage
magnétique se transforme selon :
Z
Z
XZ
@ (B H) 3
d
3
(B H) d x =
dx
[B H] (Vi n) d2x
dt V1
@t
V1
I
(t)
i
i
53
où Vi désigne la vitesse de déplacement des interfaces Ii entre milieux nonhomogènes constituant le domaine d’étude V1 , en particulier les surfaces @C
des milieux conducteurs. En considérant des variations stationnaires du champ
source H – donc de B puisque B et H s’adaptent instantanément l’un sur
l’autre par une loi de comportement non-dispersive B (H), on obtient :
@
(B
@t
H + B H) =
@B
@t
H+ B
@H
@t
L’existence d’une loi de comportement non-dispersive et symétrique (93) permet
d’écrire23 :
– dans les di¤érents domaines :
B
@H
@B
=
@t
@t
H
B = [B]
H
– aux interfaces :
[H]
si bien que les variations de la puissance du couplage magnétique s’exprime par :
Z
Z
XZ
@B
d
3
3
(B H) d x = 2
Hd x 2
([B] H) (Vi n) d2x
dt V1
V1 @t
I
(t)
i
i
De la même manière, la puissance du couplage électrostatique se transforme
selon :
Z
Z
d
@ (D E) 3
(D E) d3x =
dx
dt D(t)
@t
D(t)
X Z
XI
[D E] (Vi n) d2x
(D E) (Vk n) d2x
Ii D
Ii (t)
k
@Ck (t)
où Vk (respectivement Vi ) est la vitesse de déplacement de la surface du domaine diélectrique (respectivement la vitesse de déplacement des interfaces Ii
entre milieux diélectriques non-homogènes constituant le domaine D). On procède comme pour le couplage magnétique, pour aboutir à l’expression :
!
Z
Z
@D
d
3
(D E) d x = 2
Ed3x
dt D(t)
@t
D(t)
X Z
XI
2
([D] E) (Vi n) d2x 2
(D E) (Vk n) d2x
Ii (t)
Ii D
k
@Ck (t)
2 3 L’évolution
quasi-statique impose la réalisation d’un équilibre thermodynamique caractérisé par une enthalpie libre dont la di¤érentielle de la densité dé…nit la perméabilité magnétique
di¤érentielle (voir relation (93)) :
=
@B
@H
=
@ 2 gm
@H @H
=
@ 2 gm
@H @H
=
@B
@H
=
si bien que successivement, pour un milieu permanent :
@H
= H
@t
De même aux interfaces :
B
H
B =H
@H
@t
= H
H
= H
54
@H
@t
= H
H =B
@B
@t
H
soit encore :
d
dt
Z
3
(D E) d x
D(t)
!
=2
d
dt
Z
E) d3x
(D
En…n, les variations sur la puissance Joule procurent :
!
XZ
XZ
2 3
1
(rotH) d x = 2
rotH
Ck (t)
k
(119)
D(t)
rot H d3x
1
Ck (t)
k
Compte tenu de la relation d’analyse vectorielle (77) et du théorème de la divergence, il vient, après intégration par partie :
XZ
k
+2
X I
1
2 3
!
(rotH) d x
Ck (t)
1
rotH
=2
XZ
k
2
Hd x
n
@Ck (t)
k
1
rot
Hd3x
rotH
Ck (t)
X Z
I i Ck
1
rotH
n
2
Hd x
Ii (t)
où le dernier terme rend compte des possibles discontinuités de rotH liées à
l’existence de jonctions aux interfaces entre conducteurs ou semi-conducteurs
(voir relation (30) et …gure 7). Les variations de la fonctionnelle de puissance
(117) s’écrivent …nalement :
dG
Pmeca int
dt
X X Z
1
2
+
XI
k
k Ii Ck
@Ck (t)
1
=
XZ
rot
1
Hd3x
rotH
Ck (t)
k
1
rotH
Hd2x
n + (Vi n) [B]
Ii (t)
rotH
X Z
Ii D
n
(Vk n) [B]
(Vi n) ([B]
Ii (t)
+
Z
V1
@B
@t
(Vk n) D
H
3
Hd x +
E d2x
E) d2x
H + [D]
Z
D(t)
@D
@t
Ed3x (120)
La forme de la condition de stationnarité ne doit pas dépendre du référentiel
galiléen dans lequel le champ électromagnétique est observé. En introduisant la
vitesse relative de l’interface i dans le référentiel (0 ) par dérivation temporelle
de (42) :
Vi0 = Vi V0
(121)
55
!
il vient :
1
2
+
dG
dt
X X Z
Pmeca
XI
k
k Ii Ck
1
@Ck (t)
D(t)
XZ
1
rot
rotH
Hd3x
Ck (t)
k
1
n + (Vi0 n) [B]
rotH
Hd2x
Ii (t)
rotH
X Z
Ii D
n
(Vk0 n) [B]
(Vi0 n) ([B]
H
H + [D]
(Vk0 n) D
E d2x
E) d2x
Ii (t)
XZ
@B
Hd3x
(V0 n) [B] Hd2x
I
(t)
V1 @t
i
i
X Z
XI
@D
3
2
0
Ed x
(V n) [D] Ed x
(V0 n) D Ed2x
@t
Ii (t)
@Ck (t)
+
Z
+
=
int
Z
Ii D
k
Les deux dernières lignes de l’expression prédédente font apparaitre les dérivées
temporelles de B et D dans le référentiel (0 ). L’invariance d’écriture de la condition de stationnarité (120) par changement de référentiel galiléen sera respectée
si :
– l’induction magnétique B est conservée partout, soit
B0 = B
(122)
si bien que ‡ux (de l’induction) magnétique à travers une surface quelconque S :
Z
(B n) d2x
(123)
m (S) =
S
constitue un invariant galiléen ;
– le déplacement électrique D est conservé dans le diélectrique D, soit :
D0 = D
(124)
si bien que le ‡ux (du déplacement) électrique à travers une surface quelconque S D (39) :
Z
(D n) d2x
e (S) =
S
constitue égelement un invariant galiléen, propriété que l’on peut étendre
aux conducteurs où D 0 ;
– le champ magnétique H est conservé dans les conducteurs C, traduisant
ainsi la conservation de la densité de courant J en l’absence de charge de
volume (voir 3.1.1).
Par ailleurs, la relation (77) et le théorème de la divergence procure l’expression :
I
(E
H) nd2x =
@D(t)
Z
X Z
(rotE H E rot H) d3x +
([E]
H) nd2x
D(t)
Ii D
56
Ii (t)
où le dernier terme explicite les éventuelles discontinuités de E aux interfaces
Ii D. Compte-tenu de l’équation de Maxwell-Ampère dans les diélectriques :
rotH =
@D
@t
(125)
prise pour des variations stationnaires du champ D, le champ E satisfait à la
relation :
I
Z
(E n) Hd2x +
rotE Hd3x
@D(t)
D(t)
X Z
([E] n) Hd2x = 0 (126)
Ii (t)
Ii D
En introduisant cette relation dans la condition de stationnarité (120), les variations de la fonctionnelle de puissance (117) s’écrivent …nalement en réorganisant
les termes et en tenant compte de (119) :
1
2
Pmeca
int
XZ
k
X X Z
k I i Ck
dG
dt
=
1
Ii (t)
Ii D
rotE +
D(t)
([E]
Ii (t)
@B
@t
Hd3x
n + (Vi n) [B]
rotH
Z
X Z
k
rotH +
Ck (t)
+
XI
1
rot
@B
@t
Hd2x
Hd3x
n + (Vi n) [B])
I
+
(127a)
(E
n)
(127b)
(127c)
Hd2x
Hd2x
(127d)
(127e)
@V1
E
1
n + (Vk n) [B]
rotH
@Ck (t)
+
d
dt
Z
D
Hd2x
Ed3x
(127f)
(127g)
D(t)
Il est maintenant possible d’expliciter les conditions de stationnarité de (117)
satisfaisant à l’invariance galiléenne en se plaçant successivement dans le référentiel supposé galiléen de chaque conducteur Ck ou interface en mouvement
Ii . Ainsi, une condition d’extremum véri…e, pour des variations stationnaires
quelconques de l’excitation H et E :
1. faiblement l’équation de Maxwell-Faraday dans les régions conductrices
volumiques de chaque conducteur Ck :
rot
1
rot H =
dB
dt
(128)
pour annuler (127a). On garantit alors dans chaque conducteur la condition de stationnarité :
d
divB = 0
dt
57
si bien que, vraie au repos, la condition d’équilibre magnétostatique (74)
reste véri…ée au cours du temps dans les conducteurs C. On obtient également :
2. une condition de continuité à chaque interface Ii
1
n
Ck :
rot H = 0
(129)
pour annuler le terme (127b). Alors la relation de continuité :
divIi n
1
+
rot H
d
([B] n) = 0
dt
dégénère en :
d
([B] n) = 0
dt
sur chaque interface Ii Ck . Vraie au repos, la condition d’équilibre magnétostatique (75) reste également véri…ée au cours du temps sur chaque
interface Ii inclus dans un conducteur Ck .
3. faiblement l’équation de Maxwell-Faraday dans le diélectrique D (t) :
@B
@t
rot E =
(130)
pour annuler (127c). On garantit alors dans l’espace diélectrique la condition de stationnarité :
@
divB = 0
@t
si bien que, vraie au repos, la condition d’équilibre magnétostatique (74)
reste véri…ée au cours du temps dans l’espace diélectrique D. Comme précédemment, on obtient également :
4. une condition de continuité à chaque interface Ii
n
D:
[Ei ] = 0
(131)
où Ei désigne le champ électrique dans le référentiel supposé galiléen lié à
l’interface Ii , pour annuler le terme (127d). Alors la relation de continuité :
divIi (n
[Ei ]) +
d
([B] n) = 0
dt
dégénère en :
d
([B] n) = 0
dt
sur chaque chaque interface Ii
D. Vraie au repos, la conditions de
l’équilibre magnétostatique (75) reste également véri…ée au cours du temps
sur chaque chaque interface Ii de l’espace diélectrique D.
5. une condition de décroissance sur le champ électrique E pour annuler le
terme (127e) ;
6. une condition de continuité à la surface @Ck de chaque conducteur :
n
1
Ek
58
rot H = 0
(132)
où E k désigne le champ électrique dans le référentiel galiléen lié au conducteur Ck , pour annuler le terme (127f). Alors la relation de continuité :
div@Ck n
1
Ek
rot H
+
d
([B] n) = 0
dt
dégénère en :
d
([B] n) = 0
dt
sur chaque chaque surface conductrice @Ck . Vraie au repos, la continuité
normale de l’induction est également assurée à la surface @Ck des conducteurs de sorte que les conditions de l’équilibre magnétostatique (74) et (75)
sont …nalement maintenues dans tout l’espace. De la même manière, les
conditions de l’équilibre du diélectrique sont également maintenues pour
procurer :
7. une condition de stationnarité sur la di¤érentielle de l’enthalpie libre électrostatique du diélectrique (108) pour annuler (127g). Compte-tenu de
(130), les variations stationnaires de E sont potentielles :
E=
grad V
si bien que l’on retrouve la condition (110).
La continuité de la composante normale de l’induction magnétique [B] n = 0
permet de modi…er les conditions aux interfaces (127b), (127d) et (127f) grâce
à la formule du double produit vectoriel :
(Vi n) [B] = (Vi n) [B]
([B] n) Vi = (Vi
[B])
n
de sorte que la condition de stationnarité (127) sera invariante par changement
de référentiel galiléen si le champ électrique E satisfait à la relation de transformation des vitesses :
E 0 = E + V0 B
(133)
Alors la condition de stationnarité (127e) maintient dans le temps la condition
de décroissance sur B établie pour l’équilibre magnétostatique.
Les conditions de réversibilité précédentes permettent :
– de retrouver la loi de Faraday ;
– d’étendre aux conducteurs l’écriture de l’équation de Maxwell-Faraday
obtenue dans les diélectriques.
Loi de Faraday En considérant une surface Sk appartenant au milieu conducteur Ck (…gure 14), le théorème de Stokes et l’équation de Maxwell-Faraday dans
les conducteurs (128) permet d’écrire la relation :
I
1
rotH t dxk =
@Sk
d
(Sk ) X
+
dt
i
m
Z
Ii \Sk
nIi
1
rot H
nSk dxk
dans laquelle le second terme tient compte des éventuelles discontinuités de
1
rotH aux interfaces Ii Ck coupant la surface Sk . Ce terme est nul d’après
59
Fig. 14 –Ecriture usuelle des équations de Maxwell dans l’approximation des régimes quasi-permanents : la loi d’Ohm avec mouvement (137) et la conservation
du ‡ux magnétique (74) au cours du temps permettent d’établir l’équivalence
entre les expressions (128) et (138) de l’équation de Maxwell-Faraday dans les
conducteurs (voir également …gure 16). La surface Sk , contenue au conducteur
Ck , permet d’obtenir la loi de Faraday (135), puis de la prolonger aux situations
générales, en particulier lorsque la surface est dé…nie par une spire conductrice
(…gure 15).
la condition de continuité (129). Cette relation introduit naturellement la force
électro-motrice e comme un invariant galiléen :
I
I
1
1
J t dxk =
rot H t dxk
(134)
e (@Sk ) =
@Sk
@Sk
et procure la loi de Faraday pour une surface conductrice quelconque Sk incluse
dans le conducteur Ck :
d m (Sk )
(135)
e (@Sk ) =
dt
L’équation de Maxwell dans le diélectrique (130) exprimée dans le référentiel
du conducteur Ck et la condition de passage (132) sur @Ck permettent de généraliser la loi de Faraday (135) aux surfaces Sk quelconques, en particulier aux
surfaces dé…nies par des bobinages fermés (…gure 15) ou aux circuits fermés par
des générateurs (voir section 5.1 en particulier la relation (193)). La loi de Faraday montre la possibilité de générer un courant électrique à partir d’un ‡ux
magnétique variable dans le temps : La conversion électromagnétique apparait
ici comme une conséquence de l’hypothèse de réversibilité (59).
Loi d’Ohm dans les conducteurs Les conditions de l’équilibre magnétostatique (74) et (75) étant conservées au cours de l’évolution du champ, la dérivée
60
Fig. 15 –Illustration de la loi de Faraday pour une spire de courant Ck dé…nie
par sa …bre neutre @Sk . La surface Sk intersecte nécessairement le diélectrique
D où elle est traversée par les lignes d’induction (trait mixte).
particulaire de
[3] :
d
m
(Sk ) exprimée dans le référentiel d’étude satisfait la relation
Z
(Sk )
@B
=
nd2x
dt
Sk (t) @t
XZ
(nIi ([B]
m
Ii \Sk
i
Vk )) nSk dx +
I
(B
Vk ) tdx (136)
@Sk
Cette expression tient compte non seulement des variations locales et convectives
dans le temps mais également des déformations du domaine d’intégration Sk
Ck et de la présence d’éventuelles discontinuités de B aux interfaces Ii
Ck
coupant la surface Sk . Compte-tenu de la loi de Faraday (135), on obtient :
e
(@Sk ) +
I
I
1
(B Vk ) tdx =
J Vk B tdx
@Sk (t)
Z
XZ
@B
=
nd2x
(nIi (Vk [B])) nSk dx
Sk (t) @t
Ii \Sk
i
@Sk
quel que soit le référentiel galiléen d’étude. Par analogie avec (130), cette expression permet de prolonger le champ électrique E au milieu conducteur vu
depuis le référentiel d’étude où :
– il satisfait à la loi d’Ohm avec mouvement :
J=
(E + Vk
B)
(137)
pour laquelle étant le tenseur conductivité, inverse de la résistivité (41) :
il s’agit d’un tenseur d’ordre 2 positif et symétrique. En particulier dans
61
le référentiel propre au conducteur Ck , supposé galiléen, on a :
J = Ek
de sorte que la prolongation du champ électrique aux conducteurs véri…e
également la relation de transformation (133).
– il véri…e l’équation de Maxwell-Faraday :
rot E =
@B
@t
(138)
et la condition de passage :
n
([E] + Vk
[B]) = 0
dont la forme est, par construction, invariante par transformation galiléenne24 .
La loi d’Ohm permet ainsi d’uni…er les conditions de continuité opérant dans le
conducteur (129) ou à la surface du conducteur (132) avec celles obtenues aux
interfaces entre diélectriques (131) :
Quel que soit Ii :
n
[Ei ] = 0
soit, compte tenu de la relation de transformation du champ électrique (133) :
Quel que soit Ii :
n
([E] + Vi
[B]) = 0
(139)
Il est …nalement équivalent de :
– satisfaire dans le référentiel d’étude l’équation de Maxwell-Faraday (138)
avec la relation de transformation du champ électrique dans le référentiel
propre du conducteur Ck :
Ek = E + Vk
B
et la loi d’Ohm :
J = Ek
en l’assortissant des conditions d’équilibre magnétostatique divB = 0 et
[B] n = 0 pour garantir, grâce à (136), que la dérivée particulaire du ‡ux
magnétique m (Sk ) à travers une surface quelconque Sk soit invariante
par changement de référentiel (voir …gure 14) : c’est l’écriture classique
d’un problème d’électrodynamique dans un conducteur ;
– résoudre l’équation de Maxwell-Faraday (128) directement dans le référentiel de chaque conducteur Ck (voir …gure 16). Nous privilégierons cette
dernière écriture dont la formulation faible découle directement de l’invariance galiléenne de la condition d’optimalité (127) :
Z
dB
1
H d3xk = 0
Quel que soit H :
2 rot H
rot H +
dt
Ck
(140)
2 4 Comme
pour (30), ces deux conditions se globalisent dans l’écriture unique :
@B X
+
n [E] Ii
rot E =
@t
i
62
En procurant une relation entre la densité de courant et le champ électrique
à la surface des conducteurs, la condition de continuité (139) permet de revenir :
– la validité de l’approximation des régimes quasi-permanents ;
– l’hypothèse de quasi-stationnarité (théorie du premier ordre).
Il est néanmoins utile d’expliciter les conditions d’évolution quasi-statique préalablement à cette discussion.
Régimes quasi-statiques On a vu que les ‡ux magnétique m et électrique
e dé…nissaient des invariants galiléens. La loi de Faraday a permis de montrer
que la force électro-motrice e l’était nécessairement. De la même manière, le
théorème d’Ampère (45) impose à la force magnéto-motrice m , dé…nie relation
(37), d’être également un invariant galiléen. Cette propriété d’invariance procure
le relation de transformation du champ magnétique :
H0 = H
V0
D
(141)
entre deux référentiels galiléens25 . Avec cette dernière relation de transformation, il est important de préciser que les champs magnétique et électrique intervenant dans l’évaluation des forces magnétomotrice m et électromotrice e
sont évalués dans le référentiel propre du contour @S sur lequel sont calculées
les circulations (37) et (134).
Néanmoins, l’ensemble des relations de transformation des champs (122),(124),(133)
et (141) ne sont pas compatibles avec l’existence d’un champ électromagnétique
dans les diélectriques – pourtant observé expérimentalement – pour lequel les
lois de comportement (115) et (93) seraient invariantes par changement de référentiel galiléen (au moins dans le cas du vide).
La limite galiléenne de l’électromagnétisme impose donc que la puissance
de l’un des couplages magnétique ou électrostatique opérant dans la fonctionnelle (117) soit négligeable devant l’autre dans le milieu diélectrique a…n de
relaxer une relation de transformation du déplacement électrique (124) ou de
l’induction magnétique (122)26 . Dans une hypothèse d’évolution harmonique
@
= j $), on aboutit aux deux régimes quasi-statiques compatibles avec un
( @t
électromagnétisme galiléen repris au tableau 6 et …gure 16 [42].
Régime quasi-statique électrique Ce régime est réalisé dans les régions
de l’espace diélectrique où :
jD Ej
jB Hj
Seul le terme (127g) subsiste dans l’expression des variations de la fonctionnelle
de puissance (117). Compte tenu de l’existence des lois de comportement (115)
et (93), on obtient la succession d’inégalités dans la limite galiléenne :
jEj
c jBj > c jBj
jV0 j jBj
si bien que :
2 5 Compte tenu de la continuité tangentielle de H dans le référentiel propre de l’interface,
on retrouve la condition (34).
2 6 On rappelle qu’en l’absence de charge libre, seul le couplage magnétique opère dans les
conducteurs.
63
Fig. 16 – Ecriture des équations de Maxwell résultant de la condition d’optimalité (117) et des considérations d’invariance galiléenne (voir également …gure
13 et tableau 6) : On distingue les deux régimes quasi-statique magnétique (cas
du conducteur et de l’espace diélectrique) et quasi-statique électrique (cas du
condensateur).
– le champ électrique E et le déplacement électrique D sont invariants par
changement de référentiel galiléen. Cette propriété remarquable impose
l’absence du terme d’induction dans l’équation de Maxwell-Faraday (138).
De la même manière la condition de continuité (139) dégénère en :
[E] = 0
n
(142)
aux interfaces diélectriques. Alors :
– le diélectrique est décrit par les conditions de l’équilibre électrostatique où
le potentiel V à la surface des conducteurs @Ck est imposé par leur régime
électrocinétique (voir …gure 16). Autrement dit, le champ magnétique dans
le diélectrique n’est de nature à modi…er ni le régime de polarisation du
diélectrique, ni le régime électrocinétique du conducteur.
– Le champ magnétique H et l’induction magnétique B, négligeables en première approximation dans l’espace diélectrique, sont alors excités par les
courants de déplacement (24) et calculés a posteriori comme une correction de l’équilibre électrostatique grâce à l’équation de Maxwell-Ampere :
rot H :=
@D
@t
où les courants de déplacement agissent comme une source connue du
champ magnétique, la conservation de l’induction magnétique (74) et la loi
de comportement (93). Dans les faits, on les calcule pratiquement jamais.
64
On remarque néanmoins que cette dernière résolution serait similaire à
une résolution magnétostatique classique à condition (voir 3.2.1) :
– d’identi…er les courants de déplacement aux courants source :
J!
@D
@t
– de restreindre la résolution au domaine diélectrique D,
– d’imposer la continuité la continuité tangentielle du champ magnétique
à la surface des conducteurs @Ck :
n
[H] := n
(Vk
D)
Dans le cas idéal des condensateurs, la surface des armatures réalise une
équipotentielle. La capacité est alors calculée préalablement grâce à un calcul
électrostatique.
Régime quasi-statique magnétique Ce régime est réalisé dans les régions de l’espace où :
jD Ej
jB Hj
si bien que le terme (127g) disparait dans l’expression des variations de la fonctionnelle de puissance (117). C’est parfaitement et toujours le cas des conducteurs dans l’approximation des régimes quasi-permanents. Compte tenu de l’existence de lois de comportement (115) et (93), on obtient la succession d’inégalités
dans la limite galiléenne :
jV0 j jBj
jEj
c jBj 6 c jBj
si bien que :
– l’induction magnétique B, le champ magnétique H et la densité de courants libres J sont invariants par changement de référentiel galiléen. Cette
propriété remarquable impose l’absence de terme de déplacement dans
l’équation de Maxwell-Ampère (138). De la même manière la condition de
continuité (34) et la condition de conservation de la charge (32) dégénèrent
respectivement en :
n [H] = 0
(143)
et :
n [J] = n [rot H] = 0
(144)
aux interfaces. Ainsi (voir …gure 16) :
– les conducteurs sont décrits par les équations de Maxwell-Faraday (128),
Maxwell-Ampere (67), la conservation de l’induction magnétique (74), la
loi d’Ohm (137) et la loi de comportement magnétique (93) (voir la discussion sur la loi d’Ohm) ;
– le diélectrique est décrit par les conditions de l’équilibre magnétostatique
où la densité de courants J circulant dans les conducteurs Ck est imposée
par leur régime électrocinétique. Autrement dit, le champ électrique dans
le diélectrique n’est de nature à modi…er ni le régime de magnétisation du
diélectrique, ni le régime électrocinétique du conducteur.
65
– Le champ électrique E et le déplacement électrique D, négligeables en
première approximation dans l’espace diélectrique, sont alors excités par le
potentiel V à la surface des conducteurs @Ck et calculés a posteriori comme
une correction de l’équilibre magnétique grâce à l’équation de MaxwellFaraday :
@B
rot E :=
@t
où les variations temporelles de l’induction magnétique agissent comme
une source connue du champ électrique, l’équation de Maxwell-Gauss (99)
et la loi de comportement diélectrique (115). Pratiquement, on les calcule rarement sauf pour prévenir un risque de claquage diélectrique. On
remarque néanmoins que cette dernière résolution serait similaire à une
résolution magnétostatique classique à condition (voir 3.2.1) :
– d’e¤ectuer la correspondance des champs
H!E
J!
@B
@t
B!D
– de restreindre la résolution au domaine diélectrique D,
– d’imposer la continuité la continuité tangentielle du champ électrique à
la surface des conducteurs @Ck :
n
[E] :=
n
(Vk
[B])
Mis à part le cas des condensateurs qui relève du régime quasi-statique électrique, le régime quasi-statique magnétique constitue le cas usuel pour des fréquences su¢ samment basses (typiquement jusqu’à quelques kHz).
On constate par contre que la montée en fréquence provoque la commutation de certaines régions de l’espace d’un régime quasi-statique magnétique à
un régime quasi-statique électrique conduisant à une perte de l’intégrité du signal ou de puissance. Dans notre formalisme, cette transition est obtenue quand
la substitution du couplage électrostatique est plus favorable au comportement
réversible du système global que le maintien du couplage magnétique dans une
région signi…cative de l’espace diélectrique. Cette discussion s’opère à partir des
deux évaluations de la fonction d’état (59) obtenues pour chacun des modes de
fonctionnement que l’on veut analyser, le régime e¤ectivement suivi correspondant à celui qui procure la réalisation la plus petite (voir tableau 6).
3.2.3
Validité des approximations
On examine ici l’ensemble des approximations e¤ectuées pour aboutir à la
présentation quasi-statique de l’électromagnétisme. Alors que l’approximation
des régimes quasi-permanents et l’hypothèse de quasi-stationnarité se réduisent
à la discussion d’un nombre adimensionnel, la limite galiléenne s’avèrera satisfaite pour les modes de fonctionnement rencontrés en génie électrique.
Approximation des régimes quasi-permanents L’approximation des régimes quasi-permanents est justi…ée par l’usage de fréquences d’excitation su¢ samment basses pour pouvoir négliger les courants de déplacement (24) dans le
66
volume des conducteurs, c’est à dire en dehors des surfaces et interfaces des
conducteurs que les procédures de …ltrage n’ont pas pu homogénéiser (voir
3.1.1). On a vu que cette approximation justi…ait l’existence d’une densité statique de charges libres R, en réalité nulle pour assurer l’invariance galiléenne
des pertes Joule observées dans un conducteur traversé par un courant.
Evanescence de la charge d’espace dans un conducteur homogène
La possibilité d’observer une densité volumique de charge non nulle se discute à
partir de l’équation de conservation de la charge (31). L’équation de MaxwellGauss (29) et la relation d’analyse vectorielle (72) explicitée pour des milieux
résistifs (137) et permittifs (115) homogènes, procurent l’équation de conservation de la charge exprimée dans le référentiel du conducteur :
R+
C
@R
=0
@t
si bien que la durée de vie d’un excès de charge dans un milieu conducteur et
homogène est donnée par :
C
=
Réciproquement, des accumulations de charge ne pourront apparaitre dans un
conducteur que pour des fréquences d’excitation compatibles avec leurs durées
de vie. Compte tenu des ordres de grandeur des permittivités (tableau 5), une
estimation de la fréquence d’excitation à atteindre est donnée par :
105 [
f[MHz]
1
m
1
]
si bien que l’ensemble du spectre électrotechnique, quel que soit la nature du
conducteur (métaux ou semi-conducteurs, voir tableau 4 et 5), n’est pas susceptible de générer une accumulation locale de charge libre dans le volume des
conducteurs. Cette discussion a permis d’introduire le nombre adimensionnel :
C
=
Cf
(145)
dont la valeur permet de justi…er d’autres approximations e¤ectuées dans le
cadre de l’approximation des régimes quasi-permanents ou quasi-stationnaires.
Ecriture simpli…ée du théorème d’Ampère En tenant compte de l’affaiblissement des champs avec la distance et de la continuité tangentielle du
champ électrique (139), une majoration du déplacement électrique tangentiel
est donnée par :
jD nS j . D 1 J
pour une section droite d’intégration S coupant le conducteur C et orientée
par la normale nS selon la …gure 8. La contribution du ‡ux électrique (39) au
théorème d’Ampère (45) admet la majoration :
j
e
(S)j . jS n Cj
D
1
J
@
= j $ = 2 j f) :
soit en considérant des évolutions harmoniques ( @t
d
(S)
.2
dt
Df
e
67
jS n Cj jJj
Pour que le terme de déplacement soit susceptible d’opérer une correction au
théorème d’Ampère (48), il faut :
jS n Cj
jS \ Cj
1
Df
2
c’est-à-dire intégrer sur des distances :
v
u
u
rS = r C t
1
Df
2
pour lesquelles le champ aura totalement disparu pour des valeurs usuelles du
nombre adimensionnel (voir tableau 4 et 5) :
D
=
Df
(146)
On en déduit que dans le cadre de l’approximation des régimes quasi permanents, seules les contributions normales aux conducteurs des courants de déplacement sont susceptibles d’intervenir dans l’écriture du théorème d’Ampère
(45) : c’est le cas des régimes capacitifs explicités à la relation (47).
Hypothèse de quasi-stationnarité Pour …xer les idées, nous nous placerons
dans le réferentiel propre du conducteur et garderons l’hypothèse de milieux
homogènes et linéaires. En partant de l’équation de Maxwell-Faraday (138),
l’équation régissant l’évolution du champ électrique E s’écrit :
– dans les conducteurs Ck :
rot rot E =
C
@E
@t
(147)
compte tenu de l’équation de Maxwell-Ampère (67), de la loi de comportement magnétique (93) et de la loi d’Ohm (137) ;
– dans l’espace diélectrique D :
rot rot E =
D D
@2E
@t2
(148)
compte tenu de l’équation de Maxwell-Ampère (125) et de la loi de comportement diélectrique (115).
L’hypothèse de quasi-stationnarité repose sur une évolution des champs régie
par une équation di¤érentielle du 1er ordre, de sorte que le second membre de
l’équation (148) doit rester négligeable. Pour des milieux linéaires, la recherche
de solutions aux équations précédentes se simpli…e en se plaçant en régime har@
monique ( @t
= j $ = 2 j f ). On introduit naturellement aux seconds membres
de (147) et (148) :
– la profondeur de peau caractérisant la pénétration d’un champ électrique
harmonique dans le conducteur :
r
1
(149)
=
Cf
68
– la longueur d’onde caractérisant la périodicité spatiale du champ dans
l’espace libre diélectrique :
= p
f
1
=
D D
c
f
(150)
où c . c est la célérité de la lumière dans le dielectrique D15 .
et on recherche les parties spatiales des solutions stationnaires harmoniques. En
introduisant le Laplacien vectoriel :
E = graddivE
rot rot E
on fait apparaitre respectivement :
– une équation de di¤usion de type équation de la chaleur en régime harmonique dans les conducteurs :
E=
2j
(151)
E
2
compte-tenu de la relation de conservation de la charge (40) et de la loi
d’Ohm (137) ;
– une équation d’onde dans l’espace diélectrique :
E=
2
2
E
(152)
compte-tenu de l’équation de Maxwell-Gauss (99) et de la relation diélectrique (115).
Il est remarquable de constater que l’expression :
1
2
C
D
coïncide avec le terme adimensionel D (146) précédemment introduit pour discuter la validité de l’approximation des régimes quasi-permanents. Pour des
conducteurs usuels (tableau 4) et des fréquences d’excitation électrotechniques,
on aura donc toujours :
(153)
de sorte qu’à l’échelle de l’e¤et de peau subi par le conducteur sous l’action
d’une excitation variable, l’espace libre environnant n’est jamais le siège de
champs retardés (par la durée de propagation). Dans ce voisinage du conducteur, l’équation de propagation (152) dégénère selon une équation de Laplace
vectorielle.
Plus globalement, deux cas de …gure sont envisageables en fonction de la
taille du système dans le cadre de l’hypothèse de quasi-stationnarité :
1. Les dimensions caractéristiques des épanouissements conducteur constituant le système sont également toutes nettement plus petites que la longueur d’onde :
L
A l’échelle du système – on parle de champ proche –, le champ électromagnétique n’est pas retardé et les phénomènes de rayonnement – ou
69
de champ lointain – interviennant au delà de ce domaine d’analyse. On
retiendra que pour des dispositifs n’excédant pas quelques centimètres,
cette approximation reste valable jusqu’à 100 MHz : c’est la cas général
des actionneurs puisque les fréquences n’y excèdent pas quelques kHz.
Cependant leurs commandes, souvent indissociables de leur conception,
peuvent générer de harmoniques de fréquence bien supérieures sans e¤et
sur l’actionnement proprement dit mais à l’origine de problèmes de compatibilité électromagnétique (CEM). Sans remettre en cause localement
l’hypothèse de quasi-stationnarité (153), ces alimentations nécessitent une
analyse plus …ne car :
2. une dimension du système est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde
pour une fréquence d’analyse :
L
de telle sorte que des phénomènes propagatifs pourront intervenir dans le
domaine diélectrique du système (ici sa commande). Il n’est plus possible
de découpler l’analyse diélectrique du système selon champ proche (satisfaisant à des régimes quasi-statiques magnétique et électrique) et champ
lointain (propagatif) et on est conduit à subdiviser le système pour pouvoir
l’analyser partiellement selon l’approximation précédente puis considérer
le couplage électromagnétique entre ces éléments partiels pour étudier les
aspects propagatifs. Ce travail, plus ou moins empirique, plus ou moins
rigoureux et plus ou moins compris, est au-delà de l’objectif de cette présentation.
Limite galiléenne L’hypothèse de mouvements galiléens suppose des accélérations (ou des déformations) su¢ samment faibles pour que l’équation de
Maxwell-Faraday reste valable dans le référentiel lié au conducteur Ck , animé
_ k . Or la loi d’Ohm (137) trade la vitesse Vk et soumis à l’accélération V
duit, à l’échelle macroscopique, le régime stationnaire résultant du mouvement
de charges délocalisées excitées par le champ électrique27 Ek et di¤usées par
les charges localisées (essentiellement le réseau cristallin pour les conducteurs
solides). La conductivité traduit ce frottement visqueux [10][11]. Pour un mouvement accéléré, les e¤ets d’inertie doivent être pris en compte si bien que la
force “e¤ective” agissant sur une charge délocalisée devient :
_k
mV
qEk
(154)
où q désigne la charge et m sa masse. Ainsi la loi d’Ohm devient dans Ck supposé
non galiléen :
m _
Vk
J=
Ek
q
En introduisant le torseur des vitesses :
Vk (x0 ) = Vk (x) +
où
k
(x0
k
(155)
x)
désigne la vitesse angulaire instantanée du conducteur Ck , il vient :
_ k (x) = V
_ k (ok ) +
V
_ k (ok ) +
=V
2 7 Voir
k
Vk (x) + _ k
k
Vk (ok ) +
(x
k
l’expression de la force de Lorentz (198).
70
(
ok )
k
(x
ok )) + _ k
(x
ok )
si bien que28 :
_ k (x) = 2 _ k
rot V
Ainsi
1
rot
@
@t
J = rotEk
2m
q
k
@
@t
=
B+
2m
q
k
La condition de stationnarité (128) et l’équation de Maxwell-Faraday (138) exprimeront la même loi physique tant que le terme d’inertie sera négligeable
devant le terme d’induction. Cette condition sera satisfaite si la vitesse de rotation du conducteur reste négligeable devant la pulsation cyclotron de la charge
libre mise en jeu dans la conduction :
c
qB
m
=
Pour des électrons (1) dans des champs de 1 T, on a c
109 rad s 1 . Cette
condition est évidemment toujours véri…ée aux fréquences mécaniques mises en
jeu dans les dispositifs électrotechniques. Autrement dit, tout conducteur pourra
être localement associé à un référentiel galiléen du point de vue de ses propriétés
électrodynamiques et la loi d’Ohm avec mouvement (137) y sera satisfaite.
3.3
Synthèse
En imposant au diélectrique de s’équilibrer avec le régime électrocinétique
des conducteurs, on établit une relation de causalité dans l’établissement du
champ électromagnétique qui consiste à :
– résoudre l’équation de Maxwell-Faraday dans les conducteurs (128) ;
– satisfaire les conditions d’équilibre magnétostatique (74) ou électrostatique
(99) dans l’espace diélectrique (selon le régime quasi-statique …nalement
véri…é) en respectant les conditions de passage (139).
Alors les di¤érentielles des densités d’enthalpie libre magnétostatique (68) et
électrostatique (109) permettent de calculer de manière univoque à chaque instant les enthalpies libres magnétostatique (66) et électrostatique (108) dont les
travaux virtuels (62) procurent la force exercée par le champ électromagnétique
sur l’actionneur :
Fmeca int = gradG
Le tableau 6 résume les di¤érents problèmes à résoudre pour étudier l’évolution du champ électromagnétique dans l’approximation des régimes quasistatiques (voir également la …gure 16) selon le point de vue thermodynamique
exposé à la section (3.2). D’autres formulations duales existent néanmoins (voir
[43][44]).
2 8 On
a utilisé la relation :
k
(
1
grad (
2
x) =
k
k
x)2
puisque successivement :
@ "
x
@x
2
="
"
0 0
0
@ (x x 0 )
=
@x
71
2"
0
0
"
x
d
Mentionnons en…n que le régime permanent ( = 0) n’a pas de signi…cation
dt
globale puisque la présence d’une puissance mécanique engendre nécessairement
des champs et/ou des courants variables dans le système : on ne pourra donc
isoler ce comportement stationnaire que localement.
72
73
Condition aux limites sur @C
Loi de comportement
Equation de Maxwell résolue
Formulation faible
Equation de Maxwell source
Condition de passage sur @C
Loi de comportement
Equation de Maxwell résolue
Formulation faible
Formulation faible
Equation de Maxwell résolue
Loi de comportement
8S
8 H :
C
C [ DQS M :
( e ' 0)
m (@S) = I (S)
d m (S)
8 S C [ DQS M :
e (@S) =
dt
R
R
2
3
d
1
(rotH) d x + dt C[DQS M (B H) d3x
C
R
Quasi-Statique Magnétique (QS-M)
jD Ej
jB Hj
rotH = J
n [H] = 0
C
(H) = rH B
dB
1
rot
rotH =
dt
dB
1
rotH
rot H +
H d3x = 0
dt
DQS M
[B] n = 0
(H) = rH B
divB = 0
R
(
B)
grad
d3x = 0
8
:
DQS M
@B
rotE :=
@t
1
n E := n
J V B
(E) = rE D
divD = 0
R
8 V:
D
grad
Vd3x = 0
DQS M
(67)
(139)
(115)
(99)
(110)
(130)
(75)
(93)
(74)
(71)
(140)
(128)
(93)
(143)
8 S DQS
DQS E :
E
E
D
0
8S
d e (S)
:
m (@S) =
dt
( m ' 0)
e (@S) = 0
R
3
d
dt DQS E (D E) d x
V=V@C
(E) = rE D
divD = 0
R
D
grad
Vd3x = 0
8 V:
DQS E
@D
rot H :=
@t
n [H] := n (V D)
(H) = rH B
divB = 0
R
8
:
(
B)
grad
d3x = 0
DQS E
DQS
N/A
Quasi-Statique Electrique (QS-E)
jD Ej
jB Hj
rot E = 0
n [E] = 0
Tab. 6 –Résolution d’un problème d’électromagnétisme évolutif dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-permanents.
Propriétés
Théorème d’Ampère (45)
intégrales
Loi de Faraday (135)
Contribution à la fonction d’état (59)
Diélectrique
Conducteur
Equation de Maxwell source
Régime
(104)
(34)
(93)
(74)
(71)
(125)
(105)
(115)
(99)
(110)
(142)
4
Bilan de puissance
La description précédente repose sur une analyse globale du système : elle se
prête donc mal à la conception ou au management d’une installation et des dispositifs la constituant. A…n de discuter l’adaptation d’équipements électriques
entre eux, il est utile d’introduire le vecteur de Poynting :
S=E
(156)
H
pour e¤ectuer un bilan de puissance propice à :
– l’identi…cation les di¤érentes contributions intervenant dans ce bilan en
fonction des champs continus. On aboutira à l’expression de la puissance
mécanique développée par le champ électromagnétique sur ses actionneurs
Pmeca int en fonction des champs continus.
– la localisation les di¤érentes contributions sur une partition de l’espace
(Vk ) :
– la notion de puissance électromagnétique Pelec sera introduite grâce à
la localisation de la puissance mécanique, puis
– les hypothèses à satisfaire pour qu’elle coïncide avec la dé…nition usuelle
de la puissance électrique seront analysées, avant de
– détailler les conditions susceptibles d’opérer un transfert de puissance
entre les di¤érents organes électromagnétiques d’un système.
Pour des champs quelconques E et H, la relation d’analyse vectorielle (77)
permet de faire apparaître les résidus des équations de Maxwell-Faraday (138)
et Maxwell-Ampère (30), ainsi que celui de la loi d’Ohm avec mouvement (137) :
div (E
H) =
rotE +
@B
@t
J
H
E
1
E
1
J +V
J2 + H
74
rotH
J
@D
@t
B
@B
@D
+E
+ V (J
@t
@t
B)
75
0
Ii Vk
X
Ii (t)
Z
0
[E
2
Ii (t)
Z
Ii Vk
@
0
0
0
0
ZD
b+ E
!
B] (Vi n) d x
2
B] (Vi n) d2x
2B
Z
4 H
Vi [D
Ii (t)
Z
1
bA d3x
Vi [D
Ii (t)
X Z
Ii Vk
X
H] nd x +
B) d x +
3
dA Vk nd2x +
Vk (J
0
ZD
b+ E
Ck (t)
Z
+
ZB
@ H
0
ZB
d+ H
1
d5 Vi nd2xA
3
(157h)
(157g)
(157f)
(157e)
où :
– Ck = C \ V k désigne les parties conductrices de Vk , éventuellement animées de la vitesse Vk ;
– Ii désigne les interfaces de Vk susceptibles d’exhiber une discontinuité, éventuellement animées de la vitesse Vi .
Outre les formes intégrales des trois résidus des équations de Maxwell-Faraday (157a), de Maxwell-Ampère (157b), et de la loi d’Ohm
avec mouvement (157c), cette expression fait apparaître également :
@Vk (t)
I
Z
d
+
dt Vk (t)
1
0D
Z
@ E
Ck (t)
Par application du théorème de la divergence, le ‡ux rentrant du vecteur de Poynting sur un domaine Vk à pour expression :
I
Z
@B
(E H) nd2x =
rotE +
Hd3x
(157a)
@t
@Vk (t)
Vk (t)
Z
@D
+
rotH J
Ed3x
(157b)
@t
Vk (t)
Z
1
+
J E
J + Vk B d3x
(157c)
Ck (t)
Z
1 2 3
+
J dx
(157d)
76
Ii (t)
Ii (t)
Ii (t)
Ii (t)
soit en développant le double-produit vectoriel dans le premier terme :
Z
Z
2
([E] H) nd x =
(( [B] n) H + ([B] H) n) Vi d2x
Ii (t)
1. La discontinuité tangentielle du champ E permet de faire apparaître :
Z
Z
Z
2
2
([E] H) nd x =
((Vi [B]) H) nd x +
Ii (t)
Z
[B])
(([E] + Vi
(([E] + Vi
[B])
n) Hd2x
H) nd2x
– la puissance Joule PJoule dissipée par les conducteurs Ck Vk (157d) ;
– la contribution du domaine Vk à la puissance du champ électromagnétique (157e) dé…nie par la dérivée particulaire de l’énergie libre
(54) obtenue par transformation de Legendre de l’enthalpie libre (57) en fonction des champs continus (108,66). Par construction :
– dF
dt constitue un invariant galiléen du champ électromagnétique, c’est-à-dire une grandeur indépendante du référentiel galiléen sur
lequel elle est évaluée,
– cette écriture introduit un terme convectif (157f) provoquée par le déplacement de la surface @Vk (respectivement de l’interface
Ii ) exhibant une densité d’énergie libre (respectivement une discontinuité de la densité d’énergie libre) [3]. Sans amoindrir la
généralité du développement, on supposera que le domaine Vk est indéformable et …xe dans le référentiel d’étude pour annuler ce
terme ;
– la puissance mécanique développée volumiquement par les forces de Laplace (157g), complétée par commodité par un terme dit
d’impulsion ;
– les discontinuités éventuelles du vecteur de Poynting (157h) aux interfaces Ii du domaine Vk , retranchées du terme d’impulsion
précédent.
Nous allons montrer que les termes (157h) de ce bilan de puissance se regroupent pour procurer une contribution surfacique à la
puissance mécanique exercée par le champ électromagnétique sur les actionneurs.
En considérant que les discontinuités aux interfaces Ii ne peuvent être provoquées que par des déplacements lents devant c (116), les
termes de (157h) se développent au premier ordre selon quatre expressions qu’il est possible de transformer par des calculs quasiment
similaires :
77
Ii (t)
Ii (t)
Ii (t)
(([H]
Ii (t)
Ii (t)
B) (Vi n) d x =
2
Ii (t)
Z
B) d2x
Ii (t)
Ii (t)
n)
D) d2x
n, il vient :
Vi (([E]
[B])
Ii (t)
En introduisant le double-produit vectoriel (Vi
Z
Z
Vi (D [B]) (Vi n) d2x =
Ii (t)
Z
D (Vi
2
Ii (t)
Z
B (Vi
( (B n) [H] + (B [H]) n) Vi d x
Ii (t)
n)
n, il vient :
Vi (([H]
[D])
Ii (t)
4. La discontinuité tangentielle du champ H permet de faire apparaître :
Z
Z
Vi (D [B]) (Vi n) d2x =
Ii (t)
si bien que :
Z
Vi ([D]
Ii (t)
En introduisant le double-produit vectoriel (Vi
Z
Z
Vi ([D] B) (Vi n) d2x =
Ii (t)
3. La discontinuité tangentielle du champ D permet de faire apparaître :
Z
Z
Vi ([D] B) (Vi n) d2x =
Ii (t)
(([H]
Vi
Vi
B (Vi
(([H]
D (Vi
Vi
(([E] + Vi
[B]) (Vi n) d2x
Ii (t)
Z
B (Vi
[D])
[B])
Vi
[D])
n)) d2x
n)) d2x
[D])
n)) d2x
n) Ed2x
n) Ed2x
(([H]
[D])
[D]) (Vi n) d2x
soit en développant le double-produit vectoriel :
Z
Z
Z
2
2
(E [H]) nd x =
( ([D] n) E + ([D] E) n) Vi d x +
Ii (t)
2. La discontinuité tangentielle du champ H permet de faire apparaître :
Z
Z
Z
(E [H]) nd2x =
((Vi [D]) n) Ed2x +
78
[B]) (Vi n) d x =
2
Ii (t)
Z
0
Ii (t)
B (Vi
(([H]
(([E] + Vi
Vi
n)) d2x
2
n) Hd x +
[D])
[B])
Ii (t)
Ii (t)
Z
Ii (t)
Z0
2D
Z
@ [(D n) E] + 4 E
0
0
2H
Z
@ [(B n) H] + 4 B
D (Vi
[D])
(([E] + Vi
Vi
d5 nA Vi d2x
3 1
h5 nA Vi d2x
3 1
[B])
n)) d2x
(([E] + Vi
n) Ed2x
D (Vi
B] (Vi n) d2x =
(([H]
Vi [D
Ii (t)
Z
[B])
(158d)
(158c)
(158b)
(158a)
n)) d2x
Les écritures (157) et (158) sont remarquables en ce qu’elles exhibent respectivement :
– les résidus volumiques (157b), (157a) et (157c) des équations :
– de Maxwell-Ampère (30) liant les champs sources pour satisfaire la conservation de la charge,
– de Maxwell-Faraday (138) et de la loi d’Ohm avec mouvement (137) caractérisant l’évolution quasi-statique du champ électromagnétique ;
– les résidus surfaciques (158c) et (158d) caractérisant les discontinuités tangentielles :
– satisfaites par les champs sources (34) ;
– du champ électrique (139).
Ii (t)
Z
Ii (t)
Z
+
Z
Ii (t)
Z
Ii (t)
2
( (D n) [E] + (D [E]) n) Vi d x
En regroupant les termes précédents, il vient :
Z
Z
2
[E H] nd x +
Ii (t)
si bien que :
Z
Vi (D
79
La réalisation de ce bilan dans une hypothèse d’évolution quasistatique du champ électromagnétique permet d’annuler l’ensemble de
ces résidus.
4.1
Equilibre thermodynamique global
La décroissance coulombienne des champs E et H obtenue quand Vk V1
garantit l’annulation du ‡ux du vecteur de Poynting sur V1 et procure une
condition globale d’équilibre. L’annulation des résidus volumiques (157a,157b,157c)
et surfaciques (158c,158d) permet de retrouver la relation (55) en fonction
des champs continus. Par identi…cation, la puissance mécanique exercée par
le champ sur les actionneurs s’écrit :
Pmeca
int
=
XZ
Ck (t)
k
+
XZ
i
+
V (J
Ii (t)
XZ
i
Ii (t)
B) d3x
0
2H
Z
4 B
@[(B n) H]
0
0
2 E
Z
4 D
@[(D n) E]
+
3 1
XZ
i
0
h5 nA Vi d2x
3 1
e5 nA Vi d2x
Vi [D
B] (n Vi ) d2x (159)
Ii (t)
On obtient successivement :
– un terme volumique correspondant au travail des forces de Laplace ;
– un terme surfacique d’origine magnétique ;
– un terme surfacique d’origine électrostatique ;
– un terme d’impulsion électromagnétique subi par le champ, qui va s’avérer
nul dans la limite galiléenne.
L’expression (159) montre que les discontinuités aux interfaces sont contributives à la conversion électromécanique. Concrêtement, leurs e¤ets sont souvent
bien plus considérables que la force de Laplace et sont provoqués par le changement de loi de comportement B (H) et D (E) aux interfaces comme nous le
détaillerons dans la section 5.2.
4.2
Equilibre électromagnétique local
L’équilibrage du système a permis d’identi…er la puissance mécanique globale (159) agissant sur le champ électromagnétique. La restriction de (159) au
domaine Vk procure naturellement une localisation de la puissance mécanique
exercée par ce domaine sur l’actionneur :
80
Pmeca
X Z
+
Ii (t)
Ii Vk
+
X Z
Ii (t)
Ii Vk
+
(Vk ) =
int
X Z
Cl Vk
0
@[(B n) H]
0
@[(D n) E]
X Z
Vi [D
B) d3x
Vl (J
Cl (t)
2H
Z
4 B
(160a)
3 1
0
h5 nA Vi d2x
(160b)
e5 nA Vi d2x
(160c)
3 1
2 E
Z
4 D
0
B] (n Vi ) d2x
(160d)
Ii (t)
Ii Vk
où l indice les conducteurs excitant le domaine Vk .
En introduisant les lois de transformation des vitesses (121), des densités
de courants (43) et des champs (122),(124),(133),(141) entre deux référentiels
galiléens, on aboutit après quelques calculs à la relation29 :
P0meca
int
(Vk ) = Pmeca
0
V0 @
int
V0 @
@[(B n) H]
X Z
Ii (t)
(J
0
@[(D n) E]
+
2H
Z
4 B
B) d x
3 1
0
X Z
1
h5 nA d2xA
0
2 E
Z
4 D
!
3
Cl Vk Cl (t)
0
Ii (t)
Ii Vk
V0
(Vk )
X Z
Ii Vk
0
X Z
3 1
1
e5 nA d xA
2
B] (n V0 ) d2x
V0 [D
Ii (t)
Ii Vk
A…n de respecter l’invariance galiléenne de la force résultante agissant sur le
domaine Vk , le terme d’entrainement doit être linéaire en V0 . En raison de son
caractère quadratique, le terme d’impulsion doit donc nécessairement s’annuler
de sorte que la transformation de la puissance mécanique s’écrit :
!
X Z
P0meca int (Vk ) = Pmeca int (Vk ) V0
(J B) d3x
0
V0 @
X Z
Ii Vk
0
V0 @
Ii (t)
X Z
Ii Vk
2 9 On
Cl Vk Cl (t)
0
@[(B n) H]
Ii (t)
0
2H
Z
4 B
0
@[(D n) E]
utilisera en particulier la relation :
(B n) V0
D
+ (D n) V0
B
81
Vi = [D
B]
1
h5 nA d xA
2 E
Z
4 D
0
3 1
2
3 1
1
e5 nA d2xA (161)
nV0 Vi
(nVi ) V0
Cette propriété devant être satisfaite quel que soit le volume Vk , on déduit que :
– le champ (D B) est continu ;
– le terme (160d) est toujours nul ;
dans la limite galiléenne.
Globalement, le système est équilibré entre puissance Joule, puissance du
champ électromagnétique et puissance mécanique exercée par le champ. Localement on introduit la puissance électromagnétique entrante dans Vk comme
l’écart à cet équilibre véri…é par le domaine Vk :
Pelec (Vk ) =
X
PJoule (Cl ) +
Cl Vk
dF (Vk )
+ Pmeca
dt
int
(Vk )
(162)
Cette expression constitue la forme intégrale de l’identité de Poynting. Elle
mesure la transaction de puissance entre les di¤érents dispositifs constituant le
système électrique. L’équilibre global du système se traduisant par la relation :
X
Pelec (Vk ) = 0
(163)
k
on distingue naturellement les domaines :
– consommateurs pour lesquels Pelec (Vk ) > 0 ;
– producteurs ou générateurs pour lesquels Pelec (Vk ) < 0.
En…n, la relation (157) procure évidemment :
I
Pelec (Vk ) =
(E H) nd2x
(164)
@Vk
expression à partir de laquelle on introduira la notion de tension.
Alors que la puissance Joule PJoule est invariante par changement de référentiel galiléen, la loi de transformation des vitesses entre deux référentiels galiléens
(121) procure les relations de transformation :
– de la puissance électromagnétique sur une surface @Vk satisfaisant aux
conditions de la limite quasi-statique magnétique comme ce sera toujours
le cas puisque les conducteurs d’amenées sont toujours décrits selon cette
approximation :
I
P0elec (Vk ) = Pelec (Vk )
((V0 B) H) nd2x
(165)
@Vk (t)
– de la dérivée temporelle de l’énergie libre électromagnétique. En discriminant les régions obéissant aux régimes magnétique ou électrique de l’approximation quasi-statique, les relations de transformation des champs
magnétique (141) et électrique (133) procurent :
Z
dF (Vk )
d
dF0 (Vk )
=
V0 (D B) d3x
dt
dt
dt Vk (t)
soit, puisque le champ (D
B) est continu d’après (161) :
Z
dF (Vk )
@
dF0 (Vk )
=
V0
(D B) d3x
dt
dt
@t
Vk (t)
L’invariance galiléenne de l’énergie libre impose à D B d’être un champ
statique, de fait nul puisque D et B sont nuls en l’absence d’excitation.
82
Finalement, les lois de comportement diélectrique (115) et magnétique (93) procurant l’évaluation grossière :
jD
jE
Bj
1
c
Hj
2
jE
Hj
compte-tenu de (116), la limite galiléenne apparait comme un développement
en puissance du premier ordre en 1c de la théorie de l’électromagnétisme.
4.2.1
Localisation de la fonctionnelle de puissance
Pour un domaine Vk , l’expression de la puissance électromagnétique (162)
s’écrit en fonction des champs étendus :
Pelec (Vk ) =
X Z
Cl
Cl Vk
d
1 2 3
J dx+
dt
Z
Vk
0
ZD
@ E
0
ZB
D+ H
0
1
BA d3x + Pmeca
int
(Vk )
Après transformation de Legendre, cette relation fait apparaître la contribution
de Vk à l’enthalpie libre et exprime la condition d’optimalité (59) restreinte à
Vk :
Pmeca
min
H;EjV
k
(Vk )
X Z
int
Cl Vk
Cl
dG (Vk )
+ Pelec (Vk ) =
dt
!
Z
Z
d
d
2 3
3
3
1
(B H) d x +
(D E) d x
(rotH) d x +
dt Vk
dt Vk nCl
(166)
pourvu que les conditions de continuité du champ électromagnétique soient respectées sur @Vk , c’est à dire que les champs électrique E et magnétique H
admissibles (…gure 17) :
– garantissent la continuité normale du déplacement diélectrique (D (E) n)
sur @Vk n Cl et de l’induction magnétique (B (H) n) à travers @Vk ;
– véri…ent les expressions dégénérées des relations de continuité tangentielle
(34) et (139) exprimées sur les composantes magnétique (H n) et électrique (E n) à travers @Vk selon le régime quasi-statique considéré.
En dérivant de la même écriture variationnelle les puissances électrique et
mécanique, la relation (166) :
– montre qu’elles disposent de la même “qualité” thermodynamique ;
– fonde le caractère “universel” de l’énergie électrique compte-tenu de ses
usages spéci…ques, notamment dans les technologies de l’information et de
la communication.
D’un point de vue plus opérationnel, la relation (166) est très importante
car elle permet de concevoir séparément un composant en l’isolant spatialement
du reste du système électrique en réduisant son interaction avec l’extérieur :
– aux puissances électromagnétique et mécanique qu’il échange : c’est un
problème d’adaptation électromagnétique et mécanique pour les dispositifs
de conversion, d’intégrité de puissance pour les dispositifs de transmission
ou de signal pour les dispositifs de communication ;
83
Fig. 17 –Décomposition d’un système électrique : conditions de passage réalisées par le champ électromagnétique. Les amenées de courant sont indicées par
n, les conducteurs actifs par q, les conducteurs passifs par p.
– à la continuité du champ électromagnétique sur @Vk : c’est un problème
d’immunité ;
de telle façon qu’il soit en particulier possible de traiter séparément les dispositifs obéissant au régime quasi-statique magnétique (actionneurs, transformateurs, connectiques) de ceux décrit par un régime quasi-statique électrique
(condensateurs). Il s’agit donc d’une approche de type “champ moyen” puisqu’un composant donné ne subit du reste du système que :
– son bilan de puissance électrique et mécanique, et
– son comportement électromagnétique résultant sur sa surface @Vk , sans
en voir l’organisation détaillée.
L’ensemble de ces phénomènes constitue la compatibilité électromagnétique (CEM)
d’un dispositif avec son environnement.
On introduit alors naturellement la distinction entre :
– conducteurs actifs ou sources Cq(k) coupant la surface @Vk et par conséquent susceptibles d’être excités par un générateur ou d’alimenter une
charge extérieurs à Vk . L’intersection Cq(k) \ @Vk dé…nit les amenées de
courant excitant le domaine Vk , indicées par n (q (k)) ou jn (k)j
2. Si
jn (k)j = 2, on parle de dipôle, sinon de multipôle ;
– conducteurs passifs Cp(k) subissant le champ électromagnétique régnant à
l’intérieur de Vk sans que leur comportement ne puisse être forcé directement par une source ou une charge depuis l’extérieur de Vk .
On a évidemment :
[
[
[
Cl(k) =
Cq(k) [
Cp(k)
l
q
84
p
Dans l’approximation la plus simple, justi…ée par :
– une intégration su¢ samment faible des composants ; et
– des amenées …liformes dont le couplage avec le reste du système garantit
localement l’équilibre des courants ;
le champ électromagnétique peut être considéré comme évanescent sur @Vk si
bien que la puissance électromagnétique :
– ne dépend plus de @Vk ;
– coïncide avec l’expression usuelle de la puissance électrique.
4.2.2
Puissance électrique
On examine successivement :
– une cavité diélectrique polarisée par des armatures conductrices formant
un domaine totalement fermé ;
– un domaine excité par des bobinages formant un domaine simplement
connexe ;
– un conducteur en régime permanent.
On reviendra ensuite sur la transmission de la puissance électrique entre composants, notamment dans la situation où ils réalisent une intégration plus poussée.
Régime quasi-statique électrique Le domaine Vk constitue un espace diélectrique polarisé par des surfaces conductrices Sq(k) portées aux potentiels
V (Sq ) su¢ samment faibles et lentement variables pour que les courants de
charge n’excitent pas de couplage magnétique signi…catif dans Vk . Il est alors
possible d’étendre aux régimes variables le potentiel scalaire électriqueSV dont
dérive le champ électrique E en régime statique (103). En notant Sk = q(k) Sq ,
l’expression (164) devient :
Z
Pelec (Vk ) =
(gradV H) nd2x
(167)
@V k nSk
puisque les surfaces métalliques Sq réalisent des équipotentielles. Dans le cas
capacitif où les armatures sont volontairement proches, cette expression est indéterminée puisque la surface d’intégration @V k n Sk est arbitrairement petite à
mesure que l’intégrande diverge. A…n d’isoler la singularité, on utilise la relation
d’analyse vectorielle :
rot (au) = grada
H + arot u
(168)
et le théorème de Stokes pour écrire :
Z
(gradV
@V k nSk
Z
@V k nSk
H) nd2x =
I
V (H t) dx
@(@V k nSk )
V (rotH n) d2x
XZ
Ii
85
Ii \(@V k nSk )
V (nIi
[H]) n@Sk dx
L’expression (164) devient :
Pelec (Vk ) =
Z
X
V (Sq )
I
(H t) dx
@Sq
q(k)
2
V (rotH n) d x
@V k nSk
XZ
Ii
Ii \(@V k nSk )
V (nIi
[H]) nSk dx
soit, en introduisant l’expression de la force magnéto-motrice (37) :
Pelec (Vk ) +
Z
X
V (Sq )
I
((Vq D) t) dx =
@Sq
q(k)
2
V (rotH n) d x
@V k nSk
XZ
Ii
X
V (Sq )
m
(@Sq )
q(k)
Ii \(@V k nSk )
V (nIi
[H]) nSk dx
Cette expression montre que Pelec n’est pas un invariant galiléen30 mais doit être
corrigé par un terme d’entrainement mécanique pour coïncider avec la puissance
du champ électrique dans le référentiel propre des armatures. Compte-tenu de
l’équation de Maxwell-Ampère (125) et de la condition de continuité (34), les
deux derniers termes correspondent au champ rayonné par les courants de déplacement (24) aux bords des armatures. Ces “e¤ets de bords”sont négligeables
pour j@V k n Sk j ! 0. Ainsi, dans situation idéale où le domaine Vk forme une
cavité totalement fermée par des armatures conductrices Cq(k) , la puissance électromagnétique exprimée dans le référentiel propre des armatures prend une valeur intrinsèque notée Pelec (k) ne dépendant que de grandeurs agrégées scalaires
appelée puissance électrique. Après transformation par le théorème d’Ampère
(45), il vient :
Pelec (k) =
X
V (Sq )
m
(@Sq ) =
q(k)
X
q(k)
V (Sq )
d
(Sq )
dt
e
(169)
Alors que les surfaces Sq polarisent la cavité diélectrique Vk selon un régime
quasi-statique électrique, les surfaces @Cq nSq satisfont aux hypothèses du régime
quasi-statique magnétique. Ainsi D est négligeable sur @Cq n Sq et le théorème
de Gauss (23) procure :
Qq =
e (Sq )
L’équation de conservation de la charge (47) permet d’obtenir les courants de
charge (i.e. rentrant) :
dQq
d e (Sq )
Iq =
=
(170)
dt
dt
si bien que la puissance électrique (169) devient, dans le référentiel propre des
armatures :
X
Pelec (k) =
V (Sq ) Iq
(171)
q(k)
3 0 Cette propriété peut d’ailleurs être retrouvée à partir des relations de transformation des
champs puisque :
I
0
Pelec
(Vk ) = Pelec (Vk ) +
E
V0 D
nd2x
@Vk (t)
86
Compte tenu de l’identité de Poynting (162), la conservation de la puissance
électrique exprimée dans le référentiel propre des amenées procure une relation
entre courants “entrants” et potentiels “aux bornes” :
Pelec (k) =
X
dFe (Vk )
dt
V (Sn ) In =
n(k)
(172)
qui restera valide pour des cavités diélectriques totalement fermées par des armatures conductrices a…n que les e¤ets de bord soit négligeables.
Régime quasi-statique magnétique En tenant compte des discontinuités
du vecteur de Poynting aux interfaces Ii
Vk , l’expression de la puissance
électromagnétique (164) se développe au premier ordre selon :
Z
X Z
@B 3
dx
[E H] nd2x (173)
Pelec (Vk ) =
E rotH + H
@t
Ii
Vk
Ii Vk
La conservation de l’induction magnétique (74) a permis d’introduire un potentiel vecteur magnétique continu A (76) pour lequel :
B = rot A
La relation d’analyse vectorielle (77) et le théorème de la divergence permettent d’écrire :
I
@A
H nd2x =
@t
@Vk
Z
X Z
@B @A
@A
3
H
rot H d x +
H nd2x
@t
@t
@t
Vk
Ii
Ii Vk
si bien que l’expression de la puissance électromagnétique se transforme selon :
Pelec (Vk ) =
Z
E+
Vk
X Z
Ii Vk
Ii
@A
@t
rot H d3x
@A
E+
@t
H
2
nd x +
I
@Vk
@A
@t
H
nd2x
D’après l’équation de Maxwell-Faraday (138), le champ E + @A
@t dérive d’un
potentiel scalaire continu qui coïncide avec le potentiel électrique V en régime
statique (103) :
@A
= gradV
(174)
E+
@t
Sa généralisation en régime dynamique et son prolongement aux régions
conductrices Cl Vk procurent :
Z
X Z
Pelec (Vk ) =
( gradV rot H) d3x +
[gradV H] nIi d2x
Vk
Ii Vk
Ii
+
I
@Vk
87
@A
@t
H
nd2x
La seconde intégrale se transforme grâce à la relation (168) et au théorème de
Stokes :
Z
I
[gradV H] nd2x =
([VH] t) dx
Ii
@I i
Z
X Z
([Vrot H] n) d2x
nJj [VH] nIi dx
Ii
Jj
Ii
Jj
Les relations (144) et (143) assorties de la continuité de V imposent aux deux
derniers termes d’étre nuls. La discontinuité de H est par construction nulle sur
@I i
Vk , si bien que l’expression de la puissance électromagnétique se réduit
à:
Z
I
@A
H nd2x
Pelec (Vk ) =
( gradV rot H) d3x +
@t
Vk
@Vk
Il est également possible de transformer la première intégrale grâce à la relation
(72) et au théorème de la divergence :
Z
3
( gradV rotH) d x =
Vk
I
V (rot H n) d2x
@Vk
+
X Z
Ii
Ii Vk
V ([rot H] nIi ) d2x
pour que, compte tenu de (144), l’expression de la puissance électromagnétique
en régime quasi-statique magnétique (173) s’écrive …nalement :
I
I
@A
2
H nd2x
Pelec (Vk ) =
V (rot H n) d x +
@t
@Vk
@Vk
En désignant par V la vitesse d’entrainement, la dérivée particulaire d’un
champ introduit un terme convectif tel que :
@A
dA
=
+ (V grad) A
dt
@t
qu’il est possible de transformer grâce à la relation d’analyse vectorielle :
grad (a b) = a
rotb + b
rot a + (a grad) b + (b grad) a
selon :
dA
@A
=
V rot A + grad (A V)
dt
@t
pour une vitesse d’entrainement V uniforme et homogène. Comme précédemment il vient grâce à (168), au théorème de Stokes et à la condition de continuité
(143) :
Pelec (Vk )
I
@Vk
((V
I
rotA)
(V
H) nd2x =
A V) (rot H n) d2x +
@Vk
I
@Vk
88
dA
dt
H
nd2x
Cette expression montre que Pelec n’est pas un invariant galiléen mais doit
être corrigé par un terme d’entrainement mécanique pour procurer la puissance
électromagnétique dans le référentiel propre31 :
I
Pelec (Vk )
((Vk rot Ak ) H) nd2x =
@Vk
I
Vk (rot H n) d2x +
@Vk
I
@Vk
dAk
dt
H
nd2x
où les potentiels dans le référentiel propre de Vk obéïssent aux relations de
transformation :
Vk = V
Ak = A
A Vk
La surface d’intégration @Vk présente n (k)
2 intersections Sn = @Vk \
Cq avec les conducteurs actifs Cq
Vk qu’il est d’usage de choisir selon des
équipotentielles V (Sn ). En introduisant l’expression de la force magnéto-motrice
(37)32 , il reste :
I
Pelec (Vk )
((Vk rot Ak ) H) nd2x =
@Vk
X
V (Sn )
m
(@Sn ) +
I
@Vk
n(k)
dAk
dt
H
nd2x
Pour une surface d’intégration @Vk su¢ samment lointaine du dispositif dont
on veut préciser la puissance électromagnétique, la décroissance coulombienne
de l’induction magnétique B assure une décroissance du terme de rayonnement
dAk
H su¢ samment rapide pour que son intégrale soit arbitrairement petite.
dt
Néanmoins, cette condition est topologiquement restrictive puisque la surface
@Vk devra englober l’ensemble du dispositif qui ne peut en conséquence présenter
de “source sur @Vk ”. Nécessairement :
– le domaine Vk devra non seulement ne pas présenter de “trous”–on parle
de domaine simplement connexe – pour que le terme de rayonnement ne
soit nulle part signi…catif ; mais encore :
– le couplage du dispositif avec le reste du système devra garantir localement
l’équilibre des courants :
X
In = 0
n(x2@Vk )
de sorte qu’à l’échelle de @Vk :
3 1 Cette propriété peut être retrouvée à partir des relations de transformation du champ
électrique directement exprimée à partir du vecteur de Poynting :
I
0
Pelec
(Vk ) = Pelec (Vk )
V0 B
H nd2x
@Vk (t)
Ainsi, les relations de transformation des potentiels entre référentiels galiléens sont :
V0 = V
A V0
0
A =A
où
V0
désigne la vitesse d’entrainement du référentiel (0 ).
rappelle que D ' 0 dans le régime quasi-statique magnétique.
3 2 On
89
Fig. 18 – Exemples de couplages : à gauche, transformateur triphasé (gamme
Trihal fabriquée par France-Transfo) pour lequel les phases primaires -couplées
sont rapportées dans un bornier ; à droite, canalisation électrique préfabriquée
(KSA 600A fabriquée sous la marque Telemecanique) pour laquelle les amenées
sont réparties aux deux extrémités de la canalisation. Idéalement chacun de ces
couplages réalise un système de courants localement équilibré modélisé selon
une approximation multipolaire.
– les amenées constituent localement une distribution multipolaire de courants pour laquelle le terme de rayonnement sera arbitrairement petit
pour des amenées su¢ samment proches,
– les …ls d’amenée réalisent l’approximation …liforme pour laquelle Ak
n = 0 sur @V k \ Cq puisque la partie singulière de Ak est colinéaire aux
courants [2][6].
Dans la plupart des cas les amenées sont raccordées en un seul lieu de couplage
électrique (bornier) : ce sera notamment le cas des dispositifs de conversion électromagnétique ou électromécanique. Dans le cas contraire, inévitable dès qu’il
s’agit de “transmettre” de l’électricité, on parle de dispositifs multi-connectés
(…gure 18).
Cette situation idéale où les dispositifs sont su¢ samment éloignés pour que
l’intégrale du terme de rayonnement soit négligeable33 confère à la puissance
électromagnétique d’un dispositif k exprimée dans le référentiel propre de ses
amenées d’être une grandeur intrinsèque appélée puissance électrique et notée
Pelec (k) ne dépendant que de grandeurs agrégées scalaires :
X
Pelec (k) =
V (Sn ) m (@Sn )
(175)
n(k)
comme cela était déjà le cas pour les régimes quasi-statiques électriques (169).
3 3 On dit également dilués, peu intégrés voire isolés bien que cette expression ne soit pas liée
à une propriété diélectrique.
90
Dans le référentiel propre des amenées, le théorème d’Ampère (48) procure :
X
X
Pelec (k) =
V (Sn ) I (Sn ) =
V (Sn ) In
(176)
n(k)
n(k)
où In désigne le courant de ligne –ou de branche –rentrant dans l’amenée n.
Compte tenu de l’identité de Poynting (162), la conservation de la puissance
électrique exprimée dans le référentiel propre des amenées procure une relation
entre courants “entrants” et potentiels “aux bornes” :
Pelec (k) =
X
n(k)
V (Sn ) In =
X
PJoule (Cl ) +
Cl Vk
dFm (Vk )
+ Pmeca
dt
int
(Vk ) (177)
qui restera valide pour des dispositifs :
– su¢ samment éloignés les uns des autres ;
– dont le couplage avec le reste du système garantit localement l’équilibre
des courants ;
a…n que l’intégrale de rayonnement soit négligeable.
Régime permanent Le régime permanent, décoré par (f), est caractérisé
par :
– une puissance électrique délivrée ou consommée constante ;
– une distribution de courant (de ligne) constante, également appelé courant
continu 34 .
Nous avons déjà mentionné l’impossibilité que l’ensemble d’un système électrique réel soit décrit selon un régime permanent, que ce soit en raison :
– de la présence de pièces mécaniques mobiles (cas de alternateurs, moteurs
et actionneurs au sens large) ;
– de ‡uctuations de charge coté demande puis d’ajustements de génération ;
ou plus simplement
– de défaillance.
Il est par contre possible que quelques composants d’un système fonctionnent
selon un régime permanent. Nous examinons dans cette partie comment chacun des régimes quasi-statiques est susceptible de dégénérer selon un régime
permanent.
Régime électrique Il s’agira de dispositifs actifs de génération pour lesquels :
X
e elec (k) =
e (Sn ) eIn
P
V
n(k)
e (Sn ) sont …xés intrinsèquement par des procédés de converoù les potentiels V
sion plus ou moins réversible. On citera :
– les photodiodes semi-conductrices (ou cellules photovoltaïques) transformant une puissance radiative incidente en puissance électrique. La largeur
de la bande interdite du semi-conducteur …xe alors le seuil de la di¤érence
de potentiel apparaissant aux bornes de la cellule.
3 4 Direct
Current (DC) dans la litterature anglo-saxonne.
91
e elec (Vk ) > 0 ou se déchargeant P
e elec (Vk ) <
– les accumulateurs se rechargeant P
e
0 grâce à une conversion électrochimique. Les potentiels V (Sn ) sont imposés ici par les couples “redox”et constituent des constantes d’évolution
des réactions. Dans le cas des piles, seul le phénomène de décharge est
possible, traduisant la dégradation irréversible des électrodes.
Régime électrocinétique Dans le cas le plus général, la dérivée temporelle de l’énergie libre d’un domaine Vk excité par une distribution de courants
In indépendants s’écrit, d’après (83) :
dFm (Vk ) X @Fm (Vk ) @ mi dIn
=
dt
@ mi
@In dt
i;n
de telle sorte qu’il ne peut pas exister de source de puissance magnétique en
régime permanent. Il reste :
X
X Z
1
e
e 3x
e
e
e
Pelec (k) Pelec (Vk ) =
PJoule (Cl ) =
rot H
rot Hd
Cl Vk
Cl Vk
Cl
de sorte qu’un régime permanent quasi-statique magnétique se limite, du point
de vue de la puissance consommée, à l’étude de composants passifs35 tels que
les résistances, et plus généralement tout composant électronique aux caractéristiques plus ou moins linéaires, siège de phénomènes dissipatifs décrits par l’e¤et
Joule (41) : On parle de régime électrocinétique.
Ce cas de …gure constitue néanmoins le fonctionnement le plus favorable au
sens de la réversibilité puisque tout champ magnétique H admissibles véri…ant le
théorème d’Ampère (48) autour des conducteurs actifs alimentés par les courants
sources In(k) véri…e l’inégalité :
X Z
Cl Vk
1
2
(rotH) d3x
Cl
0
min @
H
X Z
Cq Vk
1
Cl
=
1
2
(rotH) d3xA
X Z
Cq Vk
Cq
1
e
rot H
2
d3x
donc en particulier n’importe quel régime variable dont les courants d’excitation
coïncident instantanément avec la distribution de courant In(k) procurera des
pertes Joule supplémentaires.
Dans le cas dipolaire (jn (k)j = 2), il est utile d’introduire le champ magnétique h normé pour un courant continu d’excitation I de 1 A :
h=
H
I
pour dé…nir la résistance (d’une branche C) du circuit :
Z
Z
2 3
1
e
R = min
(roth) d x =
rot h
h
C
C
1
e 3x
rot hd
(178)
3 5 Bien que cela soit source de confusion, on notera que l’usage quali…e d’actif ou passif des
composants comme des conducteurs : alors que les composants actifs sont susceptibles d’exhiber une di¤érence de potentiel sans débiter de courant, les conducteurs actifs sont seulement
susceptibles d’être excités par un courant source.
92
et caractériser l’e¤et Joule à partir des seules caractéristiques du matériau :
e Joule (C) = RI2
P
La résistance R est par construction une grandeur positive.
Dans le cas où la résistivité est homogène sur la p
section s du conducteur et
le rayon de courbure R du …l est très grand devant jsj, la densité de courant
e
est uniforme sur la section du conducteur orientée par son vecteur t = jsj rot h.
La relation (178) se simpli…e selon :
!
Z
Z
Z
2
1
1
2
1
1
R=
d x dx =
dx
jsj
(x)
jsj
(x)
L
s
L
où L désigne la …bre neutre du conducteur. Pour un …l résistif homogène de
section constante, on retrouve l’expression classique de la résistance36 :
1 jLj
R=
(179)
jsj
Pour un régime faiblement variable dans le temps, l’e¤et de peau reste très
peu marqué (149) :
p
jsj
si bien que les pertes Joule dans les bobinages actifs restent données par le
régime permanent : cette condition procure un sens physique à la limite …liforme.
Moyennée sur un cycle de fonctionnement (t 2 [0; ] ; < 1) :
1
I
0
e Joule (C) dt = R 1
P
I
I2 dt > 0
0
la puissance Joule (également appelée “pertes par cycle”) fait naturellement
apparaitre la moyenne quadratique du courant circulant dans le conducteur :
v
u I
u
u1
I=t
I2 dt
0
dénommée intensité e¢ cace en régime harmonique.
4.2.3
Aspects de Compatibilité Electro-Magnétique (CEM)
Dans l’approximation la plus simple réalisant :
– une intégration su¢ samment faible des dispositifs décrits dans le régime
quasi-statique magnétique pour lesquels les couplages véri…ent localement
l’équilibre des courants, le champ électromagnétique pourra être considéré comme évanescent sur @Vk et la puissance électrique indépendante
3 6 On
remarque que cette expression ne nécessite pas un circuit fermé.
93
de @Vk . Alors le fonctionnement du dispositif est donné par la condition
d’optimalité :
Pmeca
int
(Vk )
dGm (Vk ) X
+
V (Sn ) In =
dt
n(k)
min
H
X Z
Cl Vk
Cl
1
d
(rotH) d x +
dt
2 3
Z
Vk
3
!
(B H) d x
(180)
où les champs magnétiques H admissibles véri…ent le théorème d’Ampère
(48), les courants sources In dans les conducteurs actifs étant …xés à chaque
instant par des générateurs.
– une cavité fermée pour les dispositifs décrits dans le régime quasi-statique
électrique pour que les e¤ets de bords y soient négligeables, le fonctionnement du dispositf est régi par la condition d’optimalité :
Z
d
dGe (Vk ) X
V (Sn ) In = min
+
(D E) d3x
Pmeca int (Vk )
E
dt
dt Vk
n(k)
(181)
où les champs électriques E admissibles dérivent d’un potentiel (103) dont
les valeurs sur les armatures V (Sn ) sont …xées à chaque instant par des
générateurs de tension. Le terme de puissance mécanique Pmeca int est le
plus souvent négligeable pour ce régime.
Selon les variations temporelles qui lui sont imposées, un dispositif est susceptible :
– de s’éloigner de ce fonctionnement idéal sous l’in‡uence des champs rayonnés : il y a alors perte d’immunité ;
– d’opérer une transition entre ces deux fonctionnements idéaux : il y a alors
perte d’intégrité de puissance.
Intégration et immunité des dispositifs Dans le cas général, on est conduit
à tenir compte des conditions aux limites du champ électromagnétique sur @Vk :
c’est le problème d’immunité (au champ rayonné) entre dispositifs. Deux cas de
…gures se présentent alors :
– la conception du dispositif est su¢ samment robuste pour être insensible
au champ électromagnétique sur @Vk : on retombe alors dans le cas idéal
précédent ;
– l’environnement électromagnétique perturbe ou est perturbé par le dispositif. La conception doit alors tenir compte de ce couplage électromagnétique dans le fonctionnement réel :
– en modi…ant la topologie du domaine d’étude pour tenter de se ramener
au cas précédent ; ou
– en blindant le dispositif pour le rendre insensible aux champs électromagnétiques ou qu’il ne pollue pas son environnement ; ou, si aucune de
ces deux solutions n’est possible
– en tenant compte des conditions au limites sur @Vk et leurs variations
dans le temps, notamment au regard des constantes d’évolution du dispositif. L’analyse des champs rayonnés (par les courants de déplacement
en régime quasi-statique électrique et par le champ magnétique en ré94
gime quasi-statique magnétique) montre que leurs e¤ets sont d’autant
plus prononcées :
– au voisinage des connectiques de couplage électrique dans le cas quasistatique magnétique et des bords des armatures dans le cas quasistatique électrique, et
– que les fréquences (ou les variations temporelles) sont grandes.
Alors que les courants et potentiels appliqués au dispositif dé…nissent sa
puissance électrique et fondent sa consigne (selon (171) et (176)) :
X
Pelec (k) =
V (Sn ) In
(182)
n(k)
son fonctionnement réel est gouverné par la puissance électromagnétique Pelec (Vk )
(164) qui lui est réellement transmise –donc y compris par les champs rayonnés
– : ce biais entre consigne et fonctionnement constitue une des di¢ cultés de la
compatibilité électromagnétique.
Transmission et intégrité de la puissance L’analyse du vecteur de Poynting au voisinage d’un conducteur actif permet d’accéder à l’orientation du ‡ux
de puissance entre dispositifs (…gure 19). Elle montre en particulier que les
charges réparties à la surface des conducteurs actifs sont essentielles pour justi…er le transfert de puissance entre dispositifs. Inversement, leur présence est à
l’origine de courants de déplacement parasites entre conducteurs qui atténuent
d’autant plus la puissance électrique e¤ectivement transportée que la fréquence
est élevée (ou le régime transitoire brutal). Au delà d’une certaine fréquence,
ces courants de déplacement seront à l’origine d’une perte de l’intégrité de la
puissance (transmise), correspondant à la commutation de l’espace diélectrique
d’un régime quasi-statique magnétique – à même d’alimenter la charge selon
le fonctionnement désiré – à un régime quasi-statique électrique où l’in‡uence
capacitive entre les amenées de courants shunte la charge. Dans notre formalisme, cette transition est obtenue quand le couplage électrostatique procure
une contribution (181) plus favorable au comportement réversible du système
global –i.e. inférieure –que la contribution (180) correspondant au maintien du
couplage magnétique. On conçoit dès lors que l’intégration des dispositifs –qui
favorise les courants de déplacement – soit un facteur défavorable à l’intégrité
de la puissance.
5
Décomposition d’un système électrique
La partie précédente a permis de décrire l’équilibre global d’un système électrique et de particulariser le bilan de puissance sur chaque domaine d’une partition de l’espace isolant judicieusement chaque dispositif. Nous proposons ici de
retrouver les caractéristiques usuelles des dispositifs électromécaniques :
– la notion de tension sera introduite naturellement à partir de la puissance
électrique. On verra en particulier sous quelle condition la tension coïncide
avec la di¤érence de potentiel ;
– les éléments du torseur dynamique (force, couple) seront explicités et particularisées selon le type de matériau participant à l’actionnement. On
proposera une classi…cation succincte de l’actionnement, et on retrouvera
95
Fig. 19 – Echange de puissance entre un générateur et une charge. Alors que
le vecteur de Poynting est radial dans les conducteurs traduisant l’existence de
pertes par e¤et Joule, la présence de charges à la surface des conducteurs est
déterminante pour justi…er le transfert de puissance depuis le générateur jusqu’à
la charge. Selon cette représentation, le transfert de puissance se produit dans
l’espace diélectrique que les conducteurs polarisent.
l’expression de la force de Lorentz en considérant le cas limite de la particule élémentaire. On examinera en…n les conditions d’application du tenseur de Maxwell.
5.1
Notion de tension
Qu’il s’agisse de régimes quasi-statique électrique ou quasi-statique magnétique, l’expression de la puissance électrique dans le référentiel propre des armatures (171) ou des amenées de courant (176) admet une écriture unique pour
des dispositifs su¢ samment éloignés (on dit aussi faiblement intégrés ou spatialement dilués). Dans le cas d’un dispositif multiconnecté, la loi des noeuds (49)
permet d’introduire un potentiel arbitraire VN appelé neutre pour lequel :
Un = V (Sn )
VN
(183)
désigne la tension simple. Sous cette dé…nition, on retrouve l’expression usuelle
de la puissance électrique :
X
Pelec (k) =
Un In
(184)
n(k)
96
où In désigne le courant de ligne rentrant, alors que l’équilibre global du système
est donné par la relation (163).
Alors qu’une di¤érence de potentiel37 est évaluée entre deux surfaces équipotentielles quelconques, la tension est une notion intimement liée à celle de
puissance pour des fonctionnements :
– idéalisés : respectivement une cavité diélectrique fermée dans le régime
quasi-statique électrique, une faible intégration et un circuit totalement
bouclé dans le régime quasi-statique magnétique pour annuler l’intégrale
de rayonnement ;
– étudiés dans le référentiel propre du dispositif : respectivement le référentiel des armatures dans le régime quasi-statique électrique, celui des
amenées de courants dans le régime quasi-statique magnétique.
Sous ces conditions, la tension composée entre deux amenées coïncide avec leur
di¤érence de potentiel :
Unn0 = V (Sn )
V (Sn0 )
(185)
de sorte que la somme des tensions composées le long d’un circuit fermé est
nulle : Cette propriété constitue la loi des mailles ou seconde loi de Kirchho¤.
La relation (184) montre qu’il est possible de piloter une charge :
– “en tension”, son comportement résultant de la puissance électrique qui
lui est transmise par l’intermédiaire des courants de ligne ;
– “en courant”, son comportement résultant de la puissance électrique qui
lui est transmise par l’intermédiaire des tensions exhibées aux bornes des
amenées.
Néanmoins, hormis le cas dipolaire, la relation (184) ne fournit pas une
expression explicite des tensions composées.
5.1.1
Couplage entre circuit(s) électrique(s) et champ électromagnétique
Pour deux amenées connectées entre elles dans Vk (respectivement deux
armatures en in‡uence), il est possible de reprendre la dé…nition (164) et la
succession de calculs (173-176) (resp. (167-171)) pour montrer que la tension
composée véri…e également l’expression :
I
Unn0 =
(Ek hnn0 ) nd2x
(186)
@Vk
où :
– Ek désigne le champ électrique dans le référentiel propre des amenées de
courant ou des armatures ;
– hnn0 représente un champ magnétique unitaire admissible, i.e. véri…ant
(seulement) l’équation de Maxwell-Ampère (67) (resp. (125)) et obtenu
pour un courant libre (resp. courant de déplacement) de 1 A circulant entre
de l’amenée n vers l’amenée n038 (resp. de l’armature n vers l’armature
n0 ).
3 7 On
parle également, mais abusivement, de tension partielle.
choix possible pour hnn0 consiste à adopter le champ créé dans le vide par la distribution de courant j procurée par la résolution électrocinétique entre de les amenées n et n0
pour lequel on connait une solution analytique grâce à la formule de Biot et Savart [9].
3 8 Un
97
Les relations (186) sont très utiles pour l’étude des systèmes de courants polyphasés car elles procurent un ensemble de relations linéaires entre le champ
électrique recherché Ek et les tensions composées appliquées aux bornes du dispositif. Ainsi :
– pour des courants de ligne In0 …xés par des généraleurs de courants, les
champs magnétiques admissibles H devront satisfaire au théorème d’Ampère (45) sur chaque inducteur (resp. dans l’espace diélectrique). Les tensions composées seront obtenues à l’issue de la résolution par simple différence de potentiel (185) ou par utilisation de (186) ;
– pour des tensions composées Unn0 …xées par des générateurs de tension, les
champs électriques admissibles E k devront satisfaire à la relation (186).
Les courants de ligne (resp. charge) seront obtenus par utilisation du théorème d’Ampère (48) ou grâce à la dé…nition (36) (resp. la relation (170)).
5.1.2
Composants dipolaires
Les expressions de la puissance et de la tension se simpli…ent pour des composants dipolaires pour lesquels le courant de branche I = I1 = I2 coïncide
avec sa variable d’état (ou sa dérivée) :
Pelec = V (S1 ) I1 + V (S2 ) I2 = (V (S1 )
V (S2 )) I1 = (U1
U2 ) I = U12 I (187)
où U12 est la tension (composée) entre les bornes du dipôle (orientée par I1 ) :
on retrouve ici que la convention récepteur découle directement des conventions
adoptées pour l’étude thermodynamique pour laquelle une énergie reçue est
comptée positivement. On examine successivement :
– les condensateurs ;
– les bobines inductrices
où siègent respectivement un régime quasi-statique électrique et quasi-statique
magnétique.
Condensateurs Dans le cas particulier de deux armatures conductrices Cq
dont une partie des surfaces Sq @Cq (q = 1; 2) réalisent une in‡uence parfaite,
on a :
e (S1 ) =
e (S2 )
où S1 [ S2 forme une cavité diélectrique fermée D où siège un régime quasistatique électrique et à l’extérieur de laquelle règne un régime quasi-statique
magnétique. Ainsi D est négligeable sur @Cq n Sq et le théorème de Gauss (23)
procure :
Z
Qq =
e
d2x
(Sq ) =
Sq
Alors la puissance électrique (169) s’écrit dans le référentiel propre des armatures :
dFe
dQ1
=
(D)
Pelec = (V (S1 ) V (S2 ))
dt
dt
Pour un milieu diélectrique linéaire, la dérivation de l’énergie libre électrostatique (113) procure la tension entre les bornes de deux conducteurs en in‡uence
parfaite :
V (S1 ) V (S2 ) = C 1 11 + C 1 22 2 C 1 12 Q1
98
L’inversion de la matrice capacitance (111) permet d’introduire la capacité mutuelle de deux conducteurs en in‡uence parfaite :
C=
1
C
1
11
+C
1
22
2C
1
=
12
C11 C22 C212
C11 + C22 + 2C12
Un condensateur réalise une in‡uence parfaite quels que soient les potentiels
V (S1 ) et V (S2 ). Alors les lois de comportements globales (112) fournissent :
C = C11 = C22 =
C12 > 0
de sorte que :
– la tension véri…e :
U12 = V (S1 )
Q1
=
C
V (S2 ) =
Q2
C
(188)
– l’énergie (113) et l’enthalpie (108) libre électrostatique s’écrivent :
Fe (D) =
1 Q2
2 C
Ge (D) =
1
CU2
2
(189)
En…n, l’équation de conservation de la charge (47) permet de préciser les courants de charge :
dQ1
dQ2
I1 =
=
= I2
dt
dt
si bien que la puissance électrique s’écrit également :
Pelec = (V (S1 )
V (S2 )) I1 = U12 I1 = (V (S2 )
V (S1 )) I2 = U21 I2
(190)
Bobine inductrice Il est remarquable de constater que la puissance électrique (187) reste invariante pour n’importe quelle distribution de courant J
satisfaisant au théorème d’Ampère (45) dès lors qu’elle respecte le courant I
dans les amenées. En e¤et :
Z
Z
I
Pelec = U12 I = V (S1 )
( J n) d2x V (S2 )
(J n) d2x =
(J n) Vd2x
S1
S2
@C
Alors, par application du théorème de la divergence et grâce à la relation (72),
il vient :
I
Z
Z
XZ
Pelec =
(J n) Vd2x =
J gradVd3x
divJ Vd3x
[VJ ] nd2x
@C
C
C
I C
I
(191)
Pour un régime quasi-statique magnétique :
– le second terme est nul d’après (40) ;
– le dernier terme est également nul en raison de la conservation de la charge
(144) aux interfaces I C et de la continuité du potentiel scalaire V ;
et il reste grâce à (174) :
Z
@A 3
Pelec =
J
E+
dx
@t
C
Il est alors intéressant de considérer la solution électrocinétique obtenue en l’absence de régime variable dans la fonctionnelle (59) qui par conséquent s’identi…e
99
e obtenue pour la solution électrociavec (56). La densité de courant continu J
nétique obéit à la loi d’Ohm (137) de sorte que la relation précédente devient
en présence d’une bobine conductrice déformable :
Z
Z
Z
e Jd3x + J
e @A d3x
e (V B) d3x
Pelec =
E
J
@t
C
C
C
puisque le tenseur conductivité est symétrique. Or le champ électrique obtenu
e de sorte que :
pour la solution électrocinétique dérive du potentiel V
Z
Z
e Jd3x = RI2
e d3x
e J J
E
gradV
C
C
e le dernier terme est nul de sorte que
En invoquant la relation (191) pour J et J
la puissance électrique s’écrit :
Z
@A
2
e
V B d3x
Pelec = RI + J
@t
C
e correspondant à celle du régime permanent continu, la
La densité de courant J
seconde intégrale peut être restreinte au seul conducteur actif (bobine). Cette
relation est globalement à rapprocher de la relation (177). Néanmoins, il serait abusif de conclure que RI2 s’identi…e aux pertes Joule dans le cas général
puisque :
– la bobine active peut être le siège d’un e¤et de peau susceptible d’augmenter substantiellement ses pertes Joule, et
– les conducteurs passifs peuvent également le sège de pertes Joule compensées par l’énergie magnétique qu’il reçoivent de la bobine inductrice.
De la même manière le second terme ne correspond pas totalement aux puissances magnétique et mécanique cédées par la bobine inductrice V. Il fait néanmoins apparaitre deux contributions, successivement :
– la puissance du champ électromoteur de Neumann induit par les variations
de potentiel vecteur magnétique A dans le circuit C supposé indéformable ;
– la puissance du champ électromoteur de Lorentz correspondant à la déformation du conducteur actif C dans le champ d’induction magnétique
B.
Il est également possible d’expliciter la tension sous une forme intégrale. En
introduisant le champ magnétique h normé pour un courant d’excitation I de
1A :
H
h=
I
il vient :
rot h = j
si bien que la tension aux bornes de la bobine admet l’expression intégrale :
Z
@A
U12 = RI + ej
V B d3x
(192)
@t
C
Cette expression de la tension est très générale puisque :
– les conducteurs sont éventuellement massifs ;
100
– le domaine V peut échanger de la puissance mécanique avec l’extérieur,
qu’il s’agisse d’un conducteur passif en mouvement ou d’un conducteur
actif déformable.
Dans le cas d’une bobine …liforme, il est encore possible de transformer
l’écriture intégrale de la tension pour procurer une expression analytique.
Bobine …liforme Rappelons que l’on parle de limite …liforme lorsque le
conducteur de section s se confond avec sa …bre neutre L. Cette limite est
satisfaite lorsque :
p
– le rayon de courbure R du …l est très grand devant jsj, diamètre typique
du conducteur, de sorte que la densité de courant reste uniforme sur la
section du conducteur. Cette propriété locale implique globalement que :
– la longueur de p
la …bre neutre de la bobine jLj & 2 R est également très
grande devant jsj puisque la bobine réalise un circuit fermé.
Il est alors possible de procurer une expression analytique de la résistance R
(voir relation (179)) :
1 jLj
R=
jsj
On peut également transformer le terme inductif de (192) en orientant le
e de sa …bre
conducteur bobiné C selon le vecteur unitaire t = jsj ej = jsj rot h
neutre L. La dérivée particulaire d’une intégrale curviligne véri…ant [3] :
Z
Z
d
@A
(A t) dx =
+ rot A V+grad (A V) tdx
dt L
@t
L
il vient :
Z
@A
@t
L
V
d
dt
B
I
tdx =
d
dt
(A t) dx
@S
Z
(A t) dx
@SnL
Z
(grad (A V)) tdx
L
où S désigne la surface orientée embrassée par la bobine conductrice. La seconde intégrale du membre de droite est arbitrairement petite pour (L !@S).
La troisième est nulle dans le référentiel des amenées. On reconnait dans la première intégrale l’expression du ‡ux magnétique pour un circuit …liforme (78),
si bien que l’expression de la tension aux bornes d’une bobine …liforme admet
l’expression :
U12 = RI +
d
d
(S)
= RI +
dt
dt
m
@Gm (V)
@I
(193)
On retrouve ici que les variations du ‡ux magnétique sont imputables à :
– la variation du ‡ux d’induction magnetique (cas de Neumann) traversant
la surface S ; et à
– la déformation du circuit @S (cas de Lorentz).
C’est sous cette forme idéalisée de l’expérience que la loi de Faraday est généralement postulée, le passage au cas général (conducteurs massifs éventuellement
déformable, dispositifs multiconnectés, puissance mécanique échangée avec l’extérieur) n’étant souvent que partiellement abordé. A ce titre, l’approche thermodynamique permet de lever naturellement les indéterminations introduites
par les singularités des champs.
101
5.2
Dispositifs conversion électromécaniques
Ils se décomposent en générateurs et moteurs. Leur rôle est d’opérer la
meilleure conversion électromécanique sous contrainte de coût environnemental,
de coût de fabrication, d’encombrement..., si bien que l’objectif du concepteur
est de réaliser sur un cycle de fonctionnement (t 2 [0; ] ; < 1) :
min
I
(Pelec (Vk )
Pmeca
int
(Vk )) dt > 0
(194)
0
En général ils seront décrits sous une hypothèse de faible intégration pour pouvoir imposer un champ électromagnétique évanescent sur @Vk dans l’utilisation
de (166), notamment si les connexions “ferment”les bobinages d’excitation Cq(k)
sur eux-mêmes. Alors la puissance électromagnétique Pelec (Vk ) coïncide avec la
puissance électrique Pelec (k). Une conception robuste permettra d’étendre leur
utilisation dans des environnements plus intégrés. Le rendement de conversion
d’un actionneur fonctionnant en moteur s’exprime par (t 2 [0; ] ; < 1) :
moteur
=
I
Pmeca
(Vk ) dt
int
0
I
<1
(195)
Pelec (Vk ) dt
0
alors que celui d’un générateur est donné par la relation :
generateur
=
I
Pelec (Vk ) dt
0
I
<1
Pmeca
int
(196)
(Vk ) dt
0
Ces expressions se simpli…ent pour un régime stationnaire selon :
moteur
=
Pmeca
int
(Vk )
generateur
Pelec (Vk )
=
Pelec (Vk )
Pmeca
int
(Vk )
où ( ) désigne la moyenne temporelle sur une période de fonctionnement.
Dans cette situation où les conditions aux limites sont connues, la Méthode
des Eléments Finis constitue une résolution approchée naturelle :
– des formulations faibles exhibées au tableau 6 ;
– sur un maillage d’éléments …nis de l’espace [43][45][16] ;
pour rechercher (194).
5.2.1
Caractéristique électrodynamique
Dans une hypothèse de corps rigides indéformables, le champ des vitesses
Vi est exprimée grâce au torseur des vitesses :
Vi (x0i ) = Vi (xi ) +
102
i
(x0i
xi )
où i est la vitesse de rotation instantanée du corps rigide i. En omettant le
terme d’impulsion, la particularisation de la relation (160) à des surfaces fermées
procure les éléments du torseur dynamique.
Force La force exercée par le champ sur une pièce mobile Vi
un dispositif en translation :
Z
FVi =
(J B) d3x
Ci (t)
+
I
@Vi (t)
+
X Z
Ii Vi
+
0
@[(B n) H]
Ii (t)
I
@Vi (t)
+
0
@[(B n) H]
0
@[(D n) E]
X Z
Ii Vi
Ii (t)
0
2H
Z
4 B
0
2H
Z
4 B
0
2 E
Z
4 D
0
@[(D n) E]
Ci , pour
3 1
h5 nA d2x
3 1
h5 nA d2x
3 1
e5 nA d2x
2 E
Z
4 D
3 1
e5 nA d2x (197)
0
En particulier si Vi coïncide avec le conducteur Ci , l’expression précédente se
simpli…e (en l’absence d’autres interfaces dans Ci ) :
Z
FCi =
(J B) d3x
Ci (t)
+
I
@Ci (t)
0
@(B n) [H]
+
I
2H
Z
4 B
@Ci (t)
0
0
3 1
h5 nA d2x
@(D n) E
0 E
Z
@ D
0
1 1
eA nA d2x
Pour une particule conductrice élémentaire (i.e. j@Ci j tend vers 0), la force précédente admet pour expression limite :
Z
I
I
3
2
FCi =
(J B) d x +
(B n) [H] d x +
(D n) Ed2x
Ci (t)
@Ci (t)
@Ci (t)
En décomposant le champ électrique E selon une composante propre e0 de
symétrie sphérique créée par la charge ponctuelle et une composante e, uniforme
à l’échelle de la particule et créée par les autres charges, l’expression du courant
libre (20) et de la charge (100) permettent de “retrouver” la force de Lorentz
agissant sur une particule élémentaire libre et amagnétique appartenant à un
cortège homocinétique :
fq = q (e + v b)
(198)
où e et b désignent le champ électrique et l’induction magnétique agissant localement sur la particule, v sa vitesse et q sa charge.
103
Couple Le couple exercé par le champ sur une pièce mobile Vi
un dispositif en rotation autour d’un axe passant par Oi :
Z
CVi =Oi =
(x oi ) (J B) d3x
Ci (t)
+
I
(x
0
@[(B n) H]
oi )
@Vi (t)
+
X Z
Ii Vi
+
(x
(x
0
@[(D n) E]
oi )
@Vi (t)
X Z
+
Ii Vi
@[(B n) H]
oi )
Ii (t)
I
0
(x
oi )
Ii (t)
0
2H
Z
4 B
3 1
0
2H
Z
4 B
0
2 E
Z
4 D
0
@[(D n) E]
Ci , pour
h5 nA d2x
3 1
h5 nA d2x
3 1
e5 nA d2x
2 E
Z
4 D
3 1
e5 nA d2x (199)
0
qui se simpli…e pour un conducteur Ci (en l’absence d’autres interfaces dans Ci ) :
Z
(x oi ) (J B) d3x
CCi =Oi =
Ci (t)
+
I
(x
0
@[(B n) H]
oi )
@Ci (t)
+
I
(x
oi )
@Ci (t)
0
2H
Z
4 B
0
@(D n) E
3 1
h5 nA d2x
0 E
Z
@ D
0
1 1
eA nA d2x
L’écriture du torseur dynamique permet une localisation de la puissance
mécanique plus intuitive que la méthode des travaux virtuels (62) à l’origine
d’une classi…cation des dispositifs.
5.2.2
Classi…cation des dispositifs électromécaniques
Les écritures (197) et (199) des e¤orts électrodynamiques laissent apparaitre des contributions d’origine électrostatique ou magnétique. L’approximation quasi-statique impose la prédominance de l’une ou l’autre des contributions.
En rêgle générale, la contribution électrostatique ne sera appréciable qu’en l’absence de courant libre et résultera de l’interaction des charges réparties sur la
surface des conducteurs. Etant donné les similarités d’écriture des deux contributions, nous étudierons la contribution magnétique dont l’ordre de grandeur
des e¤ets est plus signi…catif et quasiment toujours exploité. La force agissant
sur un conducteur homogène susceptible de réaliser l’actionnement se réduit
alors à :
3 1
0
2H
Z
Z
I
@(B n) [H] 4 B h5 nA d2x (200)
FCi =
(J B) d3x +
Ci (t)
@Ci (t)
0
104
Fig. 20 –Densité de force réluctante agissant à la surface d’un matériau doux
(cas saturable) : (a) Réfraction d’une ligne de champ à l’interface entre un
milieu matériel ( in ) et l’air ( out
in ) ; (b) Contribution du champ normal à
la densité de force réluctante normale ; (c) Contribution du champ tangentiel à
la densité de force normale. Dans le domaine linéaire, l’analyse des …gures b) et
2
c) montre que la densité de force extractible est grossièrement donnée par 2B 0
pour out
in .
Selon la nature de la partie mobile, on distingue trois types de dispostifs [32] :
Les dispositifs réluctants actionnent une pièce mobile réalisée en matériau
doux. Les bobines d’excitation sont immobiles. En l’absence de courant de
Foucault signi…catif dans la pièce mobile39 , la force se réduit au second
terme de (200). Dans ces dispositifs, la forte réfraction des lignes de champs
à l’interface entre le matériau doux et l’air est à l’origine de la densité de
force réluctante (…gure 20 a). En e¤et, les relations de continuité (34) et
(75) imposant la relation :
tan
tan
out
in
=
out
in
pour un milieu isotrope (ou si la normale coïncide avec un axe principal
3 9 A…n de reduire l’importance des courants de Foucault dans des matériaux doux souvent
bons conducteurs (voir tableau 4), on a recours à un empillage de tôles laminées.
105
du tenseur perméabilité), on a :
out
out
tan
in
0
in
Alors que la continuité tangentielle de H proscrit les e¤orts tangentiels à la
surface (de type cisaillement), les contributions normales et tangentielles
des champs contribuent aux e¤orts normaux (…gure 20 b et c). L’ordre de
grandeur tout à fait considérable de la densité de force extractible des dis2
0; 4 N/mm2 sous 1 T d’induction
positifs réluctants – typiquement 2B 0
dans l’entrefer –rend ce type de dispositif particulièrement attractif : les
moteurs pas à pas, les relais et contacteurs appartiennent à cette catégorie. Néanmoins, en l’absence de matériau polarisé, la force est quadratique
avec l’excitation si bien qu’il est délicat de piloter l’e¤ort ou de réguler
la course de la partie mobile sans l’adjonction d’une autre bobine. C’est
pourquoi on introduit souvent un aimant dans le circuit inducteur a…n de
dissymétriser la force en fonction de l’excitation : on parle alors de dispositif réluctant polarisé. Une autre alternative est que l’aimant constitue la
partie mobile.
Les dispositifs électromagnétiques actionnent une pièce mobile réalisée en
matériau dur (aimant), les bobines d’excitation restant immobiles. En négligeant de courant de Foucault dans la pièce mobile40 , la force se réduit
là encore au second terme de (200). La réfraction des lignes de champs
M provoquée par
est produite par la discontinuité du champ H = B0
la magnétisation M de l’aimant (…gure 21a). Alors que la continuité tangentielle de H proscrit tout e¤ort tangentiel à la surface de l’aimant, les
contributions normales et tangentielles des champs contribuent aux e¤orts
normaux selon l’orientation de M avec la surface de l’aimant (…gure 21
b et c). Comme pour les dispositifs réluctants, la densité de force extractible reste appréciable –typiquement 0; 1 N/mm2 . Moins robustes que les
dispositifs réluctants en raison notamment de la fragilité mécaniques des
aimants réalisés par frittage, ces dispositifs sont utilisés dans des applications de précision, notamment médicales.
Les dispositifs électrodynamiques exploitent la force de Laplace agissant
sur un circuit électrique mobile :
Z
FCi =
(J B) d3x
Ci (t)
le champ inducteur pouvant être créé par un aimant ou une autre bobine
…xe. Les principaux inconvénients des ces dispositifs restent la fragilité
mécanique de la bobine mobile et la force moindre pour des courants
usuels d’excitation. Les haut-parleurs constituent l’usage le plus répandu
de ce type de dispositif.
5.2.3
Tenseur de Maxwell
A l’inverse de l’analyse précédente qui permet d’étudier l’origine des e¤ets
contribuant à la conversion électromécanique, il est possible de globaliser les dif4 0 En dépit de leur caractère massif, les aimants ont une conductivité su¢ samment basse
pour que cette approximation soit justi…ée.
106
Fig. 21 –Densité de force réluctante agissant à la surface d’un matériau dur : (a)
Allure des lignes de champ magnétique (bas) et d’induction (haut) ; (b) Contribution du champ normal à la densité de force réluctante agissant sur la face
normale à l’aimantation 1 (pas de contribution de la composante tangentielle
du champ à la force dans ce cas car M n = 0) : l’analyse de la …gure montre
2
que la densité de force extractible est comprise entre ( 20 M)
; (c) Contribution
0
du champ tangentiel à la densité de force réluctante agissant sur la face latérale
à l’aimantation 2 (pas de contribution de la composante normale du champ à
la force dans ce cas car M n = 0) : l’analyse de la …gure montre que la densité
2
de force extractible est comprise entre ( 0 M)
et 0. Par souci de simplicité, la
0
pente de la droite de recul est prise égale à 0 .
férentes contributions intervenant dans la puissance mécanique selon une écriture unique de la force ou du couple. Les termes interfaciaux dans (197) ou
(199) correspondent aux discontinuités d’un tenseur d’ordre 2, noté T et appelé tenseur de Maxwell, dont les composantes sont la somme de contributions
électrique et magnétique parfaitement similaires :
0 E
1
0H
1
Z
Z
@ D eA
@ B hA
+H B
(201)
T = Te + Tm = E D
0
0
A…n d’examiner les conditions d’application du théorème de Gauss, il est intéressant de considérer la divergence de T. En isolant la composante magnétique
107
Tm , il vient :
@Tm
=
@x
0H
Z
@ @
B
@x
@H
@B
B +H
@x
@x
1
hA
0
soit :
@Tm
@x
=
@B
@H
H +B
@x
@x
@
@x
0
ZH
@ @1
+
H B
B
@x
2
1
H B
2
0
1
hA
Pour des milieux magnétiques linéaires, le dernier terme est nul. Il reste sous
une forme plus compacte :
@Tm
@x
1
grad (H B)
2
= (divB) H + (B grad) H
En utilisant la relation d’analyse vectorielle [40] :
1
grada2 = (a grad) a + a
2
rot a
on aboutit à la divergence du tenseur de Maxwell, pour des milieux linéaires
(parties magnétique et électrostatique) :
divT = H (divB)
B
rot H + E (divD)
D
rot E
(202)
Compte tenu des équations de Maxwell (99,30,74,138), il vient :
Z
Z
Z
@
divTd3x =
(J B) d3x +
(D B) d3x
Vi
Ci
Vi @t
En régime quasi-statique, le terme d’impulsion est nul si bien que la force exercée
par le champ sur l’actionneur (197) s’écrit également :
I
FVi =
(T n) d2x
(203)
@Vi
expression qui tient compte des discontinuités aux interfaces Ii Vi .
La connaissance des lignes de champ permet de préciser l’allure de lignes de
force. En se restreignant à la contribution magnétique (approximation quasistatique magnétique), la relation (201) procure les contributions :
– normale :
1
Bn2 Bt2 =
Hn2 Ht2
2
2
– tangentielle :
Bn Ht = Hn Ht
de la densité de force (T n). L’angle entre la ligne de force et la normale à
@Vi véri…ant la relation trigonométrique :
tan
=
2Hn Ht
=
Hn2 Ht2
Ht
2H
n
1
108
Ht
Hn
2
=
1
2 tan 2
tan2
2
Fig. 22 – Projection normale du tenseur de Maxwell magnétique Tm : Si les
contributions interfaciales (197) permettent de comprendre l’origine des e¤orts,
leur calcul peut être avantageusement globalisé dans le tenseur de Maxwell si
les milieux sont linéaires. Alors pour une ligne de champ présentant un angle 2
avec la normale à à la surface d’étude @Vi , l’e¤ort présente un angle double .
il réalise un angle double de celui que forme de la ligne de champ magnétique
avec cette même normale (…gure 22).
Il est possible de compléter le torseur dynamique en exprimant le couple
exercée par le champ sur l’actionneur en fonction du tenseur de Maxwell. Si
"
désigne les composantes du tenseur antisymétrique de Lévi-Civita, on a la
relation :
@
@x
"
(x
oi ) T
="
T
+"
(x
oi )
@T
@x
Pour des milieux linéaires, le tenseur de Maxwell est symétrique de sorte que le
premier terme s’annule. Il reste :
Z
Z
div ((x oi ) T) d3x =
((x oi ) divT) d3x
Vi
Vi
de sorte que, compte tenu de (202), le couple exercée par le champ sur l’actionneur s’écrit :
I
CVi =Oi =
((x oi ) T) nd2x
(204)
@Vi
Analogue du tenseur des contraintes en mécanique des milieux continus, le
tenseur de Maxwell a cependant un cadre d’utilisation plus limité puisqu’il ne
s’applique qu’à des surfaces incluant la pièce mobile sur laquelle est calculée
l’e¤ort électrodynamique et nécessite une hypothèse de milieu linéaire.
5.3
Dispositifs de conversion électromagnétiques
Il s’agit le plus souvent de transformateurs (…gure 18 gauche) ou de capteurs
de courant. Leur rôle est d’opérer la meilleure conversion de puissance électrique
109
si bien que l’objectif du concepteur est de réaliser :
min
I
Pelec (Vk ) dt > 0
(205)
0
en réduisant la puissance mécanique aux vibrations d’origine électrodynamique
et magnétostrictive (“bruit”) :
Pmeca
int
(Vk ) & 0
On décrira également ces dispositifs sous une hypothèse de faible intégration
pour pouvoir imposer un champ électromagnétique évanescent sur @Vk dans
l’utilisation de (166), notamment si les connexions “ferment”les bobinages d’excitation Cq(k) sur eux-mêmes. Alors la puissance électromagnétique Pelec (Vk )
coïncide avec la puissance électrique Pelec (k). Une conception robuste pourra
étendre leur utilisation dans des environnements plus intégrés. Là encore, la
Méthode des Eléments Finis constituera une résolution naturelle de l’écriture
(166) pour rechercher (205).
5.4
Connectiques
Leur rôle est de réaliser l’adaptation de tension entre les dispositifs précédents en introduisant la plus petite di¤érence de potentiel entre leurs extrémités
quels que soient les courants qu’elles débitent et leurs environnements électromagnétiques, soit :
X
8q (k) :
min
jUq Iq j
(206)
q
sans délivrer de puissance mécanique. Souvent très intégrées (circuiteries d’appareillage, circuits imprimés, des circuits intégrés...) ou au contraire opérant en
“boucle ouverte”(Jeux de Barres, canalisations électriques préfabriquées (…gure
18 droite), câbles, réseaux...), il n’est pas possible de concevoir les connectiques
avec des conditions évanescentes (ou au moins connues) sur @Cq(k) de sorte que
la relation (166) est di¢ cilement exploitable pour réaliser (206), rendant délicat
l’utilisation de la Méthode des Eléments Finis. On aboutit à la même conclusion en remarquant, plus fondamentalement, que les connectiques ne sont pas
destinées à realiser une quelconque conversion électromagnétique de sorte que la
condition d’optimalité (166) ne fonde pas leur fonctionnement. Cette di¢ culté
conduit souvent à sous estimer l’in‡uence de conditions de continuité lors de
la conception des connectiques par la Méthode des Eléments Finis alors qu’elle
constitue :
– la cause essentielle des problèmes de CEM, conduisant à des écarts avec le
fonctionnement nominalement prévu des dispositifs de conversion qu’elles
alimentent, voire des dysfonctionnements ;
– un levier considérable d’e¢ cacité énergétique.
ou à ne pas exprimer l’objectif (206). La méthode PEEC [46][47] constitue une
avancée prometteuse pour atteindre simultanément ces deux objectifs [48].
6
Conclusion
Au terme de cette rédaction, on dispose :
110
1. d’une écriture optimale du transfert de puissance mécanique gouvernant
les lois de l’électromagnétisme (59) ;
2. d’une méthode pour décomposer un système en dispositifs élémentaires.
Au delà, l’écriture (166) est compatible avec une analyse multi-échelles,
depuis le processus d’aimantation de la matière jusqu’au système global
consolidé [49].
En raison des e¤ets de peau dans les conducteurs ou de proximité entre
conducteurs soumis à des régimes variables, la condition (59) conduira toujours
à un fonctionnement moins favorable que la condition (56), correspondant à la
limite multi-statique. Or c’est le plus souvent à partir de la condition (56) que
sont conçus les dispositifs :
– connectiques et bobines d’excitation pré-dimensionnées en courant continu ;
– perméances magnétiques calculées en régime statique ;
– pertes dans les matériaux magnétiques négligées ou faisant l’objet de corrections a posteriori ;
conduisant à escompter des performances surestimées et, in …ne, ajuster à la
hausse les capacités de production.
A…n de faire coïncider ces deux écritures optimales, on peut tenter d’agir
simultanément :
– sur l’expression des pertes Joule (41). Les “bons” matériaux conducteurs
sont hélas en nombre limité (Al, Cu, Ag, Au...) et présentent tous une
résistivité non-nulle. La supraconductivité constitue évidemment la limite
idéale puisqu’on aurait alors une évolution adiabatique isotherme – donc
réversible –mais en l’état de la connaissance elle correspond à un tranfert
de pollution défavorable vers les moyens cryogéniques.
– sur les termes de couplage de (59). Il pourra s’agir de :
– limiter les variations temporelles ( dtd ! 0) en abaissant la fréquence du
champ : une limite inférieure en fréquence sera atteinte quand les ‡uctuations de charges ou de production prévisibles auront des constantes
de temps du même ordre de grandeur que la fréquence du réseau pour
ne pas aboutir à une perte de qualité de l’énergie, voire une rupture
dans la transmission de la puissance,
– limiter l’énergie de couplage, essentiellement ( I) : Une limite sera atteinte quand l’énergie de couplage sera susceptible d’être consommée par
une ‡uctuation de charge sans que la production n’ait pu être ajustée
(voir …gure 23).
On aboutit donc à une recherche de compromis entre :
– la fréquence du réseau ;
– le “stock” d’énergie de couplage, assimilable à l’énergie réactive ; et
– la …abilité du réseau ;
notamment au regard de la continuité de service, pour des ‡uctuations de charge
considérées comme admissibles.
A…n d’optimiser son exploitation, la régie arbitrera son exploitation entre
le coût de la génération, la minimisation des pertes de valeur (e¤et Joule), la
minimisation du stock (‡ux tendu) (OpEx) et l’investissement nécessaire à la
…abilité de l’exploitation (CapEx).
Plus généralement, un arbitrage en faveur du développement durable nécessite de réaliser :
– une consolidation spatiale des dispositifs jusqu’au système global ; et
111
– une intégration temporelle au regard du pro…l d’utilisation.
Pour des usages su¢ samment intensifs, la phase d’utilisation s’avère prépondérante dans l’Analyse du Cycle de Vie des dispositifs. C’est pourquoi il est
nécessaire d’intégrer dans une Analyse du Cycle de Vie les méthodes précédemment introduites pour modéliser le comportement :
– des dispositifs de conversion électromagnétique ou électromécanique pour
lesquels la Méthode des Eléments Finis constitue la méthode de résolution
naturelle ;
– des connectiques pour lesquelles la méthode PEEC est une alternative
e¢ cace à la Méthode des Eléments Finis.
112
Fig. 23 – E¤et d’une ‡uctutation de charge sur le comportement du réseau :
(i) l’énergie magnétique F et l’énergie cinétique embarquées compensent momentanément l’appel de puissance (et les pertes par excès engendrées par le
régime variable de la ‡uctuation) en attendant l’ajustement de la production
et la reconstitution du “stock” (à gauche) ; (ii) dans le cas d’une défaillance du
réseau, l’énergie de couplage est totalement dégradée par e¤et Joule sans que la
production n’ait pu s’ajuster : la transmission de puissance à travers le réseau
avorte, conduisant à un “black-out” (à droite).
113
114
Grandeurs géométriques
A.1
Notation
x;x; X; u
; ;
k;
L; jLj ; R
t
S; I; s; jSj ; jIj ; jsj
@S; @I
n; nS
V; jVj ; C; D
@V
Sauf indication contraire, le volume V1 correspond au domaine d’étude tout entier. Les conducteurs sont indicés par k; l. Les interfaces
entre milieux sont indicées par i.
La notation [ ] désigne la discontinuité d’une grandeur à un interface orienté par la normale n. En cas d’ambiguité, le vecteur n pourra
être indicé par la surface S qui l’oriente.
Grandeur
Position
Coordonnées (en indice)
Vecteur d’onde, longueur d’onde
Chemin géométrique, longueur, rayon de courbure
Vecteur unitaire orienté le long d’un chemin
Surface, interface, section, aires
Chemin orienté délimité par une surface, un interface (bord)
Normale orientée, à une surface S
Domaine géométrique volumique, volume, conducteur, diélectrique
Surface orientée délimitée par un volume (bord)
Notations et symboles principaux
A
115
A.2
Notation
Grandeur
Temps
Fréquence, pulsation
Vitesse d’une particule
Vitesse d’un corps macroscopique, vitesse angulaire
Masse
Force appliquée, force électrodynamique, force de Lorentz
Couple appliqué, couple électrodynamique
Energie cinétique
Puissance mécanique externe ou appliquée
Puissance mécanique interne (résistante ou motrice)
Tenseur de Maxwell, composantes
Grandeurs cinématiques et mécaniques
Ecin
Pmeca
Pmeca
t
f; $
v
V;
m
int
ext
générique
Pmeca
T; T
F; f q
C
Ecin
int
évolution
quasi-statique
s
Hz
ms 1
m s 1 ; rad s
kg
N
Nm
J
W
W
Nm 2
unités
1
(16)
(16),(50),(155)
(154)
(50),(197),(198)
(50),(199)
(50)
(50)
(53)
(203),(204),(201)
dé…nition
116
Rendement
Notation
Grandeur
Energie interne
Chaleur
Puissance Joule, densité
Température (du thermostat)
Entropie
Energie libre, densité
Potentiel de Gibbs, densité
Enthalpie libre, densité
Puissance électromagnétique
Puissance électrique
E
Q
PJoule ; pJoule
sans signi…cation hors équilibre
Sth (quasi-statique)
F; f
G;g
G; g
sans objet
sans objet
générique
Grandeurs thermodynamiques
G; g
T
S
à l’équilibre
thermodynamique
n(k)
G; g
Pelec
X(Vk )
Pelec (k) =
V (Sn ) In
Sth (réversibilité faible)
F; f
PJoule ; pJoule
évolution
quasi-statique
E
J
J
W; W m 3
K
J K 1
J; J m 3
J; J m 3
J; J m 3
W
W
unités
dé…nition
(195),(196)
(50)
(50)
(58),(41)
(51)
(51)
(54),(97)
(81),(91)
(57),(66),(108)
(164)
(171),(176)
Les notations en minuscule désignent les densités. L’indice th spéci…e une grandeur relative au thermostat. Les indices m et e désignent
respectivement les grandeurs magnétiques et électrostatiques.
A.3
117
Electromagnétisme
Sources
Notation
Grandeur
Charge élémentaire, de l’électron
Distribution de charges libres
Moment dipolaire
Moment quadrupolaire
Distribution de courants libres
Moment magnétique
Polarisation
Densité macroscopique de moment quadrupolaire
Magnétisation
Densité (…ltrée) de charges libres :
densité volumique de charges libres (partie régulière)
densité surfacique de charges libres (partie singulière)
Densité (…ltrée) de courant libres :
densite volumique de courant libres (partie régulière)
densité surfacique de courant libres (partie singulière)
Charge totale libre
Courant total libre
A.4.1
hji
J
JI
Q
I
p
q
j
m
P
Q
M
h i
R
q; e
générique
J
JI
Q
I
sans objet (R
0)
inadaptée
inadaptée
inadaptée
inadaptée
inadaptée
régime
quasi-statique
inutilisé
échelle
échelle
échelle
échelle
échelle
équilibre
thermodynamique
Les milieux conducteurs sont désignés par C, les milieux diélectriques par D.
A.4
C
Cm 3
Cm
C m2
Am 2
A m2
Cm 2
Cm 1
Am 1
Cm 3
Cm 3
Cm 2
Am 2
Am 2
Am 1
C
A
unités
(1)
(12)
(7)
(8)
(17)
(9)
(14)
(15)
(21)
(13)
(29)
(26)
(19)
(30)
(28)
(23)
(36)
dé…nition
118
Champs
sans objet
sans objet
non dé…nie
non dé…nie
; 1
non dé…nie
non dé…nie
non dé…nie
non dé…nie
non dé…nie
sans objet
m
e
D
H
B
E
générique
hors
hors
hors
hors
hors
équilibre
équilibre
équilibre
équilibre
équilibre
thermodynamique
thermodynamique
thermodynamique
thermodynamique
thermodynamique
hors équilibre thermodynamique
hors équilibre thermodynamique
C
L
V
A
m
e
B
équilibre
thermodynamique
D
U
e
m
E
H
R
e
H
régime
quasi-statique permanent
L’indice d’un champ spéci…e le réferentiel dans lequel il est exprimé. En l’absence d’indice il s’agit du référentiel d’étude.
Les grandeurs relatives à un régime permanent sont décorées par (f).
Une valeur moyenne (sur une période de fonctionnement) est décorée par ( ).
Notation
Grandeur
Déplacement électrique
Champ magnétique
Induction magnétique
Champ électrique
Flux électrique
Force magnéto-motrice
Flux magnétique
Force électro-motrice
Permittivité diélectrique
Perméabilité magnétique
Conductivité, résistivité
Potentiel scalaire électrique
Potentiel vecteur magnétique
Tension
Matrice capacitance
Matrice inductance
Résistance
A.4.2
dé…nition
(22)
(25)
(68)
(98)
(39)
(37)
(65)
(134)
(115)
(93)
(41)
(103)
(76)
(185)
(111)
(82)
(178)
unités
Cm 2
Am 1
T
Vm 1
C
A
Wb
V
Fm 1
Hm 1
S m 1; m
V
Wb m 1
V
F
H
A.4.3
Constantes
– nombre d’Avogadro :
– charge de l’électron :
– masse de l’électron :
– permittivité du vide :
– perméabilité du vide :
– célérité de la lumière :
N = 6:0221367
1023 mol 1
19
e ' 1:602
10
C
me ' 9:109
10 31 kg
10 12 F m 1
0 ' 8; 854
7
10 H m 1
0 =4
1
108 m s
c = p 0 0 = 2; 998
119
1
Références
[1] J. Jackson, “Introduction and survey,” in Classical electrodynamics. New
York, USA : John Wiley and sons, 1975, pp. 1–26.
[2] C. Vassallo, “Electromagnétisme du vide,” in Electromagnétisme classique
dans la matière, ser. Collection technique et scienti…que des télécommunications. Paris, France : Dunod, 1980, pp. 1–16.
[3] G. Duvaut, “Cinématique des milieux continus,” in Mécanique des milieux
continus, ser. Collection de mathématiques appliquées pour la maîtrise.
Paris, France : Masson, 1990, pp. 5–31.
[4] W. Rosser, Classical electromagnetism via relativity : An alternative approach to Maxwell’s equations. London, UK : Butterworths, 1968.
[5] J. Jackson, “Dynamics of relativistic particles and electromagnetic …elds,”
in Classical electrodynamics. New York, USA : John Wiley and sons, 1975,
pp. 571–617.
[6] L. Landau and E. Lifschitz, Théorie des champs, ser. Physique théorique.
Moscow, Russia : Mir, 1970, vol. 2.
[7] B. Nogarede, Electrodynamique appliquée : Bases et principes physiques de
l’électrotechnique. Paris, France : Dunod, 2005.
[8] C. Vassallo, “L’électromagnétisme dans la matière : Obtention des équations macroscopiques,”in Electromagnétisme classique dans la matière, ser.
Collection technique et scienti…que des télécommunications. Paris, France :
Dunod, 1980, pp. 17–27.
[9] L. Landau and E. Lifschitz, Electrodynamique des milieux continus, ser.
Physique théorique. Moscow, Russia : Mir, 1969, vol. 8.
[10] N. Ashcroft and N. Mermin, Solid state physics.
Saunders International Edition, 1981.
Tokyo, Japan : Holt-
[11] R. Hummel, Electronic properties of materials. New-York, USA : Springer,
2001.
[12] M. v. Leeuwen, “Problème de la théorie électronique du magnétisme,”Journal de Physique, vol. 2, no. 12, pp. 361–377, 1921.
[13] O. Zenkiewicz, La méthode des éléments …nis. Paris, France : Ediscience,
1973.
[14] B. Lucquin and O. Pironneau, Introduction au calcul scienti…que, ser. Collection de mathématiques appliquées pour la maîtrise. Paris, France :
Masson, 1996.
[15] M. Chari and S. Salon, Numerical Methods in Electromagnetism, ser. Electromagnetism. San Diego, CA, USA : Academic Press, 2000, vol. 7.
[16] K. Binns, P. Lawrenson, and C. Trowbridge, The analytical and numerical
solution of electric and magnetic …elds. Chichester, UK : John Wiley and
sons, 1992.
[17] J. Volakis, A. Chatterjee, and L. Kempel, Finite element method for electromagnetics, ser. The IEEE/OUP series on electromagnetic wave theory.
Piscataway, NJ, USA : IEEE Press/Oxford University Press, 1998.
120
[18] V. Mazauric, “From thermostatistics to maxwell’s equations : A variational
approach of electromagnetism,” IEEE Transactions on Magnetics, vol. 40,
no. 2, pp. 945–948, 2004.
[19] J. Langer, “An introduction to the kinetics of …rst-order phase transition,”
in Solid far from equilibrium, ser. Collection Aléa-Saclay : Monographs and
texts in statistical physics, C. Godrèche, Ed. Cambridge, UK : Cambridge
University Press, 1992, vol. 1, pp. 297–363.
[20] O. Axelsson and V. Barker, “Variational formulations of boundary value
problems : part ii,”in Finite element solution of boundary value problems :
Theory and computation, ser. Computer science and applied mathematics.
Orlando, USA : Academic Press, 1984, pp. 101–144.
[21] A. Bossavit, Computational electromagnetism : Variational formulations,
complementarity, edge elements, ser. Electromagnetism. San Diego, USA :
Academic Press, 1998, vol. 3.
[22] J. Dongarra and F. Sullivan, “Guest editors’ introduction : The top 10
algorithms,” Computing in Science and Engineering, vol. 2, no. 1, pp. 22–
23, 2000.
[23] H. Nifenecker, “L’énergie en quelques chi¤res,”Bulletin de la Société Française de Physique, vol. 118, no. 2, pp. 25–28, 1999.
[24] M. Aguet and J.-J. Morf, Energie électrique, ser. Traité d’électricité. Lausanne, Swiss : Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1987,
vol. 12.
[25] Key world energy statistics from the IEA. Paris, France : Organisation
for Economic Co-operation and Development/International Energy Agency,
2004.
[26] J. Kassakian, H.-C. Wolf, J. Miller, and C. Hurton, “Automotive electrical
systems circa 2005,” IEEE Spectrum, vol. 33, no. 8, pp. 22–27, 1996.
[27] J. Kassakian, “Automotive electrical systems - the power electronics market
of the future,”in 15th Annual IEEE Applied Power Electronics Conference
and Exposition, vol. 1. New Orleans, LA, USA : IEEE, Picataway, NJ,
USA, 2000, pp. 3–9.
[28] J. Kassakian, J. Miller, and N. Traub, “Automotive electronics power up,”
IEEE Spectrum, vol. 37, no. 5, pp. 34–39, 2000.
[29] Annual Energy Review 2005. Washington DC, USA : Energy Information
Administration, Department of Energy, 2006.
[30] J. Chatelain, “Transformateurs,”in Machines électriques, ser. Traité d’électricité. Lausanne, Swiss : Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1983, vol. 10, pp. 43–127.
[31] P.-A. Paratte and P. Robert, Systèmes de mesure, ser. Traité d’électricité.
Lausanne, Swiss : Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1996,
vol. 17.
[32] M. Jufer, Electromécanique, ser. Traité d’électricité. Lausanne, Swiss :
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1995, vol. 9.
[33] C. Shannon, “A mathematical theory of communication,”The Bell System
Technical Journal, vol. 27, pp. 379–423, 1948.
121
[34] R. Millikan, “The isolation of an ion, a precision measurement of its charge,
and the correction of stokes’s law,” Physical Review, vol. 32, pp. 349–397,
1911.
[35] D. Pettifor, Bonding and structure of molecules and solids, ser. Oxford
Science Publications. Oxford, UK : Clarendon Press, 1995.
[36] C. Kittel, “Gaz des électrons libre de fermi i,”in Introduction à la physique
de l’état solide. Paris, France : Dunod, 1970, pp. 197–223.
[37] G. Russako¤, “A derivation of the macroscopic maxwell equations,” American Journal of Physics, vol. 38, no. 10, pp. 1188–1195, 1970.
[38] H. Callen, Thermodynamics and an introduction to thermostatistics. New
York, USA : John Wiley and sons, 1985.
[39] B. Dreyfus and A. Lacaze, Cours de Thermodynamique, ser. Maitrise de
Physique. Paris, France : Dunod, 1971.
[40] I. Gradshteyn and I. Ryzhik, “Vector …eld theory,” in Table of integrals,
series and products, 5th ed., A. Je¤rey, Ed. San Diego, USA : Academic
Press, 1994, p. 1116.
[41] L. Landau and E. Lifschitz, Mécanique, ser. Physique théorique. Moscow,
Russia : Mir, 1981, vol. 1.
[42] M. Le-Bellac and J.-M. Lévy-Leblond, “Galilean electromagnetism,” Il
Nuovo Cimento, vol. 14B, no. 2, pp. 217–233, 1973.
[43] G. Meunier, Ed., Modèles et formulations en électromagnétisme, ser. Electromagnétisme et éléments …nis. Paris, France : Hermès, 2002, vol. 2.
[44] M. Chari and S. Salon, Numerical Methods in Electromagnetism, ser. Electromagnetism. San Diego : Academic Press, 2000, vol. 7.
[45] G. Meunier, Ed., Electromagnétisme et problèmes couplés, ser. Electromagnétisme et éléments …nis. Paris, France : Hermès, 2002, vol. 3.
[46] J. Roudet, E. Clavel, J.-M. Guichon, and J.-L. Schanen, “Modélisation
peec des connexions de puissance dans les convertisseurs de puissance,”
Techniques de l’Ingénieur, vol. D3071, pp. 1–12.
[47] — — , “Application de la méthode peec au calage d’un onduleur triphasé,”
Techniques de l’Ingénieur, vol. D3072, pp. 1–10.
[48] J.-P. Gonnet, “Optimisation des canalisations électriques et des armoires
de distribution,” PhD, Université Joseph Fourier, 2005.
[49] V. Mazauric, O. Maloberti, G. Meunier, A. Kedous-Lebouc, O. Geo¤roy,
and Y. Rebière, “An energy-based model for dynamic hysteresis,” IEEE
Transactions on Magnetics, vol. 41, no. 10, pp. 3766–3768, 2005.
122