Document de cours

Une approche variationnelle de
l’électromagnétisme
Vincent Mazauric
Schneider Electric/Ecole des Mines de Paris
Mai 2013

Table des matières
1 Pourquoi privilégier une approche variationnelle de l’électro-
magnétisme ? 4
1.1 Arguments physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Considérations opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Enjeux industriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Enjeux techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Enjeux de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Dé…nition des sources : charges et courants électriques 10
2.1 Distribution de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Densités de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Lissage spatial : sources libres, sources liées . . . . . . . . 13
2.2.2 Densités de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Conservation de la charge : densités de courants . . . . . 18
2.3 Sources du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Champ électromagnétique 23
3.1 Champs sources étendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Approximation des régimes quasi-permanents . . . . . . . 28
3.1.2 Retour sur l’approximation des régimes quasi-permanents 32
3.2 Description complémentaire du champ électromagnétique . . . . 33
3.2.1 Equilibres statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Evolution du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Validité des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Bilan de puissance 74
4.1 Equilibre thermodynamique global . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Equilibre électromagnétique local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Localisation de la fonctionnelle de puissance . . . . . . . . 83
4.2.2 Puissance électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3 Aspects de Compatibilité Electro-Magnétique (CEM) . . 93
5 Décomposition d’un système électrique 95
5.1 Notion de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1 Couplage entre circuit(s) électrique(s) et champ électro-
magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Composants dipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Dispositifs conversion électromécaniques . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.1 Caractéristique électrodynamique . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2 Classi…cation des dispositifs électromécaniques . . . . . . 104
5.2.3 Tenseur de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Dispositifs de conversion électromagnétiques . . . . . . . . . . . . 109
5.4 Connectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Conclusion 110
1

A Notations et symboles principaux 114
A.1 Grandeurs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.2 Grandeurs cinématiques et mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.3 Grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.4 Electromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.4.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.4.2 Champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.4.3 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Table des …gures
1 Principe de la méthodes des éléments …nis . . . . . . . . . . . . . 7
2 Flux de transformation de l’énergie primaire en énergies …nales . 8
3 Evolution des consommations d’énergies primaires aux Etats-Unis 9
4 Développement multipolaire des distributions de charges et des
courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Lissage spatial des charges localisées . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Réfraction des lignes de courant à l’interface entre deux milieux
conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8 Dé…nition algébrique du courant électrique . . . . . . . . . . . . . 27
9 Conservation de la charge portée par l’armature d’un condensateur 31
10 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11 Lois des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
12 Environnement du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . 34
13 Probleme type d’électromagnétisme dans l’approximation des ré-
gimes quasi-permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
14 Localisation usuelle des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . 60
15 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
16 Déclinaison des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 64
17 Décomposition d’un système électrique : conditions de passage
réalisées par le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . 84
18 Exemples de couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
19 Transmission de la puissance électrique . . . . . . . . . . . . . . . 96
20 E¤ort réluctant agissant à la surface d’un matériau doux . . . . . 105
21 E¤ort réluctant agissant à la surface d’un matériau dur . . . . . 107
22 Projection normale du tenseur de Maxwell (contribution magné-
tique) .................................109
23 E¤et d’une ‡uctutation de charge sur le comportement du réseau 113
Liste des tableaux
1 Critères d’optimisation des di¤érentes échelles d’analyse de la
physique et de l’ingénierie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Dénomination des di¤érents domaines fréquentiels. . . . . . . . . 14
3 Développement multipolaire des distributions de charges et de
courants pour des milieux à l’état solide . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Résistivité de quelques matériaux typiques du génie électrique . . 30
2

5 Valeurs typiques de permittivités relatives et de résistivités rési-
duelles................................. 52
6 Résolution d’un problème d’électromagnétisme évolutif . . . . . . 73
3

1 Pourquoi privilégier une approche variation-
nelle de l’électromagnétisme ?
Classiquement, les phénomènes électromagnétiques sont introduits dans le
vide selon trois points de vue :
1. Le point de vue électromagnétique postule l’existence du champ électrique
eet de l’induction magnétique bque les équations de Maxwell relient aux
sources de charges et de courants. Ce cadre su¢ t pour comprendre la pro-
pagation (antenne) ou le phénomène d’induction magnétique (transforma-
teur) mais nécessite d’admettre la force de Lorentz subie par une particule
libre pour réaliser le lien avec la mécanique et les considérations énergé-
tiques [1][2]. La charge libre doit alors être su¢ samment petite pour que sa
dynamique ne modi…e pas les sources de champ. Cette approche combine
une description eulerienne des champs et lagrangienne de la charge libre
[3].
2. Le point de vue électrodynamique privilégie l’interaction fondamentale,
i.e. la loi de Coulomb, entre les charges électriques élémentaires et réalise
une uni…cation des phénomènes électriques et magnétiques dans le cadre
de la relativité restreinte [4]. Le champ électromagnétique (e;b)est alors
introduit comme une commodité d’écriture et son calcul ne fait pas inter-
venir la charge qui subit l’interaction de toutes les autres, conformément
au principe de l’impulsion. On obtient ici une écriture intégrale de la force
agissant sur chaque charge : il s’agit donc d’une description lagrangienne.
3. Le point de vue relativiste postule l’expression du lagrangien d’une par-
ticule chargée subissant un champ électromagnétique. La condition d’ex-
tremum sur l’intégrale d’action procure, dans un formalisme covariant,
le tenseur du champ électromagnétique et les équations d’Euler-Lagrange
décrivant l’évolution de la particule. Dans la limite des faibles vitesses, on
aboutit aux équations de Maxwell et à la force de Lorentz [5][6][7].
A ce stade, ces trois approches sont inopérantes pour décrire des situations
réelles où les sources sont “macroscopiques” – c’est-à-dire mettant en jeu un
nombre de particules chargées de l’ordre du nombre d’Avogadro N= 6:022 
1023 –car :
1. les singularités des champs sont trop nombreuses pour pouvoir être sur-
montées numériquement lors d’une description eulerienne ;
2. le nombre d’équation à résoudre est trop vaste lors d’une description la-
grangienne.
A…n de “régulariser”le problème, on est conduit à introduire deux champs
intrinsèquement macroscopiques qui prennent en compte le comportement col-
lectif de la matière : le déplacement électrique Det le champ magnétique H
[8][9]. Le passage à des champs macroscopiques permet de séparer les échelles
entre :
– l’étude de six champs “macroscopiques”(2champs de sources “libres”hi
et hjicombinés aux 4champs électromagnétiques macroscopiques E,B,D
et H) obéissant aux quatre équations de Maxwell macroscopiques ;
– des lois de comportement qui re‡ètent le caractère discret des milieux ma-
tériels. La justi…cation des propriétés de la matière pertinentes en génie
4