puissances problemes

PUISSANCES : PROBLEMES
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1
C
Les nombres ci-dessous sont vraiment curieux, il paraît que chaque nombre est égal à la somme des cubes de chacun de ses
chiffres :
153 370 407 371 416
2
C
Voici d’autres nombres curieux, car chacun d’eux est égal à la somme des chiffres de son cube :
8 17 26 27
3
C
Le diamètre d’un atome d’hydrogène est environ 0,000 000 1 mm.
1) Exprimer ce nombre avec une puissance de 10.
2) Calculer la longueur obtenue en alignant 10 millions d’atomes d’hydrogène.
4
C
Voir l’infiniment petit : Un atome est formé d’un noyau et d’électrons qui gravitent autour du noyau. Dans un laboratoire, on
réalise une maquette d’atome.
Le noyau est représenté par une boule de 8 cm de diamètre qui en réalité mesure 4x10
-12
mm.
1) Quelle est l’échelle de cette maquette ?
2) A quelle distance devrait être placé un électron qui tourne en réalité à 5x10
-8
mm du noyau ?
3) A cette échelle, un électron est représenté par une minuscule sphère de 0,2 mm de diamètre. Quel est le diamètre réel
d’un électron en mm ?
5
C
Ramanujan (1887-1920) un brillant mathématicien indien a montré que 1729 était le plus petit entier pouvant s’écrire de deux
manières différentes comme étant la somme de deux cubes. Donner ces deux décompositions.
6
C
L’angström (Ä) est une unité de longueur : 1 Ä = 10
–
10
m
1) Compléter : 1 m = 10 Ä
2) Convertir en Ä chacune des longueurs suivantes : 0,000 000 1 m ; 10
-11
m ; 0,01 cm ; 0,001 mm
7 Echec et mat.
Selon la légende, les échecs ont étés inventés aux Indes, 3 000 ans avant Jésus Christ par Sissa pour distraire le roi Belkib. En
récompense, le roi accorda que l’on donne à Sissa le nombre de grains de blé qui se trouveraient sur l’échiquier en mettant 1
grain sur la première case, 2 grains sur la deuxième, 3 sur le troisième et ainsi de suite… jusqu’à la 64
ème
case.
1) Exprimer par une puissance le nombre de grains se trouvant sur la 64
e
case.
2) Calculer 2
10
. En estimant que 10
3
est un ordre de grandeur de 2
10
, exprimer à l’aide d’une puissance de 10 un ordre de
grandeur du nombre trouvé au a-.
3) Le nombre de grains qu’aurait dû recevoir Sissa est : 18 446 744 073 709 551 615
On suppose que 30 grains de blé forment un volume de 1 cm
3
et que l’échiquier a une surface de 900 cm². Quelle
serait la hauteur de la colonne à base carrée obtenue si l’on recouvrait l’échiquier de tous ces grains ?
8
C
344 000 tonnes de pétrole brut se répandent sur la mer.
En admettant que ce pétrole s’étale uniformément à la surface de l’eau et forme une couche de 10
-4
cm d’épaisseur, quelle est
l’aire en km² de la tache ainsi formée ? (masse volumique du pétrole : 860 kg/m
3
)
9 Un atome est formé d’un noyau et d’électrons qui gravitent autour du noyau.
Dans un laboratoire, on réalise une maquette d’un atome.
Le noyau est représenté par une boule de 8 cm de diamètre qui en réalité mesure 4.10
-12
mm.
1) Quelle est l’échelle de cette maquette ?
2) A quelle distance devrait être placé un électron qui tourne en réalité à 5.10
-8
mm du noyau ?
3) A cette échelle, un électron est représenté par une minuscule sphère de 0,2 mm de diamètre. Quelle est le diamètre
réel d’un électron en mm ?
10
C
Il y a environ 65 millions d’habitants en France, dont 85 % boivent du café. Chaque buveur de café consomme en moyenne
environ 5,5 kg de café par an.
1) Calculer la consommation totale de café en France en kg, puis en tonnes.
2) Pour une tasse de café, il faut environ 8 g de café. combien de tasses sont consommées en un an ? Quelle est la
consommation moyenne par jour ?
11
C
Une population de bactéries est multipliée par 5 chaque heure quand les conditions sont bonnes.
1) Par quel nombre est multipliée la population en 2 heures ? en 6 heures ?
2) Dans une culture, il y a 1000 bactéries à 12 heures. Quel est leur nombre à 18 heures ?
3) Combien faudrait-il d’heures pour que la population de ces 1000 bactéries dépasse le milliard ?

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12
C
La NASA espère lancer en 2010 une sonde hyper rapide. L’engin serait une sorte de voilier solaire très léger capable d’accélérer
sans carburant.
Le projet consiste à envoyer cette sonde à 37 milliards de km de la Terre. Le voyage durerait 15 ans. En 8 ans, cette sonde aura
parcouru le chemin que la sonde pionner 10 a mis 41 ans à franchir. Calculer en kilomètre par seconde la vitesse de ces deux
sondes.
13
C
La lumière se propage à environ 3.10
5
km par seconde. Calculer la distance qu’elle parcourt en une année. (Cette distance est
choisie comme unité de longueur par les astronomes et s’appelle une année lumière)
14
C
1m
3
d’eau de mer contient 0,004 mg d’or.
Le volume total d’eau de mer sur la Terre est de 1,3.10
6
km
3
. Calculer la masse totale d’or (en tonnes) que renferment les océans
et les mers.
15
C
On estime qu’aux jeux d’échecs il y a 17.10
31
manières de jouer les 10 premiers coups.
L’ordinateur Deep Blue est capable d’étudier 10
11
combinaisons en 3 minutes.
Combien d’années lui faudrait-il pour étudier toutes les manières de jouer les 10 premiers coups ?
16
C
Le tableau ci contre donne les distances des différentes planètes
du système solaire par rapport au soleil.
Classer ces sept planètes en fonction de leur distance moyenne
au soleil. Vous commencerez par le plus éloignée du soleil et
finirez par la plus proche. Vous justifierez vos résultats.
Planètes Distance moyenne en km de la
planète au Soleil
Jupiter 7,78x10
8
Mercure 579x10
5
Mars 22,8x10
7
Venus 108x10
6
Saturne 1,42x10
9
Neptune 4505 millions
Terre 0,015x10
10
17
C
Voici des renseignements concernant la Terre :
Diamètre aux pôles : 12 712,505 km Surface de la Terre : 510 065 500 km²
Longueur de l’équateur : 40 075,012 km Masse de la Terre : 5,974.10
21
tonnes
Volume de la Terre : 1 083 207 000 000 km
3
1) Donner un ordre de grandeur en écriture scientifique de chaque nombre
2) Pour chacun des nombres précédents, donner un encadrement entre deux puissances de 10 d’exposants consécutifs
18 Astronomie : vitesse de la lumière
Dans l'espace, la lumière se déplace à la vitesse de 300 000 km/s.
1) La distance entre la Terre et le Soleil est de 149 000 000 km. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle pour nous
parvenir ?
2) Voici comment on mesure la distance de la Terre à la Lune : une onde radar est envoyée vers la Lune, elle est réfléchie
par la Lune et revient sur Terre. Elle met 2,563 s pour effectuer ce trajet.
Calculer la distance de la Terre à la Lune . (Une onde radar se déplace à la vitesse de la lumière)
3) La lumière met 3 heures à traverser le système solaire de bout en bout. Quel est son diamètre ?
19 Biologie : les globules rouges
1) Les globules rouges, ou hématies, sont les cellules du sang qui transportent de l'oxygène et le CO
2
.
Il y a 4 500 000 globules rouges dans chaque mm
3
de sang. Il y a 5 litres de sang dans le corps humain.
Combien le corps humain contient-il d'hématies ? (1l = 1 dm
3
)
2) Un globule rouge a globalement la forme d'un disque d'un diamètre de 7,5 microns et d'une épaisseur de 2 microns. (1
micron = 1 micromètre)
3) Si l'on empilait tous les globules rouges du corps, quelle hauteur cela représenterait-il ?
4) La Terre a une circonférence à l'équateur d'environ 40 000 km. De combien de personnes faut-il "empiler" les globules
rouges pour faire le tour de la planète ?

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20 Chimie : masse d'une molécule d'eau
La masse d'un atome d'hydrogène est 1,67×10
–24
g et la masse d'un atome d'oxygène est 26×10
–24
g.
Une molécule d'eau est constituée de deux atomes d'hydrogène et d'un atome d'oxygène (H
2
O).
1) Quelle est la masse d'une molécule d'eau ?
2) Combien y a-t-il de molécules d'eau dans 1 litre d'eau ? (1 litre d'eau pèse 1 kg)
21 Astronomie (2) : l'année-lumière
En astronomie, les distances sont si grandes que le mètre et ses multiples ne sont pas très "parlants". On utilise une autre unité
de longueur: l'année-lumière.
Une année-lumière (a.l.) est la distance parcourue par la lumière en une année
1) Combien une année contient-elle de secondes ? Convertir une année-lumière en km, puis en m
2) Voici quelques distances ayant trait à la Voie Lactée, exprimées en années-lumière.
• Diamètre de la galaxie : 100 000 a.l.
• Le Soleil est à 28 000 a.l. du centre de la galaxie.
• L'étoile de notre galaxie la plus proche du Soleil est Proxima du Centaure, elle est située à 4,22 a.l. du Soleil.
a) Exprimer ces distances en kilomètres, puis en mètres. (Utiliser les puissances de 10 !)
b) Si on représentait le système solaire par une longueur de 1 mm, par quelle longueur faudrait-il représenter la galaxie ?
22 Physique nucléaire
1) Little Boy, la bombe atomique larguée sur Hiroshima le 6 août 1945 (8h15 heure locale), était équivalente à une bombe
de 20 kilotonnes de T.N.T. 1kg de T.N.T. dégage en explosant une énergie de 4 mégaJoules.
Quelle a été l'énergie dégagée par Little Boy ? (Donner le résultat en Joules sous forme scientifique puis avec le
multiple du Joule le mieux adapté)
2) La puissance P (en Watt), l'énergie E (en Joule) et le temps t (en s) sont liés par la formule : E = P×t .
La centrale nucléaire de Chooz (Ardennes) a une puissance maximale de 2,9 GW (gigaWatt).
En fonctionnant à plein régime, combien de temps lui faut-il pour produire autant d'énergie que Little Boy ?

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CORRIGE :
1 Les nombres ci-dessous sont vraiment curieux, il paraît que chaque nombre est égal à la somme des cubes de chacun de ses
chiffres :
1
3
+ 5
3
+ 3
3
= 1 + 125 + 27 = 153
3
3
+ 7
3
+ 0
3
= 27 + 343 = 370
4
3
+ 0
3
+ 7
3
= 64 + 343 = 407
3
3
+ 7
3
+ 1
3
= 27 + 343 + 1 = 371
4
3
+ 1
3
+ 6
3
= 64 + 1+ 216 = 416
2 Voici d’autres nombres curieux, car chacun d’eux est égal à la somme des chiffres de son cube :
8
3
= 512 et 5 + 1 + 2 = 8
17
3
= 4913 et 4 + 9 + 1 +3 = 17
26
3
= 17576 et 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26
27
3
= 19 683 et 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27.
3 Le diamètre d’un atome d’hydrogène est environ 0,000 000 1 mm.
1) Exprimer ce nombre avec une puissance de 10 : 10
-7
.
2) Calculer la longueur obtenue en alignant 10 millions d’atomes d’hydrogène. 10 x 10
6
x 10
-7
= 1 mm.
4 Voir l’infiniment petit : Un atome est formé d’un noyau et d’électrons qui gravitent autour du noyau. Dans un laboratoire, on
réalise une maquette d’atome.
Le noyau est représenté par une boule de 8 cm de diamètre qui en réalité mesure 4x10
-12
mm.
1) Quelle est l’échelle de cette maquette ? 1 / 5.10
-14
.
2) A quelle distance devrait être placé un électron qui tourne en réalité à 5x10
-8
mm du noyau ? 100 m.
3) A cette échelle, un électron est représenté par une minuscule sphère de 0,2 mm de diamètre. Quel est le diamètre réel
d’un électron en mm ? 10
-14
.
5 Ramanujan (1887-1920) un brillant mathématicien indien a montré que 1729 était le plus petit entier pouvant s’écrire de deux
manières différentes comme étant la somme de deux cubes. Donner ces deux décompositions.
9
3
+ 10
3
= 1
3
+ 12
3
= 1729.
6 L’angström (Ä) est une unité de longueur : 1 Ä = 10
–
10
m
1) Compléter : 1 m = 10
-10
Ä
2) Convertir en Ä chacune des longueurs suivantes :
0,000 000 1 m = 10
-7
m = 10
3
A ;
10
-11
m = 0.1 A ;
0,01 cm = 10
-4
m = 10
6
A ;
0,001 mm = 10
-6
m = 10
4
A.
7 Echec et mat.
Selon la légende, les échecs ont étés inventés aux Indes, 3 000 ans avant Jésus Christ par Sissa pour distraire le roi Belkib. En
récompense, le roi accorda que l’on donne à Sissa le nombre de grains de blé qui se trouveraient sur l’échiquier en mettant 1
grain sur la première case, 2 grains sur la deuxième, 3 sur le troisième et ainsi de suite… jusqu’à la 64
ème
case.
1) Exprimer par une puissance le nombre de grains se trouvant sur la 64
e
case.
2) Calculer 2
10
. En estimant que 10
3
est un ordre de grandeur de 2
10
, exprimer à l’aide d’une puissance de 10 un ordre de
grandeur du nombre trouvé au a-.
3) Le nombre de grains qu’aurait dû recevoir Sissa est : 18 446 744 073 709 551 615
On suppose que 30 grains de blé forment un volume de 1 cm
3
et que l’échiquier a une surface de 900 cm². Quelle
serait la hauteur de la colonne à base carrée obtenue si l’on recouvrait l’échiquier de tous ces grains ?
8 344 000 tonnes de pétrole brut se répandent sur la mer.
En admettant que ce pétrole s’étale uniformément à la surface de l’eau et forme une couche de 10
-4
cm d’épaisseur, quelle est
l’aire en km² de la tache ainsi formée ? (masse volumique du pétrole : 860 kg/m
3
)
V = 400 000 m
3
; S = 0.4 m
9 Un atome est formé d’un noyau et d’électrons qui gravitent autour du noyau.
Dans un laboratoire, on réalise une maquette d’un atome.
Le noyau est représenté par une boule de 8 cm de diamètre qui en réalité mesure 4.10
-12
mm.
1) Quelle est l’échelle de cette maquette ?
2) A quelle distance devrait être placé un électron qui tourne en réalité à 5.10
-8
mm du noyau ?
3) A cette échelle, un électron est représenté par une minuscule sphère de 0,2 mm de diamètre. Quelle est le diamètre
réel d’un électron en mm ?

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10
C
Il y a environ 65 millions d’habitants en France, dont 85 % boivent du café. Chaque buveur de café consomme en moyenne
environ 5,5 kg de café par an.
1) Calculer la consommation totale de café en France en kg, puis en tonnes.
303 875 000 kg soit 303 875 tonnes
2) Pour une tasse de café, il faut environ 8 g de café. combien de tasses sont consommées en un an ? Quelle est la
consommation moyenne par jour ? 3.8 x 10
10
tasses par an ; soit 104 066 781 tasses par jour.
11
C
Une population de bactéries est multipliée par 5 chaque heure quand les conditions sont bonnes.
1) Par quel nombre est multipliée la population en 2 heures ? en 6 heures ?
En 2h : 5² = 25 ; en 6h : 5
6
= 15 625
2) Dans une culture, il y a 1000 bactéries à 12 heures. Quel est leur nombre à 18 heures ?
15 625 000
3) Combien faudrait-il d’heures pour que la population de ces 1000 bactéries dépasse le milliard ? 9h
12
C
Sonde : 281 583 km/h
Pionner 10 : 103 018 km/h
13
C
d = 3 x 10
5
x 365x24x3600 = 9.46 x 10
12
km
14
C
5200 tonnes
15
C
On estime qu’aux jeux d’échecs il y a 17.10
31
manières de jouer les 10 premiers coups.
L’ordinateur Deep Blue est capable d’étudier 10
11
combinaisons en 3 minutes.
Combien d’années lui faudrait-il pour étudier toutes les manières de jouer les 10 premiers coups ?
9.7x10
16
ans.
16
C
Le tableau ci contre donne les distances des différentes planètes du système solaire par rapport au soleil.
Classer ces sept planètes en fonction de leur distance moyenne au soleil. Vous commencerez par le plus éloignée du soleil et
finirez par la plus proche. Vous justifierez vos résultats.
Mercure – Venus – Terre – Mars – Jupiter – Saturne - Neptune
Planètes Distance en km
Jupiter 7,78x10
8
7.78x10
8
km
Mercure 579x10
5
5.79x10
7
km
Mars 22,8x10
7
2.28x10
8
km
Venus 108x10
6
1.08x10
8
km
Saturne 1,42x10
9
1.42x10
9
km
Neptune 4505 millions 4.505x10
9
km
Terre 0,015x10
10
1.5x10
8
km
17
C
Voici des renseignements concernant la Terre :
1) Donner un ordre de grandeur en écriture scientifique de chaque nombre.
Diamètre : 1.27x10
4
km.
Longueur de l’équateur : 4.x10
4
km
Surface de la Terre : 5.1x10
8
km²
Masse de la Terre : 5,974.10
24
tonnes
Volume de la Terre : 1.08x10
12
km
3
2) Pour chacun des nombres précédents, donner un encadrement entre deux puissances de 10 d’exposants consécutifs
18 Astronomie : vitesse de la lumière
Dans l'espace, la lumière se déplace à la vitesse de 300 000 km/s.
1) La distance entre la Terre et le Soleil est de 149 000 000 km. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle pour nous
parvenir ?
2) Voici comment on mesure la distance de la Terre à la Lune : une onde radar est envoyée vers la Lune, elle est réfléchie
par la Lune et revient sur Terre. Elle met 2,563 s pour effectuer ce trajet.
Calculer la distance de la Terre à la Lune . (Une onde radar se déplace à la vitesse de la lumière)
3) La lumière met 3 heures à traverser le système solaire de bout en bout. Quel est son diamètre ?