Chapitre I : Ondes lumineuses 1. Propagation d`un signal

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire" 1
Modèle scalaire de la lumière
Chapitre I : Ondes lumineuses
Dans ce chapitre nous introduisons les notions élémentaires sur les ondes lumineuses nécessaires à l’étude des interférences
etdeladiraction.
1. Propagation d’un signal
1.1. Durée et vitesse de propagation
Dans les phénomènes ondulatoires, on étudie une grandeur physique s, appelée signal qui se propage de proche en proche à
partir d’une source. Cette propagation se fait, avec une durée !nie, le long de lignes de propagation appelées rayons.
Cette grandeur ssepropageàunevitesseappeléecélérité v.
1.2. Ondes planes
Une onde est donc caractérisée par un signal qui dépend de la position Met de l’instant t : s(M,t)ou en coordonnées
cartésiennes s(x,y,z,t).
L’onde est dite plane si elle ne dépend que d’une seule coordonnée cartésienne d’espace.
Une onde plane est donc de la forme s(M,t)=s(z, t).
Dans ce cas, s(M, t)est uniforme sur tout plan normal à l’axe (Oz), d’où le nom d’onde plane.
L’onde plane est de plus progressive quand le signal se propage dans un sens déterminé.
Remarque : une onde plane n’est pas réalisable physiquement car il faudrait une extension in!nie du phénomène ondula-
toire. Ce modèle est toutefois utilisable dans un domaine limité de l’espace et loin des sources.
1.3. Propagation sans déformation d’une onde plane progressive
Soit s(z, t)un signal qui se propage sans déformation le long des zcroissants à vitesse constante v.
La durée de propagation depuis le point z=0est (z)=z/v et donc :
s(z, t)=s(0,t(z)) soit s(z, t)=s(0,tz/v)
Ce signal est donc déterminé par une fonction d’une seule variable :
s(z, t)=f(u)avec u=tz/v et f(u)=s(0,u)

Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses 2
1.4. Cas d’une onde plane progressive monochromatique
Une onde s(M,t)est monochromatique si s(M,t)est une fonction sinusoïdale du temps en tout point M%xé.
Une onde plane progressive monochromatique qui se propage sans déformation dans le sens des z croissants est donc de la
forme :
s(M,t)=smcos 
vz+0t=smcos ((z)t)
où smest l’amplitude de l’onde, la pulsation,=
2la fréquence et 0la phase à l’origine.
La longueur d’onde est la période spatiale de s(z,t). Un déplacement de dans la direction (Oz)correspond
à une variation de phase de 2,soit=v
=2v .
Le signal étant sinusoïdal, on adopte la notation complexe :
s(M,t)=e(s)avec s=s0exp i2
zt et s0=smexp (i0)
En introduisant le vecteur d’onde
k=2
ez
on obtient une expression ne faisant plus apparaître le système de coordonnées
s=s0exp i
k.rt avec r= OM
Remarques :
1) On peut aussi utiliser la convention suivante s=s0exp it
k.ravec s0=smexp (i0).
2) Les surfaces équiphases sont les surfaces normales au vecteur d’onde  k.
1.5. Onde émise par une source quasi ponctuelle
1.5.1. Source ponctuelle
Une source est dite ponctuelle si sa dimension transversale la plus grande est très petite par rapport à la distance qui la
sépare du système d’utilisation (écran récepteur, etc.). Un rapport dimension-distance égal à 1/100 convient dans la plupart
des cas.
1.5.2. Onde sphérique
En général, dès que la distance à la source excède quelques longueurs d’onde, une onde monochromatique s’exprime en
coordonnées sphériques par l’amplitude complexe :
s=a0
exp i
k.rt
r
Il y a décroissance en 1/r de l’amplitude des oscillations (décroissance nécessaire pour assurer la conservation de l’énergie).
Les surfaces équiphases sont des sphères, d’où le nom d’onde sphérique.
1.5.3. Approximation par une onde plane progressive monochromatique
À grande distance de la source, plus précisément si r, les variations de la phase sont prépondérantes par rapport à celles
de 1/r.Sirvarie de quelques longueurs d’onde, l’amplitude sm/r est quasiment constante, alors que cos t
k.r+0
prend toutes les valeurs comprises entre 1et +1.
Dans un domaine limité, nous utiliserons donc la forme approchée :
s=a0
exp i k.rt
rs0exp i
k.rt avec s0=a0
rcste
2. Nature de la lumière
2.1. Quelques rappels
Nous rappelons ci-après quelques résultats expérimentaux concernant la lumière :

Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses 3
•La lumière se propage dans le vide avec une célérité c= 299 792 458 m.s13.108m.s1.
Cette valeur sert de dé!nition au mètre et est invariante dans tous les référentiels (en contradiction avec la loi de
composition des vitesses de la mécanique classique.). Elle se propage également dans certains milieux matériels, dits
transparents, avec une célérité inférieure. Cette propagation s’accompagne d’un transport d’énergie.
•Dans les milieux homogènes la lumière se propage en ligne droite. Ces ”trajectoires” sont appelées rayons lumineux.
•La lumière fournie par le soleil (ainsi que d’autres) est décomposable grâce à un prisme en un spectre coloré. ”Chaque
couleur” obtenue n’est plus décomposable : il s’agit de lumière monochromatique de longueur d’onde . Dans un
milieu transparent, la vitesse de propagation vde la lumière est donnée par v=c/n où nest l’indice du milieu. L’indice
d’un milieu est une fonction (légèrement) décroissante de la longueur d’onde : le bleu est plus dévié que le rouge par
un prisme :
n()=A+B
2formule (empirique) de Cauchy
La notion de rayons lumineux permet la résolution des problèmes d’optique géométrique mais est insu6sante dans le cas
de l’optique physique.
2.2. Théorie ondulatoire de la lumière
2.2.1. Nature ondulatoire
Expérience des trous d’Young :
Deux trous S1et S2identiques et de très petite dimension (rayon de l’ordre du dixième de millimètre, ou moins), sont
percés dans un écran opaque et distants de a(de l’ordre de quelques millimètres) : la lumière incidente provient d’une source
ponctuelle Smonochromatique de longueur d’onde .LasourceSest placée à la même distance de chacun d’entre eux.
L’observation se fait sur un écran parallèle à S1S2: l’optique géométrique ne permet pas de justi!er la !gure obtenue.
S
S1
S2
y
x
O
D
a
Attribuer un caractère ondulatoire à la lumière permet d’interpréter de façon satisfaisante l’ensemble des phénomènes
d’interférence et de di:raction.
On assimile alors en chaque point Mla lumière monochromatique à une vibration scalaire,appelésignal lumineux,du
type :
s(M,t)=a0(M)cos((M)t)
2.2.2. La théorie électromagnétique
La théorie électromagnétique fournie la nature de cette vibration lumineuse : la lumière est une onde électromagnétique.
Plus précisément, nous verrons dans le cours ”Ondes électromagnétiques dans le vide” que :
•une onde électromagnétique dans le vide associée à un problème physique réel (i.e. une solution des équations de Maxwell
dans le vide) est mathématiquement décomposable en une superposition d’ondes planes progressives harmoniques,
la somme portant à la fois sur la direction de propagation uet sur la pulsation .
•Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques dans le vide
—sont transversales : les champs  Eet  Bn’ont pas de composantes sur la direction de propagation, les vecteurs
sont donc perpendiculaires à la direction de propagation,
—les champs  Eet  Bsont en phase,
—les champs  Eet  Bsont perpendiculaires.

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x
direction de
propagation
O
“Photographie” des champs
à un instant t donné
E
r
B
r
•Les résultats sont identiques dans un milieu linéaire, isotrope, non conducteur, transparent, non magnétique et ho-
mogène. Si le milieu n’est pas homogène, on retrouve localement la structure précédente.
•Une onde lumineuse est polarisée rectilignement si la direction du champ électrique  E(r, t)est constante donc
indépendante de ret t.
2.3. Théorie corpusculaire de la lumière
L’étude de l’e:et photo-électrique a conduit Einstein, en 1905, à introduire la notion de photon : une radiation mono-
chromatique de fréquence transporte de l’énergie sous forme quanti!ée ; chaque ”grain d’énergie” ou photon transporte
l’énergie:
E=hoù hest la constante de Planck h=6,6260755 ×1034 J.s
Cette quanti!cation de l’énergie est imprévisible à partir des équations de Maxwell où la constante de Planck ne !gure pas.
3. Sources de lumière
3.1. Continuité du spectre électromagnétique
La lumière est une onde électromagnétique. On classe habituellement les ondes électromagnétiques selon leurs sources ou
selon leurs fréquences :
•Les ondes hertziennes sont produites par des courants électriques, eux-mêmes produits par des oscillateurs. Les pre-
mières ondes électromagnétiques « arti!cielles » ou ondes hertziennes ont été produites et détectées par Heinrich Hertz
en 1888.
•La lumière (au sens large, incluant les infrarouges, les ultraviolets et les rayons X) est émise par les atomes et les
molécules.
•Les transitions entre deux états d’énergies di:érentes du noyau atomique sont, de la même façon, responsables d’émissions
électromagnétiques, mais de fréquences bien plus élevées : les « rayons !».
Le document ci-dessous rappelle les principaux domaines de fréquences des ondes électromagnétiques. Les ondes lu-
mineuses visibles ont des longueurs d’ondes comprises entre 400 nm (violet) et 800 nm (rouge). Le domaine des infrarouges
lointains se recoupe avec celui des hyperfréquences hertziennes. On peut donc véri!er expérimentalement l’identité formelle
entre ondes hertziennes et ondes lumineuses.

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3.2. L’émission des radiations lumineuses ( c 1995 Encyclopædia Universalis France S.A. )
Les objets éclairés, comme la Lune, les nuages, le ciel diurne..., qui ne font que di:user (par réIexion ou transmission) la lumière reçue,
constituent des sources de lumière ” secondaires ”. Cette di:usion se fait sans changement de fréquence, sauf cas exceptionnels. La
plupart des sources lumineuses sont formées de solides incandescents : c’est le cas du Soleil, des Iammes chargées de particules de
charbon, des lampes à !lament de tungstène, des arcs au carbone, etc. Leur lumière est à spectre continu, sa composition variant avec
leur nature et leur température.
Des décharges électriques dans un gaz interviennent dans les lampes à vapeur de mercure ou de sodium, les étincelles et certains arcs. Si
la pression du gaz n’est pas trop forte, ces sources ont un spectre de raies, ce qu’on peut obtenir aussi (mais avec une faible luminance)
en introduisant, dans une Iamme non éclairante, un composé minéral, du sel marin par exemple.
L’émission de rayonnement par des substances prises dans un état physique quelconque se produit lorsqu’elles sont soumises à des
excitations convenables : chocs atomiques intervenant à des températures assez élevées ou sous l’action de champs électriques intenses,
ou bien absorption d’autres rayonnements électromagnétiques. On dit qu’il y a incandescence quand l’énergie rayonnée a une origine
purement thermique, luminescence dans les autres cas ; on peut distinguer, notamment, ceux d’électroluminescence, de tribolumines-
cence (craie ou sucre que l’on broie), de chimiluminescence (oxydation lente du phosphore), de bioluminescence (ver luisant) et, surtout,
de photoluminescence.
On peut donc retenir que les sources de lumière peuvent être à spectre continu ou discontinu ; on donne habituellement les
longueurs d’onde dans le vide plutôt que les fréquences émises (ou la bande de fréquence).
Nous verrons plus loin dans le cours une autre caractéristique des sources : le temps de cohérence.
4. Intensité lumineuse ou éclairement
4.1. Les détecteurs
Les détecteurs de lumière sont multiples : l’oeil, une caméra vidéo, une pellicule photographique, une photodiode, mais aussi
des instruments de laboratoires beaucoup plus sensibles comme les photomultiplicateurs.
Dans le domaine des ondes lumineuses, les détecteurs sont tous sensibles à la puissance rayonnée par l’onde électromagnétique.
Cette puissance est proportionnelle au carré du champ électrique et à la surface utile du détecteur.
Ces détecteurs ont un certain temps de réponse R, pendant lequel il intègre la valeur de  E2.
•Le temps de réponse Rde l’oeil est de l’ordre du vingtième de seconde.
•Les cellules photoélectriques ont des temps de réponse Rqui vont jusqu’à 106s.
•Des détecteurs de laboratoire peuvent descendre jusqu’à 1010 s, ce qui est toujours très long devant la période d’une
onde visible.
Tous les détecteurs opèrent donc une moyenne, sur un très grand nombre de périodes, de la puissance reçue.
4.2. Dé%nition de l’intensité (éclairement)
Un détecteur de section utile Sfournit un signal proportionnel à S< E2>,si< E2>représente la moyenne de  E2calculée
sur le temps de réponse du détecteur. Nous dé!nissons l’intensité lumineuse I(ou éclairement E) comme étant la
puissance surfacique moyenne rayonnée par l’onde, soit I=K< E2>,Kétant un facteur de proportionnalité dont
nous verrons qu’il n’est pas utile de connaître, à priori, la valeur.
4.3. Représentation scalaire d’une onde lumineuse
Les problèmes d’optique ondulatoire consistent généralement à déterminer l’intensité résultant de la superposition de plusieurs
ondes. D’après le paragraphe précédent 4.2. il faut tout d’abord déterminer le champ électrique résultant de la superposition
des di:érents champs associés à chaque onde et donc e:ectuer une somme vectorielle.
On admet que :
Dans un grand nombre de situations, l’intensité lumineuse, due à la superposition de plusieurs ondes
électromagnétiques, peut être déterminée au moyen d’un modèle simpli%é, où le champ électrique est associé
à une grandeur scalaire. Cette approximation est justi%ée :
•dans le cas très fréquent d’ondes non polarisées dont les directions de propagation sont voisines ;
•pour des ondes polarisées dont on sait que les directions de polarisation sont voisines.