Chapitre I : Ondes lumineuses 1. Propagation d`un signal

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire"
1
Modèle scalaire de la lumière
Chapitre I : Ondes lumineuses
Dans ce chapitre nous introduisons les notions élémentaires sur les ondes lumineuses nécessaires à l’étude des interférences
et de la di raction.
1. Propagation d’un signal
1.1. Durée et vitesse de propagation
Dans les phénomènes ondulatoires, on étudie une grandeur physique s, appelée signal qui se propage de proche en proche à
partir d’une source. Cette propagation se fait, avec une durée !nie, le long de lignes de propagation appelées rayons.
Cette grandeur s se propage à une vitesse appelée célérité v.
1.2. Ondes planes
Une onde est donc caractérisée par un signal qui dépend de la position M et de l’instant t : s(M, t) ou en coordonnées
cartésiennes s(x, y, z, t).
L’onde est dite plane si elle ne dépend que d’une seule coordonnée cartésienne d’espace.
Une onde plane est donc de la forme s(M, t) = s(z, t).
Dans ce cas, s(M, t) est uniforme sur tout plan normal à l’axe (Oz), d’où le nom d’onde plane.
L’onde plane est de plus progressive quand le signal se propage dans un sens déterminé.
Remarque : une onde plane n’est pas réalisable physiquement car il faudrait une extension in!nie du phénomène ondulatoire. Ce modèle est toutefois utilisable dans un domaine limité de l’espace et loin des sources.
1.3. Propagation sans déformation d’une onde plane progressive
Soit s(z, t) un signal qui se propage sans déformation le long des z croissants à vitesse constante v.
La durée de propagation depuis le point z = 0 est (z) = z/v et donc :
s(z, t) = s(0, t
(z)) soit s(z, t) = s(0, t
z/v)
Ce signal est donc déterminé par une fonction d’une seule variable :
s(z, t) = f(u) avec u = t
z/v
et f(u) = s(0, u)
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
2
1.4. Cas d’une onde plane progressive monochromatique
Une onde s(M, t) est monochromatique si s(M, t) est une fonction sinusoïdale du temps en tout point M %xé.
Une onde plane progressive monochromatique qui se propage sans déformation dans le sens des z croissants est donc de la
forme :
s(M, t) = sm cos v z + 0
t = sm cos ( (z)
t)
où sm est l’amplitude de l’onde, la pulsation, = 2 la fréquence et 0 la phase à l’origine.
La longueur d’onde est la période spatiale de s(z, t). Un déplacement de dans la direction (Oz) correspond
à une variation de phase de 2 , soit = v = 2 v .
Le signal étant sinusoïdal, on adopte la notation complexe :
2
s(M, t) = e(s) avec s = s0 exp i
z
t
et s0 = sm exp (i
0)
En introduisant le vecteur d’onde
k=
2
ez
on obtient une expression ne faisant plus apparaître le système de coordonnées
s = s0 exp i k.r
t
avec r = OM
Remarques :
1) On peut aussi utiliser la convention suivante s = s0 exp i
t
k.r
avec s0 = sm exp ( i
0 ).
2) Les surfaces équiphases sont les surfaces normales au vecteur d’onde k.
1.5. Onde émise par une source quasi ponctuelle
1.5.1. Source ponctuelle
Une source est dite ponctuelle si sa dimension transversale la plus grande est très petite par rapport à la distance qui la
sépare du système d’utilisation (écran récepteur, etc.). Un rapport dimension-distance égal à 1/100 convient dans la plupart
des cas.
1.5.2. Onde sphérique
En général, dès que la distance à la source excède quelques longueurs d’onde, une onde monochromatique s’exprime en
coordonnées sphériques par l’amplitude complexe :
exp i k.r
s = a0
t
r
Il y a décroissance en 1/r de l’amplitude des oscillations (décroissance nécessaire pour assurer la conservation de l’énergie).
Les surfaces équiphases sont des sphères, d’où le nom d’onde sphérique.
1.5.3. Approximation par une onde plane progressive monochromatique
À grande distance de la source, plus précisément si r
, les variations de la phase sont prépondérantes par rapport à celles
de 1/r. Si r varie de quelques longueurs d’onde, l’amplitude sm /r est quasiment constante, alors que cos t k.r + 0
prend toutes les valeurs comprises entre 1 et +1.
Dans un domaine limité, nous utiliserons donc la forme approchée :
exp i k.r
s = a0
r
t
s0 exp i k.r
t
avec s0 =
2. Nature de la lumière
2.1. Quelques rappels
Nous rappelons ci-après quelques résultats expérimentaux concernant la lumière :
a0
r
cste
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
3
• La lumière se propage dans le vide avec une célérité c = 299 792 458 m. s 1 3.108 m. s 1 .
Cette valeur sert de dé!nition au mètre et est invariante dans tous les référentiels (en contradiction avec la loi de
composition des vitesses de la mécanique classique.). Elle se propage également dans certains milieux matériels, dits
transparents, avec une célérité inférieure. Cette propagation s’accompagne d’un transport d’énergie.
• Dans les milieux homogènes la lumière se propage en ligne droite. Ces ”trajectoires” sont appelées rayons lumineux.
• La lumière fournie par le soleil (ainsi que d’autres) est décomposable grâce à un prisme en un spectre coloré. ”Chaque
couleur” obtenue n’est plus décomposable : il s’agit de lumière monochromatique de longueur d’onde . Dans un
milieu transparent, la vitesse de propagation v de la lumière est donnée par v = c/n où n est l’indice du milieu. L’indice
d’un milieu est une fonction (légèrement) décroissante de la longueur d’onde : le bleu est plus dévié que le rouge par
un prisme :
B
n( ) = A + 2 formule (empirique) de Cauchy
La notion de rayons lumineux permet la résolution des problèmes d’optique géométrique mais est insu6sante dans le cas
de l’optique physique.
2.2. Théorie ondulatoire de la lumière
2.2.1. Nature ondulatoire
Expérience des trous d’Young :
Deux trous S1 et S2 identiques et de très petite dimension (rayon de l’ordre du dixième de millimètre, ou moins), sont
percés dans un écran opaque et distants de a (de l’ordre de quelques millimètres) : la lumière incidente provient d’une source
ponctuelle S monochromatique de longueur d’onde . La source S est placée à la même distance de chacun d’entre eux.
L’observation se fait sur un écran parallèle à S1 S2 : l’optique géométrique ne permet pas de justi!er la !gure obtenue.
y
S1
S
x
O
a
S2
D
Attribuer un caractère ondulatoire à la lumière permet d’interpréter de façon satisfaisante l’ensemble des phénomènes
d’interférence et de di:raction.
On assimile alors en chaque point M la lumière monochromatique à une vibration scalaire, appelé signal lumineux, du
type :
s(M, t) = a0 (M) cos ( (M )
t)
2.2.2. La théorie électromagnétique
La théorie électromagnétique fournie la nature de cette vibration lumineuse : la lumière est une onde électromagnétique.
Plus précisément, nous verrons dans le cours ”Ondes électromagnétiques dans le vide” que :
• une onde électromagnétique dans le vide associée à un problème physique réel (i.e. une solution des équations de Maxwell
dans le vide) est mathématiquement décomposable en une superposition d’ondes planes progressives harmoniques,
la somme portant à la fois sur la direction de propagation u et sur la pulsation .
• Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques dans le vide
— sont transversales : les champs E et B n’ont pas de composantes sur la direction de propagation, les vecteurs
sont donc perpendiculaires à la direction de propagation,
— les champs E et B sont en phase,
— les champs E et B sont perpendiculaires.
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
4
r
E
O
r
B
direction de
propagation
x
“Photographie” des champs
à un instant t donné
• Les résultats sont identiques dans un milieu linéaire, isotrope, non conducteur, transparent, non magnétique et homogène. Si le milieu n’est pas homogène, on retrouve localement la structure précédente.
• Une onde lumineuse est polarisée rectilignement si la direction du champ électrique E (r, t) est constante donc
indépendante de r et t.
2.3. Théorie corpusculaire de la lumière
L’étude de l’e:et photo-électrique a conduit Einstein, en 1905, à introduire la notion de photon : une radiation monochromatique de fréquence transporte de l’énergie sous forme quanti!ée ; chaque ”grain d’énergie” ou photon transporte
l’énergie:
E=h
où h est la constante de Planck h = 6, 6260755 × 10 34 J. s
Cette quanti!cation de l’énergie est imprévisible à partir des équations de Maxwell où la constante de Planck ne !gure pas.
3. Sources de lumière
3.1. Continuité du spectre électromagnétique
La lumière est une onde électromagnétique. On classe habituellement les ondes électromagnétiques selon leurs sources ou
selon leurs fréquences :
• Les ondes hertziennes sont produites par des courants électriques, eux-mêmes produits par des oscillateurs. Les premières ondes électromagnétiques « arti!cielles » ou ondes hertziennes ont été produites et détectées par Heinrich Hertz
en 1888.
• La lumière (au sens large, incluant les infrarouges, les ultraviolets et les rayons X) est émise par les atomes et les
molécules.
• Les transitions entre deux états d’énergies di:érentes du noyau atomique sont, de la même façon, responsables d’émissions
électromagnétiques, mais de fréquences bien plus élevées : les « rayons !».
Le document ci-dessous rappelle les principaux domaines de fréquences des ondes électromagnétiques. Les ondes lumineuses visibles ont des longueurs d’ondes comprises entre 400 nm (violet) et 800 nm (rouge). Le domaine des infrarouges
lointains se recoupe avec celui des hyperfréquences hertziennes. On peut donc véri!er expérimentalement l’identité formelle
entre ondes hertziennes et ondes lumineuses.
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
3.2. L’émission des radiations lumineuses ( c
5
1995 Encyclopædia Universalis France S.A.
)
Les objets éclairés, comme la Lune, les nuages, le ciel diurne..., qui ne font que di:user (par réIexion ou transmission) la lumière reçue,
constituent des sources de lumière ” secondaires ”. Cette di:usion se fait sans changement de fréquence, sauf cas exceptionnels. La
plupart des sources lumineuses sont formées de solides incandescents : c’est le cas du Soleil, des Iammes chargées de particules de
charbon, des lampes à !lament de tungstène, des arcs au carbone, etc. Leur lumière est à spectre continu, sa composition variant avec
leur nature et leur température.
Des décharges électriques dans un gaz interviennent dans les lampes à vapeur de mercure ou de sodium, les étincelles et certains arcs. Si
la pression du gaz n’est pas trop forte, ces sources ont un spectre de raies, ce qu’on peut obtenir aussi (mais avec une faible luminance)
en introduisant, dans une Iamme non éclairante, un composé minéral, du sel marin par exemple.
L’émission de rayonnement par des substances prises dans un état physique quelconque se produit lorsqu’elles sont soumises à des
excitations convenables : chocs atomiques intervenant à des températures assez élevées ou sous l’action de champs électriques intenses,
ou bien absorption d’autres rayonnements électromagnétiques. On dit qu’il y a incandescence quand l’énergie rayonnée a une origine
purement thermique, luminescence dans les autres cas ; on peut distinguer, notamment, ceux d’électroluminescence, de triboluminescence (craie ou sucre que l’on broie), de chimiluminescence (oxydation lente du phosphore), de bioluminescence (ver luisant) et, surtout,
de photoluminescence.
On peut donc retenir que les sources de lumière peuvent être à spectre continu ou discontinu ; on donne habituellement les
longueurs d’onde dans le vide plutôt que les fréquences émises (ou la bande de fréquence).
Nous verrons plus loin dans le cours une autre caractéristique des sources : le temps de cohérence.
4. Intensité lumineuse ou éclairement
4.1. Les détecteurs
Les détecteurs de lumière sont multiples : l’oeil, une caméra vidéo, une pellicule photographique, une photodiode, mais aussi
des instruments de laboratoires beaucoup plus sensibles comme les photomultiplicateurs.
Dans le domaine des ondes lumineuses, les détecteurs sont tous sensibles à la puissance rayonnée par l’onde électromagnétique.
Cette puissance est proportionnelle au carré du champ électrique et à la surface utile du détecteur.
Ces détecteurs ont un certain temps de réponse R , pendant lequel il intègre la valeur de E 2 .
• Le temps de réponse
R
de l’oeil est de l’ordre du vingtième de seconde.
• Les cellules photoélectriques ont des temps de réponse
R
qui vont jusqu’à 10
• Des détecteurs de laboratoire peuvent descendre jusqu’à 10
onde visible.
10
6
s.
s, ce qui est toujours très long devant la période d’une
Tous les détecteurs opèrent donc une moyenne, sur un très grand nombre de périodes, de la puissance reçue.
4.2. Dé%nition de l’intensité (éclairement)
Un détecteur de section utile S fournit un signal proportionnel à S < E 2 >, si < E 2 > représente la moyenne de E 2 calculée
sur le temps de réponse du détecteur. Nous dé!nissons l’intensité lumineuse I (ou éclairement E ) comme étant la
puissance surfacique moyenne rayonnée par l’onde, soit I = K < E 2 >, K étant un facteur de proportionnalité dont
nous verrons qu’il n’est pas utile de connaître, à priori, la valeur.
4.3. Représentation scalaire d’une onde lumineuse
Les problèmes d’optique ondulatoire consistent généralement à déterminer l’intensité résultant de la superposition de plusieurs
ondes. D’après le paragraphe précédent 4.2. il faut tout d’abord déterminer le champ électrique résultant de la superposition
des di:érents champs associés à chaque onde et donc e:ectuer une somme vectorielle.
On admet que :
Dans un grand nombre de situations, l’intensité lumineuse, due à la superposition de plusieurs ondes
électromagnétiques, peut être déterminée au moyen d’un modèle simpli%é, où le champ électrique est associé
à une grandeur scalaire. Cette approximation est justi%ée :
• dans le cas très fréquent d’ondes non polarisées dont les directions de propagation sont voisines ;
• pour des ondes polarisées dont on sait que les directions de polarisation sont voisines.
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
6
On retrouve ici les résultats anoncés au paragraphe 2.2.1. : en chaque point M on associe la lumière monochromatique à
une vibration scalaire, appelé signal lumineux, du type :
s(M, t) = a0 (M) cos ( (M )
t)
ou en notation complexe :
s(M, t) = a0 (M) exp [i ( (M )
t)]
Exercice n 01 : Démontrer les résultats précédents
5. Phase d’une onde lumineuse
Dans les conditions de l’approximation scalaire on associe à une lumière monochromatique un signal lumineux s(M, t) =
t).
a0 (M ) cos ( (M )
Il est donc indispensable de connaître la phase (M ) en tout point.
5.1. Ondes et rayons lumineux
Les rayons lumineux sont les lignes de propagation, tangentes en tout point à la direction de propagation de
l’onde lumineuse.
Pour une onde plane, les rayons lumineux sont des droites parallèles. Pour une onde sphérique, ce sont des demi-droites qui
divergent du point source.
Nous admettrons que ces rayons sont identiques à ceux de l’optique géométrique.
5.2. Di>érence de phase entre deux points situés sur le même rayon lumineux
5.2.1. Propagation dans un milieu transparent homogène
Soit, dans un milieu homogène d’indice n, un rayon lumineux rectiligne déterminé par un point quelconque O et son vecteur
unitaire u.
M étant un point de ce rayon, soit r = u.OM la longueur parcourue par la lumière entre O et M , comptée positivement
dans le sens de propagation.
La phase de l’onde en M à l’instant t peut s’écrire ( 0 étant la longueur d’onde dans le vide) :
&(M, t) = k r +
t=
0
2
r+
v
t=
0
2 n
r+
c
0
t=
2 nr
+
0
t
0
À tout instant, la di:érence de phase entre les points O et M est :
O
M
= &(M, t)
&(O, t) =
2 nr
0
soit
O
M
+
0
t
2 n.0
0
+
0
t =
2 nr
0
= k.OM avec k = n 2 0 u
5.2.2. Continuité de la phase
À la séparation entre deux milieux transparents, les rayons lumineux sont réfractés et réIéchis. Si les limites transversales
du faisceau sont très grandes devant la longueur d’onde, les rayons sont déviés selon les lois de Snell-Descartes. Dans le cas
contraire, nous observons le phénomène de di:raction, que nous étudierons ultérieurement.
On admet que :
• La phase d’une onde lumineuse est continue pour :
— une réfraction ;
— une ré?exion sur un dioptre, où l’onde incidente se propage dans le milieu d’indice le plus élevé.
• La phase subit une discontinuité de
pour :
— une ré?exion sur un dioptre, où l’onde incidente se propage dans le milieu d’indice le plus faible;
— une ré?exion sur un métal ;
— le passage par un point de convergence.
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
Remarque : O M = 2 nr
= 2 nr0 = 2
0
durée. ' est appelé chemin optique.
0
7
avec ' = nr = distance que parcourait l’onde dans le vide pour la même
5.2.3. Chemin optique et phase
Dans le cas général, l’indice peut varier de façon continue, et le rayon est courbe.
On généralise alors la notion de chemin optique et l’expression du déphasage.
Par dé%nition, le chemin optique (AB) entre deux points A et B d’un rayon lumineux est :
B
(AB) =
n(M )u.d)
A
où n est l’indice de réfraction (il dépend du point considéré) et u le vecteur unitaire tangent au rayon.
Pour une onde monochromatique de pulsation
tout instant entre les points A et B est :
A
B
=
et de longueur dans le vide
2
(AB) +
0
0,
la di>érence de phase à
sup
Le terme sup usuellement multiple de , provient des discontinuités de phases dues à des ré?exions, ou au
passage par un point de convergence.
Remarque : la durée de propagation d’une onde d’un point A à un point B dans un milieu quelconque est égale à (AB)/c
où (AB) est le chemin optique le long du rayon lumineux allant de A à B.
5.2.4. Retour inverse
Si la lumière se propage de A vers B le long d’un rayon lumineux, alors elle peut se propager de B vers A en suivant, en sens
inverse, le même chemin.
Les lois de la réfraction et de la réIexion sont, en e:et, indépendantes du sens de parcours de la lumière. Les chemins optiques
(AB) dans un sens et (BA) dans l’autre sens sont égaux.
Si on inverse le sens de propagation de la lumière, les rayons lumineux sont inchangés.
Optique ondulatoire. Chapitre I : Ondes lumineuses
8
5.3. Théorème de MALUS
5.3.1. Surfaces d’ondes
Soit une onde issue d’une source lumineuse ponctuelle.
Une surface d’onde est une surface dé%nie par l’ensemble des points séparés de la source ponctuelle par
le même chemin optique. Si l’onde émise par la source ponctuelle est monochromatique, les surfaces d’ondes
se confondent avec les surfaces équiphases.
Par exemple, si le milieu est homogène, les surfaces d’ondes sont des sphères centrées en A. Nous pouvons constater que
les surfaces d’ondes sont normales aux rayons lumineux. Le théorème de MALUS généralise cette propriété.
5.3.2. Énoncé du théorème de MALUS
Les surfaces d’ondes sont normales aux rayons lumineux.
5.3.3. Couples de points conjugués
Soient un point objet A et son image A par un système optique constitué de miroirs et de lentilles dans un milieu
homogène. Considérons deux rayons lumineux quelconques reliant A à A et
une surface d’onde associée à ces rayons.
Soient P et Q les intersections correspondantes.
• Par dé!nition de la surface d’onde (AP ) = (AQ).
• D’après le théorème de Malus
est une sphère de centre A donc A P = A Q
(A P ) = (A Q).
Nous pouvons conclure (AP ) + (P A ) = (AQ) + (QA ) = cste.
Le chemin optique entre deux points conjugués par un système optique stigmatique est indépendant du
rayon qui les relie.
Exercice n 02 : Soit une lentille mince convergente, dans l’air, éclairée par une source ponctuelle placée dans le plan focal objet,
hors du foyer (on posera P M = a). Calculer les di:érences de chemin optique (AQ) (AP ) et (AM) (AP ).
A
F
O
f
P
Q
M
Exercice n 03 : Un laser émet sur la longueur d’onde = 638 nm. La sortie du laser est assimilée à un disque uniformément
éclairé de diamètre d = 0, 5 mm. La puissance du laser est P = 1 mW.
1) Calculer l’amplitude du champ E.
2) Calculer le Iux de photons, c’est à dire le nombre de photons émis par le laser par unité de temps.
3) On appelle !ltre gris d’un diaphragme un !ltre qui absorbe la moitié des photons qui le traversent. On place N !ltres de ce
type à la sortie du laser. Calculer N pour que le Iux de photons à la sortie du dispositif corresponde (en moyenne) à un photon par
seconde.