Algorithme de Collatz : ( Lothar Collatz : Mathématicien allemand

1S Devoir n° 19 maison mardi 1 avril 2014
Exercice 1:
Cet exercice reprend et complète le troisième algorithme vu au mois de février
Algorithme de Collatz : ( Lothar Collatz : Mathématicien allemand (1910-1990) )
Algorithme écrit en langage courant :
Variables
uest un nombre.
Entrées
Saisir u
Traitement
Tant que u > 1
| Si uest pair
| alors affecter u/2 à u
| sinon affecter 3u+ 1 à u
| Afficher u
Fin de tant que
Fin
Version Algobox
Vous avez déjà eu l’occasion de tester cet algorithme en classe.
Cet algorithme est à l’origine d’une conjecture, appelée conjecture de syracuse :
Quel que soit le nombre entier non nul choisi au départ, on finit toujours par obtenir 1 dans
la suite obtenue avec l’algorithme de Collatz.
Remarque :
• Actuellement cette conjecture n’est pas démontrée et aucun contre-exemple n’a été trouvé.
• Pourquoi syracuse ? Cette conjecture est appelée conjecture de Syracuse ou problème de Syracuse depuis que
Helmut Hasse, un ami de Collatz, la présenta à l’université de Syracuse (près de New York) dans les années 50.
Quelques définitions
• La suite de nombres obtenus est appelé le vol du nombre de départ.
• Les nombres de la suite sont appelés les étapes du vol.
• Le plus grand nombre obtenu est appelé l’altitude maximale du vol.
• Le nombre d’étapes avant d’obtenir 1 est appelé la durée du vol.
travail à effectuer
L’algorithme indiqué plus haut affiche, pour un nombre donné, les étapes du vol de ce nombre.
1. a. Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la durée du vol.
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que la durée du vol du nombre 50 est égal à 24.
2. a. Modifier de nouveau l’algorithme pour qu’il affiche la durée du vol et l’altitude maximale de ce vol.
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que l’altitude maximale du vol du nombre 50 est égal à 88.
3. À l’aide de ce programme, donner les durées et les altitudes maximales des vols des nombres 18 et 31.
Remarque : Les algorithmes et programmes devront être recopiés sur le devoir selon la présentation habituelle dans
un tableau à deux colonnes : algorithme côté gauche, programme pour calculatrice côté droit.
Les programmes pourront être écrits avec le logiciel algobox que l’on télécharge facilement sur Internet. Dans ce cas
vous pourrez m’envoyer la version numérique du programme via la messagerie E-Lyco.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 1

1S Devoir n° 19 maison mardi 1 avril 2014
Exercice 2:
Deux sources lumineuses sont placées aux extrémités d’une rampe de 5 mètres de longueur.
la source placée en A possède une puissance de 8 W et celle placée en B un puissance de 27 W.
Un point M de la rampe reçoit un éclairement proportionnel à la puissance de la lampe et inversement proportionnel
au carré de la distance qui le sépare de la lampe.
On souhaite déterminer la position de M de façon à ce que son éclairement soit minimum.
On pose AM = x.
1. Montrer que l’éclairement du point M est proportionnel à f(x) = 8
x2+27 (5 −x)2.
2. À l’aide du logiciel Xcas, nous avons obtenu le résultat suivant :
Justifier le résultat obtenu par le logiciel en calculant la fonction dérivée de fpuis en montrant que cette dérivée
est bien égale à l’expression donnée.
3. Déterminer le signe de f0(x) sur Rpuis dresser le tableau de variation de fsur R.
4. En déduire la position du point M pour lequel l’éclairement est minimum.
Exercice 3:
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O,−→ ı , −→ d’unité 2cm, placer les points A ( −2; 5 ), B ( 1; 1 ) et C ( 3; 7 ).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser les coordonnées de son centre K et son
rayon.
3. Déterminer une équation de la tangente en A au cercle circonscrit.
4. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Déterminer la longueur AH.
5. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M du plan tels que −−−→ AM .−−→ AC = 5.
6. Représenter (E) sur la figure.
Exercice 4:
ABCD est un carré de centre H.
E est un point du segment [AC] différent de A et C qui se projette sur
(AB) en F et sur (BC) en G. Démontrer que le triangle FGH est rectangle
et isocèle.
A B
E
D C
H
F
GG
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 2

Corrigé
Exercice 1:
1. a. Pour afficher la durée du vol, il faut ajouter, à l’intérieur de la boucle, un compteur qui dénombre les
différentes étapes de ce vol. On va donc déclarer une variable duree au départ puis l’initialiser à 1 (la
première valeur de la suite est donnée ). Dans la boucle tant que cette variable est incrémentée puis elle est
affichée a la fin.
Algorithme écrit en langage courant :
Variables
uest un nombre.
duree est un nombre.
Entrées
Saisir u
duree = 1
Traitement
Tant que u > 1
| Si uest pair
|| alors affecter u/2 à u
|| sinon affecter 3u+ 1 à u
| fin de Si
| Afficher u
| duree = duree + 1
Fin de tant que
Afficher duree
Fin
Version Algobox
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que la durée du vol du nombre 50 est égal à 24 : Erreur cette durée est
de 25 !
2. a. Modifier de nouveau l’algorithme pour qu’il affiche la durée du vol et l’altitude maximale de ce vol.
Cette fois il faut trouver la valeur la plus élevée parmi toutes les valeurs. Il suffit de créer une nouvelle
variable
altitude et l’initialiser à la première valeur de la suite. Ensuite, dans la boucle tant que : si la
nouvelle valeur u calculée est supérieure à altitude , alors nous affectons à altitude cette nouvelle valeur
calculée.
Algorithme écrit en langage courant :
Variables
uest un nombre.
duree est un nombre.
altitude est un nombre.
Entrées
Saisir u
duree = 1
altitude = 1
Traitement
Tant que u > 1
| Si uest pair
|| alors affecter u/2 à u
|| sinon affecter 3u+ 1 à u
| fin de Si
| Afficher u
| Si u > altitude
|| alors affecter uà altitude
| fin de Si
| duree = duree + 1
Fin de tant que
Afficher duree
Afficher altitude
Fin
Version Algobox
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 3

Corrigé
3. Nombre 18 : Durée du vol : 21 ; altitude : 52. Nombre 31 : Durée du vol : 107 ; altitude : 9232.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 4

Corrigé
Exercice 2:
Deux sources lumineuses sont placées aux extrémités d’une rampe de 5 mètres de longueur.
la source placée en A possède une puissance de 8 W et celle placée en B un puissance de 27 W.
Un point M de la rampe reçoit un éclairement proportionnel à la puissance de la lampe et inversement proportionnel
au carré de la distance qui le sépare de la lampe.
On souhaite déterminer la position de M de façon à ce que son éclairement soit minimum.
On pose AM = x.
1. Montrer que l’éclairement du point M est proportionnel à f(x) = 8
x2+27 (5 −x)2.
L’éclairement est proportionnel à la puissance de la lampe donc f(x) = k1×P(P désigne la puissance ).
L’éclairement est inversement proportionnel au carré de la distance qui le sépare de la lampe donc f(x) = k2×1
d2
(d désigne la distance). Au final f(x) = k×P
d2.
• Pour la lampe A, L’éclairement est donc proportionnel à 8
x2.
• Pour la lampe B, L’éclairement est donc proportionnel à 27
(5 −x)2.
Les deux éclairement s’ajoutent. Nous obtenons donc que l’éclairement du point M est proportionnel à
f(x) = 8
x2+27 (5 −x)2.
2. Dérivée de f: La dérivée de 1
vétant −v0
v2, donc 8 x20=−8×2x
x4=−16
x3
(5−x)2= 25 + x2−10xdonc (5 −x)20= 2x−10 = 2(x−5) puis 27
(5 −x)2!0=−27 ×2(x−5)
(5 −x)4=54(5 −x) (5 −x)4=54
(5 −x)3
Alors f0(x) = −16
x3+54 (5 −x)3=−16(5 −x)(5 −x)2+ 54x2 x3(5 −x)3.
Développons le numérateur de f(x) : N1(x) = −16(5 −x)(25 + x2−10x) + 54x3
N1(x) = −16(125 −50x+ 5x2−25x+ 10x2−x3) + 54x3=−2000 + 800x−80x2+ 400x−160x2+ 16x3+ 54x3
N1(x) = 70x3−240x2+ 1200x−2000
Développons le numérateur de l’expression proposée : N2(x) = −10(x−2)(7x2−10x+ 100)
N2(x) = −10(7x3−10x2+ 100x−14x2+ 20x−200) = −10(7x3−24x2+ 120x−200)
N2(x) = −70x3+ 240x2−1200x+ 2000
Nous constatons que les numérateurs sont opposés mais les dénominateurs le sont aussi car x−5 et 5 −xsont
opposés donc leurs cubes le sont aussi.
Finalement l’expression de f0(x) est bien égale à l’expression proposée.
3. Déterminer le signe de f0(x) sur Rpuis dresser le tableau de variation de fsur R.
Pour étudier les signe de f0(x), il faut remarquer que xet x3ont le même signe, donc x−5 et (x−5)3ont le
même signe.
Pour 7x2−10x+ 100 : ∆=−2700 donc 7x2−10x+ 100 est strictement positif.
Nous en déduisons que f0(x) a le même signe que −10(x−2) = −10x+ 20, d’où le tableau de signe de f0(x) et
les variations de f(x) :
x−∞ 0 2 5 +∞
−10(x−2) + + 0 − −
7x2−10x+ 100 + + + +
x3−0 + + +
(x−5)3− − − 0 +
f?(x) + −0 + −
f(x)
@@@R 5 @@@R
4. L’éclairement est minimum lorsque M est situé à 2 mètres de A.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 5