Sur la Théorie du Contrôle JL Lions

Actes du Congrès International des Mathématiciens
Vancouver, 1974
Sur la Théorie du Contrôle
J. L. Lions
1. Introduction. Soit un système dont l'état y(s) = y(s; v) à l'instant s9 lorsqu'on
applique le contrôle v, est un vecteur de Rn donné par la solution de l'équation dif-
férentielle :
(1.1) dy/ds = g(y; v)9 s > t, y(t) = x9 x e Ä»,
où g est une fonction continue Lipschitzienne donnée pour y e Rn et où v est une
fonction à valeurs dans <%x a Rm.
Admettant que l'on est dans une situation où(1.1) définit^ de manière unique,
on considère la fonction coût J(v) donnée par:
(1.2) J(v) = \Jf(y(s; v), s, v(s))ds9 T donné fini ou non,
où / est donnée; on cherche
(1.3) inf J(v)9 v e ensemble ^ad des contrôles admissibles,
des fonctions à valeurs dans %x.
Une famille classique de problèmes de contrôle consiste en (1.3) avec t — to,
x s= xQ fixés et en la recherche de Vo (s'il existe) réalisant le minimum dans (1.3)
(le contrôle optimal),
Dans le cas "sans contrainte" où qix = Rm, des conditions suflisantes ou néces-
saires et suffisantes, sont données par le système d'optimalité dfEuler9 étendu au cas
avec contraintes par L, S. Pontryagin et son école (cf. Pontryagin, Boltjanskiï,
Gamkrelidze et Mishenko [1]), dans le Principe du maximum (cf. aussi Hestenes [1]).
Une autre approche, en quelque sorte duale, consiste à considérer dans (1.3) x
et t comme variables et donc à introduire
(1.4) u(x9t) = mfJ(v)9 ve<%aà,
et à essayer:
© 1975, Canadian Mathematical Congress
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(i) de caractériser directement u,
(ii) d'en déduire, si possible, le contrôle optimal, s'il existe. C'est la méthode de
Hamilton-Jacobi, étendue, de façon généralement formelle, par Bellman [1] aux
cas stochastiques en particulier, et par Isaacs [1] au cas des jeux.
La fonction u satisfait formellement à une équation aux dérivées partielles non
linéaire hyperbolique
(1.5) - If- - inf
01 ; e?/,
£gi(x,X)^+f(x,t,X)
= 0,
avec la condition "initiale" (on intègre en / dans le sens rétrograde):
(1.6) u(x, T) = 0.
On doit rajouter des conditions aux limites lorsqu'on l'on introduit des con-
traintes sur l'état.
Lorsque l'on remplace (1.1) par une équation différentielle stochastique,
(1.7) dy = g(y; v)ds H- a dw(s)
où a > 0, w = processus de Wiener standard dans Rn, la fonction coût devient:
(1.8) J(v) = E[\Jf(y(s, v)9s, v(s)) ds], E = espérance mathématique;
la fonction w, encore définie par (1.4), satisfait alors à l'équation non linéaire para-
bolique
EgÀx,X)^-+f(x,t,X)
= 0
(1.9) -*-* au-M
Ol L teWi
avec (1.6) et d'éventuelles conditions aux limites en cas de contraintes sur l'état.
S'appuyant alors, soit sur des méthodes probabilistes, soit sur des méthodes
d'équations aux dérivées partielles et d'analyse fonctionnelle, on peut étudier—
sous des hypothèses convenables—les problèmes (1.5), (1.9); nous renvoyons au
livre de W. Fleming et R. Rishel [1] et à la bibliographie de cet ouvrage.
Notre objet est de donner quelques indications sur les situations suivantes :
(i) étude des cas où le contrôle dans (1.1) n'est plus une varabile continue, mais
un temps d'arrêt ou un contrôle impulsionnel;
(ii) étude des cas où l'équation d'état (1.1) ou (1.7) n'est plus une équation dif-
férentielle, mais une équation aux dérivées partielles déterministe ou stochastique.
REMARQUE 1.1. Ces extensions sont motivées par dc nombreuses applications,
dont nous mentionnons quelques-unes (consulter aussi la bibliographie des travaux
ci-après) :
pour (i), problèmes d'économie et de gestion, cf. Bensoussan et Lions [7];
pour (ii), problèmes de contrôle de processus physiques, cf. Butkowski [1],
P.K.C.Wang [1], Boujot, Mercier et Temam [1], Kuroda [1], Yvon [1];
problèmes chimiques ou biochimiques, cf. Kernevez et Thomas [1],
usage de l'énergie des marées, cf. G. Duff [1],
problèmes de mécanique (optimum design), cf. Pironneau [1],

LA THÉORIE DU CONTROLE 141
problème de pollution, cf. W. Hullett [1], etc.
2. Temps d'arrêt et inéquations variationnelles.
2.1, Le cas stationnaire. Soit G un ouvert de Rn9 de frontière T7; Vètat est donné
par l'équation de Ito :
(2.1) dy = g(y)ds + adw(s)9 y(0) = x, x e 0,
dont la solution est notée y% (s). La fonction coût est:
(2.2) J(T) = E(lle~«*f(yx(s))ds), cc> 09
où T = variable de contrôle = temps d'arrêt, 0 g T S 0(x)9 où d(x) est le temps
d'atteinte (aléatoire) de 0.
Le problème de temps d'arrêt optimal consiste en la recherche de
(2.3) i#(*) «= inf J(T), O^TS d(x)9
et de la fonction % (si elle existe) réalisant le minimum dans (2.3).
On démontre que la fonction upeut être caractérisée par l'ensemble des inégalités
suivantes (Bensoussan et Lions [1], Fleming [1]) ;
- ~- Au - t g fa) TST + au - / S 0, u £ 0,
(2.4)
,=1 '"
[- >^-âu- gi(x) -|^ + au -/W 0 dans 0,
avec la condition aux limites
(2.5) u = 0 sur T7.
2.2. Inéquations variat\onnelles (en abrégé I.V.). La résolution directe du système
(2.4), (2.5) repose sur la technique des I.V. (Lions et Stampacchia [1]); on suppose
pour simplifier que 0 est borné (sinon, cf. Bensoussan et Lions [1]).
Soit Hl((9) l'espace de Sobolev d'ordre 1 des fonctions v à valeurs réelles telles
que v, dv/dxx, •••, dv/dxn e L?(@)\ pour w, y e Hl((9)9 on pose
Q
afa v) = ^r- fflgrad wgrsidvdx
(2.6) 2
- S Jo g fa) ^ v dx + alo uv dx;
soit K l'ensemble convexe fermé non vide de H\0) formé des fonctions v telles que
(2.7) v = 0 sur T7, v ^ 0 p.p. dans 0.
Alors (2.4), (2.5) peut être formulé sous la forme de 1' I.V. : trouver u e K telle
que
(2.8) a(u9 V-II) ^ (/, v-w) V veK9 oix(f9 v) = \Qfvdx.
Si l'on suppose que:1
hypothèse non indispensable.

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(2.9) a + -1 S -^ ^ 0 dans 0
alors la forme a(u, v) est coercive au sens :
(2.10) a(v9 v) ^ c I v 1^0), c>0,VveJP,
et, d'après Lions et Stampacchia, loc. cit., (2.8) admet une solution unique.
On obtient ainsi une solution "faible" de (2.4); mais on peut passer de là à des
solutions 'fortes"', c'est le problème de la régularité des solutions des I.V., cf. H.
Brezis et Stampacchia [1], H. Brezis [1].
2.3. Cas d'évolution. L'état est maintenant donné par:
(2.11) dy = g(y)ds + adw(s)9 y(t) = x9xe(99s> t9
dont la solution est yXtt(s) ; la fonction coût est donnée par :
(2.12) J(z) = E(\\e-«^f(yXti(s\ s) ds)
et l'on cherche
(2.13) ufa t) = inf/(v),
T temps d'arrêt inférieur au temps d'atteinte de O..
On démontre (Bensoussan et Lions [1]) que u est caractérisée par l'ensemble des
inégalités
(2 14) ''
„s„, (r»-*+-t«-& + —fy-o
dans Ö x ] tQ, + oo [ (to choisi quelconque), avec la condition aux limites analogue
à (2.5) et une condition "initiale" de type (cf. Bensoussan et Lions, loc.cit, pour
des énoncés précis) "w ne croît pas trop vite lorsque t -> + oo".
Par les techniques des I. V. d'évolution, on démontre l'existence et l'unicité de
u solution de (2.14) satisfaisant aux conditions aux limites et initiales.
2.4. REMARQUES. (1) Pour l'extension de ce qui précède au cas des jeux, cf.
Bensoussan et Friedman [1],
(2) Dans le cas "a = 0", on aboutit à des I.V. pour des opérateurs du 1er ordre et
en faisant o -• 0, on obtient des résultats sur les perturbations singulières dans les
L V. (Bensoussan et Lions [2]).
(3) Pour des résultats supplémentaires, en particulier de régularité, cf. Friedman
fi] et la bibliographie de ce travail.
3. Surfaces libres.
3.1. Problème de Stefan. Considérons un cas très particulier de (2.14): n — 1,
o — <\/2, gì = 0, a = 0, et inversons le sens du temps (ce qui est losible); le
problème devient:

LA THÉORIE DU CONTROLE 143
avec les conditions aux limites et initiales.
Soit (formellement) x = s(t) la courbe séparant la région u < 0 de continuation
de la région u ;= 0 de saturation ; dans la région ^ où u < 0, on a :
(3.2) du/dt - d2u/dx* *= f9
et sur la surface libre x ?= s(t), on a:
(3.3) u(s(t), t) = 0,
(3.4) du(s(t)9 t)ldx p= 0.2
Si l'on introduit alors la fonction
(3.5) w = 9w/3f
on voit que, dans #;
(3.6) dw/dt - 32^/3*2 ^
df/dt
avec sur la surface libre x — ,s(f) :
(3.7) w(s(t), t) = 0,
(3.8) dw(s(t)9t)/dx=fs'.3
La recherche de w solution de (3.6), (3.7), (3.8) est un cas particulier du problème
classique de Stefan.
La démarche suivie par, en particulier, McKean [1], Grigelionis et Shiryaev [1],
van Moerbeke [1], [2] est de ramener les problèmes des inégalités aux dérivées partiel-
les du type (2.14) au problème de Stefan.
La technique des I.V. rend cette transformation inutile et l'idée précédente peut
au contraire être utilisée dans la direction inverse: Si l'on a à résoudre le problème de
Stefan (3.6), (3.7), (3.8) (et avec une condition initiale), on introduit u par (3.5),
(3.3) et on vérifie alors que u est caractérisé par une I.V. ; cf. G. Duvaut [1] pour une
situation plus générale.
3.2. Réduction de problèmes de surfaces libres à des I.V. L'idée précédente de
réduction, par changement de fonction inconnue, de problèmes de surfaces libres
à des I.V. a été introduite (dans une situation plus délicate) par C. Baiocchi [1], [2]
à propos de problèmes d'infiltration. Par des adaptations convenables, cette méthode
a été appliquée par H. Brezis et G, Stampacchia [2], H. Brezis et G. Duvaut [1],
J. F. Bourgat et G. Duvaut [1], à des problèmes d'hydrodynamique. Une question
générale est alors :
Problème 1. Quels sont les problèmes de frontière libre que l'on peut réduire a
des I.V.?
4. Contrôle impulsionnel et inéquations quasi-variationnelles,
4.1. Cas stationnaire. L'état est donné dans Rn par
2Cela
utilise la "régularité99 de u.
3wx
= utx\ d'après (3.4) uix + uxx s' - 0 et utilisant (3.2) utx p= (/- ut)sf *= fs' sur la courbe
x = s(t) d'où (3.8).