CHAPITRE 14 : ARITHMETIQUE

CHAPITRE 14 : ARITHMETIQUE
I) LES DIFFERENTES TYPES DE NOMBRES.
On distingue cinq types de nombres :
• Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 …
• Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres
entiers négatifs : … - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 …
• Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini
de chiffres après la virgule :
- 3,57 ; 22
1 000 ; 7,54 × 10
-3
sont des nombres décimaux.
• Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a
b
avec a et b entiers relatifs, b
≠
0 : - 2
3 ; 22 9 ; 0,7 sont des nombres rationnels.
• Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
π ; 2 sont des nombres irrationnels.
Exemples :
nombres entiers naturels
nombres décimaux
nombres rationnels
nombres irrationnels
Les nombres entiers naturels sont
des nombres décimaux.
Les nombres décimaux sont des
nombres rationnels.
Attention ! Les nombres rationnels
ne sont pas des nombres décimaux.

II) VOCABULAIRE DE L’ARITHMETIQUE.
1) Multiples.
Les multiples d’un entier naturel a sont les nombres de la forme a × n où n est un
entier naturel.
Exemple : 28 = 7 × 4 et 91 = 7 × 13 ; 28 et 91 sont des multiples de 7.
Remarque : La liste des multiples d'un nombre non nul quelconque est toujours
illimitée. Par exemple, les multiples de 6 sont :
0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60 ; 66 ; 72 ; 78 ; 84 ; 90 ; 96 ; 102 ; …
On les obtient en multipliant 6 par tous les entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …).
2) Diviseurs.
a et b étant deux entiers naturels avec b non nul.
Lorsqu’il existe un nombre entier naturel n non nul tel que a = b×n, on dit que b est un
diviseur de a.
Exemple : 32 = 4 × 8 ; 8 est un diviseur de 32 ou encore 32 est divisible par 8.
Remarques :
• 1 est un diviseur de tous les nombres.
• Tout nombre entier naturel non nul est un diviseur de 0.
• Si b est diviseur de a, alors a est multiple de b.
3) Nombres premiers.
On dit qu’un nombre entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux
diviseurs différents : 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers.
Remarque : 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’admet qu’un seul diviseur égal à 1.
4) Division euclidienne.
La division euclidienne de l’entier a par l’entier b ( b
≠
0 ) est l’opération qui permet
de calculer le quotient entier q et le reste r tels que :
a = bq + r ; r
≤
0 < b.
Exemple : 254 7 254 = 36 × 7 + 2
44 36 Dans la division euclidienne de 254 par 7,
2 le quotient est 36 et le reste est 2.

II) DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS NATURELS.
a et b désignent deux nombres entiers naturels non nuls.
1) Diviseur commun.
Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la
fois a et b.
Exemple : diviseurs communs à 30 et 24.
Les diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
Les diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
Les diviseurs communs à 30 et 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6.
Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers.
2) Plus grand commun diviseur.
a) Propriété :
Parmi tous les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est plus grand
que les autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur ; on le note PGCD ( a ; b ).
Exemple : PGCD ( 30 ; 24 ) = 6.
b) Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec a > b), alors
PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ).
Pour calculer le PGCD de a et b (avec a > b ), on utilise la séquence ordonnée
d’opérations décrites ci-dessous :
Etape 1 : on effectue la division euclidienne de a par b.
Etape 2 : on examine le reste r de cette division :
- si r = 0, alors l’algorithme s’arrête et PGCD ( a ; b ) = b ;
- si r ≠ 0, alors on recommence l’étape 1 en remplaçant a par b et b par r.

Exemple : calcul du PGCD ( 1 078 ; 322 ).
1078 = 322 x 3 + 112 112 < 322
322 = 112 x 2 + 98 98< 112 L’algorithme s’arrête lorsqu’on
112 = 98 x 1 + 14 14 < 98 trouve un reste nul.
98 = 14 x 7 + 0 0 < 14
Le PGCD de 1078 et 322 est le dernier reste non nul trouvé.
Donc : PGCD ( 1 078 ; 322 ) = 14.
3) Nombres premiers entre eux.
Définition : Lorsque PGCD ( a ; b ) = 1, on dit que les nombres a et b sont
premiers entre eux.
Exemple : diviseurs de 7 : 1 ; 7. diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
PGCD ( 7 ; 12 ) = 1 ; donc 7 et 12 sont premiers entre eux.
IV) FRACTIONS IRREDUCTIBLES.
a et b désignent deux entiers naturels tel que b
≠
0.
1) Définition.
La fraction a
b est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
Exemple : La fraction 7
13 est irréductible. En effet : PGCD ( 7 ; 13 ) = 1.
2) Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
Propriété : En simplifiant la fraction a
b par le PGCD ( a ; b ), on obtient une
fraction irréductible.
Remarque : Avant de calculer le PGCD, il est souvent préférable de simplifier la
fraction à l’aide de critères de divisibilité.
Exemples : Rendre irréductibles 30
18 et 2 470
3230 .

• 30
18 = 6 × 5 6 × 3 = 5 3 ;
• 2 470
3230 = 247 323 et déterminons le PGCD ( 247 ; 323 ).
323 = 247 x 1 + 76 76 < 247
247 = 76 x 3 + 19 19 < 76
76 = 19 x 4 + 0 0 < 19
Le PGCD de 247 et 323 est le dernier reste non nul trouvé.
Donc : PGCD ( 247 ; 323 ) = 19.
D’où 247
323 = 247 : 19 323 : 19 = 13 17 .