Codes cycliques

Rappels d’alg`ebre
Corps
Un corps Fest un ensemble non vide d’´el´ements muni des
op´erations + et . satisfaisant les axiomes :∀a,b,c∈F
1Fest clos pour + et .
2commutativit´e
3associativit´e
4distributivit´e a(b+c)=ab +ac
De plus, il existe deux ´el´ements neutres, un pour + et un pour .
satisfaisant
5a+ 0 = a,∀a∈F
6a1=aet a0=a,∀a∈F
7tout ´el´ement a un inverse pour l’addition
8tout ´el´ement a un inverse multiplicatif
Propri´et´es
(−1)a=−aet ab =0⇒a= 0 ou b=0
a,bet m>1 entiers ; a≡bmod msi m|(a−b)
Zmest un corps ssi mest premier
Fun corps. La caract´eristique de Fest le plus petit entier
positif ptel que p.1 = 0 pour 1 ´el´ement neutre de F. Si un tel
pn’existe pas, Fest de caract´eristique nulle.
La caract´eristique d’un corps est soit 0 soit un nombre premier
Un corps fini Fde caract´eristique pcontient pn´el´ements pour
un entier n≥1
Anneau de polynˆomes
Soit Fun corps. F[x]={!n
i=0 aixi:ai∈F,n≥0}est
l’anneau des polynˆomes sur F.F[x] v´erifie tous les axiomes
d’un corps sauf l’existence d’un inverse multiplicatif.
Pour f(x)=!n
i=0 aixi,nest le degr´e du polynˆome.
f(x) est monique si an=1
f(x) est r´eductible s’il existe g(x) et h(x) tq. deg(g)<deg(f)
et deg(h)<deg(f) et f(x)=g(x).h(x) ; sinon, il est
irr´eductible
pour f(x),g(x)∈F[x], le pgcd de fet de gest le polynˆome
monique de plus haut degr´e qui divise simultan´ement fet g
Soit f(x)∈F[x] de degr´e ≥1 alors F[x]/f(x) forme un
anneau. De plus, si fest irreductible, F[x]/f(x) est un corps.

Structure des corps finis
∀β∈Fde cardinalit´e q, on a βq=β
F, sous-corps de Ede cardinalit´e q. Alors, un ´el´ement βde E
vit dans Fssi βq=β
Pour tout ppremier et tout entier n≥1, il existe un unique
corps fini `a pn´el´ements
α∈Fqest dit primitif (ou g´en´erateur) si
Fq={0,α,α2,· · · ,αq−1}
l’ordre de α∈Fq, not´e ord(α) est le plus petit entier ktq.
αk=1
∀α∈F!
q,ord(α)|q−1
Un ´el´ement non nul de Fqest primitif ssi il est d’ordre q−1
tout corps fini a au moins un ´el´ement primitif
Espace vectoriel – Sous-espace vectoriel
Eest un espace vectoriel sur un corps Ksi et seulement si,
∀u,v,w∈E
1.(u+v)+w=u+(v+w)5.∀c∈K,c(u+v)=c.u+c.v
2.∃0:u+ 0 = 0 + u=u6.∀a,b∈K,(a+b)u=a.u+b.v
3.∀u∃(−u):u−u= 0 7.∀a,b∈K,(a.b)u=a.(b.u)
4.u+v=v+u8.1.u=u
F(=∅est un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si
"x+y∈F∀x,y∈F
λx∈F∀λ∈K,∀x∈F
Si A⊆E, alors le sous-espace engendr´e par Aest l’ensemble de
toutes les combinaisons lin´eaires d’´el´ements de A.
Parties g´en´eratrices et libres
Une partie g´en´eratrice de Eest un sous-ensemble G⊆Etel que
le sous-espace engendr´e par Gest E. Ou, de mani`ere ´equivalente,
que tout vecteur de Eest combinaison lin´eaire d’´el´ements de G.E
est dit de dimension finie s’il contient une partie g´en´eratrice finie.
Une partie libre de Eest un sous-ensemble L⊆Etel qu’aucun
´el´ement v∈Ln’est une combinaison lin´eaire d’autres ´el´ements de
L. Ou, de mani`ere ´equivalente, la seule combinaison lin´eaire
d’´el´ements de Lqui est nulle est celle dont tous les coefficients
sont nuls.
Famille g´en´eratrice et base
Une famille d’´el´ements de Eest g´en´eratrice si son ensemble
sous-jacent engendre E. Une famille d’´el´ements de Eest libre si
son ensemble sous-jacent est libre.
Une base de Eest une famille d’´el´ements de Equi est libre et
g´en´eratrice. Si (bi)i∈Iest une base de E, alors
∀x∈E∃!(λi)i∈I∈K:x=!i∈Iλibi.

Dimension
Si la dimension de Eest finie alors chaque base de Eest finie (son
ensemble sous-jacent est de cardinal fini) et toutes les bases ont le
mˆeme nombre d’´el´ements. Ce nombre est la dimension de l’espace.
Si la dimension de Eest n, alors
si (gi)i∈Iest une famille g´en´eratrice de Ealors |I|≥n. S’il y a
´egalit´e, alors (gi)i∈Iest une base.
si (li)i∈Iest une famille libre de Ealors |I|≤n. S’il y a
´egalit´e, alors (li)i∈Iest une base.
si E=Kn, alors la famille (ei)i∈Iavec I={1,2, . . . , n}et
ei= (0,0, . . . , 1,0, . . . , 0) avec 1 `a la ieposition est une base,
la base canonique de Kn.
Application lin´eaire
On dit que fest un application lin´eaire de Edans Vsi fest une
application qui v´erifie :
∀x∈E,∀y∈Ef(x+y)=f(x)+f(y)
∀λ∈K,∀x∈Ef(λ.x)=λ.f(x)
Codes cycliques
Description
Codes les plus utilis´es [7, 4, 3].
Impl´emententation facile au moyen de registres lin´eaires.
Pour certains, bonnes techniques de d´ecodage bas´ees sur des
transform´ees de Fourier discr`etes.
Ce cours : codes binaires (sur F2).

D´efinition
Un code lin´eaire Cde longueur nest cyclique si ses mots v´erifient :
Si (x1, . . . , xn)∈C,alors (xn,x1, . . . , xn−1)∈C
Un code est cyclique s’il est invariant par «shifts»(ou d´ecalages).
Exemple : Le code C={000,110,011,101}est cyclique.
Exemple : Le code de Hamming est cyclique. Matrice g´en´eratrice
de Ham(3) :
G=#1101000
0110100
0011010
0001101 $
0110100 ∈Ham(3) ainsi que 1101000 ; ils v´erifient la condition de
cyclicit´e.
Anneau des polynˆomes binaires
Soit F2[x] l’anneau des polynˆomes en x`a coefficients dans F2.
D´efinition (Anneau)
Un anneau A est un ensemble muni de deux op´erations internes
(+,.)tel que (A,+) est un groupe commutatif muni d’une
op´eration .qui satisfait :
a.b=b.a,a.(b+c)=a.b+a.c,(a.b).c=a.(b.c)et qui contient
un ´el´ement not´e 1tel que 1.a=a.1=a.
Pour plus de d´etails, voir [2] ou [5, 6].
Repr´esentation polynomiale
D´efinition
On appelle repr´esentation polynomiale l’application
θ:(F2)n→F2[x]/(xn−1) d´efinie par
θ:(c0,c1, . . . , cn−1)-→ c0+c1x+. . . +cn−1xn−1
La repr´esentation polynomiale de c=(c0,c1, . . . , cn−1) est le
polynˆome c(x)=c0+c1x+. . . +cn−1xn−1.
Exemple : Repr´esentation polynomiale de 0110100 : x+x2+x4
et celle de 1101000 est 1 + x+x3. Observons que
x+x2+x4=x(1 + x+x3).
La repr´esentation polynomiale d’un code Cest l’ensemble des
repr´esentations polynomiales de ses mots.
Exemple
Le code C={000,110,011,101}correspond aux polynˆomes
0,1+x,x+x2,1+x2pris modulo x3−1. Sa repr´esentation
polynomiale est donc C={0,1+x,x+x2,1+x2}.
Faire un d´ecalage sur un mot revient `a multiplier par xsa
repr´esentation polynomiale, modulo xn−1.
Cest cyclique SSI pour tout mot c∈C,xc(x) mod xn−1 est la
repr´esentation polynomiale d’un mot de C.

Code cyclique = id´eal
Si c(x)∈C, alors xc(x)∈Cet p(x)c(x), pour tout p(x)∈F2[x].
Code cyclique de longueur nest un id´eal de F2[x]/(xn−1).
D´efinition (Id´eal)
Un sous-ensemble I d’un anneau commutatif A est un id´eal si,
pour a,b∈I , a −b∈I et si, pour a ∈I et x ∈A, a.x∈I.
Th´eor`eme
I est un id´eal de K [x]si et seulement si il existe a(x)∈K[x]tel
que I est l’ensemble des multiples de a(x)dans K[x].
D´efinition
Un id´eal I est principal s’il consiste en tous les multiples d’un
polynˆome fix´e, g(x), appel´e polynˆome g´en´erateur de I .
Code cyclique et polynˆome g´en´erateur
Posons Rn=F2[x]/(xn−1).L’anneau Rn=F2[x]/(xn−1) est
compos´e des classes r´esiduelles de F2[x] modulo xn−1.
Th´eor`eme
Un code cyclique C de longueur n est un id´eal principal de Rn. Il
admet un unique g´en´erateur de degr´e minimal dans C .
Exemple : Le code C={0,1+x,x+x2,1+x2}est engendr´e par
g(x) = 1 + xdans R3.
Th´eor`eme
La dimension d’un code cyclique de longueur n et de g´en´erateur
g(x)est
k=n−deg g(x)
Exemple
Le code de Hamming de param`etres (7,4,3) admet comme
g´en´erateur g(x)=x3+x+ 1.
Ses mots consistent en tous les multiples de g(x) modulo x7−1.
Par exemple le mot a(x) = (x8+ 1)g(x). On a
(x8+ 1)g(x) = (x+ 1)g(x) mod (x7−1) = x4+x3+x2+ 1.
Ainsi, a= (1011100).
Matrice g´en´eratrice
Soit g(x)=g0+g1x+. . . +gtxtle g´en´erateur d’un code cyclique
Cde longueur n. Une matrice g´en´eratrice de Cest donn´ee par :
G=
g0g1g2. . . gt0. . . . . . 0
0g0g1g2. . . gt0. . . 0
.
.
.......................
.
.
0. . . 0g0g1g2. . . gt0
0. . . . . . 0g0g1g2. . . gt
Pour construire tous les mots de C, il faut multiplier g(x) par tous
les polynˆomes p(x) de degr´e inf´erieur ou ´egal `a k−1.
Matriciellement, les mots mpeuvent s’´ecrire m=pG.