math 30411 Module 1

Module 1 (10 cours)
L’ALGÈBRE – Polynômes
2 Résultat d’apprentissage général
Exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des
prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d’apprentissage spécifiques
L’élève doit pouvoir :
1.4 Effectuer des opérations sur des polynômes

Addition, soustraction, multiplication et division d’expressions rationnelles
Simplification d’expressions rationnelles
On dit qu’un nombre rationnel est réduit ou simplifié, si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de
facteurs communs, sauf 1.
Les expressions rationnelles sont sous la forme la plus simple, quand elles sont exprimées comme le
quotient de deux polynômes, dont le plus grand facteur commun est 1.
Pour simplifier les expressions rationnelles :
Factoriser le numérateur et le dénominateur.
Diviser, à la fois, le numérateur et le dénominateur par chaque facteur commun à tous deux.
Puisque la division par zéro n’est pas définie, il faut placer des restrictions sur les variables des
expressions rationnelles, afin d’empêcher la division par zéro.
Ex : Réduire les expressions rationnelles aux termes les plus simples, et indiquer toute restriction imposée
à la variable.
x2  9
(x  3)(x  3) x  3
a) 2


,restrictions : x  3, 2
x  x  6 (x  3)(x  2) x  2
b)
x2  x  20
(x  5)( x  4)
(x  5)( x  4)
x4
x4



ou
restrictions : x  5,3
2
2
15  2x  x
 (x  2x  15)  (x  5)( x  3)  (x  3)
x 3
Ex : p.64 (feuilles) #4acegi, 5acefik, 6acegi
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Module 1 – les expressions rationnelles - Page 2
Multiplication et division d’expression rationnelle
On multiplie des expressions rationnelles de la même manière que les nombres rationnels.
 54 
1
Rappel : 2

14
25
4
10

2
5
Factoriser :
a) 3x2  2x  5
 5  3  2
3x  5x  3x  5
ou
 5 x 3  15
2
3x2  2x  5
 3  3 1

   
 5   3 1 
(3x  5)(x  1)
x 3x  5   1 3x  5 
(3x  5)(x  1)
1 4 12
b) 4x3  12x2  11x  3
Ou
4x2  8x  3
x  1 4x3  12x2  11x  3
 5  3  2
4
4 8
 5 x 3  15
11
3
8
3
3
0
(x  1)(4x  8x  3)
2
4x3  4x2
4x2  8x  3
 8x  11x  3
2
 6  2  8
 4
2   4
2



 

 6 3   2 1 
(2x  3)(2x  1)
8x2  8x
3x  3
 6 x  2  12
3x  3
4x  8x  3
 6  2  8
2
4x  6x  2x  3
2
2x 2x  3  1 2x  3
 6 x  2  12
(2x  3)(2x  1)
Ex : Multiplier
x 1
x2  7 x  12

, c’est plus simple si on simplifie en premier.
x2  x  6
x2  16
x 1
(x  3)(x  4)
(x  1)


;x  3, 2, 4, 4
(x  3)(x  2) (x  4)(x  4) (x  2)(x  4)
On divise des expressions rationnelles de la même manière que les nombres rationnels.
Rappel :
1
2
 54  12  54 
1 5
2 4

5
8
(on n’oublie pas d’inverser l’expression rationnelle de la 2 e fraction)
x2  9y2 x2  9xy  20y2
 2
 x2  2xy  15y2
2
2
x  4xy x  10xy  21y
x2  9y2 x2  9xy  20y2
1
 2
 2
2
2
Ex : Simplifier
x  4xy x  10xy  21y
x  2xy  15y2
(x  3y)(x  3y) (x  4y)(x  5y)
1



x(x  4y)
(x  3y)(x  7y) (x  5y)(x  3y)
1

;x  0, 4y, 3y, 7 y, 5y,3y
x(x  7y)
Ex : 2.15 p.66 (feuilles) # 2ace, 3ace, 4, 5

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Module 1 – les expressions rationnelles - Page 4
Addition et soustraction d’expressions rationnelles
Pour additionner ou soustraire les expressions rationnelles avec des dénominateurs différents :
1.
Trouver le plus petit commun dénominateur.
2. Placer tous les termes sur le même dénominateur.
3. Effectuer les opérations indiquées et simplifier.
2w  3 3w  1 w  5
, le dénominateur commun entre 4, 5 et 2 est 20.


4
5
2
5(2w  3)  4(3w  1)  10(w  5) 10w  15  13w  4  10w  50 12w  31


20
20
20
Ex : Simplifier.
2t
3t
, le dénominateur commun entre (t - 4) et (t + 5) est (t - 4)(t + 5).

t4 t5
 t  5 2t   t  4  3t  2t2  10t  3t2  12t  t2  22t ;t  4, 5
 t  4  t  5  t  4  t  5 
t  4 t  5 
t  4 t  5 
Ex : simplifier.
Ex : simplifier.
x2  x  6 x2  3x  2
, il faut factoriser avant de pouvoir trouver le dénominateur commun.

x2  3x  2 x2  x  2

 x  3 x  2   x  2 x  1   x  3   x  2
 x  2 x  1  x  2 x  1  x  1  x  2

 x  3 x  2   x  2 x  1 Il faut que le dénominateur puisse se diviser par chaque dénominateur.
 x  2 x  1
x

2
 
 3x  2x  6  x2  2x  x  2
 x  2 x  1
x
2
Trouver le dénominateur commun
 x  6  x2  2x  x  2
4

;x  2,1, 1
 x  2 x  1
 x  2 x  1
Ex : p.70 (feuilles) # 3aceg, 4acegi, 5acegik, 6acegi, 7ace, 8ac
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 Théorème du reste
Rappel – division des polynômes.
3x  11x  14
x  1 3x  8x2  3x  2
2
13 8
3
3x  3x
3
2
3
2
3 11 14
ou
3 11 14 12
11x2  3x  2
11x2  11x
14 x  2
14 x  14
12
Les facteurs sont donc de
Polynôme, P(x)
x2 – 7x + 16
3x3  8x2  3x  2  x  13x2  11x  14 , reste 12
Diviseur, x – b
Quotient
x–3
x4
x  3 x 2  7 x  16
31
7
16
3
12
1 4
- descends le premier nombre,
- multiplies ce nombre avec le nombre sur le côté,
- places ce résultat en dessous du deuxième nombre,
- additionne les nombres de la deuxième colonne,
- multiplies ce résultat avec le nombre du côté,
- places ce résultat en dessous du troisième nombre,
etc…
Lorsque tu as fini, le dernier nombre est le reste et
les autres nombres sont les coefficients de l’autre
facteur.
Reste
P(b)
4
2
P3  9  21  16
x 2  3x
P3  4
 4x  16
4
P3  3  7 3  16
 4x  12
4
2x2 + 3x – 8
2x  7
x  2 2x 2  3x  8
x–2
2 2 3 8
2
P2  6
7x  8
6
P2  22  32  8
P2  8  6  8
2x 2  4x
4 14
2 7
6
7 x  14
6
x3 + 3x2 – 3x – 2
x–1
1 1 3 3 2
1
4
1 4 1
1
x 2  4x  1
3
x  1 x  3x 2  3x  2
x x
3
1
-1
P1  1  31  31  2
3
2
P1  1  3  3  2
P1  1
2
4x 2  3x  2
4x 2  4x
x 2
x 1
1
Quelle relation y a-t-il entre le reste et P(b)?
Théorème du reste : Quand on divise un polynôme P(x) par ax – b et que le reste est un terme constant,
alors le reste est P( b a ).
Ex : Trouve le reste de la division du polynôme 2x3 – 4x2 + 3x – 6 par x + 2.
P(-2) = 2(-2)3 – 4(-2)2 + 3(-2) – 6 = 2(-8) – 4(4) – 6 – 6 = -16 – 16 – 12 = -44
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Ex : Quand on divise le polynôme y3 – ky2 + 17y + 6 par y – 3, le reste est 12. Quelle est la valeur de k?
P(y) = y3 – ky2 + 17y + 6
P(3) = 12 = (3)3 – k(3)2 + 17(3) + 6
12 = 27 – 9k + 51 + 6
9k = 72
K=8
Ex : Quand on divise le polynôme P(x) = 3x3 + mx2 + nx – 7 par x – 2, le reste est -3. Quand on divise ce
polynôme par x + 1, le reste est -18. Quelles sont les valeurs de m et n?
P(2) = 3(2)3 + m(2)2 + n(2) – 7 = -3
P(-1) = 3(-1)3 + m(-1)2 + n(-1) – 7 = -18
et
3(8) + 4m + 2n – 7 = -3
3(-1) + m – n – 7 = -18
24 + 4m + 2n – 7 = -3
-3 + m – n – 7 = -18
4m + 2n = -20
m – n = -8
4(-8 + n) + 2n = -20
m = -8 + n
-32 + 4n + 2n = -20
6n = 12
m = -8 + 2 = -6
n=2
Ex : L’aire d’un rectangle.
L’expression 3l2 – 5l + 7, où l est la largeur, représente l’aire d’un rectangle, A(l).
a) Trouve le reste de la division de cette expression par 3l – 4.
A( 4 3 ) = 3( 4 3 )2 – 5( 4 3 ) + 7 = 3( 16 9 ) -
20
3
+7=
16
3
-
20
3
+
21
3
=
17
3
Ex : 4,8 p. 202 (feuilles) # 17, 19, 23, 25, 30, 32, 41,43, 47, 49, 51, 52, 54, 58
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 Théorème de factorisation
Si x-b est un facteur du polynôme P(x) si P(b) = 0 et ax – b est un facteur du polynôme de P(x) si P(b/a) = 0.
Ex : x3 + 3x2 - 4 = 0
on trouve tous les facteurs de 4;  1,  2,  4,
on remplace ces facteurs dans l’équation pour savoir lequel nous donne 0.
(1)3 + 3(1) – 4 = 0
Pour x = 1
1+3–4=0
0=0
Ce qui veut dire que (x – 1) est un facteur de x3 + 3x2 – 4
x 2  4x  4
x  1 x  3x 2  0x  4
3
x3  x2
4x 2  0x  4
4x 2  4x
4x  4
4x  4
Les facteurs sont donc de x3 + 3x2 – 4 = (x – 1)( x2 + 4x + 4)
(x – 1)(x + 2)(x + 2) = 0
x = 1 ou x = -2 ou x = -2
Ex : 3x3 + 8x2 + 3x - 2 = 0
on trouve tous les facteurs du d qui ici est 2;
et ces facteurs divisés par la valeur du a;
 1,  2
 3 ,  23
1
on remplace ces facteurs dans l’équation pour savoir lequel nous donne 0.
3(1)3 + 8(1)2 + 3(1) – 2 = 0
3+8+3–2=0
Pour x = 1
12  0
on remplace ces facteurs dans l’équation pour savoir lequel nous donne 0.
3(-1)3 + 8(-1)2 + 3(-1) – 2 = 0
-3 + 8 - 3 – 2 = 0
Pour x = -1
0 = 0
Ce qui veut dire que
Ce qui veut dire que (x + 1) est un facteur de 3x3 + 8x2 + 3x – 2
3x 2  5x  2
x  1 3x 3  8x 2  3x  2
3x  3x
3
3x2  5x  2
3 1   3 
    
 6 2   1 
(x  2)(3x  1)
2
5x 2  3x  2
6  1  5
6 x  1  6
5x 2  5x
 2x  2
 2x  2
Les facteurs sont donc de 3x3 + 8x2 + 3x - 2 = (x + 1)( 3x2 + 5x - 2)
(x + 1)(x+2)(3x – 1) = 0
x = -1 ou x = -2 ou x =
***
1
3
Ex. 4.9 p.210 (feuilles) #1, 3, 5, 7, 9, 19, 25, 31, 55, 57, 59, 65, 67, 69
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*** Ex. de révisions 2.18 p.73 (feuilles) # 9ae, 10aceg, 11acegik
*** Ex. de révisions p.232 (feuilles) # 86, 91, 97, 99
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