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Différents types de dessins dans les activités d'argumentation en
classe de 5ème
COPPÉ, Sylvie, DORIER, Jean-Luc, MOREAU, Vincent
Abstract
L'utilisation d'un dessin dans les activités d'argumentation en classe de Sème ne va pas de
soi ni pour les professeurs qui doivent, tout au long du collège, accompagner le changement
de contrat concernant les niveaux de preuve, ni pour les élèves car le dessin peut être une
aide à l'argumentation mais aussi un obstacle. Après avoir défini S typés de dessin, dont les
dessins à main levée et les dessins faux, nous avons proposé deux exercices comportant des
dessins faux à une soixantaine d'élèves et nous montrons combien l'utilisation de cet outil est
discutable.
Reference
COPPÉ, Sylvie, DORIER, Jean-Luc, MOREAU, Vincent. Différents types de dessins dans les
activités d'argumentation en classe de 5ème. Petit X, 2005, no. 68, p. 8-37
Available at:
http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16629
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DIFFÉRENTS TYPES DE DESSINS DANS LES ACTIVITÉS
D'ARGUMENTATION EN CLASSE DE
SÈME
Sylvie CaPPE
IUFM de Lyon
UMR ICAR Equipe COAST CNRS Université Lyon 2
Jean Luc DORIER
IUFM de Lyon
Equipe DDM, Laboratoire Leibniz, UMR 5522
Vincent MOREAU
Professeur stagiaire IUFM de Lyon
Résumé: L'utilisation d'un dessin dans les activités d'argumentation en classe de
Sème
ne va pas
de soi ni pour les professeurs qui doivent, tout au long du collège, accompagner le changement de
contrat concernant les niveaux de preuve, ni pour les élèves car le dessin peut être une aide à
l'argumentation mais aussi un obstacle. Après avoir défini S typés de dessin, dont les dessins à
main levée et les dessins faux, nous avons proposé deux exercices comportant des dessins faux à
une soixantaine d'élèves et nous montrons combien l'utilisation de cet outil est discutable.
Mots clefs: dessin - figure - argumentation - preuve - dessin à main levée.
Plusieurs travaux ont abordé, sous différents angles, la question de l'enseignement 1
apprentissage de la démonstration en géométrie au collège, comme l'attestent, par
exemple deux articles récents de Gandit (2004a et b). Le travail présenté ici, issu du
mémoire de DEA de Moreau (2004), aborde la question du rôle du dessin dans les
activités d'argumentation en géométrie. En effet, il nous a semblé important d'analyser le
rôle que peuvent jouer les dessins fournis à l'élève lorsqu'il est incité à argumenter, sans
que les exigences de production d'un texte codifié ne soient encore trop fortes (en nous
centrant sur. la classe de Sème). Nous nous sommes donc intéressés aux dessins donnés
dans les énoncés des manuels de cette classe et à la façon dont les élèves les utilisent
dans les argumentations qu'ils produisent.
Dans la première partie de cet article, nous expliciterons en quoi il nous semble que
l'utilisation des dessins fournis aux élèves dans une perspective d'argumentation est une
question d'enseignement importante dont nous nous proposons de mettre à jour les
caractéristiques et de dégager les difficultés que cela représente pour les élèves. Précisons
que nous avons choisi d'employer le terme « dessin» c'est-à-dire la trace matérielle sur
papier, même si, selon la distinction faite entre dessin et figure par Laborde et Capponi
Petit x 68, 8-37, 2005
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(1994) ou Rolet (1996), certains dessins ont un statut de figures pour les professeurs.
Nous reviendrons sur ce point.
Dans là deuxième partie, nous présenterons une étude de quelques manuels, en
utilisant en particulier la notion de registre de représentation sémiotique développée par
Duval (1988). Ces analyses nous ont conduits à distinguer plus spécifiquement deux
types de dessins, qui semblent avoir pris (au moins dans les manuels) récemment une
importance croissante en classe de Sème pour favoriser le passage entre géométrie
pratique et géométrie théorique, argumentative (au sens développé par Houdement et
Kuzniak (2000) inspirés de Gonseth (194S)); il s'agit des dessins à main levée et des
« dessins faux ». Les dessins à main levée se caractérisent par leurs traits volontairement
non droits, alors que les dessins faux sont ceux qui ne respectent volontairement pas, et
de façon criante, les données de l'énoncé et qui sont indiqués comme tels.
Enfin dans la troisième partie, nous présenterons un test construit à partir des
analyses précédentes, que nous avons fait passer, sous forme papier crayon, dans trois
classes de sème ainsi qu'à trois binômes volontaires dans le but d'analyser comment les
élèves réagissent vis-à-vis de dessins faux et comment se joue, dans ce contexte, la
dialectique dessin/argumentation.
I. Passage d'une géométrie pratique à une géométrie théorique
Entre les classes de 6ème et 4 ème , on observe un saut qualitatif remarquable dans les
programmes d'enseignement de la géométrie en France. De nombreux articles portant
notamment sur la démonstration comme ceux, entre autres, de Duval (1992, 1993, 1994,
2000, 2003), Houdebine (1998) Barbin et al. (2001), ou Bkouche (2002), témoignent de
ce difficile passage pour les élèves et pour les professeurs entre une géométrie que nous
qualifierons, à la suite de Houdement et Kuzniak (2000), de « pratique », qui vit dans les
classes depuis l'école primaire et une géométrie « théorique» qui commence à apparaître
au début du collège, mais qui n'est vraiment institutionnalisée qu'en classe de 4 ème avec
l'apprentissage de la démonstration.
Dans cette transition, la classe de Sème apparaît comme une classe charnière. C'est
ce qui a motivé notre choix d'étudier les activités d'argumentation à ce niveau.
En effet, le passage de la 6ème à la 4 ème est difficile pour les élèves qui ne
comprennent pas toujours que le mot géométrie ne recouvre pas les mêmes types
d'activités dans les différentes classes. Ceci nous semble assez typique de la géométrie
où les objets étudiés sont sensiblement les mêmes à l'école élémentaire et au collège mais
sont abordés de manière différente (par exemple, les figures usuelles telles que le carré, le
rectangle ou le losange ou une transformation comme la symétrie axiale sont introduites
dès l'école primaire et réétudiées au collège). A cet égard, la situation est différente dans
le champ numérique où l'évolution de l'apprentissage est marquée par l'introduction de
nouveaux objets. Pour les professeurs, la difficulté d'enseignement est également
importante puisqu'il s'agit d'amener les élèves à changer de rapport institutionnel aux
objets géométriques par de nouvelles exigences, en ce qui concerne les types et les
niveaux de justifications et de preuve, et en ce qui concerne le rôle et le statut des dessins
rencontrés ou produits. C'est ce qui est bien mis en valeur dans l'introduction des
programmes du collège. de 1995 : « Passer de l'identification perceptive (la
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reconnaissance par la vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des
propriétés; [... ] « prendre contact» avec des théorèmes et apprendre à les utiliser. ».
Examinons à présent comment l'institution organise cette transition, à travers une
brève étude des programmes des classes de 6ème , Sème et 4 ème .
I. 1 La transition 6ème-4ème en géométrie à travers les programmes du
collège
Si nous reprenons les termes de Houdement et Kuzniak (2000), en 6ème la
géométrie que l'on peut qualifier de pratique est basée sur l'expérience et l'intuition. Les
exercices proposés visent à reconnaître, reproduire ou construire des figures: « L'objectif
fondamental en sixième est encore la description et le tracé de figures simples. [... ] Les
travaux géométriques prennent appui sur l'usage des instruments de dessin et de mesure
y compris dans un environnement informatique.» (Introduction de la partie Travaux
géométriques, programme de 6ème 1995) . Les dessins qui entrent en jeu dans ces
activités ont donc un statut d'objet matériel.
Cependant on précise aussi: « Les travaux géométriques permettront aussi la mise
en place de courtes séquences déductives ... »
Dans les programmes du cycle central, classes de Sème et 4 ème, il est indiqué : « il
s'agit, en poursuivant l'initiation très progressive du raisonnement déductif commencé en
6ème, de passer de l'utilisation consciente d'une propriété mathématique au cours de
l'étude d'une situation à l'élaboration complète d'une démarche déductive dans des cas
simples. ».
En Sème, l'élève est initié au raisonnement déductif à travers l'expérimentation, la
conjecture et la justification: « Les diverses activités de géométrie habitueront les élèves
à expérimenter et à conjecturer, et permettront progressivement de s'entraîner à des
justifications au moyen de courtes séquences déductives ... ».
Les dessins continuent à avoir le statut d'objets matériels, mais ils commencent
également à devenir des supports pour l'argumentation. Ainsi, on va commencer à
entraîner les élèves à ne plus seulement lire des informations sur le dessin, mais à
argumenter en utilisant des propriétés géométriques (souvent énoncées en termes de « si
. .. alors ... »). Les programmes précisent encore: «Les travaux de géométrie plane
prennent toujours appui sur des figures dessinées suivant les cas à main levée ou à l'aide
d'instruments de dessin et de mesure, y compris dans un environnement informatique. ».
En 4 ème, peu de choses sont indiquées sur le statut du dessin et sur la
démonstration, mais en revanche dans les compétences exigibles, on peut constater la
fréquente utilisation de termes comme « démontrer », « caractériser» ou « théorème ».
C'est donc bien l'aspect progressif de l'apprentissage du raisonnement et de la
démonstration en géométrie qui est mis en avant à travers les programmes des classes de
la 6ème à la 4 ème . Toutefois, ces éléments explicites des textes des programmes ne
résolvent pas la question des moyens didactiques à la disposition des professeurs pour
permettre cet apprentissage et pour faire évoluer les règles du contrat, qui restent la
plupart du temps implicites, non seulement pour les élèves mais certainement aussi pour
les professeurs.
Afin d'illustrer les difficultés possibles, nous proposons ci-dessous un exemple,
avant d'examiner plus précisément le rôle du dessin dans cette évolution.
Il
I. 2 Un exemple
L'exercice suivant peut être rencontré à différents niveaux de la scolarité, le texte
pourra alors être légèrement différent suivant le niveau, notamment en ce qui concerne
l'usage du symbolisme, mais surtout les réponses et les types de preuves attendus
seront différents.
Exercice :
ABCD est un parallélogramme. Soit (d) la perpendiculaire à (AB) qui passe par B,
elle coupe (DC) en H.
Que dire des droites (d) et (DC) ? Justifier la réponse.
A
B
[dl
D
H
c
Voici deux exemples de types de réponses d'élèves auxquels on peut s'attendre en
classe de 6ème :
00
«ça se voit que (d) est perpendiculaire à (DC) »
00
«(d) est perpendiculaire à (DC), je l'ai vérifié avec mon équerre»
Ces réponses montrent que les élèves considèrent à ce niveau le dessin particulier
comme un objet matériel unique et concluent que les droites (d) et (DC) sont
perpendiculaires en utilisant des preuves liées à la reconnaissance visuelle ou
instrumentée. Le résultat est alors vrai pour ce dessin particulier.
En classe de Sème, on demandera une argumentation faisant référence à une
propriété vue en classe, par exemple: « Deux droites perpendiculaires à une même
troisième sont parallèles entre elles donc (d) est perpendiculaire à (DC) ». Ce dessin fait
alors partie d'une classe qui illustre une même figure caractérisée par des propriétés (un
parallélogramme et une droite perpendiculaire à un de ses côtés).
Enfin, en classe de 4 ème, il est attendu de l'élève une démonstration sous une forme
plus standard, notamment à l'aide de propriétés énoncées en général, sous forme de « si
" .alors ... ».
Enfm, à partir du lycée, ce résultat sera considéré comme suffisamment évident
pour qu'on n'ait plus besoin de le démontrer, il pourra en particulier être utilisé
directement dans une démonstration plus complexe.
Cet exemple illustre l'évolution au cours de la scolarité du contrat didactique sur
un même objet, qui modifie de façon importante le rapport de l'élève aux objets de la
géométrie. Or ces modifications qui portent avant tout sur les exigences d'argumentation
posent souvent problème à certains élèves, et ce, même si des éléments de contrat sont
explicités. L'enjeu est ici que l'élève puisse donner du sens à la démonstration en
12
géométrie. Ceci ne peut se faire que si l'élève arrive à faire de la démonstration un outil
indispensable pour valider un énoncé mathématique.
Mais l'élève qui arrive en Sème dispose déjà de connaissances pour valider un
énoncé. On voit sur l'exemple précédent que la nécessité de démonstration d'un résultat,
relativement évident sur le des~.n, risque d'échapper à l'élève qui pensera alors que la
démonstration est seulement faite pour le professeur et non pour prouver un résultat.
Aussi, selon nous, un tel exercice n'est-il pas un bon candidat pour amener les élèves à la
démonstration puisque ces derniers peuvent arriver à la conclusion par un simple constat
visuel.
Pourtant le dessin est bien un élément important dans l'argumentation en
géométrie et ce n'est pas non plus en l'interdisant qu'on peut amener l'élève à la
nécessité d'une démonstratiori.
Comment alors gérer le rapport au dessin dans la démarche argumentative ?
J. 3 Rôle du dessin
Nous savons que le dessin joue un rôle important dans les résolutions de problèmes de
géométrie : dans l'exercice précédent, il sert d'une part, à renforcer le texte et à construire le
raisonnement, mais, d'autre part, on sait bien qu'il peut être aussi un obstacle au
raisonnement à cause de l'évidence du résultat à prouver.
Il y a bien ici une réelle difficulté d'enseignement : comment signifier aux élèves
qu'une pratique qui était utilisée précédemment dans d'autres types de tâches (lire,
prendre des informations sur le dessin) n'est plus valide (même si elle peut les aider) et
qu'il est désormais nécessaire de passer au raisonnement en utilisant des propriétés. Une
solution consisterait à ne plus utiliser du tout de dessin pour faire comprendre aux élèves
qu'ils doivent seulement raisonner avec des propriétés en utilisant des théorèmes et donc
un type de raisonnement particulier. Or, on sait bien, historiquement,
épistémologiquement et par la pratique des classes, que ce n'est pas possible, comme le
souligne Arsac (1999).
Le rôle du dessin apparaît prégnant aussi bien chez Euclide que chez Legendre ,. chez
Hilbert, il est logiquement non indispensable mais pratiquement il l'est. Autrement dit la
démonstration mathématique n'est pas r"éductible à un texte, il y autre chose qui peut
même maintenant être un écran d'ordinateur! (op. cité)
Pour pallier à ce problème d'enseignement, différentes solutions didactiques ont été
trouvées. Dans les exercices de quelques manuels par exemple, les auteurs formulent les
questions de la façon suivante: « Quelle règle du cours permet d'affIrmer que ... ? » ou
. bien «Choisis parmi les propriétés du cours celle qui te permet de justifier que ... ».
Néanmoins le caractère explicite et exhaustif de l'injonction didactique ne va pas sans
poser de problèmes: est-ce que toutes les règles sont vraiment dans le cours ? Quand et
comment sont-elles donnees aux élèves? Qu'est-ce qu'une règle? Est-ce la même chose
qu'un théorème?, etc.
Une autre solution trouvée par certains auteurs de manuels réside dans l'utilisation
de dessins à main levée ou de dessins faux pour signifier aux élèves que l'on va raisonner
à partir d'un dessin qui ne sera qu'un outil, qu'une aide pour démontrer ou bien qu'il ne
faut pas utiliser le dessin qui peut être trompeur.
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C'est dans cette perspective de questionnement que nous présentons à présent
notre analyse de manuels visant à déterminer la façon dont les dessins sont donnés aux
élèves en rapport avec l'évolution des exigences pour l'argumentation en géométrie.
II. Les dessins dans les manuels scolaires de Sème
Nous avons étudié les exercices du chapitre «Parallélogramme» de six manuels de
Sème. Nous avons choisi ce chapitre car il figure dans tous les livres (l'étude du
parallélogramme est nouvelle en sème) et il offre l'occasion de proposer aux élèves des
activités d'argumentation.
Les manuels étudiés sont Transmath, Dimathème, Cinq sur cinq, Triangle,
Magnard et Nouveau Décimale.
II. 1 Classification des énoncés et des tâches
Nous avons établi notre classification en fonction, d'une part de la présence ou
non d'un dessin dans l'énoncé (qui se présente la plupart du temps sous forme d'un
texte) et du rôle éventuel qu'il joue (ou qu'il est censé jouer) et, d'autre part de la tâche
qui est assignée à l'élève par rapport au dessin (qu'il soit donné ou à produire) et à
l'argumentation..
Ainsi, dans le cas où il y a un dessin dans l'énoncé, nous avons distingué les cas
selon que celui-ci permet:
de remplacer une longue description (donnant par exemple, les mesures des
angles, des côtés, etc). Il remplace et/ou complète donc le texte.
de proposer plusieurs cas correspondant à un texte générique (par exemple
«calculer dans chaque cas l'aire du parallélogramme ABCD». Il illustre
chaque situation en donnant des informations particulières.
d'illustrer l'énoncé en produisant un (le) dessin qui correspond au texte. Il
renforce donc le texte.
Pour l'élève, les types de tâches correspondantes sont alors:
reproduire le dessin à l'identique,
reproduire le dessin en respectant la description, les indications, les mesures
données,
produire un programme de construction,
calculer des mesures manquantes, des aires,
conjecturer puis justifier, expliquer, prouver, démontrer.
Un autre cas est celui où le dessin est demandé (il se peut alors qu'il y ait ou non
un dessin dans l'énoncé, il conviendra donc de croiser les deux critères). On retrouve
alors les deux premiers types de tâches auxquelles il faut ajouter:
faire le dessin pour e~écuter un programme de construction,
compléter le dessin pour obtenir un dessin respectant des contraintes
données,
faire le dessin qui traduit le texte pour aider à conjecturer; à argumenter.
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Enfin, on trouve des exercices où le dessin n'est pas explicitement demandé: ce
sont des exercices de preuve ou de démonstration pour lesquels le professeur sûrement
(et l'élève peut-être) sait bien qu'il faut tout de même faire le dessin pour résoudre
l'exercice.
Notons qu'à l'intérieur d'un même exercice, on peut trouver plusieurs situations.
En nous basant sur un tableau proposé par Laborde et Capponi (1994) qui se sont
eux-mêmes appuyés sur un travail de Pluvinage (1989), nous proposons ci-dessous,
notre propre tableau qui résume les différents cas envisagés ci-dessus.
Entrée
Dessin
Dessin
Texte
Texte
Tâches
Reproduction à l'identique ou avec variations
Compléter le dessin
Déterminer des éléments manquants
Description, programmes de tracés, justification,
reconnaissance
Tracé, construction
Justification, démonstration (avec construction intermédiaire
éventuelle)
Sortie
Dessin
Texte
Dessin
Texte
II. 2 Types de dessin en entrée
Nous avons ensuite établi une typologie des dessins qui peuvent apparaître en
entrée (toujours accompagnés d'un texte plus ou moins long). Dans cette classification,
qui nous a conduit à distinguer 5 types, nous voulions mettre en évidence certaines
caractéristiques visuelles et différencier les dessins représentant une situation
particulière de ceux illustrant une figure caractérisée par ses propriétés. C'est en effet, à
notre sens, un point essentiel du contrat didactique qui joue sur la conscience que l'élève
a de la distinction particulier/générique. Ainsi, une question importante "est de savoir
comment l'élève distinguera les indications qui peuvent être lues sur le dessin de celles
qui doivent être démontrées.
Nous appellerons codage tous les marqueurs portés sur le dessin pour en signifier
une propriété: mesure d'une longueur ou d'un angle, angle droit, égalités de longueurs ou
d'angles ou tout autre information écrite directement sur le dessin en langue naturelle ou
symbolique (par exemple ABCD est un rectangle ou (AB) // (CD) ou AB = AC). Le
codage peut aussi porter sur le support sur lequel est réalisé le dessin: quadrillage,
papier pointé, etc.
Voici les 5 types de dessin que nous avons ainsi dégagés:
1 - Dessin fait à la règle représentant, en vraie grandeur, un objet singulier (nous
n'avons jamais rencontré de dessin à l'échelle). Dans ce cas, le dessin respecte les
éléments de description fournis, y compris les mesures d'angles, de longueurs ainsi que
les codages et indications (angles droits, égalité de longueur ou parallélisme, milieu, etc).
Un tel dessin représente une situation singulière quasiment entièrement définie. Selon les
cas, les mesures peuvent être marquées sur le dessin (ou bien les mesures sont à
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effectuer sur le dessin). Notons toutefois que tout ne peut être explicité, ainsi l'élève
peut, par exemple, se demander si l'orientation a une importance.
2 - Dessin fait à la règle représentant un objet singulier, mais dont la description
dans le texte ou par codage indique des mesures (longueurs ou angles) qui ne sont pas
celles que l'on peut mesurer sur le dessin, sans que ce soit non plus un dessin à l'échelle.
En revanche, les autres propriétés de la figure sont conservées (parallélisme, milieu, angle
droit, etc). Ce cas est très proche du précédent, simplement le dessin ne correspond pas
complètement à certaines données, sans qu'on l'indique forcément aux élèves. Ceux-ci
peuvent le comprendre par perception visuelle, si cela est suffisamment évident, ou bien
parce que c'est un cas habituel pour leur manuel ou leur professeur, ou encore, par la
nature de la tâche à effectuer (par exemple, si on leur demande de reproduire ce dessin en
vraie grandeur ou de déterminer une mesure).
3 - Dessin fait à la règle respectant les propriétés qui déterminent une figure, sans
aucune mesure indiquée. La différence avec les types précédents vient du fait que ce
dessin ne doit pas être considéré comme unique, dans la mesure où toute une classe de
dessins représente la même figure. La tâche associée est le plus souvent une tâche de
preuve d'une propriété de cette figure.
Par exemple, considérons le dessin d'un rectangle, dont les dimensions mesurées
(sur le dessin) sont 4 cm et 7 cm :
Ce dessin relèvera du premier type si les indications données (dans une
description ou par codage) sont conformes aux mesures du dessin.
Il relèvera par contre du deuxième type s'il est précisé dans l'énoncé ou par
un codage que les dimensions du rectangle représenté sont autres que celles
du dessin (par exemple 12 cm et 15 cm).
Il relèvera enfm du troisième type, s'il est considéré comme un représentant
de la figure générale du rectangle quelconque.
4 - Dessin à main levée: les traits sont volontairement non droits pour signifier
(faire croire) que le dessin a été fait sans instrument tel que la règle. En revanche, les
lettres qui désignent certains points comme les sommets et les indications de mesures
sont en caractères d'imprimerie. De plus, des codages ou indications peuvent être
ajoutés, mais ne pas être forcément respectés dans le tracé.
Quelquefois, le texte de l'énoncé donne des propriétés, comme, par exemple :
« Tracer, en respectant les mesures indiquées, les losanges dessinés à main levée », ou
« En utilisant les indications portées sur les figures à main levée, dire, dans chaque cas,
quelle est la nature du parallélogramme. ». Cependant, il arrive que rien ne soit indiqué,
l'aspect visuel des traits suffisant à fournir les informations.
5 - Dessin explicitement désigné comme faux : ces dessins sont tracés à la règle,
mais ne respectent pas certaines indications ou dimensions. Par exemple, le texte peut
parler d'un triangle équilatéral alors que, sur le dessin correspondant, il est clair que les
côtés ne sont pas égaux (voir l'exercice 2 analysé ci-dessous). Ces dessins sont souvent
codés, mais la représentation graphique ne respecte pas nécessairement ces codages.
Notons que souvent les auteurs de manuels sont conduits à faire des dessins exagérément
faux. Contrairement au type 2, ces dessins sont explicitement désignés comme faux. De
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plus, il n'y a pas que les mesures qui ne sont pas respectées, mais aussi des propriétés
de parallélisme ou d'angle droit (comme dans l'exercice 1 ci-dessous).
Bien entendu, la tâche proposée à l'élève, et que le dessin accompagne, influe sur la
fonctionnalité du dessin. Par exemple, on demande parfois à l'élève de compléter un
dessin. Le dessin d'entrée est alors très succinct, aucune mesure n'est indiquée et il y a
peu d'informations. Dans ce cas, le dessin appartient à une classe de dessins
représentant la même figure (type 3). Cependant la tâche de construction qui est
demandée se fait uniquement sur le dessin particulier que l'élève aura reproduit. Peut-on
alors parler de figure?
Par exemple, dans une série d'exercices du manuel Magnard, les auteurs donnent
une ou deux droites et un ou deux points A et B et demandent aux élèves de tracer un
quadrilatère particulier dont A et B sont des sommets, les autres sommets étant sur les
droites. Ces exercices commencent tous par la consigne: «Reproduis à peu près le
dessin suivant ».
Dans le manuel Dimathème, on trouve également ce type d'exercice pour lequel il
est précisé: « Reproduire une figure du même type que celle-ci ».
On voit sur ces deux exemples comment les auteurs de manuels ont trouvé une
façon de signifier une classe de dessins par des termes volontairement vagues.
Les deux derniers types (dessins faux et à main levée) sont caractéristiques de la
classe de 5ème , ils ont entre eux des points en commun. Ainsi, plusieurs manuels
désignent des dessins comme faits à main levée, alors que ce sont en fait des dessins
faux. Nous avons hésité à les classer dans une même catégorie. Cependant, il nous a
semblé préférable, au moins dans un premier temps, de les distinguer. En effet, nous
pensons que les dessins à main levée sont des objets qui font partie de la pratique
mathématique ordinaire alors que les« dessins faux» ne semblent être que le produit de
contraintes typographiques. Il est en effet complexe de reproduire un dessin à main levée
dans un manuel imprimé, le dessin faux est alors un moyen détourné de produire un
dessin respectant les normes typographiques du dessin imprimé, tout en ne donnant
qu'une image partielle de ce qu'il représente. Il apparaît toutefois que les fonctions
didactiques des deux objets peuvent être différentes. On peut également s'interroger sur
la perception que les élèves pourront avoir de tels objets et les difficultés spécifiques
qu'ils peuvent engendrer. Notons enfin que certains manuels emploient
systématiquement l'expression «figure à main levée» à la place de «dessin à main
levée ».
Certains de ces dessins apparaissent en sortie mais pas tous.
Les dessins de types 1 et 3 apparaissent souvent en sortie car ils sont liés à une
tâche souvent demandée: reproduire ou construire.
En revanche, les dessins de type 2 sont rarement demandés explicitement en
sortie, ils sont plus souvent donnés dans des exercices d'argumentation. En effet, un
élève ne prendra pas des instruments de dessin sans tenir compte des mesures, sauf si
elles sont trop grandes.
Les dessins à main levée (4) sont parfois explicitement demandés à la première
question d'un exercice d'argumentation.
Enfin, les dessins de type 5 ne sont jamais demandés.
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II. 3 Conclusions sur l'analyse de manuels
Nous ne reprendrons pas dans cet article en détail tous les résultats de nos
analyses, mais nous allons en donner les éléments principaux.
Tout d'abord il apparaît que peu d'exercices demandent de décrire ou de rédiger un
programme de construction (environ un par manuel sur ce chapitre). Ceci nous semble
normal en classe de Sème, puisque ces exercices relèvent plutôt de la classe de 6 ème .
Le statut des dessins en entrée n'est pas toujours indiqué dans les manuels. Ainsi
on trouve un grand nombre d'exercices qui demandent une construction en tenant compte
des mesures et des indications à partir d'un dessin de type 1 ou 2 sans aucune précision.
Or, quelquefois la distinction n'est pas visible à l'œil nu. Il semble que cela dépende du
manuel. Par exemple, les manuels Nouveau Décimale, Dimathème et Transmath donnent
le plus souvent des dessins de type 1 alors que dans Triangle, Cinq sur Cinq et
Magnard, on ne trouve que des dessins de type 2.
De même, les dessins à main levée ne sont pas toujours indiqués comme tels, mais
ils sont plus simples à repérer du fait des traits non rectilignes.
On peut penser que, dans les classes, le contrat risque d'être lié au manuel et donc
changer suivant les établissements et les classes. Cependant, notre étude ne nous permet
pas de dire ce que les professeurs font dans leur pratique quotidienne et s'ils suivent ces
règles implicites dictées par le manuel utilisé, même si notre expéri~nce nous laisse
penser que oui. Il faudrait toutefois faire une étude des pratiques de classes pour en être
certains.
Pour les exercices de type texte-texte, où l'on demande de démontrer une propriété
générale d'une figure décrite par un texte, plusieurs cas sont possibles:
La figure décrite est en fait un objet unique, dont on demande explicitement
un dessin de type l, qui est un cas particulier d'un cas plus général qui aurait
les mêmes propriétés. Dans ce cas, la généralité du résultat démontré échappe
complètement à l'élève, à moins qu'elle ne fasse l'objet d'une question
ultérieure (rarement en Sème).
On demande explicitement un dessin de type 3 correspondant à la description
générale de la figure.
On demande explicitement un dessin à main levée (type 4) correspondant à la
description générale de la figure.
On ne demande pas explicitement un dessin: c'est le type d'exercices que l'on
retrouvera en 4 ème . L'élève a alors la responsabilité de faire un dessin s'il le
souhaite et du type qu'il veut.
Ces différents cas ne dépendent pas du manuel. En effet, en général, dans chaque
manuel, on trouve quelques exercices de chaque type. Cette diversité bien répartie
montre certainement une diversité des pratiques de classe. Le point qui nous pose plus
de problème est l'absence de cohérence apparente dans la demande ou non de produire
un dessin à main levée pour appuyer une démonstration d'une propriété générale d'une
figure décrite de façon générale. Il est clair que les dessins à main levée sont davantage
représentés en entrée qu'en sortie. Cet état de fait nous interroge sur les pratiques
enseignées aux élèves en géométrie.
18
Cette typologie nous a permis de mieux mettre en évidence les changements de
contrat qui se produisent en géométrie durant la classe de Sème, et plus particulièrement
la question de la gestion du jeu entre particulier et général du côté des élèves, mais aussi
des professeurs.
Dans cette optique, il nous est apparu que les dessins à main levée, avec leur
pendant des dessins faux, occupent une place particulière et une potentialité qui reste à
déterminer. Nous avons donc choisi de tester des élèves sur des exercices rencontrés
dans certains manuels, utilisant des dessins à main levée. Il s'agit d'analyser leurs
réactions pour déterminer le rôle que ces types de dessins pourraient avoir dans
l'évolution de leur rapport à l'argumentation en géométrie, tout en relevant certaines
difficultés qu'ils peuvent engendrer.
III. Expérimentation utilisant des dessins à main levée (ou faux)
111.1 Présentation du contexte
Le mathématicien expert utilise fréquemment des dessins à main levée, en
géométrie et même dans d'autres domaines des mathématiques, pour se représenter la
situation, pour conjecturer un résultat ou pour le vérifier. L'activité mathématique,
particulièrement la recherche d'une démonstration en géométrie, se constitue ainsi d'une
dialectique permanente entre dessin et argumentation. Par contre, les dessins à main
levée restent le plus souvent du domaine privé et ne sont pas donnés à voir une fois le
résultat trouvé, ils restent au brouillon. Si des dessins sont reproduits avec le texte de la
démonstration, ce sont des dessins réalisés, avec des instruments. Cependant lorsqu'un
expert cherche une démonstration en s'appuyant sur un dessin fait à main levée, on sait
bien que celui-ci respecte au mieux les données de l'énoncé et, en particulier, veille à une
certaine cohérence entre les propriétés annoncées et le tracé (même fait à main levée).
Ainsi un expert ne tracera pas des droites supposées parallèles qui se coupent
ostensiblement. Il sait bien que ce dessin, même imprécis, est le représentant d'une
figure (au sens de Laborde et Capponi (1994)).
Dans la classe, il n'est pas plus aisé de savoir quelle vie les dessins à main levée
peuvent avoir. Nous ne savons pas si cette pratique de l'activité mathématique est
enseignée, notamment au niveau du collège, et si oui comment. Par ailleurs, il est évident
que de nouveaux outils, comme les logiciels de géométrie dynamique, influent sur cette
pratique. Nous n'avons pas abordé la question de la pratique de classe dans cette
recherche. En effet, il nous a d'abord semblé nécessaire d'avoir une vision plus fme des
usages possibles des dessins à main levée dans des activités d'argumentation en
géométrie et des difficultés éventuelles des élèves.
A l'appui de nos analyses de manuels, nous avons sélectionné deux exercices, pris
tels quels dans les manuels de Sème, représentatifs de l'usage des dessins à main levée ou
faux. Nous voulions étudier le rapport personnel des élèves à ces objets, pour tenter de
détenniner s'ils pouvaient favoriser ou non le passage à une argumentation théorique.
Nous avons fait passer ce test écrit à trois classes différentes soit au total une
soixantaine d'élèves (65 pour le premier exercice et 63 pour le second). Pendant ce
temps, des binômes d'élèves de ces mêmes classes étaient filmés, dans une salle voisine,
19
lors de la résolution de ces mêmes exercices. Ces enregistrements vidéo nous ont permis
d'affiner l'analyse des copies d'élèves. L'observation des binômes nous offre des
données supplémentaires, par rapport aux productions écrites, sur les discussions entre
élèves lors de la résolution. Pour cela, la méthodologie employée est classique: les élèves
ne disposent que d'un seul papier et crayon, ce qui les oblige à collaborer.
Avant de passer à l'analyse des exercices proposés, signalons que pour analyser
les réponses à chaque exercice, nous avons pris en compte:
Les réponses obtenues, ici la nature du quadrilatère
L'utilisation faite du dessin:
o Codage du dessin: report des mesures d'angles, des égalités de
longueurs sur le dessin. Ce codage peut permettre à l'élève d'élaborer
son raisonnement à partir du dessin. Nous avons tenté d'en détecter des
traces sur les copi~.
o Reproduction du dessin: en respectant les angles et les longueurs.
L'élève peut ensuite faire une simple analyse perceptive ou bien s'appuyer
sur ce dessin dans son argumentation.
o Lecture sur le dessin: de propriétés non justifiées, en utilisant l'intuition
et la perception. On peut en repérer dans le texte produit par l'élève des
indices (éléments qui apparaissent sans justification) mais il n'est pas
toujours facile de les distinguer des connaissances déclaratives des
élèves.
Les types d'arguments utilisés:
o Déduction: l'élève élabore un raisonnement déductifbasé sur les angles,
les diagonales ou les côtés. La présence d'élément de déduction est
importante même si le raisonnement n'est pas entièrement correct.
o Confusion hypothèse/conclusion: il n'utilise pas la bonne
caractérisation mais la réciproque.
o Propriétés non appropriées: la propriété citée par l'élève n 'a pas de lien
avec la démonstration. Ce sont souvent des propriétés lues sur le dessin
que l'élève rajoute pour renforcer son raisonnement ou des propriétés
connues, apprises.
Pour analyser les résolutions des binômes d'élèves, nous avons tenté de retrouver
leur démarche, avec notamment les articulations entre utilisation du dessin et
argumentation, ainsi que les types de contrôle effectués en reprenant la classification de
Rolet (1996) :
- contrôle perceptifsimple
- contrôle perceptifinstrumenté
- contrôle théorique.
20
111.2 Exercice nO 1
111.2. 1 -Enoncé (extrait de Triangle Sème page 194)
En utilisant les indications portées sur la figure à main levée, dire quelle est la
nature du parallélogramme ABCD. Justifier la réponse.
.'n-'.
B
D
c
111.2.2 - Analyse a priori
Nous sommes ici dans le cas: dessin ~ texte et la tâche demandée est une
justification.
Le but de l'exercice est de trouver la nature du parallélogramme ABCD. Les
connaissances mises en jeu sont multiples: somme des angles d'un triangle,
caractérisation d'un triangle isocèle et d'un carré avec les diagonales. La particularité
réside ici dans le fait que l'élève ne peut effectuer de contrôle perceptif simple ou
instrumenté: les auteurs supposent que cela devrait le forcer à passer au raisonnement
déductif.
Le dessin est indiqué comme fait à main levée mais les traits sont droits, c'est donc
selon notre classification un dessin faux (type 5). En effet, si on a bien l'impression que
ABCD est un parallélogramme, il est assez clair que les deux angles marqués ayant
comme mesure 45° ne sont pas égaux. De même, s'il paraît clair que AB=DC et
AD=BC, par contre, il est évident que AB et BC ne sont pas égaux. Il est aussi assez
visible que les diagonales se coupent en leur milieu, mais pas orthogonalement. Ainsi, si
l'hypothèse sur le parallélogramme se vérifie visuellement, l 'hypothèse sur l'égalité des
angles à 45° est faussée ce qui fait qu'on n'a pas l'impression d'être face à un carré. Pour
l'élève, cette situation est assez particulière car le dessin respecte certaines hypothèses
et d'autres pas. On voit donc bien ici la volonté et le dilemme des auteurs: fournir un
dessin pour alléger la description mais ne pas donner la réponse. En effet, un dessin qui
aurait respecté toutes les hypothèses aurait été tout de suite perçu comme un carré.
Pourtant, dans ce cas, donner une description textuelle de la figure n'aurait pas été très
long: «ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en a. Les angles
aBC et aCB mesurent 45°. Quelle est la nature de ce parallélogramme? ».
21
Néanmoins, si l'élève n'avait eu que la description en langue naturelle et qu'il avait
dû faire un dessin à main levée qui respecte l'énoncé, il aurait certainement veillé à faire
des angles qui soient proches de 45° ou du moins il en aurait eu une conscience plus
grande. En revanche, sauf à avoir une intuition de la réponse, si on construit un dessin en
suivant l'ordre des données de l'énoncé, on commence en faisant un parallélogramme
quelconque, il faut alors refaire un nouveau dessin pour essayer d'ajuster des angles de
45°, ou utiliser un logiciel de géométrie dynamique.
Cette brève analyse montre que ce problème peut changer radicalement suivant le
type de dessin qu'on donne ou non, qu'on demande ou non tel ou tel type dessin, et
suivant les outils à disposition. Les enjeux peuvent être très différents selon les choix
faits. Dans le cas de l'énoncé que nous avons retenu, nous avons souligné le dilemme qui
a conduit les auteurs à une situation un peu biaisée.
L'élève peut adopter deux grands'types de méthodes de résolution:
Le premier consiste à reproduire le dessin en respectant les mesures des
angles, et ainsi à constater que les diagonales sont perpendiculaires et de
même longueur donc à reconnaître un carré. La réponse ne sera alors pas
justifiée si on s'arrête là, mais cette étape peut servir de base à un
raisonnement qui viserait à expliquer ce qu'on a pu ainsi constater. Cette
méthode est basée sur l'expérience et l'intuition au départ. L'élève peut coder
le dessin en indiquant l'angle droit formé par les diagonales. Cette
reproduction permet une meilleure lecture du dessin obtenu et l'on peut
effectuer un contrôle perceptif simple et instrumenté et des aller-retour entre
dessin et arguments.
Le deuxième utilise des connaissances géométriques à travers un raisonnement
déductif qui s'appuie sur le dessin tel qu'il est proposé, ainsi· que les
propriétés énoncées ou marquées sur le dessin. Il faut alors montrer que les
diagonales sont perpendiculaires en utilisant la somme des angles d'un
triangle, puis que les diagonales ont même longueur grâce à la caractérisation
d'un triangle isocèle ou que les angles du parallélogramme sont tous droits en
utilisant la somme des angles dans un triangle. Dans tous les cas, on déduit
que ABCD est un carré, contrairement à ce que semble montrer le dessin. Le
rôle du dessin pour cette méthode basée sur la déduction est moins
primordial : le codage est fait ici pour remplacer un énoncé qui serait trop
long, la lecture sur le dessin ne prend en compte que des propriétés. Seul un
contrôle théorique peut être effectué.
22
111.2.3 - Analyse a posteriori
a -Réponses obtenues: nature du parallélogramme
Réponses Aucune Quadrilatère Parallélogramme Losange Rectangle Carré Total
obtenues
24
5
11
4
65
Nombre
8
13
réponses obtenues
aucune
12%
rectangle
6%
parallélogramme
17%
losange
37%
Notons tout d'abord que certaines réponses donnent le nom du quadrilatère sans
justifications (il y en a 9, voir ci-dessous dans les arguments produits).
Nous constatons que la réponse correcte n'est produite que par un cinquième des
élèves, ce qui est peu. Cela peut s'expliquer par le fait que le dessin n'est pas congruent à
ce qui est décrit: les angles des sommets ne semblent vraiment pas droits alors que l'on
peut avoir l'intuition que les diagonales sont bien perpendiculaires. Dans les
enregistrements des binômes d'élèves, voici un extrait qui montre que même à la fin de la
résolution, il est nécessaire à Tom de «tourner» le parallélogramme pour «voir» un
carré et pour être convaincu.
42
Tom
43
44
Th
Tom
Il est tordu / c'est presque un losange / si tu le regardes comme ça
(Tom tourne la feuille pour diriger la diagonale [AC) vers lui) on
dirait un losange
Si tu regardes comme ça
Mais faudrait le tourner comme ça pour que ce soit un carré (Tom
simule un « redressement » du parallélogramme pour obtenir un
carré)
17% des élèves ont démontré que ABCD était un parallélogramme, alors que cela
faisait partie des hypothèses. Pour cela, ils ont lu sur le dessin les propriétés de
parallélisme et d'égalité de longueurs des côtés opposés. D'autres ont simplement
signalé que ce parallélogramme n'avait pas de propriétés particulières et qu'il était, par
conséquent, quelconque.
23
La réponse losange est la plus fréquemment citée (près de la moitié des élèves),
cela peut s'expliquer par deux raisons:
- Tout d'abord, la majorité des élèves a eu le réflexe de travailler dans le triangle
OBC car la mesure des angles OBC et BCO était notée sur le dessin. Ils ont ainsi calculé
la mesure de l'angle BOC, trouvé un angle droit et conclu sur la nature de ABCD. C'est
donc un raisonnement inachevé.
- Par ailleurs, les diagonales du quadrilatère étant tracées sur le dessin, les élèves
ont plus facilement pensé à un losange, d'autant que les diagonales peuvent être perçues
comme presque orthogonales! et que le parallélogramme est bien dans la position
standard du losange (plus que du carré, cf. l'extrait du dialogue cité plus haut entre Tom
et Thierry).
On peut supposer que la réponse losange s'est ainsi d'abord imposée de façon
perceptive et'a été ensuite confirmée par le raisonnement. Les élèves n'ont pas cherché à
aller plus loin. Le grand nombre de réponse dans cette catégorie montre l'effet du dessin
faux sur la façon dont les élèves peuvent aborder le problème. Il n'est pas certain que si
les élèves avaient eu à leur charge de faire le dessin ces réponses auraient été aussi
nombreuses.
Enfin quelques élèves démontrent (avec des propriétés erronées) que les angles de
ABCD sont des angles droits et concluent que le quadrilatère est un rectangle. Ces
réponses bien que peu nombreuses sont un peu étonnantes dans la mesure où d'une
part, le dessin ne fait aucunement penser à un carré et d'autre part pour prouver
(correctement) que les angles sont droits on est quasiment obligé de montrer d'abord que
les diagonales se coupent orthogonalement.
Nous constatons donc une grande diversité des réponses qui couvrent tous les
types de parallélogrammes particuliers de façon assez répartie sans que la réponse
correcte attendue ne soit majoritaire. Toutefois aucune réponse n'est fausse, elles sont
soit incomplètes (losange ou rectangle, 63% en tout avec le carré) soit non pertinentes
(parallélogramme, quadrilatère).
b -Utilisation du dessin
Voici les résultats que nous avons obtenus2•
Propriété énoncée sans justification
(vraisemblablement lue sur le dessin de l'énoncé)
Codage du dessin
Reproduction du dessin
32 (49%)
18 (28%)
2 (3%)
1 Notons que la conception du losange comme parallélogramme dont les diagonales se coupent à angle
droit est beaucoup plus forte chez des élèves de ce niveau que celle du parallélogramme avec tous ses
côtés égaux..
.
2 Le total ne fait pas 100% car il faut rajouter les 8 élèves qui ne donnent pas de réponse et les 5 qui
argumentent sans reproduire, ni coder le dessin existant.
24
La première catégorie comprend aussi bien des réponses ne donnant que la nature
du quadrilatère, que des réponses comportant des arguments plus ou moins valides et
quelquefois sans rapport avec les hypothèses du problème. Par exemple:
La nature de ce parallélogramme ABCD est un losange les
côtés sont opposés et de même mesure les diagonales ont
même milieu.
Ou bien
C'est un quadrilatère car ses côtés opposés sont égaux et
ses diagonales se coupent en leur milieu. ABCD a aussi un
axe de symétrie. Les angles ABC et BCD sont égaux.
Bien que le dessin soit désigné comme à main levée donc supposé ne pas être
correct (ou du moins pas très fiable), 49 % des élèves ont visiblement lu des propriétés
sur le dessin sans les justifier. Il est intéressant de noter que certaines propriétés ne font
pas l'unanimité, ainsi certains élèves «voient» que les diagonales sont de même
longueur, alors que d'autres, au contraire, les perçoivent de longueurs inégales.
La propriété «les diagonales se coupent en leur milieu» est fréquemment citée
sans que l'on sache si elle découle de la lecture sur le dessin ou de la caractérisation du
parallélogramme connue par les élèves (option tout de même la plus probable à ce
niveau).
De nombreuses mesures d'angles sont utilisées sans être correctement justifiées,
comme la mesure de l'angle OAB de 45° ou l'angle droit DAB: les élèves croient
reconnaître des angles alternes-internes ou correspondants.
Guère plus d'un quart seulement des élèves a codé le dessin. Ils notent la mesure
de l'angle BOC par 90° mais utilisent peu le symbole associé, peut-être car l'angle
n'apparaît pas comme droit. Certains notent aussi la mesure des angles alternes-internes.
4 élèves codent les égalités de longueur des côtés sans aucun autre argument et répondent
que c'est un losange. On peut donc penser que le codage a été fait après avoir
« reconnu» de façon perceptive le losange. D'une façon générale, il semble que le fait
que les hypothèses portent sur des mesures d'angles, aient influencé les arguments qui
portent beaucoup plus sur les angles que sur les longueurs.
Comme nous l'avions prévu, la difficulté à reproduire un dessin plus conforme a
rebuté la plupart des élèves (seuls deux l'ont fait) et ils ont réalisé un dessin de type 3.
On voit donc qu'une majorité d'élèves s'appuient essentiellement sur une lecture
du dessin, sans le remettre en cause. Le fait qu'ils ne codent souvent pas le dessin
montre également que celui-ci ne participe pas de leur réflexion comme un outil, mais
reste un objet matériel sur lequel ils s'appuient, sans essayer de le rendre plus
directement lisible (fonctionnel). Il semble donc que le rapport des élèves au dessin n'ait
pas évolué depuis le début du collège. Ceci implique que le rôle du dessin à main levé,
voulu par l'institution, n'est pas atteint pour cette majorité d'élèves.
25
c -Types d'arguments utilisés
Nous avons repéré les types d'arguments utilisés dans chaque production d'élèves.
Comme nous l'avons dit plus haut, seuls 9 élèves ont donné le résultat sans argumenter.
Les autres ont tenté un raisonnement.
Arguments utilisés
Aucun
- angles
Déduction
- diagonales
- côtés
Confusion hypothèse / conclusion
Propriétés non appropriées
Nombre
9 (14%)
16 (25%)
39 (60%)
14 (22%)
5 (8%)
26 (40%)
60% des élèves utilisent un argument lié aux diagonales. Ceci s'explique par le fait
que les diagonales sont tracées sur la figure, que la démonstration de leur orthogonalité
n'est pas difficile et que la caractérisation du losange avec les diagonales est plus
fréquemment utilisée par les élèves que celle avec les côtés.
Beaucoup de propriétés non appropriées sont rajoutées par les élèves: « côtés
parallèles », « côtés opposés de même longueur ». Peu d'entre eux savent élaborer une
justification minimale: ils voient des propriétés sur le dessin donc ils les notent même si
elles n'ont pas de lien direct avec la démonstration. On peut penser qu'ils ont
l'impression que leur argument aura plus de poids en rajoutant des propriétés.
Ces résultats mettent bien en évidence la difficulté que rencontrent les élèves à
mettre en rapport de façon pertinente les caractéristiques lues sur le dessin (qu'ils
énoncent quelquefois sans but) et les propriétés générales qu'ils ont apprises dont ils
n'arrivent pas à sélectionner celles qui vont leur servir.
Au delà, on voit bien, sur cet exercice, la multiplicité des causes des difficultés
d'apprentissage du raisonnement déductif: liens complexes entre perception et
argumentation, choix des arguments et articulation entre eux, niveau des preuves, effets
de contrat. Toutes ces raisons conduisent souvent les élèves à donner une propriété à
tout prix sans lien avec les hypothèses.
d - Les binômes d'élèves
Nous analysons maintenant les transcriptions des binômes que nous avons filmés
et observés en train de résoudre cet exercice. Le binôme 1 est constitué de deux élèves
que nous avons appelés Thierry et Tom et le binôme 2, de Mathieu et Audrey.
Le dessin faux a posé de nombreux problèmes aux élèves du binôme 1. Certes,
l'objectif qui consiste à empêcher l'élève de trouver la nature du quadrilatère à partir de
sa forme est atteint. En revanche, on remarque que l'approche du dessin à main levée est
différente pour Thierry et Tom. Alors que Thierry a très vite compris à quel type de
dessin il avait à faire, Tom est perturbé par le côté nécessairement et volontairement
approché du dessin qui trahit sa perception: il effectue des contrôles simples ou
instrumentés qui ne sont pas cohérents avec ce que prouve Thierry. Bon nombre de ses
remarques montre sa perplexité. Même si Thierry lui prouve que BOC mesure 90°,
comme il ne le constate pas sur le dessin, il ne le suit pas.
26
10
Il
12
Tom
Th
Tom
Là ça fait 90 (Tom montre l'an~le BaC) / y'a pas 90
Là c'est 45
Ouaih mais nulle part c'est 90
Le contrôle perceptif instrumenté avec le rapporteur échoue à son tour. Thierry
tente de lui expliquer que le fait que l'angle BOC ne soit pas droit est nonnal car "c'est à
main levée", "c'est un schéma". Il lui montre bien que déjà la mesure de l'angle CBO
donnée en hypothèse n'était pas respectée sur le dessin. Cet argument ne semble pas
convaincre Tom qui affinne, après mesure de l'angle BCO, que celui-ci ne vaut pas 45°
comme indiqué mais 35°.
90 (?) (Tom mesure l'angle BaC avec un rapporteur) ça fait pas
90
Mais oui mais c'est à main levée/ c'est un schéma (2s) c'est un
schéma
ça non plus ça fait pas 45 (Th désigne l'angle CBO) là c'est 90 (Th
désigne l'angle BaC)
[ ... ]
Et non lui il fait 35 (Tom mesure l'angle BCO)
Mais non c'est pas le bon
14
Tom
15
Th
16
17
Tom
Th
40
Tom
Mais là ça peut pas être 45 (Tom désigne l'angle OCD) car sinon
ça ferait comme ça (Tom trace un angle droit imaginaire avec son
41
42
Th
Tom
43
44
Th
Tom
Mais non mais c'est un schéma
Il est tordu / c'est presque un losange / si tu le regardes comme ça
(Tom tourne la feuille pour diriger la diagonale [AC) vers lui) on
dirait un losange
Si tu regardes comme ça
Mais faudrait le tourner comme ça pour que ce soit un carré (Tom
simule un « redressement» du parallélogramme pour obtenir un
carré)
doi~t)
Là c'est à plus de 45 ça se voit (Tom dési ne l'an le ODA)
Mais oui c'est un schéma
On constate bien ici la difficulté annoncée. Tom reste sur une conception du dessin
cohérent avec les données et il ne peut avancer dans son raisonnement car il semble trahi
par sa perception. La représentation intellectuelle qu'il a de l'angle droit, du losange ou
du carré est différente de ce qu'il observe sur le dessin. Il a besoin de tourner la feuille
pour reconnaître un losange et de simuler un «redressement du parallélogramme» pour
obtenir un carré.
Thierry, lui, a compris que ce dessin est un «schéma» (il le répète à plusieurs
reprises) : il sait qu'il est obligé d'analyser les renseignements donnés par le dessin (en
particulier les deux angles de 45°) et d'utiliser les propriétés du parallélogramme ABCD
27
pour en déduire sa nature. Il procède donc à un raisonnement déductif. Il s'aide du dessin
pour soutenir son raisonnement en le codant au fur et à mesure avec de nouvelles
données.
Dans le binôme 2, la stratégie est différente: comme ces élèves ne peuvent trouver
la nature du parallélogramme à partir de sa forme, ils décident directement de reproduire
le dessin (ce qui n'a pas été une procédure fréquente).
l
2
3
4
A
M
A
M
En fait il faut refaire la figure non ( ?)
Hum
On refait la figure
Dire quel est la nature du parallélogramme / ouah faut la refaire pour
savoir (A prend une rè~le)
La construction leur pose quelques problèmes car ils doivent fixer eux-mêmes les
mesures (ils prennent AC = 5 cm) et ils ne savent pas dans quel ordre procéder. Se pose
ensuite la question de la vérification et de la justification.
22
23
24
25
26
M
A
M
A
M
Eh ben voilà / par contre là il faut justifier
Ca fait un carré
Eh ben
C'est pas un carré / c'est un parallélogramme
Eh ben les mesures on a suivi / ça fait un carré
En 25, on constate que Audrey est surprise du résultat et revient à l'énoncé « c'est
un parallélogramme» alors que Mathieu valide ce qu'ils ont fait, puisqu'ils ont suivi
l'énoncé.
Ils entament alors une justification du résultat constaté mais Audrey a toujours un
doute, et elle va vérifier de façon expérimentale les angles.
32
33
34
35
M
A
M
A
36
M
37
A
38
M
Par contre après il faut justifier la réponse
Ouah mais faut vérifier en plus
Ben c'est bon
Faut vérifier qu'ils soient bien perpendiculaires (A vérifie avec une
équerre les angles droits ABC, BCD, CDA et DAB)
Oui c'est bon / justifier la réponse qu'est-ce qu'on va mettre
La figure est un carré car
Car elle a quatre angles droits / ouais mais il faut expliquer comment
on a fait pour trouver ça
Attends (A mesure les côtés de ABCD) 5,7 donc c'est bon
Comment on a fait bah on a tracé les diagonales
On marque quoi
On marque ce qu'on a dit / on a tracé les deux diagonales et euh ça
forme un carré
Ils justifient finalement la réponse en décrivant ce qu'ils ont fait et ce qu'ils ont
obtenu: « ça forme un carré ». Il n'y a pas d'argument de type théorique qui justifie leur
construction. On voit bien en 36 et 37 les contrôles instrumentés effectués par les deux
28
élèves, ce qui les conforte dans leur réponse et qui montre qu'ils ont des connaissances
sur les propriétés du carré. Cependant, ils sentent certainement qu'ils ne peuvent pas
donner cette justification et écrivent une réponse encore plus pauvre, selon nous, que
cette justification instrumentée.
En conclusion, si le dessin à main levée a certes empêché les élèves de donner la
nature du parallélogramme à partir de sa forme, cela ne les a pas toujours forcés à passer
au raisonnement déductif. En effet, certains ne peuvent pas avancer dans le raisonnement
car le dessin les trompe et ils ne sont plus capables d'en faire ressortir les informations
importantes. D'autres décident de reproduire le dessin et de lire directement la nature de
la figure sans arriver à justifier de façon théorique. On constate ainsi qu'il y a deux
catégories d'élèves face à un dessin à main levée: ceux qui comprennent tout de suite le
contrat et prennent en compte le côté volontairement approché du dessin, ceux qui
restent attachés au dessin, dont la fausseté perturbe alors leur analyse perceptive. Il
nous semble que ce résultat peut être mis en parallèle avec les analyses sur le triangle
aplati (Arsac et al., 1992), quand les auteurs indiquent que spontanément certains élèves
restent sur le dessin qu'ils ont produit alors que d'autres donnent une justification
théorique.
111.3 -Exercice n02
111.3.1 - Enoncé (extrait de Triangle Sème page 199)
Sur la figure ci-dessous dessinée à main levée, ABC et ABF sont des triangles
équilatéraux. Quelle est la nature du quadrilatère AFBC ?
Justifier la réponse.
F
B
p..
c
111.3.2 - Analyse a priori
Nous sommes ici dans le cas: dessin ---+ texte et le but est de trouver et de justifier
la nature du quadrilatère. Le dessin est encore désigné comme une figure faite à main
levée. Néanmoins, comme précédemment, c'est en fait un dessin faux, puisque les traits
sont droits, mais par contre, on voit clairement que les triangles ABC et ABF ne sont
pas équilatéraux. Cependant on peut se demander pourquoi les auteurs ont choisi de
donner ce dessin puisque le texte se suffirait presque à lui-même (il suffirait en effet de
rajouter que Cet F ne sont pas confondus).
29
Les connaissances mises enjeu sont l'égalité des longueurs des côtés d'un triangle
équilatéral et la caractérisation du losange avec ses côtés ou des connaissances portant
sur les axes de symétrie des triangles équilatéraux et du losange.
Il y a deux grands types de méthodes de résolution possibles. Comme pour
l'exercice précédent, la première consiste à reproduire la figure avec des triangles
équilatéraux, puis à reconnaître un losange, soit par les côtés, soit en traçant les
diagonales et ensuite, éventuellement à justifier ce résultat par des arguments théoriques.
La deuxième méthode consiste, sans refaire le dessin, à développer un raisonnement
théorique, qui peut éventuellement s'appuyer sur un codage préalable du dessin fourni.
III. 3. 3 - Analyse a posteriori
a - Réponses obtenues
Réponses Aucune
obtenues
8
Nombre
Quadrilatère
7
Parallélogramme
Losange
Rectangle
31
0
7
Carré
Total
10
réponses obtenues
aucune
13%
quadrilatére
11%
parallélogramme
11%
Comme pour l'exercice précédent, un nombre non négligeable d'élèves (13 %)
donnent la réponse quadrilatère : les élèves qui ont trouvé cette réponse sont, pour
beaucoup, restés sur le dessin donné. Comme ils n'ont observé ni parallélisme, ni
orthogonalité, ils en ont déduit que le quadrilatère était quelconque.
Une majorité des élèves (49 %) a obtenu la bonne réponse losange. Un tiers de
ceux-ci ont reproduit un dessin. Ils ont alors reconnu un losange en justifiant
éventuellement soit que les côtés étaient tous de même longueur, soit que les diagonales
étaient perpendiculaires. Sur les 12 dessins, tous les types précédemment définis sont
représentés:
5 sont de type 3, ce qui n'est pas surprenant à ce niveau : les élèves
comprennent et/ou vérifient que c'est un losange en reproduisant un dessin
instrumenté correct.
63
30
2 sont de type 1 : les élèves appuient leur conviction sur un cas particulier en
fixant la longueur des côtés du quadrilatère. Un des deux va jusqu'à coder
entièrement le dessin en indiquant même la longueur des demi-diagonales.
3 élèves font des dessins à main levée (type 4). Dans un cas, le dessin
reprend les noms des sommets du quadrilatère et ressemble nettement à un
losange (une seule diagonale est tracée) ; on est donc proche du type 3. Dans
les deux autres cas, le dessin représente un losange quelconque avec ses deux
diagonales, ce dessin semble ne servir qu'à rappeler la forme générale du
losange.
2 élèves enfin reproduisent en plus petit le dessin donné (l'un à la règle, l'autre
à main levée). Le seul argument donné par ces deux élèves est exactement
identique : « Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et
perpendiculaires alors c'est un losange. ». Ces réponses sont assez
surprenantes, le dessin reproduit s'apparente à un dessin faux mais c'est en
fait, une reproduction à l'identique du dessin fourni. On peut se demander si
les élèves ne l'ont pas fait seulement pour s'approprier le problème. De la
même façon, ils semblent avoir anticipé la réponse losange sans pouvoir la
démontrer.
La réponse carré est donnée par 18 % des élèves: c'est la réponse la plus
surprenante. Pour certains, l'égalité des longueurs de tous les côtés implique que le
quadrilatère est un carré. Pour d'autres, c'est l'angle AFB qui les induit en erreur car
celui-ci peut être perçu sur le dessin comme un angle droit.
Il % ont donné la réponse parallélogramme. Deux explications peuvent être
avancées:
par lecture sur le dessin: On peut penser que ces élèves ont observé le
parallélisme et l'égalité de longueur des côtés BF et AC.
par effet de contrat: pour ces élèves, le dessin ne ressemblait ni à un losange,
ni à un rectangle, ni à un carré, ils ont alors opté pour la dernière solution
restante, le parallélogramme.
Comme pour le premier exercice, on peut constater une assez grande variété de
réponses, avec néanmoins, une nette majorité pour la réponse correcte, ce qui s'explique
par le fait que les élèves ont souvent reproduit un dessin correct et ont vu sur le dessin
que c'était un losange.
31
b - Utilisation du dessin
Utilisation du dessin
Propriété énoncée sans justification
(vraisemblablement lue sur le dessin de l'énoncé)
Codage du dessin
Reproduction du dessin
nombres
28 (44%)
10 (16%)
20 (32%)
Dans les 10 élèves qui ont utilisé un codage, 6 ont codé le dessin de l'énoncé et 4 le
dessin reproduit. Ils ont tous noté l'égalité des côtés, trois ont en plus noté l'angle droit
que forment les diagonales et un seul élève a indiqué des mesures d'angles. De plus,
comme nous l'avons signalé plus haut, deux élèves ont donné aux côtés des longueurs
particulières codées sur le dessin reproduit.
Comme nous l'avons déjà décrit ci-dessus, presque un tiers des élèves a fait un
dessin, ce qui n'était pas le cas dans l'exercice précédent. On peut penser que la
simplicité de la figure de départ a induit ce résultat.
8 élèves ont fait un dessin de type 3 et 2 de type 1 visiblement pour découvrir ou
se convaincre de la forme du quadrilatère. 10 ont fait des dessins à main levée ou faux qui
jouent un rôle plus complexe dans l'argumentation. Ces dessins semblent en effet, être
faits plus pour rappeler la forme du quadrilatère envisagé que pour reproduire le dessin
de l'énoncé.
Comme dans l'exercice précédent, plus de 40% des élèves ont lu des propriétés sur
le dessin sans les justifier. La propriété la plus souvent citée sans être justifiée est
l'orthogonalité des diagonales. La propriété « les diagonales se coupent en leur milieu ))
est à nouveau fréquemment citée.
c - Types d'arguments utilisés
Arguments utilisés
Aucun
- angles
Déduction
- diagonales
- côtés
Confusion hypothèse/conclusion
Propriétés non appropriées
nombres
19 (30%)
3 (5%)
16 (25%)
24 (38%)
4 (6%)
15 (24%)
Lors de raisonnements déductifs, les élèves utilisent davantage des arguments liés
aux côtés (38 %) qu'aux diagonales (25 %). Cela est dû au fait que l'on donnait en
hypothèse des renseignements sur les côtés et non sur les diagonales. Mais un bon
nombre a cependant utilisé l'orthogonalité des diagonales: cette propriété est lue sur le
dessin sans jamais être démontrée. On voit encore ici que la représentation et la
caractérisation du losange avec les diagonales sont fortement ancrées chez les élèves.
Dans cet exercice, on observe peu de confusions entre hypothèse et conclusion (6
%) alors qu'encore un quart des élèves utilise des propriétés non appropriées. En
particulier, lorsqu'ils évoquent l'égalité des côtés, ils rajoutent l'argument de
l'orthogonalité des diagonales en pensant alors renforcer leur démonstration.
32
d - Les binômes d'élèves
Pour cet exercice, nous avons également enregistré deux binômes d'élèves: le binôme 3
constitué de Arnaud et Théo et le binôme 4, constitué d'Oriane et de Laurence.
Cette fois, les deux binômes ont raisonné de manière similaire. En effet, dans les
deux cas, ils ont suivi le même cheminement: compréhension de l'énoncé, reproduction
du dessin, lecture sur le dessin et enfin justification de la réponse.
Tout d'abord, les élèves sont surpris en lisant l'énoncé car ils ne reconnaissent pas
de triangles équilatéraux sur le dessin. Ils se rendent compte ensuite que le dessin est fait
à main levée. Ils comprennent alors le contrat: ils ne peuvent déterminer la nature du
quadrilatère à partir de la forme visible sur le dessin fourni.
Binôme 3
C'est pas des triangles équilatéraux
C'est pas logique leur truc
Ah mais non c'est à main levée / à main levée c'est pour ça
A
T
A
5
6
7
Binôme 4
1
2
a
r...] ils sont équilatéraux / là ils sont pas équilatéraux
L
Oui mais ils disent c'est dessiné à main levée donc que
Suite à cette remarque, ils décident alors de reproduire le dessin en respectant les
propriétés données dans l'énoncé à l'aide de règle graduée et du compas. Ceci est
d'autant plus facile que les figures et leur construction sont bien connues des élèves.
Binôme 3
T
8
J
1
13
Donc à la limite on peut le retracer
1
1
A
Ouais c'est vraI ce serait plus facile (5s) (T commence la
reproduction du dessin)
C'est des triangles équilatéraux donc faut que tu fasses à peu près
les mêmes / vu que ici c'est à main levée
Binôme 4
3
a
4
5
L
a
Nous il faudra qu'on les fasse équilatéraux (2s)
Quelle est la nature du quadrilatère AFBC ( ?)
C'est pas un parallélogramme y'a rien de euh
Ça s'trouve c'est pas / bon faut qu'on fasse les triangles
(0 prend son compas et mesure son écartement)
Une fois le dessin reproduit, ils observent et tentent de reconnaître la nature du
quadrilatère obtenu.
33
Binôme 3
26
T
27
28
29
A
T
A
30
31
T
A
Tu vas voir moi je crois savoir ce que c'est (T n'a tracé que le
trianRle ABF)
Un losange
Non un carré
Non c'est un losange (A simule le tracé de la diagonale FC avec sa
main)
Non un carré
J'suis désolé / c'est un parallélogramme (5s)
Ah tu vois (1) trace ça, trace celle-là pour voir (A désigne la
diagonale FC) pour voir si ça fait un angle droit (A s'empare de
l'équerre pour vérifier si les diaRonales sont perpendiculaires)
Binôme 4
18
19
20
21
22
23
L
0
L
0
L
0
Ça fait un losange
Ah ouais / losange ou un quadrilatère
Donc là c'est F
Attends si on fait ça (0 trace la diagonale CF) / on va voir si elles
sont perpendiculaires
Sûrement
Si c'est perpendiculaire c'est que c'est (0 vérifie avec son équerre
l'orthogonalité) (2s)
Ouais c'est un losange
Ils se fient donc d'abord à ce qu'ils voient, et conjecturent alors un résultat. Ils
effectuent ensuite un contrôle perceptif instrumenté expérimental en vérifiant que les
diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires, pour s'assurer que c'est bien un losange.
Ils vont ensuite tenter de justifier leur réponse (dont ils sont sûrs) par des arguments
théoriques.
Au début, cette justification ne se base que sur la lecture du dessin et sur un
contrôle perceptif instrumenté. Ils n'analysent pas les renseignements donnés par le
texte. Ils constatent que les diagonales se coupent en leur milieu en formant un angle
droit sans le justifier à l'aide des hauteurs d'un triangle équilatéral. On constate encore
une fois que, pour montrer que AFBC est un losange, les élèves utilisent d'abord la
caractérisation à partir des diagonales, puis celle à partir des côtés. Ils rajoutent des
propriétés comme « Ses côtés ont la même longueur» sans que l'on sache si elles sont
nécessaires ou pas à la démonstration.
Binôme 3
41
42
43
A
T
A
Car ses diagonales se coupent en leur milieu en formant un angle droit
Enfin pas au même
Si elles se coupent en leur milieu (5s) (A dicte à T)
Et forment un angle droit (5s)
Ses côtés ont la même longueur
34
Binôme 4.
24
25
26
27
L
0
L
0
Justifier la réponse
Tu veux que j'écrive que c'est un losange
Juste parce qu'il y a l'angle droit ( ?)
Non et aussi parce que ... euh ... tous les côtés ils sont tous égaux
En conclusion, pour ces deux binômes, on constate que la fausseté du dessin «à
main levée» les a moins perturbé que dans l'exercice précédent. Ils n'ont certes pas pu
donner la nature du quadrilatère à partir de sa fonne, mais ils ont contourné cet obstacle
en reproduisant le dessin. A partir de là, ils ont lu des propriétés sur le dessin sans les
justifier. Ils ont donc procédé à un raisonnement déductif partiel en s'appuyant sur le
dessin refait.
On remarque aussi la coexistence des pôles empirique et théorique lors de la
résolution de l'exercice. L'élève est en effet d'abord guidé par son intuition qui lui
suggère que les diagonàles sont perpendiculaires. Il vérifie cette conjecture à l'aide d'une
expérience: grâce à une équerre il s'assure de l'angle droit que fonnent les diagonales.
Mais en même temps, il utilise des éléments théoriques, comme la caractérisation du
losange à partir des diagonales.
Donc on voit bien ici la dialectique entre l'expérimental et le théorique que l'élève
n'arrive pas à rendre opérationnelle.
On peut se demander pourquoi les élèves traitent différemment les exercices n° 1
et n° 2 alors qu'ils sont sensiblement similaires? Dans le premier, ils raisonnent à partir
du dessin qu'on leur donne tandis que dans le second, ils décident de reproduire le
dessin. Cela peut s'expliquer par deux raisons. D'abord il est plus simple de reproduire
le dessin de l'exercice 2 car la technique de construction d'un triangle équilatéral est
simple et usuelle. Pour l'exercice l, il est délicat de construire un parallélogramme
sachant que deux angles valent 45°. Ensuite, comme sur le dessin de l'exercice 2
aucune donnée n'est respectée, l'élève préfère avoir à disposition un nouveau dessin à
partir duquel il pourra tirer des infonnations. Dans le cas de l'exercice l, la valeur des
angles est certes incorrecte, mais le reste des données est respecté; l'élève dispose donc
déjà de quelques infonnations, il n'est pas contraint à refaire un dessin.
Enfin, d'un point de vue méthodologique, on a pu remarquer qu'il était important
de croiser les sources d'analyses: une première en classe entière qui apporte des
données quantitatives, une seconde par binôme d'élèves qui nous éclaire davantage au
niveau qualitatif.
IV. Conclusion
Cette étude reste partielle, par le nombre restreint de binômes observés, mais
surtout parce que nous ne sommes pas allés dans les classes observer les pratiques des
professeurs et des élèves. Cependant, cette première ébauche nous a tout de même
pennis de montrer, en particulier à travers l'usage des «dessins à main levée »,
3S
l'évolution difficile pour les élèves en classe de Sième, d'une géométrie descriptive et
pratique vers une géométrie théorique où l'argumentation occupe une place importante.
On observe en effet un changement de contrat qui perturbe les élèves. Alors qu'au
début du collège, on accepte des réponses basées sur l'intuition et l'expérience, on les
oblige ensuite à justifier leurs résultats avec des arguments théoriques. C'est bien la
nature des arguments qui change et non le fait d'argumenter. Nous rejoignons là la
position de Duval (1992) sur les ruptures et continuité dans les types d'argumentation.
Les professeurs de collège doivent donner un sens à la démonstration, montrer à
l'élève que c'est un outil indispensable pour valider un énoncé mathématique. Ils ont
donc pour objectif de forcer ce passage au raisonnement déductif. La classe de Sème
constitue une étape clé dans ce travail didactique important.
Nous avons vu que pour atteindre cet objectif, les manuels proposent de fonder
des énoncés sur des dessins à main levée qui sont en fait souvent des dessins faux.
Cependant, nos expérimentations fournissent des indices laissant penser que cet
outil pose des difficultés et ne permet pas le passage à une géométrie théorique pour de
nombreux élèves. Visiblement, plusieurs élèves, en effet, n'arrivent pas à gérer la
contradiction entre leur perception et les propriétés annoncées dans l'énoncé. Ce
décalage perturbe aussi bien leur analyse perceptive que théorique. Autrement dit,
comme pour Tom, un nouveau problème apparaît : celui de comprendre la signification
de ce dessin et ses liens avec les autres informations du texte. Il paraît clair que de
nombreux élèves ont alors besoin de refaire un dessin, mais la nature et la fonction que
doivent prendre ces nouveaux dessins ne va pas de soi. Ainsi, certains élèves ont besoin
d'un dessin instrumenté correct, voire même avec des mesures particulières non fournies
par l'énoncé. La situation peut être très complexe quand l'énoncé ne permet pas un
programme de construction simple du dessin (comme dans la première de nos
expérimentations). Dans le cas où le dessin est possible, celui-ci peut éventuellement se
substituer à l'argumentation théorique. Certains élèves, au contraire, tentent un dessin à
main levée, mais il apparaît alors que celui-ci joue un rôle mal défmi et sert plus à
rappeler certaines formes géométriques, qu'à reproduire les conditions de l'énoncé. Au
final, les exercices partant d'un dessin faux peuvent embrouiller les élèves et en tous cas
ne bloquent pas la reproduction par un dessin correct. La question du rapport entre
dessin et argumentation n'évolue donc guère par rapport à la situation classique.
Sans vouloir rejeter en bloc l'utilisation de dessins à main levée dans la pratique des
classes de collège, il nous semble donc, à l'appui de nos analyses, qu'il y aurait lieu de
réfléchir à des dispositifs et des pratiques permettant de l'intégrer aussi dans le topos de
l'élève, pour qu'il y trouve une meilleure fonction heuristique. Enfin, il semble nécessaire
d'éviter la dérive conduisant à l'utilisation de dessins faux, qui s'éloignant de la fonction
du dessin à main levée, mettent les élèves dans des situations inutilement pertur~atrices
entre perception et argumentation théorique.
36
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