ENERGIE CINÉTIQUE DE ROTATION E.11.

E.11. ENERGIE CINÉTIQUE DE ROTATION
U
Globusoj
en rotation possède de l'énergie. En prend conscience qui veut
freiner une roue qui tourne à vide. Selon la valeur et la répartition de la
masse, la roue a plus ou moins d'inertie, donc plus ou moins d'énergie stockée.
Cette énergie est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation.
Dans le cas de la bille de Galilée (voir E.5.), le déplacement se fait par
roulement. La bille possède deux formes d'énergie cinétique : en translation et
en rotation. Il est intéressant de comparer ces deux énergies. Dans la formule
de l'énergie cinétique de rotation, si je remplace le moment d'inertie par son
expression en fonction de la masse, et la vitesse de rotation par son expression
en fonction de la vitesse de la périphérie, c'est-à-dire la vitesse de la bille (voir
E.6.), j'obtiens : ER = 1/2 J ω 2 = 1/5 m v2 .
Je peux valider la modélisation des deux énergies cinétiques, de nouveau à
partir des mesures de Galilée de 1608 (voir E.5.).
La vitesse de la bille de Galilée en bas du plan incliné s'obtient par application du principe de conservation de l'énergie mécanique totale : m g ∆ z =
EK + ER = 1/2 m v2 + 1/5 m v2 = 0,7 m v2 . On en déduit la vitesse : v = √1,429 g ∆ z.
Galilée avait découvert que la vitesse était proportionnelle à la racine
carrée de la hauteur, mais il n'était pas en mesure d'établir cette relation. Les
historiens des sciences avancent justement cet argument pour prouver que le
document (E.5.1) contient de véritables données expérimentales. Sans mesures
réelles, il n'aurait pas pu obtenir la première valeur : 800.
Selon la relation ci-dessus, d'une hauteur : ∆ z = 0,282 m (300 points), la bille
atteint une vitesse : v = 1,99 m/s. La formule établie en E.5. donne alors la
distance du point d'impact : d = 0,398 × 1,99 = 0,792 m (840 points).
Galilée a mesuré : d = 0,75 m (800 points), probablement sans grande
précision comme l'indique la valeur même de 800. Une partie de la différence
s'explique par les pertes d'énergie, notamment lors du changement de direction entre le bas du plan incliné et la bordure de la table. Toutefois, la correspondance entre ces calculs et les mesures de Galilée, avec une écart de 5 %,
est extraordinaire !
Cas de la Mini E. Même dans le modèle du déplacement en translation, les
roues possèdent de l'énergie cinétique de rotation. On peut éventuellement la
prendre en compte, pour un calcul complet de l'énergie stockée par le véhicule
en translation.
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NE MASSE
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Globusoj
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esquissée, enfin tombe au sol à une certaine distance, dont la
valeur est soigneusement notée. Les dimensions données par
Galilée sont exprimées en « points » (environ 0,94 mm).
Partie « roulement sur plan incliné ». Galilée savait que la
vitesse de la bille en sortie de la table était proportionnelle à la
racine carrée de la hauteur du plan incliné. Je ne saurai calculer la
relation exacte qu'en E.11. Galilée, lui, ne l'a jamais su.
Partie « chute libre » . Galilée a parfaitement su décomposer le mouvement :
1° – verticalement. La hauteur parcourue est proportionnelle au carré du
temps de chute (modèle E.3.). Or, la hauteur de la table est constante : 0,778 m
(828 points). Donc le temps de chute est toujours le même. Au passage, je peux
le calculer. A partir de l'équation : d = ½ g t2 = 0,778 ; j'obtiens : t = 0,398 s.
2° – horizontalement. La distance parcourue durant le temps de chute est
proportionnelle à la vitesse initiale. En équation (modèle E.2.) : d = 0,398 v.
Conclusion, la position de l'impact est proportionnelle à la racine carrée de
la hauteur du plan incliné. Voilà exactement ce que devait confirmer les
mesures reportées sur le manuscrit. Galilée laisse rouler la bille
d'une hauteur de 300 points, et utilise ensuite ce résultat comme
référence. Il recommence l'expérience avec les hauteurs : 600, 800
et 1 000. D'après la proportion à valider, il devrait
obtenir comme distances de chute : 1 131, 1 306 et
1 461. Ses mesures lui donnent : 1 172, 1 328 et 1 500.
L'erreur est relativement faible, Galilée tenait là une
bonne confirmation de ses idées.
• Composition des mouvements.
Le déplacement d'un véhicule dans l'espace se décompose en trois
mouvements rectilignes, selon les trois axes du référentiel.
• Exemple de la chute libre avec vitesse initiale horizontale v0.
– Selon x : mouvement rectiligne
y
uniforme (E.2.), vx = v0.
x
– Selon y : pas de mouvement, vy = 0.
– Selon z : mouvement rectiligne
z
accéléré (E.3.), vz = g t.
Modèle E.5. – Déplacement curviligne.
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E.6. VITESSE DE ROTATION
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voiture avance à une vitesse v (en m/s) parce que les roues tournent à
une vitesse de rotation ω (en rad/s) ou n (en tr/s ou en tr/min). Le
rapport entre les deux types de vitesses est le rayon de la roue.
Dans la Mini E, il n'y a pas, comme dans les voitures thermiques, de
compte-tours qui affiche la vitesse de rotation du moteur (on voit en photo
E.2.1. qu'il a été remplacé par un indicateur de charge). Il est inutile car le
rapport entre la vitesse de la voiture et celle du moteur est constant : le
couplage du rotor sur les roues est permanent, sans changement ni débrayage.
J'étudie la relation entre vitesse de rotation et vitesse de translation sur la
maquette de voiture à pile à combustible. L'intérêt est de découvrir comment
mesurer ces deux types de vitesse, avec traitement par calculateur.
Deux circuits électroniques sont accrochés sur la maquette (voir photos
E.6.1. et E.6.2.). Ce sont deux détecteurs optiques. Celui qui est vertical (A)
mesure la vitesse réelle du véhicule : son capteur détecte le passage de bandes
noires collées sur la table. Celui qui est horizontal (B) mesure la vitesse de
rotation du moteur : son capteur détecte l'alternance de zones noires et
blanches sur un engrenage.
Le boîtier en arrière-plan contient un circuit Arduino Uno, qui permet une
acquisition par ordinateur, en n'utilisant que des logiciels libres, sous Linux. Le
programme à écrire et à envoyer dans le circuit Arduino est facile à concevoir.
Je renouvelle l'expérience plusieurs fois. Les valeurs obtenues à chaque
acquisition sont différentes, car la très faible puissance du véhicule ne lui
permet pas des performances reproductibles. Voici deux des résultats les plus
extrêmes.
NE
E.6.1.
Globusoj
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La troisième représentation est la variation d'énergie mécanique totale, la
somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Je constate qu'elle
reste pratiquement toujours égale à zéro. Cela valide simultanément les
modèles de calcul des énergies cinétique et potentielle.
De plus, cela confirme le fait que l'énergie mécanique totale se conserve ;
autrement dit, les pertes d'énergie par frottement contre l'air sont effectivement négligeables.
La relation qui permet de calculer directement la vitesse de chute en
fonction de la hauteur atteinte est souvent citée, pour son utilité pratique,
dans l'étude de la chute libre sans frottement :
v = √ 2 g ∆ z.
Elle est obtenue, soit à partir des équations du mouvement de E.3., soit,
encore plus simplement, de l'application de la conservation de l'énergie mécanique totale :
m g ∆ z = 1/2 m v2 .
Galilée avait déjà découvert la proportionnalité entre la vitesse et la racine
carrée de la hauteur de chute. Maintenant, la formule exacte est démontrée,
du moins dans le cas d'une chute libre sans rotation.
• L' énergie cinétique de translation
d'un véhicule, de masse m, à la
vitesse v, est :
EK1
EK = ½ m v 2 .
• La variation d'énergie cinétique
du véhicule, entre les vitesses v1
et v2 , est :
 EK = ½ m v 2 2 – ½ m v 1 2 .
EK2
Energie
cinétique
v = v1
 EK
Energie
cinétique
v = v2
Modèle E.10. – Energie cinétique de translation.
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