CM5

SÉANCE 5 : INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE DES NOMBRES :
APPLICATIONS DU THÉORÈME DE MINKOWSKI
Rappel :
THÉORÈME
On munit le plan réel R2du réseau carré habituel Z2.
Soit Cun M-ensemble de R2de centre de symétrie l’origine (0,0).
Si l’aire de C,A(C)>4 alors :
Ccontient au moins un noeud du réseau différent de l’origine (0,0).
On va dans ce qui suit donner des applications de ce théorème, à la
recherche de solutions entières d’équations de degrés 2 à coefficients
entiers, comme l’expression d’un entier naturel en somme de quatre carrés
d’entiers.
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UN EXERCICE D’APPLICATION :
EXERCICE
Soient a,bet cdes entiers naturels strictement positifs tels que ac =b2+b+1.
Montrer que l’équation
ax2−(2b+1)xy +cy2=1
à des solutions entières c-à-d des solutions ( x , y ) tel que xet ysoient des entiers.
EXEMPLE
ÏUn exemple d’une telle équation est celle de l’ellipse 7x2−9xy +3y2=1.
ÏOn vérifie que ac =7.3=42+4+1=b2+b+1.
ÏLes points (1,1),(1,2)et (2,3)
et leurs symétriques (−1,−1),(−1,−2)et (−2,−3)sont des points sur l’ellipse.
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SOLUTION :
On considère dans le plan R2l’ensemble des points :
E=©(x,y)∈R2|ax2−(2b+1)xy +cy2<2ª
On va commencer par montrer que Eest un M-ensemble
puis que son aire A(E)>4.
appliquer le théorème de Minkowski, pour garantir l’existence d’un point
(x,y)du réseau , autre que l’origine, dans E
et enfin, montrer que nécessairement ce point est solution de l’équation
ax2−(2b+1)xy +cy2=1.
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SOLUTION :
L’ensemble Eest symétrique par rapport à l’origine en effet :
un point (x,y)∈Esi et seulement si ax2−(2b+1)xy +cy2<2
mais a(−x)2−(2b+1)(−x)(−y)+c(−y)2=ax2−(2b+1)xy +cy2
d’où (−x,−y)∈E.
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SOLUTION :
L’ensemble Eest convexe
Soient (x,y)et (x0,y0)des points de Eon doit montrer que le segment qui
les joint est contenu dans E
cela revient à montrer que pour tout 0 ≤t≤1 on a
(1−t)(x,y)+t(x0,y0)=((1−t)x+tx0,(1−t)y+ty0)∈E
on va pour cela utiliser l’équation réduite d’une ellipse.
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