Théories géométriques pour l`algèbre des - Henri Lombardi

Théories géométriques
pour l’algèbre des nombres réels
sans test de signe ni axiome de choix dépendant
Les auteurs
la dernière version en cours peut être trouvée en
http://hlombardi.free.fr/Reels-geometriques.pdf
BROUILLON, 21 avril 2017

Résumé
On cherche à déterminer une théorie dynamique aussi complète que possible pour décrire les
propriétés algébriques du corps des réels en mathématiques constructives sans axiome du choix
dépendant.
On propose tout d’abord une théorie qui s’avère être la théorie des anneaux locaux réels clos en
mathématiques classiques. La théorie des anneaux réels clos est présentée ici sous forme constructive
comme une théorie purement équationnelle naturelle, basée sur les fonctions racines virtuelles
introduites dans des travaux antérieurs. Un axiome infinitaire d’archimédianité semble nécessaire
pour mieux décrire la structure.
Dans le dernier chapitre, on introduit une théorie plus précise dans laquelle les fonctions semi-
algébriques continues ont droit de cité à part entière : des sortes sont créées pour elles. On obtient
alors une meilleure description des propriétés algébriques de R, mais aussi un bon candidat pour
une théorie constructive de certaines structures o-minimales.

Table des matières
Table des matières ....................................... 2
Introduction ........................................... 3
1 Théories géométriques 5
1.1 Théories géométriques du premier ordre ........................ 7
1.2 Théories dynamiques essentiellemement les mêmes .................. 17
1.3 Collapsus simultané et autres ressemblances ...................... 22
1.4 Extensions conservatives d’une théorie dynamique .................. 23
1.5 Théorie des modèles ................................... 24
1.6 Théories géométriques infinitaires ............................ 24
2 Corps ordonnés 28
2.1 Rappels sur les corps ordonnés discrets ......................... 28
2.2 Corps ordonnés non discrets ............................... 35
2.3 Corps réels clos non discrets : position du problème ................. 38
2.4 Quelques questions .................................... 42
3 Anneaux fortement réticulés 44
3.1 Groupes réticulés (`-groups) ............................... 45
3.2 Anneaux fortement réticulés (f-rings) ......................... 47
3.3 Au delà des théories purement équationnelles ..................... 52
4 Corps réels clos (non discrets) 58
4.1 Corps ordonnés avec racines virtuelles ......................... 59
4.2 Quelques utilisations des racines virtuelles ....................... 66
4.3 Anneaux réels clos et corps réels clos non discrets ................... 69
4.4 Règles géométriques infinitaires pour l’algèbre réelle ................. 72
4.5 Quelques questions .................................... 72
5 Corps réels clos et structures o-minimales 76
5.1 Structures o-minimales et applications continues définissables ............ 77
5.2 L’intervalle compact réticulé fortement réel ...................... 78
5.3 Un langage renforcé et les axiomes correspondants .................. 79
5.4 Structures o-minimales .................................. 87
5.5 Quelques questions .................................... 87
Conclusion 88
Références. Livres 89
Références. Articles 90
Index des notations 94
Index des termes 96
2

Introduction
Cette étude est écrite dans le style des mathématiques constructives à la Bishop, i.e. les ma-
thématiques avec la logique intuitioniste (voir [Bishop,Bishop & Bridges,Bridges & Richman,
CACM,MRR,Yengui]).
Définissons l’algèbre réelle comme l’étude les propriétés algébriques des nombres réels, i.e., les
propriétés de Rformulables au premier ordre sur le langage
{· = 0,·>0,·>0,·+·,·×·,0,1,−1},
avec éventuellement comme constantes tout ou partie des réels constructifs. On peut en outre
envisager d’introduire de nouveaux symboles de fonctions pour des fonctions Rn→Rbien définies
(d’un point de vue constructif) et dont la description est purement algébrique, comme les fonctions
sup,inf et de nombreuses fonctions semialgébriques continues.
L’algèbre réelle constructive n’est pas bien comprise ! L’analyse constructive ('les méthodes
certifiées en analyse numérique) est nettement mieux étudiée.
D’un point de vue constructif, l’algèbre réelle est assez éloignée de la théorie usuelle classique
des corps réels clos à la Artin-Schreyer-Tarski, dans laquelle on suppose que l’on a un test de signe.
La plupart des algorithmes de l’algèbre réelle classique échouent avec les nombres réels, parce
qu’ils requièrent un test de signe.
Même en analyse constructive, on pourrait avoir des retombées intéressantes d’une étude plus
approfondie de l’algèbre réelle. Par exemple cela permettrait de mieux comprendre comment éviter
le recours à l’axiome du choix dépendant.
La compréhension de l’algèbre réelle constructive peut également être un premier
pas pour une théorie constructive (et donc algorithmique) des structures o-minimales
(cf. [Coste, 2000,van den Dries]).
La droite réelle peut être vue comme la plus simple des structures o-minimales. La théorie
classique (non algorithmique) des structures o-minimales donne en effet des pseudo-algorithmes
qui fonctionneraient correctement si l’on avait un test de signe sur les réels. Et la théorie des
structures o-minimales a a priori un champ d’application très important en analyse.
Ainsi nous cherchons une théorie dynamique aussi complète que possible pour décrire les propri-
étés algébriques du corps des réels en mathématiques constructives sans axiome du choix dépendant.
Dans l’étude que nous présentons ici, nous évitons aussi l’usage de la négation. Fred Rich-
man [38] montre que les mathématiques constructives sont plus élégantes lorsque l’on se passe de
l’axiome du choix dépendant. Nous pensons qu’elles sont également plus élégantes si l’on se passe
de la négation.
Nous proposons pour la théorie dynamique convoitée celle de la structure d’anneau réel clos
local archimédien. La théorie des anneaux réels clos est ici présentée sous une forme élémentaire,
purement équationnelle, dans le style de [49].
Dans le chapitre 1nous donnons quelques généralités sur les théories dynamiques.
Le chapitre 2essaie de définir la structure de corps ordonné en l’absence d’un test de signe.
La section 2.1 donne quelques rappels sur la théorie dynamique des corps ordonnés discrets et
celle des corps réels clos discrets.
La section 2.2 propose une axiomatique pour les corps ordonnés non discrets 1.
La section 2.3 donne une première discussion sur les théories dynamiques acceptables pour R
en tant que corps réel clos non discret.
Le chapitre 3traite les anneaux fortement réticulés et quelques structures dérivées.
Le chapitre 4essaie de définir la structure de corps ordonné réel clos en l’absence d’un test de
signe.
1. Dans ce texte, une négation est mise en italique lorsque l’affirmation correspondante, vraie en mathématiques
classiques, implique en mathématiques constructives un principe non constructif bien répertorié, tel que LPO ou
même MP.
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La section 4.1 introduit les fonctions racines virtuelles et certaines théories dynamiques corres-
pondantes : notamment les anneaux fortement réticulés avec racines virtuelles et les corps ordonnés
avec racines virtuelles non discrets,
La section 4.3 traite les anneaux réels clos et les corps réels clos non discrets.
La section 4.4 aborde une théorie géométrique infinitaire pour ajouter l’axiome selon lequel les
nombres réels sont "archimédiens".
Le chapitre 5ajoute les sortes correspondant aux fonctions semialgébriques continues sur
les intervalles compacts. Nous espérons obtenir ainsi une description plus précise de l’algèbre
réelle et pouvoir proposer une première théorie constructivement satisfaisante pour les structures
o-minimales.
Une brève conclusion résume la situation.
Indiquons enfin que l’article [24] contient des réflexions, dans un cadre plus philosophique,
analogues à celles proposées ici.
Remerciements. Nous remercions Michel Coste et Marcus Tressl pour leurs patientes réponses à
nos nombreuses questions.
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