( ) ( ) ( ) Devoir 8 pour le 14 novembre

Physique PC CPGE Dupuy de Lôme 2016-2017
Devoir
Devoir 8 pour le 14 novembre
ro l
e
le aut arleur électro
na i ue
n aut parleur électrod nami ue sc ématisé en fi ure est constitué d un c ssis sur le uel est
fixé le circuit ma néti ue. ur cet ensemble ri ide est fixé l élément actif du aut parleur
l é uipa e mobile formé de la membrane et de la bobine mobile. La liaison avec le c ssis est
assurée près du centre par le spider pièce de toile ri idifiée par du plasti ue et ui oue le r le d un
ressort et sur le pourtour par une suspension périp éri ue. L ensemble de la suspension assure le
rappel vers la position d é uilibre et le uida e en translation parallèlement l axe z z. Le circuit
ma néti ue constitué d aimants permanents énère un c amp ma néti ue B radial et uniforme
B
5 dans l entrefer. La lon ueur totale du bobina e de la bobine mobile vaut l
m. La
masse de l é uipa e mobile vaut m 4 .
Les parties
1
et
ne sont ue très partiellement liées.
obine
mobile
ssis
embrane
le ud
it
ut
uspension
périp éri ue
z
le ord
B
B
z
pider
le ud
B
ntrefer
i ure
1
tu e te
sc éma de principe du aut parleur électrod nami ue
orelle u onctionne ent
11
our uoi ualifie t on le aut parleur de convertisseur électromécani ue
1
n appli ue aux bornes de la bobine une tension variable u ( t ) . La bobine est alors traversée
par un courant d intensité i ( t ) et la membrane se déplace avec la vitesse v ( t ) .
1 1 ustifier précisément l apparition d une f.é.m. induite e ( t ) aux bornes de la bobine.
1
Le sc éma électri ue é uivalent de la bobine est donné en fi ure pa e suivante. onner
di ( t )
la relation ui lie u ( t ) i ( t ) i ( t ) =
et e ( t ) . ue représente c acun des termes de cette
dt
é uation dite électri ue
our la suite du problème on posera e ( t ) = v ( t ) ⋅ B ⋅ l .
/14
R
u (t )
i ure
i (t )
L
e (t )
sc éma électri ue de la bobine
onner l expression de la force élémentaire de Laplace d f L exercée sur une portion de
1
conducteur de lon ueur dl en fonction de i ( t ) dl B et uz .
B = B ⋅ ur
uθ
ur
i (t )
dl
uz
i ure
portion de conducteur soumis la force de Laplace
1 4 n prenant l ori ine des z comme étant la position d é uilibre du centre d inertie de
l é uipa e mobile bobine membrane le principe fondamental de la d nami ue appli ué ce
dv
s stème donne la relation suivante m ⋅ = − i ( t ) ⋅ l ⋅ B ⋅ u z − k ⋅ z ( t ) ⋅ u z − λ ⋅ v . nterpréter les
dt
différents termes de cette relation.
dz ( t )
d z (t )
et z ( t ) =
.
z ( t ) et ses dérivées z ( t ) =
n déduire une é uation reliant i ( t )
dt
dt
L é uation ainsi obtenue est appelée é uation mécani ue.
é i e sinuso al orcé
La tension appli uée est supposée sinuso dale de fré uence f u ( t ) = U m ⋅ cos (ω ⋅ t ) et ω = ⋅ π ⋅ f .
ous utiliserons le formalisme complexe ui
toute fonction sinuso dale du t pe
a ( t ) = Am ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) associe la fonction complexe a ( t ) = Am ⋅ e j⋅(ω ⋅t +ϕ ) . n rappelle ue j est le
nombre complexe tel ue j = − .
1
crire les é uations mécani ue et électri ue en utilisant le formalisme complexe.
n déduire l expression de l impédance du aut parleur Z (ω ) =
/14
u (t )
i (t )
.
ette impédance Z (ω ) correspond
la mise en série de deux impédances l une Z e (ω )
appelée impédance propre ui ne contient ue des termes relatifs au circuit électri ue et l autre
Z m (ω ) appelée impédance motionnelle ui ne dépend ue des caractéristi ues mécani ues du
s stème. réciser les expressions de Z e (ω ) et Z m (ω ) .
4
m
ontrer
(ω ) =
m et λ.
Rm =
j⋅
m
ue l admittance motionnelle
⋅ω +
j ⋅ Lm ⋅ ω
n donne k
+
5
Rm
m
(ω ) =
. réciser les expressions de
.m et λ
.s
peut s écrire sous la forme
Z m (ω )
vérifier ue
Lm et Rm en fonction de l B k
m
m
−4
5⋅
=
Lm =
m
et
Ω.
roposer un sc éma électri ue é uivalent de l impédance Z (ω ) du aut parleur dans le uel
vous fere appara tre R L
Lm et Rm .
m
n peut é alement poser ue l impédance du aut parleur se compose d une partie réelle R
Z (ω ) = R + j ⋅
et d une partie ima inaire
Rm
suivante R = R +
+ Rm ⋅
m
⋅ω −
.
ontrer alors ue l expression de R est la
.
Lm ⋅ ω
n utilisant la courbe R = f ( ω ) de la fi ure 4 déterminer la valeur numéri ue de la
résistance R et montrer ue la fré uence de résonance vaut f =
.
érifier la co érence de la
valeur de f avec les données de l énoncé.
R Ω
ω rad.s
100
i ure 4 courbe représentant R en fonction de ω
4/14
tu e éner éti ue
ous ferons l pot èse ue la transformation de l éner ie mécani ue des parties mobiles en
éner ie acousti ue s effectue sans perte.
1
tablir le bilan de puissance électri ue lobal sous la forme
u (t ) ⋅ i (t ) =
réciser les expressions de
d(
)+
ma
dt
(i (t )) + (v (t )) .
L
( i ( t ) ) et ( v ( t ) ) .
L
ma
nterpréter c acun des termes du bilan.
tablir le bilan de puissance mécani ue lobal sous la forme
d
( ( v (t ))) +
dt
réciser les expressions de
(v (t ))
d
A
( v (t )) +
e
( z ( t ) ) et
( ( z (t ))) =
e
L
dt
A
( v (t )) .
(v (t )) .
nterpréter c acun des termes du bilan.
éduire des deux relations précédentes ue
u (t ) ⋅ i (t ) =
4
d(
ma
dt
)+
ontrer ue la puissance mo enne
(i (t )) +
(t )
d(
(t ))
dt
A
( v (t )) .
fournie par l alimentation électri ue est reliée
la valeur mo enne du courant au carré consommé par le
mo enne de la vitesse au carré de l é uipa e mobile v ( t )
(t )
+
= R ⋅ i (t )
/14
i (t )
et
la valeur
par la relation
+ λ ⋅ v (t ) .
Le uel de ces termes correspond la puissance utile mo enne
rendement η.
aut parleur
u
(t )
n déduire l expression du
La tension u ( t ) appli uée aux bornes du aut parleur est une tension alternative sinuso dale
de valeur efficace U eff . La bobine est alors traversée par un courant i ( t ) alternatif sinuso dal
d intensité efficace eff .
n rappelle ue le aut parleur peut se modéliser comme indi ué en fi ure 5.
R −R
4 a pour expression η =
.
rendement η défini en uestion
R
ontrer ue le
R
u (t )
L =
ω
i (t )
i ure 5 modélisation du aut parleur
n donne en fi ure la représentation du rendement η en fonction de la pulsation ω. our
uelle fré uence le rendement est il maximal
st ce en accord avec les valeurs numéri ues
précédentes ustifier votre réponse.
η
0,1
0
i ure
ω rad.s
100
courbe représentant le rendement η en fonction de la pulsation ω
ans uelle amme de fré uences l utilisation du aut parleur est elle intéressante
appeler l intervalle de fré uences dans le uel l oreille umaine entend les sons.
xpli uer pour uoi les enceintes acousti ues comportent plusieurs aut parleurs.
/14