( ) ( ) ( ) Devoir 8 pour le 14 novembre

/14
role   le autarleur électronaiue
n autparleur électrodnamiue scématisé en fiure  est constitué dun cssis sur leuel est
fixé le circuit manétiue. ur cet ensemble riide est fixé lélément actif du autparleur 
léuipae mobile formé de la membrane et de la bobine mobile. La liaison avec le cssis est
assurée près du centre par le spider pièce de toile riidifiée par du plastiue et ui oue le rle dun
ressort et sur le pourtour par une suspension péripériue. Lensemble de la suspension assure le
rappel vers la position déuilibre et le uidae en translation parallèlement  laxe zz. Le circuit
manétiue constitué daimants permanents énère un camp manétiue
B
radial et uniforme
B  5  dans lentrefer. La lonueur totale du bobinae de la bobine mobile vaut l   m. La
masse de léuipae mobile vaut m  4 .
Les parties 1  et  ne sont ue très partiellement liées.
1 tue teorelle u onctionneent
11 ouruoi ualifieton le autparleur de convertisseur électromécaniue 
1 n appliue aux bornes de la bobine une tension variable
(
)
ut
. La bobine est alors traversée
par un courant dintensité
(
)
it
et la membrane se déplace avec la vitesse
(
)
vt
.
11 ustifier précisément lapparition dune f.é.m. induite
(
)
et
aux bornes de la bobine.
1 Le scéma électriue éuivalent de la bobine est donné en fiure  pae suivante. onner
la relation ui lie
(
)
ut
(
)
it
()
(
)
d
d
it
it
t
= et
(
)
et
. ue représente cacun des termes de cette
éuation dite électriue  our la suite du problème on posera
(
)
(
)
et vt Bl
=⋅⋅
.
iure   scéma de principe du autparleur électrodnamiue
le ord
le ud
le ud
embrane
ssis
obine
mobile
pider
uspension
péripériue
ut
it
ntrefer
z z
B
B
B
Devoir 8 pour le 14 novembre
Physique PC CPGE Dupuy de Lôme 2016-2017 Devoir

/14
1 onner lexpression de la force élémentaire de Laplace
L
df
exercée sur une portion de
conducteur de lonueur
d
l
en fonction de
(
)
it
dl
B et
z
u
.
14  n prenant loriine des z comme étant la position déuilibre du centre dinertie de
léuipae mobile bobine  membrane le principe fondamental de la dnamiue appliué  ce
sstème donne la relation suivante 
() ()
d
d
zz
v
mitlBukztuv
t
λ
⋅=− ⋅⋅⋅−⋅ ⋅−⋅
. nterpréter les
différents termes de cette relation.
n déduire une éuation reliant
(
)
it
(
)
zt
et ses dérivées
()
(
)
d
d
zt
zt
t
= et
()
(
)
d
d
zt
zt
t
=.
Léuation ainsi obtenue est appelée éuation mécaniue.
 éie sinusoal orcé
La tension appliuée est supposée sinusodale de fréuence f 
(
)
(
)
cos
m
ut U t
ω
=⋅ ⋅
et
f
ωπ
=⋅⋅
.
ous utiliserons le formalisme complexe ui  toute fonction sinusodale du tpe
(
)
(
)
cos
m
at A t
ωϕ
=⋅ ⋅+
associe la fonction complexe
(
)
(
)
jt
m
at A e
ωϕ
⋅⋅+
=⋅. n rappelle ue j est le
nombre complexe tel ue
j
=−
.
1 crire les éuations mécaniue et électriue en utilisant le formalisme complexe.
 n déduire lexpression de limpédance du autparleur
()
(
)
()
ut
Z
it
ω =.
iure   scéma électriue de la bobine
(
)
ut
(
)
et
R
L
(
)
it
iure   portion de conducteur soumis  la force de Laplace
r
BBu
=⋅
z
u
u
θ
r
u
dl
(
)
it

4/14
 ette impédance
(
)
Z
ω
correspond  la mise en série de deux impédances  lune
(
)
e
Z
ω
appelée impédance propre ui ne contient ue des termes relatifs au circuit électriue et lautre
(
)
m
Z
ω
 appelée impédance motionnelle ui ne dépend ue des caractéristiues mécaniues du
sstème. réciser les expressions de
(
)
e
Z
ω
et
(
)
m
Z
ω
.
4 ontrer ue ladmittance motionnelle
() ()
m
m
Z ω
ω
= peut sécrire sous la forme 
()
mm
mm
j
jL R
ωω
ω
=⋅ ⋅+ +
⋅⋅ . réciser les expressions de
m
m
L
et
m
R
en fonction de l B k
m et λ . n donne k   5 .m et λ   .s  vérifier ue
4
 5  
m
−
=⋅
 m
m
L= et
m
R
=Ω
.
 roposer un scéma électriue éuivalent de limpédance
(
)
Z
ω
du autparleur dans leuel
vous fere apparatre R L
m
m
L
et
m
R
.
 n peut éalement poser ue limpédance du autparleur se compose dune partie réelle
R
et dune partie imainaire
(
)
ZRj
ω
=+⋅
. ontrer alors ue lexpression de
R
est la
suivante 
m
mm
m
R
RR
R L
ωω
=+
+⋅⋅−
⋅
.
 n utilisant la courbe
(
)
Rf
ω
= de la fiure 4 déterminer la valeur numériue de la
résistance R et montrer ue la fréuence de résonance vaut
f=. érifier la coérence de la
valeur de
f
avec les données de lénoncé.
iure 4  courbe représentant
R
en fonction de
ω
100
ω rad.s
R Ω

/14
 tue énerétiue
ous ferons lpotèse ue la transformation de lénerie mécaniue des parties mobiles en
énerie acoustiue seffectue sans perte.
1 tablir le bilan de puissance électriue lobal sous la forme 
() ()
(
)
()
()
()
()
d
d
ma
L
ut it it vt
t
⋅= + + .
réciser les expressions de
ma
(
)
(
)
it
et
(
)
(
)
L
vt
.
nterpréter cacun des termes du bilan.
 tablir le bilan de puissance mécaniue lobal sous la forme 
(
)
(
)
(
)
()
()
(
)
(
)
(
)
()
()
dd
dd
e
A L
vt zt
vt vt
tt
++ =.
réciser les expressions de
(
)
(
)
vt
(
)
(
)
e
zt
et
(
)
(
)
A
vt
.
nterpréter cacun des termes du bilan.
 éduire des deux relations précédentes ue 
() ()
(
)
()
()
(
)
(
)
()
()
dd
dd
ma 
A
t
ut it it vt
tt
⋅= + + + .
4 ontrer ue la puissance moenne
(
)
t
fournie par lalimentation électriue est reliée 
la valeur moenne du courant au carré consommé par le autparleur
()
it
et  la valeur
moenne de la vitesse au carré de léuipae mobile
()
vt
par la relation 
() () ()
t R it vt
λ =⋅+⋅ .
Leuel de ces termes correspond  la puissance utile moenne
(
)
u
t
 n déduire lexpression du
rendement
η .

/14
 La tension
(
)
ut
appliuée aux bornes du autparleur est une tension alternative sinusodale
de valeur efficace
eff
U
. La bobine est alors traversée par un courant
(
)
it
alternatif sinusodal
dintensité efficace
eff
.
n rappelle ue le autparleur peut se modéliser comme indiué en fiure 5. ontrer ue le
rendement
η défini en uestion 4 a pour expression
RR
R
η
−
=.
 n donne en fiure  la représentation du rendement η en fonction de la pulsation ω . our
uelle fréuence le rendement estil maximal  stce en accord avec les valeurs numériues
précédentes  ustifier votre réponse.
 ans uelle amme de fréuences lutilisation du autparleur estelle intéressante 
appeler lintervalle de fréuences dans leuel loreille umaine entend les sons.
 xpliuer pouruoi les enceintes acoustiues comportent plusieurs autparleurs.
iure 5  modélisation du autparleur
(
)
ut
L
ω
=
(
)
it
R
0100
0,1
iure   courbe représentant le rendement
η
en fonction de la pulsation
ω
η
ω
rad.s