Stock de figures et de définitions fondamentales en géométrie

Stock de figures et de définitions fondamentales en géométrie
I. Rappel sur la médiatrice
Définition : médiatrice d'un segment (version 1)
La médiatrice d'un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et qui est
perpendiculaire à ce segment.
Propriété : Tout point de la médiatrice d'un segment est égal distance des extrémités du
segment considéré. On dit aussi que tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du
segment.
Définition : médiatrice d'un segment (version 2)
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment.
On utilise cette définition lorsque l'on trace la médiatrice d'un segment à l'aide du compas.
II. Le Triangle et ces droites remarquables
II.1) Conjecture sur les médiatrices
Tracer un triangle ABC et tracer les droites
d1,d2,d3
médiatrices des
segments respectifs [AB], [BC] et [CA]. Que conjecturer ?
II.2) Démonstration
Soit O l'intersection de
d1
et
d2
, supposons que les 3 médiatrices
ne soient pas concourantes. Ainsi notons O' l'intersection de
d2
et
d3
Puisque
O ' ∈d2
alors
O ' B=O ' C
(1)
De plus
O ' ∈d3
alors
O ' C =O ' A
(2)
Ainsi d'après (1) et (2) on a
O ' B=O ' A
et
O '
appartient (d'après la propriété
du début de page) à
d1
médiatrice du segment [AB]
Ainsi
O '
appartient à l'intersection de
d1
et de
d2
or l'intersection de
d1
et de
d2
est O ainsi on vient de démontrer que O=O'
Et finalement les médiatrices d'un triangle sont concourantes.
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III.Les hauteurs
III.1)Définition et remarques
a) Définition : hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et est
perpendiculaire au coté opposé.
b) Autre terminologie : on parle aussi de hauteur issue du sommet.
c) Attention ! Quelque fois on parle on considère la hauteur comme un segment,
par exemple il arrive que les mathématicien parle de la longueur de la hauteur,
il s'agit ici de comprendre que la hauteur est considéré comme un segment.
d) Tracer dans le triangle la hauteur issue de A
III.2)Conjecture et théorème
a) Conjecture
Tracer dans un triangle les hauteurs de celui-ci.
Que constatez-vous ?
A l'aide d'un logiciel dynamique libre (Geogebra ou geonext) on vérifie que ce
que nous constatons sur une figure semble être vrais dans une infinité de
forme pour le triangle ABC, l'écran de l'ordinateur étant projeté sur le mur.
b) Théorème : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. On
appelle orthocentre leur point de concours.
c) Démonstration
Soit ABC un triangle, pour cette démonstration, nous avons besoin d'objets
annexes : des droites parallèles au cotés.
i ) Soit la droite (DE) : (DE)//(AC) et
B∈ DE 
ii )la droite (EF) : (EF)//(AB) et
C∈EF 
iii )Enfin (DF) : (DF)//(BC) et
A∈ DF 
iv )Evidement n'oublions pas (the last but not the least) une hauteur issue de
B
Pour des raisons temporels, je vous propose la figure déjà toute faite, il est
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fortement conseillé de retravailler cette démonstration et refaire une
figure à la règle et au compas. Dans le cahier d'exercice. Nous pourrions
aussi faire une scéance sur geogebra pour les personnes intéressées et
effectuer les figures sur le logiciel de géométrie (lors de l'étude par
exemple).
1) Montrer que le point B est milieu de [ED]
(indication il y a beaucoups de droites parallèles dans cette construction penser au
parallélogramme !)
(BE) // (AC) par construction de (DE)
(AB) // (CE) par construction de (EF)
Propriété : si un quadrilatère a des cotés opposés parallèles alors ce quadrilatère est
un parallélogramme.
Ainsi BECA est un parallélogramme.
Or on a la propriété suivante
Propriété : Un parallélogramme a des cotés opposés de même longueurs.
Ainsi : BE=AC (1)
On montre de même que DBCA est un parallélogramme et toujours avec la dernière
propriété que DB=AC (2)
On a avec (1) et (2) : BE=DB de plus les points D,B,E sont alignés alors B milieu de
[ED]
2) Montrer que (BH) est la médiatrice de [DE]
(BH) est la hauteur du triangle ABC issue de B par définition
BH ⊥ AC 
or par
construction (AC) // (ED) donc
BH ⊥ ED 
de plus B milieu de [DE]
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D'après la définition version 1 de la médiatrice rappelé dans ce cours : (BH)
médiatrice de [DE]
3) De la même manière montrer que les deux autres hauteurs du triangle ABC
sont les médiatrices du triangle EFD
On montre de la même que les 2 autres hauteurs du triangle ABC sont des
médiatrices du triangle EFD
4) Conclusion
Nous avons montré que les hauteurs du triangle ABC sont les médiatrices du triangle
EFD. Or on a la propriété suivante
Propriété : Dans un triangles les médiatrices sont concourantes
Ainsi les médiatrices de EFD sont concourantes or elles sont aussi les hauteurs du
triangle ABC et finalement les hauteurs de ABC sont concourantes.
IV.Les médianes
IV.1)Définition et remarques
a) Définition : médiane d'un triangle
Dans un triangle, la droite qui passe par un sommet et par le milieu du coté
opposé à ce sommet est une médiane du triangle
b) Tracez un triangle et tracez une médiane
IV.2)Conjecture et propriété (théorème)
a) Tracez un triangle et ses 3 médianes.
b) Que constatez vous ? On utilisera Geogebra pour conforter notre idée.
c) Propriétés : Dans un triangle, les médianes sont concourantes. Ce point
de concours est appelé centre de gravité. Il est souvent noté G.
d) Remarque : Sur un morceau de carton tracez un triangle et ces médianes.
Placé la pointe d'un compas sur le centre de gravité. Qu'observez vous ?
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e) Guide pour la démonstration
Soit ABC un triangle , I milieu de [AB] et N milieu de [AC], M milieu de
[BC], enfin (AM) et (BN) sont des ................ du triangles .....
G intersection de la droite (AM) et la droite (BN)
Soit K le symétrique de G par rapport à M
Soit S le symétrique de G par rapport à N
On va prouvez que la droite (CG) est bien la médiane (et donc passe bien par I
Attention !!! Rien ne nous dit que (CG) passe par I
i ) Prouvez que BGCK est un parallélogramme.
ii )Prouvez que ASCG est un parallélogramme.
iii )A l'aide des deux dernières questions montrez que GSCK est un
parallélogramme.
iv )A l'aide de ii) et de ii) prouvez que SC=AG et que GK=SC. Déduire que G
est milieu de [AK]
v )Placez vous dans le triangle AKB. On sait que (CG) et parallèle à (BK) car
BGCK est un parallélogramme. Prouvez en utilisant aussi le iv) que la
droite (CG) passe par le milieu de [AB]
f) Correction type (donc évidement à retravailler dans le cahier d'exercice)
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