bases de la geometrie. - Collège Henry Dunant d`Aumale

MAthbernard 3
eme
Partie 4 Section 19 1/6
BASES DE LA GEOMETRIE.
C OURS .
I- Triangles.
1°) Triangles particuliers.
 Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur.
Si un triangle est isocèle alors ses deux angles à la base ont la même mesure.
Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle.
Si un triangle a deux angles de même mesure alors il est isocèle.
 Si un triangle est équilatéral alors il a trois côtés de même longueur.
Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles ont la même mesure (60°).
Si un triangle a trois côtés de même longueur alors il est équilatéral.
Si un triangle a trois angles de même mesure alors il est équilatéral.
 Si un triangle est rectangle alors il a un angle droit.
Si un triangle a un angle droit alors il est rectangle.
Dans un triangle rectangle, le plus grand côté s'appelle l'hypoténuse.
 La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
2°) Droites dans le triangle.
 Hauteur dans un triangle : droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté
opposé à ce sommet.
Les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point
appelé orthocentre du triangle (H).
 Médiane dans un triangle : droite qui passe par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce
sommet.
Les 3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point
appelé centre de gravité du triangle (G).
 Médiatrice d'un segment : droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à celui-ci.
Les 3 médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point
qui est le centre du cercle circonscrit au triangle (O).
Propriétés de la médiatrice d'un segment :
 Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors ce point est
équidistant des extrémités de ce segment.
 Si un point est équidistant des extrémités d'un segment
alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
sommet principal
base
hypoténuse
60°
60°
60°
H
G
O
S
ECTION
1
9
:

MAthbernard 3
eme
Partie 4 Section 19 2/6
 Bissectrice d'un angle : droite qui passe par le sommet de l'angle et qui partage cet angle en 2 parties
égales.
Les 3 bissectrices d'un triangle sont concourantes en un
point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle
(I).
II- Théorème de Pythagore.
1°) Un peu d'Histoire.
Pythagore serait né sur l'île de Samos (Grèce) au cours de VI
e
siècle avant J.-C.
Il a acquis ses connaissances au cours de ses voyages (Syrie, Egypte, Babylone...).
Au terme d'une quarantaine d'années de voyages, Pythagore avait assimilé toutes
les règles mathématiques du monde connu.
Il s'est alors installé à Crotone et a créé une école proche d'une secte : la
Fraternité pythagoricienne.
Pythagore et ses nombreux disciples, les Pythagoriciens, y étudiaient les
mathématiques, la philosophie, l'astronomie, la musique, la politique...
Pour les Pythagoriciens, "Tout est nombre." (on entend ici par nombre un entier
ou une fraction.). Ils ont ainsi posé les fondements de l'arithmétique, on leur
doit aussi des propriétés telle que "la somme des mesures des angles dans un
triangle" et ils ont également installé les bases de la musique: ils ont montré par
exemple qu’à partir d’un DO, une corde deux fois plus courte permettrait
d’entendre un DO élevé d’une octave, une corde trois fois plus courte donnerait
un SOL etc. Pour les Pythagoriciens, la musique est un acte mathématique.
Mais la plus célèbre "découverte" qu'on leur attribue est bien sur le
fameux théorème de Pythagore.
Or ce théorème était déjà connu sur des cas particuliers par les chinois
et les babyloniens 1000 ans avant eux.
La Columbia Institut conserve la célèbre tablette d’argile qui présente
ce théorème. Elle est écrite en caractères cunéiformes et est baptisée
Plimpton 322.
Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis)
qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d’obtenir un angle droit entre deux
«longueurs».
(Corde qui sera encore utilisée par les
maçons du XX
ème
siècle pour s’assurer de
la perpendicularité des murs.)
Cependant, les Pythagoriciens ont généralisé le théorème pour tout triangle rectangle.
Mais c'est Euclide qui proposa une des premières preuves de ce théorème dans le Livre I des "Eléments".
2°) Quand on a un triangle rectangle.
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la
somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
I

MAthbernard 3
eme
Partie 4 Section 19 3/6
exp. : Dans le triangle rectangle ABC, calculer la longueur BC.
Rédaction :
Dans le triangle ABC rectangle en B,
D'après le théorème de Pythagore, on a:
AC
2
= BC
2
+ AB
2
7
2
= BC
2
+ 4,2
2
d'où BC
2
= 49 - 17,64 = 31,36
donc BC = 31,36 = 5,6 cm.
3°) Réciproque du théorème de Pythagore.
Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.
exp. : Le triangle XYZ est-il rectangle ?
Rédaction :
Dans le triangle YXZ, [XZ] est le plus grand côté.
XZ
2
= 6,1
2
= 37,21
XY
2
+ YZ
2
= 1,1
2
+ 6
2
= 1,21 + 36 = 37,21
C'est égal.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle XYZ est rectangle en Y.
4°) Contraposée du théorème de Pythagore.
Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle n'est pas égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n'est pas rectangle.
exp. : Le triangle EFG est-il rectangle ?
Rédaction :
Dans le triangle EFG, [GF] est le plus grand côté.
GF
2
= 4,5
2
= 20,25
EF
2
+ EG
2
= 3
2
+ 3,5
2
= 9 + 12,25 = 21,25
Ce n'est pas égal.
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore,
le triangle EFG n'est pas rectangle.
III- Droite des milieux.
Propriété : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au
troisième côté.
Propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un autre côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Propriété : Dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés alors sa
longueur est égale à la moitié du troisième côté.
B
A
C
Y
X
Z
E
F
G

MAthbernard 3
eme
Partie 4 Section 19 4/6
B
C
A
O
IV- Angles.
1°) Vocabulaire.
 Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures est égale à 90°.
 Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures est égale à 180°.
 Angles opposés par le sommet :
 Angles correspondants : et ; et ; et ; et .
Deux droites (d ) et (d' ) sont coupées par une sécante (∆).
 Angles alternes-internes : et ; et .
Deux droites (d ) et (d' ) sont coupées par une sécante (∆).
2°) Propriétés des angles.
 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
 Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune forme des angles correspondants de même
mesure.
Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune forme des angles alternes-internes de
même mesure.
 Si deux angles alternes-internes ont la même mesure alors les deux droites coupées par la sécante sont
parallèles.
Si deux angles correspondants ont la même mesure alors les deux droites coupées par la sécante sont
parallèles.
V- Cercles.
1°) Tangente à un cercle.
 Si une droite est la tangente à un cercle en un point alors cette
droite est perpendiculaire au rayon en ce point.
 Si une droite est perpendiculaire à un rayon d'un cercle alors
cette droite est la tangente au cercle en l'extrémité de ce rayon.
2°) Cercle et triangle rectangle.
 Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse.
 Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de
l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
 Si on relie les extrémités d'un diamètre à un point du cercle
alors le triangle formé est un triangle rectangle en ce point.
(L'hypoténuse de ce triangle est alors le diamètre.)
(d )
(
d'
)
(
∆
)
(
d
)
(
d
'
)
(
∆
)
O
A

MAthbernard 3
eme
Partie 4 Section 19 5/6
VI- Quadrilatères.
1°) Parallélogramme.
 Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles (2 à 2).
 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
 Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles (2 à 2) alors c'est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.
2°) Rectangle.
 Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
 Si un quadrilatère est un rectangle alors c'est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur.
 Si un quadrilatère a trois angles droits alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
3°) Losange.
 Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés égaux.
 Si un quadrilatère est un losange alors c'est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.
 Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
4°) Carré.
 Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits ET qui a 4 côtés égaux.
Le carré est donc à la fois un rectangle et un losange.
 Pour montrer que l'on a un carré, il faut montrer que l'on a à la fois un rectangle et un losange.