Multiples – Diviseurs (première partie) - E

Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 1 sur9
Chapitre N10
Multiples – Diviseurs (première partie)
Introduction 336 7
reste nul 0 48 quotient exact
Puisque la division de 336 par 7 donne un reste nul on peut dire que 336
est un multiple de 7 ou que 336 est divisible par 7.
1. Critères de divisibilité
Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9, 10, 25 on peut
utiliser les règles suivantes :
Divisibilité par 2 : tout nombre terminé par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
Divisibilité par 5 : tout nombre terminé par 0 ou 5
Divisibilité par 10 : tout nombre terminé par 0
Divisibilité par 25 : tout nombre terminé par 00 ou 25 ou 50 ou 75
Divisibilité par 3 : tout nombre dont la somme des chiffres est divisible
par 3
Divisibilité par 9 : tout nombre dont la somme des chiffres est divisible
par 9
Exemples:
6 810 est divisible par 2, par 5, par 10 et par 3 (car 6 + 8 + 1 + 0 = 15 et 15 est
divisible par 3).
6 810 n’est pas divisible par 9 puisque la somme de ses chiffres (15) n’est pas
divisible par 9.
Exercice 1 :
Soit la liste suivante : 112 ; 144 ; 210 ; 405 ; 145; 222 ; 81 ; 180 ; 106 ;
153 ; 117 ; 888 ; 143 ; 229 ; 270.
Sans effectuer de division, donner tous les nombres divisibles
par 2 :
par 3 :

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par 5 :
par 9 :
par 10:
2. Décomposition en facteurs premiers
2.1 Définition d’un nombre premier
Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par lui même et
par l’unité.
Exemples :
13 n’est divisible que par 13 et 1 : c’est un nombre premier.
15 est divisible par 15 ; 3; 5; 1 : il n’est pas premier.
Voici les nombres premiers que l’on trouve parmi les nombres jusqu’à 100.
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
2.2 Décomposition d’un nombre en produits de facteurs premiers
La décomposition se fait par divisions successives par les nombres
premiers du plus petit au plus grand possible.
Exemple :
Décomposons en produits de facteurs premiers le nombre 420.
420 2 420 divisé par 2 égale 210
210 2 210 divisé par 2 égale 105
105 3 105 divisé par 3 égale 35
35 5 35 divisé par 5 égale 7
7 7 7 divisé par 7 égale 1
1
On peut écrire 420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7

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Exercice 2 :
Décomposer en produits de facteurs premiers les nombres 900 et 360.
Remarque :
Nous allons utiliser cette décomposition dans la suite du chapitre.
3. PPCM
3.1 Approche :
Recherchons les multiples communs à 36 et 24.
Pour écrire les multiples de 36 on multiplie 36 par 1 ; 2 ; 3 …
On obtient : 36 ; 72 ; 108 ; 144 ; 180 … Il y en a une infinité.
De même les multiples de 24 sont : 24 ; 48 ; 72 ; 96 ; 120 ; 144 ; 168….
Le plus petit nombre commun aux deux listes est 72.
Les multiples communs à 36 et 24 sont des multiples de 72.
3.2 Définition :
Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres (PPCM) est le plus
petit nombre multiple de chacun d’eux.
3.3 Recherche du PPCM
Pour trouver le PPCM de plusieurs nombres :
- décomposer chaque nombre en produits de facteurs premiers.
- faire le produit de tous les facteurs différents et pour chacun prendre le
nombre de présence le plus élevé.

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Exemple :
Recherche du PPCM de 60 ; 36 et 84
60 2 36 2 84 2
30 2 18 2 42 2
15 3 9 3 21 3
5 5 3 3 7 7
1 1 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5
36 = 2 × 2 × 3 × 3
84 = 2 × 2 × 3 × 7
Les différents facteurs premiers sont 2 ; 3 ; 5; 7.
2 est présent le plus de fois dans 60, 36, 84 ; il apparaît 2 fois.
3 est présent le plus de fois dans 36 ; il apparaît 2 fois.
5 est présent 1 fois dans 60.
7 est présent 1 fois dans 84.
PPCM = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 1 260
Vérification :
1 260 = 60
× 21 ; 1 260 = 36 × 35 ; 1 260 = 84 × 15 ; 1 260 est un multiple
des trois nombres et c’est le plus petit possible.
Exercice 3 :
Calculer le PPCM des nombres suivants
a) 24 et 35
b) 123 ; 615 et 1 353

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c) 900 et 7 007
d) 138 et 204
4.4 Utilisation du PPCM
Exemple :
Deux véhicules mettent respectivement 225 et 250 secondes pour boucler un
circuit. S’ils sont partis au même instant, quand franchiront-ils à nouveau
ensemble la ligne de départ pour la première fois ? Pour la deuxième fois ?
Le temps cherché est un multiple du temps mis par chacun pour faire un tour.
On cherche donc le plus petit multiple commun.
225 = 3 × 3 × 5 × 5
250 = 2 × 5 × 5 × 5
PPCM = 2 × 3 × 3 ×5 × 5 × 5 = 2 250
2 250 s 60
450 37 min
30
Ils franchiront ensemble la ligne de départ pour la première fois au bout de
2 250 s soit 37 min et 30 s.
Ils franchiront ensemble la ligne de départ pour la deuxième fois au bout de
2 × 2 250 s = 4 500 s = 75 min = 1 h et 15 min.