Ex3 P11 CHUTE D` UNE BILLE

Ex3 P11 CHUTE D’UNE BILLE DANS L’AIR
On lâche une bille d’acier sans vitesse initiale, depuis le point O situé au sommet de la Tour Eiffel.
On se propose de déterminer l’évolution de la vitesse v et de l’accélération a de cette bille au cours de sa chute.
Le mouvement de la bille est rapporté à l’axe vertical descendant
Oy
, muni du vecteur unitaire
i
.
Durant sa chute, la bille est soumise, en plus de son poids
p
, à 2 forces extérieures dues à l’air :
 la poussée d’Archimède
ΠA
= - air V g
i
 la force de frottement
f
= - k v²
i
, k est un coefficient positif constant et v est la vitesse de
la bille à l’instant considéré.
L’instant t = 0 est pris au départ de la bille de O. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
Données : masse de la bille m = 50 g g =10 m.s-2 masse volumique de l’air : air = 1,3 kg/m3
k = 2,0  10-4 SI altitude du point O : h = 300 m volume de la bille : V = 6,0 cm3
1. les forces extérieures appliquées
a. Calculer la norme de chacune des forces extérieures pour v = 0, puis pour v = 20 m.s-1.
Déterminer par analyse dimensionnelle l’unité SI de k.
b. Une force F1 est négligeable par rapport à une autre force F2 si
F
F
1
2
 100 . Que peut-on conclure ?
c. Représenter les forces précédentes sur un schéma pour v = 20 m.s-1, sans souci d’échelle.
2. établissement de l’équation différentielle
Établir cette équation différentielle du mouvement sous la forme :
dt
dv
+  v² +  = 0.
 et  sont 2 réels constants dont on déterminera l’expression littérale et l’unité SI.
3. accélération de la bille
a. À partir de l’équation différentielle, donner l’expression littérale de la valeur de l’accélération
a
de la bille.
b. En déduire comment évolue la valeur de
a
au cours de la chute. Calculer amax. À quel instant a-t-on amax ?
c. Quelle est la nature du mouvement ?
4. vitesse de la bille
a. Montrer que la vitesse de la bille atteint une valeur limite vlim. Exprimer puis calculer vlim.
b. Que devient alors la nature du mouvement ? À quelle vitesse la bille touche-t-elle le sol ?
c. Si on négligeait la force de frottement
f
, que vaudraient la durée de la chute et la vitesse finale ?
d. On donne ci-dessous la courbe v = f (t) établie par résolution analytique de l’équation différentielle.
 Par quoi l’accélération a de la bille est-elle représentée sur cette courbe ?
 Retrouver graphiquement l’évolution de la valeur de
a
au cours du mouvement.
 Mesurer graphiquement la valeur initiale a0 de l’accélération.
 Retrouver la valeur de vlim sur le graphique.
O
i
y
v (m.s-1)