DS5 correction - Lycée Henri BECQUEREL

S3 Correction du devoir surveillé n°5 de mathématiques
Exercice 1 :
a/
(6 + x)(1 – 2x) (3x + 4) ≥ 0 a pour solution S = ] - ; – 6] [ –
Error!
;
Error!
]
b/ (7x – 2)(x + 1) < (7x – 2) (3 + 4x) (7x – 2)(x + 1) – (7x – 2) (3 + 4x) < 0 (7x – 2)[(x + 1) – (3 + 4x)] < 0
(7x – 2)[x + 1 – 3 – 4x] < 0 (7x – 2)(– 3x – 2) < 0
(7x – 2)(– 3x – 2) < 0 a pour solution S = ] - ; –
Error!
[ ]
Error!
; + [
c/
Error!
= 0 x² – 9 = 0 et (2x – 6)(x + 1) 0 x² = 9 et 2x – 6 0 et x + 1 0
x = 3 ou x = – 3 et x 3 et x – 1 S = {– 3}
d /
Error!
= 5
Error!
– 5 = 0
Error!
–
Error!
= 0
Error!
= 0
Error!
= 0
– 5x – 13 = 0 et x + 3 0 x = –
Error!
et x – 3 S = {–
Error!
}
Exercice 2 : Soit h la fonction définie sur I; R par h(x) = – (x – 3)² + 4.
1) La fonction h est une
fonction polynôme de degré 2 de la forme
h(x) = a(x – )² + où a = – 1 négatif, = 3 et = 4.
On a donc le tableau de variations suivant :
2) a/ h(– 1) < h(2) car la fonction h est strictement croissante sur ] – ; 3].
b/ On ne peut pas comparer h(1) et h(4) car les réels 1 et 4 se situent sur deux intervalles distincts.
c/ h(20) < h(19.7) car la fonction h est strictement décroissante sur [ 3 ; + [.
3) La courbe Ch coupe l’axe des abscisses si et seulement si h(x) = 0 4 – (x – 3)² = 0
[2 + (x – 3)] [2 – (x – 3)] = 0 (– 1 + x)(5 – x) = 0 – 1 + x = 0 ou 5 – x = 0 x = 1 ou x = 5
Les points d’intersection sont donc les points A(1 ; 0) et B(5 ; 0).
4) En utilisant les questions 1 et 3, on peut donc en déduire que :
h est strictement négative sur ] - ; 1[ et sur ] 5 ; + [,
h est nulle pour x {1 ; 5},
h est strictement positive sur ] 1 ; 5[.
Exercice 3 : f(x) = x² + 4x + 4 et g(x) = – 3x² – 5x + 2
1) a/ La fonction f est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 1 positif ; sa courbe représentative est
x
-  – 6 – Error! Error!
+ 
6 + x
- 0 + + +
1 – 2x
+ + + 0 -
3x + 4
- - 0 + +
(6 + x)(1 – 2x) (3x + 4)
+ 0 - 0 + 0 -
x
-  – Error! Error!
+ 
7x – 2
- - 0 +
– 3x – 2
+ 0 - -
(7x – 2)(– 3x – 2)
- 0 + 0 -
x
-  3 + 
f(x)
4

donc une parabole en forme de « ». L’autre est donc celle de g (ici, a = – 3 est négatif).
b/ f(x) < g(x) lorsque la courbe de f est en dessous de celle de g : S = ] – 2 ; – 0,3[.
2) a/ Pour tout x I; R, (x + 2)(1 – 3x) = x – 3x² + 2 – 6x = – 3x² – 5x + 2 = g(x)
b/ f(x) = x² + 4x + 4 = (x + 2)².
c/ f(x) < g(x) (x + 2)² < (x + 2)(1 – 3x) (x + 2)² – (x + 2)(1 – 3x) < 0
(x + 2)[(x + 2) – (1 – 3x)] < 0 (x + 2)[x + 2 – 1 + 3x)] < 0 (x + 2)(4x + 1) < 0
d/
f(x) < g(x) (x + 2)(4x + 1) < 0 S = ] – 2 ; –
Error!
[
3) a/
b/ y = (x + 2)² et z = (– 3x + 1)(x + 2)²
4) Les questions 1 et 2 permettent la résolution de l’inéquation f(x) < g(x), sachant que la méthode
graphique est rapide, mais la méthode algébrique confirme la réponse graphique avec des valeurs
exactes et permet d’être sûr qu’il n’existe pas d’autres réels de cet intervalle solutions de l’inéquation.
x
-  – 2 – Error!
+ 
x + 2
- 0 + +
4x + 1
- - 0 +
(x + 2)(4x + 1)
+ 0 – 0 +
Variables : x, y, z réels
Début
Donner x ;
y  x + 2 ;
y  y²
z  - 3x
z  z + 1
z  z
y
Si y < z alors
Afficher x ;
Finsi ;
Fin.
x = – 1
y = – 1 + 2 = 1
y = 1² = 1
z = – 3
(– 1) = 3
z = 3 + 1 = 4
z = 4
1 = 4
y < z donc
on affiche x = – 1
x = 1
y = 1 + 2 = 3
y = 3² = 9
z = – 3
1 = – 3
z = – 3 + 1 = – 2
z = – 2
9 = – 18
y > z donc
l’algorithme ne renvoie rien.