Les trois exercices sont indépendants

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
Spécialité : Electrotechnique, Energie et Equipements Communicants (ELEEC)
Session 2007 – Septembre
Les éoliennes utilisent la force du vent pour produire de l'énergie, il en existe différents types selon
le vent et l'énergie demandée.
Extrait d'un document technique
MATHEMATIQUES (15 points)
LES TROIS EXERCICES SONT INDEPENDANTS
Une éolienne est une machine qui transforme l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique ou
électrique.
La puissance P récupérable par une éolienne est donnée par la relation suivante :
P : puissance, en watt,
avec
P = Error!  A v3 Cp

: densité volumique de l'air (1,225 kg/m3 à 15°C et 1013 mbar),
A
v
Cp
: surface balayée par les pales du rotor, en m2,
: vitesse du vent, en m/s,
: coefficient de performance .
EXERCICE 1 : Calculs numériques (1,5 points)
1.1. Calculer la valeur, en watt, de la puissance P récupérable, lorsque  = 1,225 kg/m3
A = 616 m2 ; v = 14 m/s et Cp = 0,44.
Exprimer ce résultat en kW. Arrondir le résultat à l'unité.
1.2. Donner l’expression de la puissance P en fonction de la vitesse v du vent lorsque
 = 1,225 kg/m3 ; A = 616 m2 et Cp = 0,44.
EXERCICE 2 : Étude de fonction (6 points)
La puissance P, exprimée en kW, en fonction de la vitesse v, exprimée en m/s, est donnée par la
relation :
P = 0,166 v 3
On considère la fonction f définie sur [5 ; 15] par f(x) = 0,166 x 3
2.1. Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f.
2.2. Compléter le tableau de variation de la fonction f sur l'annexe.
2.3. Compléter le tableau de valeurs de la fonction f sur l'annexe
. Arrondir chaque résultat à l'unité.
2.4. Tracer la courbe C représentative de la fonction f en utilisant le repère de
l'annexe.
2.5. Déterminer graphiquement la vitesse v du vent correspondant à une puissance P
récupérée égale à 300 kW. Laisser apparents les traits utiles à la lecture.
2.6. Calculer le nombre dérivée f ’(10) et en déduire l’équation de la tangente D à la
courbe C au point d’abscisse 10.
2.7. Tracer cette tangente D en utilisant le repère de l'annexe.
EXERCICE 3 : Signal périodique (3,5 points)
Un système chargeur de batterie sèche alimente l’ordinateur, les transducteurs ainsi que le système
d’arrêt d’urgence.
Schéma de principe
A la sortie du redresseur monophasé pont de diodes, la tension périodique u(t) de période T est
donnée par les relations :
 u(t) = U 2 sin t
pour 0  t  Error!
2
 u(t) = - U 2 sin t
pour Error!  t  T , avec T =


3T
3.1. Calculer les valeurs de u(Error!) et u(
) en prenant U = 28 V. Donner les
4
résultats arrondis au dixième.
3.2. La valeur moyenne U de cette tension sur l’intervalle Error! est donnée par la
relation :
U


T
2
0

28 2 sin (t ) dt
Calculer U . Arrondir le résultat à l'unité.
EXERCICE 4 : Suites numériques (4 points)
Avec un sonomètre, on mesure le niveau sonore, en décibel du bruit produit par un champ
d’éoliennes.
Pour une éolienne, le niveau sonore mesuré est égal à 46 dB. Le niveau sonore, en dB du bruit
produit par un champ de n d’éoliennes est donné par la relation :
Bn  46  (1,02) n 1 avec n  1
4.1. Calculer le niveau sonore du bruit produit par 25 éoliennes, puis celui produit
par 38 éoliennes. Arrondir chaque valeur au dixième.
4.2. Quelle est la nature de cette suite ?
En donner le premier terme et la raison.
4.3. A proximité d'une zone urbaine, le niveau sonore du bruit produit par un champ
d'éoliennes doit être strictement inférieur à 90 dB.
4.3.1. Écrire l'inéquation traduisant cette situation.
90
4.3.2. Résoudre l'inéquation 1,02 n-1 
.
46
4.3.3. Donner le nombre maximal d'éoliennes qu'il est possible d'implanter.
SCIENCES (5 points)
EXERCICE 5 : Cinématique (3 points)
Un rotor d’éolienne tourne lentement, alors que le rotor du générateur d’électricité doit tourner plus
vite. Il est indispensable d’installer un multiplicateur de fréquence de rotation.
Schéma de principe d’une éolienne
Pour l’éolienne utilisée, la vitesse v en bout de pales est de 63 m/s. Le rayon R de balayage des pales
est de 14 m.
La fréquence de rotation ng du rotor de la génératrice est de 1528 tr/min.
5.1. Calculer, en tr/min, la fréquence de rotation np des pales. Arrondir le résultat à
l’unité.
5.2. Calculer le rapport de multiplication r des fréquences de rotation. Arrondir le
résultat à l’unité.
5.3. L’éolienne dispose d’un système de freinage d’urgence (frein à disque sur l’arbre
du rotor).
La vitesse angulaire en rad/s, du rotor en fonction du temps t, en seconde, est
représentée ci-dessous :
 (en rad/s)
200
180
Phase 1
160
140
120
100
Phase 2
80
60
40
20
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 t (en s)
5.3.1. En utilisant le graphique ci-dessus indiquer la nature du mouvement
correspondant à chaque phase.
5.3.2. Pour étudier la phase de freinage,
a) Indiquer la durée tf de cette phase de freinage.
b) Calculer, en rad/s2, la valeur  de l’accélération angulaire. Arrondir le résultat à
l’unité.
EXERCICE 6 : Transducteurs (2 points)
Pour mesurer la vitesse du vent, on dispose sur le rotor de l’anémomètre un disque plein sur lequel
est pratiqué une ouverture.
Une diode électroluminescente émet un rayon lumineux capté par le phototransistor à chaque tour du
disque.
On visualise la tension vs à la sortie du phototransistor à l’aide d’un oscilloscope.
On obtient les oscillogrammes  et  donnés ci-dessous pour des vitesses de vent différentes.

Réglages oscilloscope :
Calibre temps : 10 ms/div
Calibre tension : 5 V/div

6.1. Pour l’oscillogramme  on a relevé :
Tension du signal VS1 = 11 V
Période du signal T1 = 0,038 s
Fréquence du signal f1 = 26 Hz
Déterminer les valeurs de la tension VS2, de la période T2 et de la fréquence f2 du signal visualisé par
l’oscillogramme .
6.2. Indiquer la (ou les) grandeur(s) physique(s) qui varie(nt).
6.3. Calculer, en m/s, la vitesse linéaire v du vent correspondant à la position  . Arrondir le
résultat à l’unité.
Exprimer ce résultat en km/h.
v : vitesse linéaire du vent, en m/s
On donne f = 1,86 x v.
f : fréquence de rotation du disque, en Hz
ANNEXE - A RENDRE AVEC LA COPIE
Exercice 2 : Tableau de variation
x
5
15
Signe de f '(x)
Variation de f
Tableau de valeurs
x
5
7
f(x)
21
57
8
9
10
166
11
12
287
13
14
15
560
Représentation graphique
y
250
50
O
x
1
5