Quelques conjectures mathématiques

Quelques conjectures mathématiques
Gisella Croce
Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre
4 janvier 2011
Deux problèmes ouverts sur les nombres premiers
Les nombres premiers (Euclide, 300 a.C.)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Les nombres premiers (Euclide, 300 a.C.)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Une curiosité:
243.112.609 − 1 est le plus grand nombre premier connu.
Les nombres premiers (Euclide, 300 a.C.)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Une curiosité:
243.112.609 − 1 est le plus grand nombre premier connu. Il a
12.978.189 chiffres.
Les nombres premiers (Euclide, 300 a.C.)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Une curiosité:
243.112.609 − 1 est le plus grand nombre premier connu. Il a
12.978.189 chiffres.
Remarque: Les nombres premiers sont utilisés en cryptographie,
par exemple dans le code RSA (1978).
Les nombres premiers (Euclide, 300 a.C.)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Une curiosité:
243.112.609 − 1 est le plus grand nombre premier connu. Il a
12.978.189 chiffres.
Remarque: Les nombres premiers sont utilisés en cryptographie,
par exemple dans le code RSA (1978).
La sécurité du code RSA est basée sur le fait que si on sait qu’un
nombre n est le produit de deux nombres premiers, il est difficil de
calculer dans un temps raisonable ces deux nombres.
Conjecture de Goldbach (1742)
Tout nombre entier pair ≥ 4 peut être écrit comme la somme de
deux nombres premiers.
Conjecture de Goldbach (1742)
Tout nombre entier pair ≥ 4 peut être écrit comme la somme de
deux nombres premiers.
Par exemple:
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7
Cette conjecture a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres
pairs jusqu’a 1, 1 × 1018 (2008).
L’éditeur du livre ”Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” de
Apostolos Doxiadis, offrit 1.000.000 de dollars pour une preuve de
la conjecture en 2000.
L’éditeur du livre ”Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” de
Apostolos Doxiadis, offrit 1.000.000 de dollars pour une preuve de
la conjecture en 2000.
L’éditeur du livre ”Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” de
Apostolos Doxiadis, offrit 1.000.000 de dollars pour une preuve de
la conjecture en 2000.
Il n’a jamais été réclamé.
Conjecture des nombres premiers jumeaux
Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi
premier.
Conjecture des nombres premiers jumeaux
Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi
premier.
Par exemple:
3, 5
5, 7
11, 13
41, 43
sont des premiers jumeaux; 7, 11 ne sont pas jumeaux.
Conjecture des nombres premiers jumeaux
Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi
premier.
Par exemple:
3, 5
5, 7
11, 13
41, 43
sont des premiers jumeaux; 7, 11 ne sont pas jumeaux.
Le plus grand couple connu est
2.003.663.6132195.000 − 1, 2.003.663.6132195.000 + 1.
Ces deux nombres possèdent 58.711 chiffres.
Conjecture des nombres premiers jumeaux
Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi
premier.
Par exemple:
3, 5
5, 7
11, 13
41, 43
sont des premiers jumeaux; 7, 11 ne sont pas jumeaux.
Le plus grand couple connu est
2.003.663.6132195.000 − 1, 2.003.663.6132195.000 + 1.
Ces deux nombres possèdent 58.711 chiffres.
Conjecture de Polignac (1849)
Pour tout k pair, il existe une infinité de nombres premiers p tels
que p + k est premier aussi.
Le dernier théorème de Fermat
Théorème de Fermat-Wiles
Il n’y a aucun triplet de nombres naturels non nuls x, y , z tels que
x n + y n = z n pour n ≥ 3.
Théorème de Fermat-Wiles
Il n’y a aucun triplet de nombres naturels non nuls x, y , z tels que
x n + y n = z n pour n ≥ 3.
Remarque:
I
n = 1: il existe évidemment des triplets d’entiers x, y , z tels
que x + y = z;
Théorème de Fermat-Wiles
Il n’y a aucun triplet de nombres naturels non nuls x, y , z tels que
x n + y n = z n pour n ≥ 3.
Remarque:
I
n = 1: il existe évidemment des triplets d’entiers x, y , z tels
que x + y = z;
I
n = 2: il existe des triplets d’entiers tels que x 2 + y 2 = z 2 ;
par exemple x = 3, y = 4, z = 5 et x = 5, y = 12, z = 13.
Théorème de Fermat-Wiles
Il n’y a aucun triplet de nombres naturels non nuls x, y , z tels que
x n + y n = z n pour n ≥ 3.
Remarque:
I
n = 1: il existe évidemment des triplets d’entiers x, y , z tels
que x + y = z;
I
n = 2: il existe des triplets d’entiers tels que x 2 + y 2 = z 2 ;
par exemple x = 3, y = 4, z = 5 et x = 5, y = 12, z = 13.
Pierre de Fermat écrivait, en 1637, en marge d’une traduction de
l’Arithmetica de Diophante, à la suite de l’énoncé de ce problème:
J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition,
mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Théorème de Fermat-Wiles
Il n’y a aucun triplet de nombres naturels non nuls x, y , z tels que
x n + y n = z n pour n ≥ 3.
Remarque:
I
n = 1: il existe évidemment des triplets d’entiers x, y , z tels
que x + y = z;
I
n = 2: il existe des triplets d’entiers tels que x 2 + y 2 = z 2 ;
par exemple x = 3, y = 4, z = 5 et x = 5, y = 12, z = 13.
Pierre de Fermat écrivait, en 1637, en marge d’une traduction de
l’Arithmetica de Diophante, à la suite de l’énoncé de ce problème:
J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition,
mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Ce théorème, avant 1995, était énoncé dans le livre Guinness des
records comme le problème mathématique le plus difficil.
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier.
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier...
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
I
Kummer (1850): nombres premiers ”réguliers”
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
I
Kummer (1850): nombres premiers ”réguliers”
I
En 1993, après sept ans de travail, A. Wiles annonce à l’Isaac
Newton Institute for Mathematical Sciences qu’il a montré le
dernier théorème de Fermat.
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
I
Kummer (1850): nombres premiers ”réguliers”
I
En 1993, après sept ans de travail, A. Wiles annonce à l’Isaac
Newton Institute for Mathematical Sciences qu’il a montré le
dernier théorème de Fermat. Il soumet sa preuve à
”Inventiones Mathematicae”
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
I
Kummer (1850): nombres premiers ”réguliers”
I
En 1993, après sept ans de travail, A. Wiles annonce à l’Isaac
Newton Institute for Mathematical Sciences qu’il a montré le
dernier théorème de Fermat. Il soumet sa preuve à
”Inventiones Mathematicae” mais les referees trouvent une
faute.
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
I
Kummer (1850): nombres premiers ”réguliers”
I
En 1993, après sept ans de travail, A. Wiles annonce à l’Isaac
Newton Institute for Mathematical Sciences qu’il a montré le
dernier théorème de Fermat. Il soumet sa preuve à
”Inventiones Mathematicae” mais les referees trouvent une
faute. Il arrive à la corriger en 1994 à l’aide de R. Taylor.
Histoire de la preuve
I
Fermat: n = 4
I
Euler (1770): n = 3
I
Il suffit de montrer le résultat pour n premier. Pourquoi?
Soit n = n0 p avec p premier. S’il existe un triplet x, y , z de
nombres entiers tels que x n + y n = z n , alors on aurait
(x n0 )p + (y n0 )p = (z n0 )p .
Alors il existerait un triplet d’entiers pour l’exposant p qui est
premier... contradiction!
I
Kummer (1850): nombres premiers ”réguliers”
I
En 1993, après sept ans de travail, A. Wiles annonce à l’Isaac
Newton Institute for Mathematical Sciences qu’il a montré le
dernier théorème de Fermat. Il soumet sa preuve à
”Inventiones Mathematicae” mais les referees trouvent une
faute. Il arrive à la corriger en 1994 à l’aide de R. Taylor.
Prix: ”Silver Medal” de l’”International Mathematical Union”.
Le fruitier et le mathématicien
Conjecture de Kepler (1611)
Il n’est pas possible de trouver un empilement de boules égales
plus serré que celui du fruitier.
Conjecture de Kepler (1611)
Il n’est pas possible de trouver un empilement de boules égales
plus serré que celui du fruitier.
Pourquoi s’est-on posé ce problème? En Angleterre on voulait
connaı̂tre la meilleure manière d’empiler des balles de canon sur
des bateaux.
Conjecture de Kepler (1611)
Il n’est pas possible de trouver un empilement de boules égales
plus serré que celui du fruitier.
Pourquoi s’est-on posé ce problème? En Angleterre on voulait
connaı̂tre la meilleure manière d’empiler des balles de canon sur
des bateaux.
Thomas Hales démontre en 1998 la conjecture de Kepler.
Conjecture de Kepler (1611)
Il n’est pas possible de trouver un empilement de boules égales
plus serré que celui du fruitier.
Pourquoi s’est-on posé ce problème? En Angleterre on voulait
connaı̂tre la meilleure manière d’empiler des balles de canon sur
des bateaux.
Thomas Hales démontre en 1998 la conjecture de Kepler.
Sa démonstration totalise environ 300 pages et se base sur plus
que 5000 problèmes d’optimisation non-linéaire, résolus à l’aide de
l’ordinateur.
La densité d’un empilement
Etant donné un empilement qui remplit tout l’espace, on considère
un cube de coté a, de plus en plus grand. La densité de
l’empilement est la limite, pour a → ∞ du rapport entre le volume
des boules contenues dans le cube et le volume du cube, a3 .
La densité d’un empilement
Etant donné un empilement qui remplit tout l’espace, on considère
un cube de coté a, de plus en plus grand. La densité de
l’empilement est la limite, pour a → ∞ du rapport entre le volume
des boules contenues dans le cube et le volume du cube, a3 .
La conjecture de Kepler affirme que l’empilement du marchand de
fruits est celui qui possède la plus grande densité parmi tous les
empilements.
Quelle est la disposition optimale de cercles dans le plan?
Quelle est la disposition optimale de cercles dans le plan?
Quelle est la disposition optimale de cercles dans le plan?
La démonstration est due à Toth (1953).
Trois empilements réguliers:
Trois empilements réguliers:
simple:
Trois empilements réguliers:
simple:
centré:
Trois empilements réguliers:
simple:
centré:
cubique à faces centrées:
Trois empilements réguliers:
simple:
densité = π/6.
centré:
cubique à faces centrées:
Trois empilements réguliers:
simple:
densité = π/6.
centré:
√
densité = π 3/8.
cubique à faces centrées:
Trois empilements réguliers:
simple:
densité = π/6.
centré:
√
densité = π 3/8.
cubique à faces centrées:
√
densité = π/ 18.
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
1. Il dispose six boules aux sommets d’un hexagone et une au
centre.
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
1. Il dispose six boules aux sommets d’un hexagone et une au
centre.
2. Dans la couche suivante il place une boule dans chacun des
trois creux qui se sont formés.
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
1. Il dispose six boules aux sommets d’un hexagone et une au
centre.
2. Dans la couche suivante il place une boule dans chacun des
trois creux qui se sont formés.
3. Dans la troisième couche il place les boules de manière
décalée par rapport aux deux couches précédentes.
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
1. Il dispose six boules aux sommets d’un hexagone et une au
centre.
2. Dans la couche suivante il place une boule dans chacun des
trois creux qui se sont formés.
3. Dans la troisième couche il place les boules de manière
décalée par rapport aux deux couches précédentes.
Les diverses couches sont alors de type ABC qu’on répète:
ABCABCA...
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
1. Il dispose six boules aux sommets d’un hexagone et une au
centre.
2. Dans la couche suivante il place une boule dans chacun des
trois creux qui se sont formés.
3. Dans la troisième couche il place les boules de manière
décalée par rapport aux deux couches précédentes.
Les diverses couches sont alors de type ABC qu’on répète:
ABCABCA...
Cet empilement est cubique à faces centrées.
Comment le fruitier dispose-t-il ses oranges?
1. Il dispose six boules aux sommets d’un hexagone et une au
centre.
2. Dans la couche suivante il place une boule dans chacun des
trois creux qui se sont formés.
3. Dans la troisième couche il place les boules de manière
décalée par rapport aux deux couches précédentes.
Les diverses couches sont alors de type ABC qu’on répète:
ABCABCA...
Cet empilement est cubique à faces centrées.
Si on répète les couches ABABABAB..., on obtient un empilement
(appelé hexagonal) avec la même densité que ABCABCA...
Bibliographie:
[1] Auroux, Tas d’oranges, cristaux et empilement de sphères,
preprint (2000).
[2] Baumann, Arrangement de boules dans l’espace, L’ouvert 104
(2001).
[3] Brumley, communication personnelle.
[4] Singh, Le dernier théorème de Fermat, Hachette Littérature
(1999).