Correction exercices sur les angles

Correction exercices sur les angles
I.
a)Les points C, S et P sont alignés donc 𝐶𝑆𝑃 =180°
𝐾𝑆𝑃 = 𝐶𝑆𝑃 − 𝐶𝑆𝐾 = 180° − 115° = 65°.
Dans un triangle la somme des angles est égale à 180° donc 𝐾𝑃𝑆 = 180° − 70° + 65° = 45°.
b) Dans un triangle la somme des angles est égale à 180° donc 𝑃𝑆𝐾 = 180° − 72° + 48° = 60°.
𝑀𝑆𝐾 = 90° − 60° = 30°.
II. a)Dans le triangle KLM, on a 𝐾𝑀𝐿 = 180° − 90° + 30° = 60°
Les angles𝐾𝑀𝐿 et 𝑃𝑀𝑁 sont opposés par le sommet donc ils ont la même mesure donc 𝑃𝑀𝑁 = 60°
Dans le triangle PNM, on a 𝑃𝑁𝑀 = 180° − 70° + 60° = 50°
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b) Le triangle SBP est isocèle en B donc 𝑃𝑆𝐵 = 𝐵𝑃𝑆=
= 58°.
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Les angles𝐵𝑃𝑆 et 𝐴𝑃𝐶 sont opposés par le sommet donc 𝐴𝑃𝐶 = 58°
Dans le triangle APC , 𝐶𝐴𝑃 = 180° − 38° + 58° = 87°
III. Les angles 𝐶𝐴𝐵 et 𝐶𝐷𝐸 sont correspondants donc ils sont de même mesure et a = 80°.
𝐶𝐸𝐷 = 𝐷𝐸𝐹 − 𝐶𝐸𝐹 = 180° − 135° = 45°
Les angles 𝐶𝐸𝐷 et b sont correspondants donc b = 45°.
Dans le triangle ABC, c= 180°−( 80°+45°) = 55°
IV. Les angles 𝑉𝑆𝑇 et 𝑆𝐴𝑈 sont correspondants donc 𝑆𝐴𝑈=38° et 𝐵𝐴𝑈=2×38°=76°.
Les angles 𝐵𝐴𝑈 et 𝐵𝑅𝑆 sont correspondants donc 𝑆𝑅𝐵 = 76°.
V. Tracer un segment [BD]de 7cm .
Construire un angle 𝐷𝐵𝐸 de 70°
Le triangle ABD est rectangle en A, donc il est inscrit dans le cercle de diamètre[BD].
A est donc le point d’intersection de [BE) et d’un demi cercle de diamètre [BD].
Dans le triangle ABD, on a 𝐵𝐷𝐴 = 180° − 70° + 90° = 20°
Dans le triangle ACD, on a 𝐷𝐴𝐶 = 180° − 125° + 20° = 35°
Tracer les segments [AB] et [AD]
Construire un angle 𝐷𝐴𝐹 de 35° à l’intérieur du triangle . [AE) coupe [BC] en C.
VI. OC et OM sont deux rayons du cercle donc OCM est isocèle en O et 𝑂𝑀𝐶 = 𝑂𝐶𝑀 = 36°.
Le triangle AMC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AC] donc il est rectangle en M et
𝐴𝑀𝐶 = 90° 𝑒𝑡 𝑂𝑀𝐴 = 𝐴𝑀𝐶 − 𝑂𝑀𝐶 = 90° − 36° = 54°
OA et OM sont deux rayons du cercle donc AOM est isocèle en O et 𝑂𝐴𝑀 = 𝑂𝑀𝐴 = 54°
Dans le triangle AOM, on a 𝐴𝑂𝑀 = 180° − 2×54° = 72°
VII.ADC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC] il est rectangle en D.
Donc 𝐴𝐷𝐶 = 90° et 𝐼𝐷𝐶 = 90° − 50° = 40°
Et 𝐶𝐼𝐷 = 180° − 30° + 40° = 110°.
𝐴𝐼𝐵 et 𝐶𝐼𝐷 sont opposés par le sommet donc 𝐴𝐼𝐵 = 110°
𝐵𝐴𝐶et
VIII. 1) Les triangles AKB et ALB sont inscrits dans le cercle de diamètre [AB].
Par conséquent les angles AKB et ALB sont droits.
Les triangles AKB et ALB sont rectangles respectivement
en K et L.
2) Les droites (AL), (BK) passent par un sommet et d’après la question 1)
elles sont perpendiculaires au côté opposé donc les droites (BK) et (AL)
sont deux hauteurs du triangle MAB.
La troisième hauteur est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par M.
Ces trois droites qui sont hauteurs du triangle MAB, sont donc
concourantes en un point appelé orthocentre du triangle MAB.
3) Dans la question précédente, nous avons découvert une construction de la
troisième hauteur. En fait, nous avons construit la perpendiculaire à une droite (AB) passant par un point M.
Dans le cours nous avons vue une autre construction de la perpendiculaire à une droite passant par un point
donné en utilisant une règle et un compas.
IX.
Les angles 𝑀𝐿𝐾 et 𝐾𝑁𝑃 sont en position d’alternes internes de plus (PN)//(LM), donc ces angles sont de
même mesure et 𝐾𝑁𝑃 =50°.
Dans le triangle KPN la somme des angles est 180° donc : 𝑃𝐾𝑁 = 180° − 70° − 50° = 60°
X.
Dans le triangle TVP la somme des angles est 180° donc :𝑉𝑃𝑇 = 180° − 75° − 58° = 47°
Les angles 𝑉𝑃𝑇 et 𝑇𝑀𝑁 sont en position d’alternes internes de plus (VP)//(MN), donc ces angles sont de
même mesure et 𝑇𝑀𝑁 = 47°.
XI.
Les angles 𝐴𝐶𝐵 et 𝑠𝐶𝑡 sont opposés par le sommet donc ils ont la même mesure et 𝑠𝐶𝑡 = 54°
Dans le triangle ABC la somme des angles est 180° donc 𝐴𝐵𝐶 = 180° − 62° − 54° = 64°
Les angles 𝐴𝐵𝐶 et 𝑢𝐴𝑦 sont en position d’angles correspondants, de plus ils ont la même mesure donc les
droites (xy) et (zt) sont parallèles.
XII.
𝐹𝐴𝐵 = 𝐸𝐴𝐶 − 𝐸𝐴𝐹 − 𝐵𝐴𝐶 = 180° − 80° − 30° = 70°
Les angles 𝐹𝐴𝐵 et 𝐴𝐵𝐶 sont en position d’alternes internes or ils n’ont pas la même mesure, donc les droites
(DF) et (CB) ne sont pas parallèles.
XIII.
[OI] et [OV] sont deux rayons du même cercle donc le triangle OIV est isocèle en O, ses deux angles à
la base sont de même mesure et 𝑂𝑉𝐼 = 48°.
Dans le triangle OVI la somme des angles est 180° donc 𝑉𝑂𝐼 = 180° − 2×48 = 84°
L’angle 𝑉𝑂𝐼 est un angle au centre, l’angle 𝑉𝑈𝐼 est un angle inscrit. Ces deux angles interceptent le même
!
arc donc 𝑉𝑈𝐼 = ! 𝑉𝑂𝐼 = 42°.
XIV.
𝐵𝐷𝐶 est un angle inscrit, 𝐵𝑂𝐶 est un angle au centre. Ces deux angles interceptent le même arc
donc 𝐵𝑂𝐶= 2𝐵𝐷𝐶 = 72°
[OB] et [OC] sont deux rayons du même cercle donc le triangle OBC est isocèle en O, ses deux angles à
la base sont de même mesure.
Dans le triangle OBC la somme des angles est 180° donc : 𝑂𝐶𝐵 = 180° − 72° : 2 = 54°
𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝑂𝐶 − 𝐵𝑂𝐶 = 180° − 72° = 108°
𝐵𝐴𝐶 et 𝐵𝐷𝐶 sont deux angles inscrits, ils interceptent le même arc donc ils ont la même mesure et
𝐵𝐴𝐶 = 36°
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC] donc il est rectangle en B et 𝐴𝐵𝐶=90°.
XV.
[OA] et [OB] sont deux rayons du même cercle donc : OA=OB.
[O′A] et [O′B] sont deux rayons du même cercle donc : O′A=O′B.
Ces deux cercles ont le même rayon donc OA=OB= O′A=O′B.
OAO′B est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de la même longueur, c’est un losange.
Dans un losange les angles opposés sont de même mesure donc : 𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝑂′𝐵
𝐴𝑂𝐵 est un angle au centre, 𝐴𝐼𝐵 est un angle inscrit. Ces deux angles interceptent le même arc du cercle C.
!
Donc 𝐴𝐼𝐵 = ! 𝐴𝑂𝐵
!
D’après un raisonnement équivalent, on montre que 𝐴𝐽𝐵 = ! 𝐴𝑂′𝐵 donc 𝐴𝐼𝐵 = 𝐴𝐽𝐵.
Le triangle IBJ a donc deux angles de même mesure, il est isocèle en B.
XVI.
!
𝑅𝑂𝐴 est un angle au centre, 𝑅𝐼𝐴 est un angle inscrit. Ces deux angles interceptent le même arc donc : 𝑅𝐼𝐴 = 𝑅𝑂𝐴
!
!
En utilisant un raisonnement identique, on montre que: 𝑁𝐼𝐿 = ! 𝑁𝑂𝐿
Les angles 𝑁𝑂𝐿 et 𝑅𝑂𝐴 sont opposés par le sommet donc ils sont de la même mesure et 𝑅𝐼𝐴 = 𝑁𝐼𝐿.
XVII.
Les angles 𝑅𝐴𝑈 et 𝑇𝐴𝑆 sont opposés par le sommet donc 𝑅𝐴𝑈 = 𝑇𝐴𝑆.
𝑅𝑂𝑈 est un angle au centre, 𝑅𝐴𝑈est un angle inscrit. Ces deux angles interceptent le même arc donc : 𝑅𝑂𝑈 = 2𝑅𝐴𝑈
De même 𝑆𝑂′𝑇 = 2𝑇𝐴𝑆 et 𝑅𝑂𝑈 = 𝑆𝑂′ 𝑇.
𝑈𝐵𝑅 et 𝑈𝐴𝑅 sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc donc 𝑈𝐵𝑅 = 𝑈𝐴𝑅.
De même 𝑇𝐴𝑆 = 𝑇𝐵𝑆 donc 𝑇𝐵𝑆 = 𝑈𝐵𝑅
𝑈𝐵𝑇 = 𝑈𝐵𝑅 + 𝑅𝐵𝑇 et 𝑅𝐵𝑆 =𝑇𝐵𝑆 + 𝑅𝐵𝑇 donc 𝑈𝐵𝑇 = 𝑅𝐵𝑆.