Exercice 1A : Champ électrostatique créé par des

EXERCICES D’ELECTROSTATIQUE
ENONCES
Exercice 1A : Champ électrostatique crée par des charges
Quatre charges ponctuelles sont placées aux sommets d’un carré de côté a :
+q
+q
+q
-q
Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique régnant au centre du carré.
Application numérique : q = 1 nC et a = 5 cm.
Exercice 4A : Principe du microphone à condensateur
Considérons un condensateur constitué de deux armatures planes et parallèles.
La distance entre les deux armatures est d = 2 mm.
L’aire de la surface de chacune des armatures est S = 100 cm².
A
U
1- Calculer la capacité électrique C du condensateur.
B
2- On charge le condensateur avec un générateur de tension continue : U = +6 V.
Calculer la charge des armatures QA et QB.
3- On suppose que le champ électrostatique entre les deux armatures est uniforme.
Calculer son intensité E.
4- Calculer l’énergie emmagasinée par le condensateur W.
5- On déconnecte le condensateur du générateur de tension puis on écarte les deux armatures
(distance d’).
d'
Montrer que la tension aux bornes du condensateur est maintenant : U'= U
d
d'
Montrer que l’énergie emmagasinée est maintenant : W'= W
d
6- D’où provient l’énergie W’ - W ?
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Exercice 5A : Capacité équivalente
Quelle est la capacité CAB du condensateur équivalent à toute l’association ?
1 µF
220 nF
A
B
1 µF
470 nF
Exercice 7 : Décharge de condensateurs
Q1
U1
U2
C1
-Q1
Q2
-Q2
C2
1- La tension aux bornes d’un condensateur de capacité C1 = 1 µF est U1 = 10 V.
Calculer la charge Q1 du condensateur.
2- La tension aux bornes d’un condensateur de capacité C2 = 0,5 µF est U2 = 5 V.
Calculer la charge Q2.
3- Les deux condensateurs précédents sont maintenant reliés :
Q'1
-Q'1
C1
U
Q'2
-Q'2
C2
Montrer que la tension qui apparaît aux bornes de l’ensemble est : U =
C1 U 1 + C 2 U 2
C1 + C 2
Faire l’application numérique.
Exercice 8 : Décharge électrostatique du corps humain
i
u
C
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R
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1- Montrer que i(t) satisfait à l’équation différentielle :
di
i + RC = 0
dt
2- Vérifier que i( t ) = I0e
−
t
RC
est solution de l’équation différentielle.
On note U0 la valeur de la tension à l’instant t=0 : u(t=0) =U0.
Exprimer I0 en fonction de U0.
3- Application : décharge électrostatique du corps humain
Le corps humain est équivalent à un condensateur de capacité
C = 200 pF en série avec une résistance R = 1 kΩ.
Un corps humain chargé est le siège d’une différence de
potentiels de l’ordre de 10 kV.
1 kΩ
10 kV
200 pF
Tracer l’allure du courant de décharge i(t) :
1 kΩ
i
200 pF
Commentaires ?
Exercice 9 : Générateur de rampe
source
de courant
continu
I
C
K
u(t)
A l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur K.
Montrer que la tension u(t) aux bornes du condensateur augmente linéairement avec le temps.
Compléter le chronogramme u(t) :
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1s
K
fermé
ouvert
u(t)
t
O
On donne :
I = 100 µA
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C = 10 µF
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ELEMENTS DE CORRECTION
Exercice 1A
E=
1 q
= 14 400 V / m
πε 0 a ²
Exercice 4A
12-
345-
S
= 44,25 pF
d
QA = CU = +265 pC
QB = -QA = -265 pC
C = ε0
E = U/d = 3000 V/m
1
W = CU ² = 7,965 ⋅ 10 −10 J
2
La charge du condensateur est inchangée :
Q = CU = C’U’
S
ε0
C
d'
U' = U = U d = U
S
C'
d
ε0
d'
1
1
W = CU ² = QU
2
2
1
1
W' = C' U'² = QU'
2
2
d ' où :
W' = W
6-
U'
d'
=W
U
d
C’est l’énergie mécanique qu’il a fallu fournir pour écarter les deux armatures.
Exercice 5A
CAB = 1,408 µF
Exercice 7
1-
Q1 = C1U1 = 10 µC
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23-
Q2 = C2U2 = 2,5 µC
Conservation de la charge : Q1 + Q2 = Q’1 + Q’2
Q’1 = C1U
Q’2 = C2U
C U + C2 U 2
d’où : U = 1 1
C1 + C 2
A.N. U = 8,33 V
Exercice 8
1- Relation entre tension et courant dans le condensateur : i = −C
Relation entre tension et courant dans la résistance :
i + RC
d’où :
du
dt
u = Ri
di
=0
dt
2t
t
t
t
−
−
I 0 − RC
di
d  − RC 
RC
RC


i + RC = I 0 e
+ RC  I 0 e  = I 0 e
− RC
e
=0
dt
dt 
RC

I0 = i(t=0) = u(t=0)/R = U0/R
310 A
i(t)
O
•
•
0,2 µs
Courant maximal :
Constante de temps :
I0 = U0/R = 10 kV / 1 kΩ = 10 A !
τ = RC = 0,2 µs
La décharge est brève et intense.
Exercice 9
du I
= = cons tan te
dt C
donc la tension aux bornes du condensateur augmente linéairement avec le temps.
du 100 µA
=
= 10 V / s
dt
10 µF
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1s
K
fermé
ouvert
10 V
u(t)
t
O
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