slides - Pierre Lairez
Introduction Méthodes homotopiques Un algorithme déterministe
Le 17eproblème de Smale
« Peut-on calculer une racine approchée de néquations
polynomiales à coeicients complexes en ninconnues en
temps polynomial en moyenne avec un algorithme
uniforme ? » (S. Smale, 1998)
Racine approchée
Un point depuis laquelle l’itération de Newton converge
quadratiquement.
Temps polynomial en moyenne
Complexité par rapport à la taille de l’entrée, pour une
distribution raisonnable de l’entrée, typiquement, une
distribution gaussienne.
Algorithme uniforme
Une machine BSS : opérations arithmétiques sur des nombres
réels exacts à cout unitaire.
Introduction Méthodes homotopiques Un algorithme déterministe
Symbolique contre numérique
Symbolique
Connaitre une racine, c’est les connaitre toutes ;
or le nombre de racines est surpolynomial.
Numérique
L’itération de Newton permet d’approcher une seule racine.
{une complexité polynomiale est envisageable.
Typiquement
Inéquations de degré 2 en ninconnues.
ITaille de l’entrée : N=nn+2
2∼1
2n3.
INombre de racines : D=2n, c’est surpolynomial en N.
Introduction Méthodes homotopiques Un algorithme déterministe
Symbolique contre numérique
Symbolique
Connaitre une racine, c’est les connaitre toutes ;
or le nombre de racines est surpolynomial.
Numérique
L’itération de Newton permet d’approcher une seule racine.
{une complexité polynomiale est envisageable.
Typiquement
Inéquations de degré nen ninconnues.
ITaille de l’entrée : N=n2n
n∼Cn1/24n.
INombre de racines : D=nn, c’est surpolynomial en N.
Introduction Méthodes homotopiques Un algorithme déterministe
Notations
Inet Ddes entiers naturels.
IH, l’espace vectoriel complexe des systèmes de néquations de
degré Den ninconnues ; fonctions Cn→Cn.
IN, la dimension de H.
IHest muni d’un produit scalaire hermitien.
IS(H), les systèmes polynomiaux de norme 1.
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