énoncé

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Spé y 2010-2011 Devoir n°1
MÉCANIQUE DU POINT ; ÉLECTROCINÉTIQUE
PROBLÈME
Ce problème traite de la possibilité de rallier l’orbite de Mars depuis l’orbite terrestre à
l’aide d’une voile solaire. Les trois premières parties sont indépendantes.
Le référentiel héliocentrique est considéré comme gali-
léen. Le mouvement des astres y est décrit dans un repère de
coordonnées polaires (r, q) dont le Soleil occupe l’origine S. Les
grandeurs vectorielles seront exprimées dans le repère orthogonal
associé (
r
e
r
,
θ
e
r
) représenté sur la figure 1. Le Soleil est assimilé à
un corps parfaitement sphérique et son champ de gravité est donc
un champ de force central. Tous les mouvements orbitaux de ce
problème sont plans.
Données :
Ÿ masse du Soleil : MS = 2,0´1030°kg ;
Ÿ constante de gravitation: G = 6,67´10-11 m3×s-2×kg–1 ;
Ÿ célérité de la lumière dans le vide: c = 3,00´108 m×s–1 ;
Ÿ distance moyenne Terre-Soleil : rT = 1,5´1011 m ;
Ÿ distance moyenne Mars-Soleil : rM = = 2,3´1011 m.
1. ORBITES HÉLIOCENTRIQUES
l.l Rappeler l’expression générale de la vitesse
v
r
et de l’accélération
a
r
d’un corps P ponc-
tuel dans un repère de coordonnées polaires.
1.2 Exprimer la force de gravitation
S
F
ur
exercée par le Soleil sur un corps P de masse m si-
tué à distance r du centre de l’astre. Citer deux grandeurs conservées lorsque le corps est soumis à
la seule force de gravitation
S
F
ur
.
1.3 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un corps soumis à la seule force de
gravitation
S
F
ur
trouvée en 1.2. Calculer, en jours, la durée de révolution d’un corps suivant une or-
bite héliocentrique circulaire de rayon rM = 2,3´1011 m.
1.4 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un corps soumis à la seule
force de gravitation
S
F
ur
, montrer que dans le cas général, l’équation du mouvement pour la distance
radiale r(t) se réduit à
( )
( )
2'
P
2
dr
mErt
dt
=- où
(
)
(
)
'
P
Ert
désigne la dérivée par rapport à r de l’énergie poten-
tielle effective
( )
2S
P2
2
Mm
Er
mrr
=-
LG .
Que représente la grandeur L dans l’expression
ci-dessus ?
1.5 L’énergie potentielle effective Ep(r) est re-
présentée sur la figure 2. Décrire qualitativement la
nature des trajectoires suivies par des corps dont les
énergies totales seraient respectivement égales à EA, EB
et EC schématisées par des lignes horizontales sur la
figure.
EP(r)
EC
EB
EA
r
figure 2
r
q
θ
e
r
r
e
r
S figure 1
x
’
x

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2. ÉQUATION DE LA TRAJECTOIRE
On se propose de retrouver la nature et l’équation de la trajectoire du corps P dans le champ
de gravitation par une autre méthode que celle du cours.
2.1. Relier, à l’aide du principe fondamental de la dynamique, les dérivées des vecteurs vi-
tesse
(
)
vt
r
et
(
)
θ
et
r
aux constantes G, MS, m et L.
2.2. En déduire l’expression de
(
)
vt
r
que l’on mettra sous la forme
( ) ( )
(
)
θ
vtKetE
=+
rrur
où
E
ur
est un vecteur constant durant le mouvement, fixé par les conditions du lancement. Préciser
l’expression de K.
2.3. Projeter la relation précédente sur
(
)
θ
et
r
et retrouver l’expression classique de la tra-
jectoire d’un satellite de la forme
( ) ( )
1cos
p
re b=
+b
.
Afin d’exprimer simplement r en fonction de q , on montrera qu’il est judicieux de choisir
l’axe polaire x’x , en donnant à l’angle
(
)
,
x
Ee
urr
une valeur remarquable g à calculer.
2.4. Représenter, dans son plan, la trajectoire, le vecteur
E
ur
, et le corps P dans une position
quelconque. Proposer un nom pour le vecteur
E
ur
.
3. UNE VOILE SOLAIRE
Une voile solaire, supposée légère, est assimilée à une
surface plane d’aire S, pourvue d’un revêtement réfléchissant,
dont la fonction est de tirer profit de la pression de radiation
associée au rayonnement lumineux du Soleil.
3.1. Une particule incidente de quantité de mouvement
I
p
ur
subit une collision élastique sur la surface et repart avec
une quantité de mouvement
R
p
ur
, située dans le plan
d’incidence (qui coïncide avec le plan de la figure 3). L’angle
de réflexion est égal à l’angle d’incidence a et les impulsions
I
p
ur
et
R
p
ur
,. sont égales en norme : IR
ppp
==
urur
.
Exprimer, en fonction de p et a, d’abord dans le repère
(
)
,
un
rr
lié à la voile, puis dans le re-
père
(
)
θ
,
r
ee
rr
lié à la direction de la particule incidente, la quantité de mouvement
δ
p
ur
cédée à la
surface par la particule réfléchie.
3.2. La voile est plongée dans un flux de particules incidentes, dont les directions sont toutes
parallèles entre elles, c’est-à-dire suivant la direction du vecteur
r
e
r
de la figure 3. On appelle FI le
nombre de particules incidentes traversant une surface unité normale à la direction d’incidence
r
e
r
par unité de temps. Ces particules n’interagissent pas entre elles et subissent toutes la réflexion dé-
crite à la question précédente. Un calcul simple montre que le nombre de particules NI qui subissent
la collision avec la voile solaire par unité de temps, est égal à NI = FIScos(a).
Exprimer la quantité de mouvement
Δ/Δ
pt
ur
transmise à la voile solaire par unité de temps.
En déduire la force moyenne
F
ur
exercée par les particules incidentes sur la voile. Exprimer
F
ur
dans
le repère
(
)
,
un
rr
, puis dans le repère
(
)
θ
,
r
ee
rr
.
3.3. Les particules incidentes sont des photons. L’énergie E et la norme de la quantité de
mouvement p d’un photon sont liées par la relation E = pc.
Établir une relation entre le flux incident d’énergie lumineuse F = E×FI et le nombre de
photons subissant la collision NI puis réexprimer la force
F
ur
en fonction de F, a, S, c et
n
r
.
u
r
I
p
ur
R
p
ur
θ
e
r
r
e
r
n
r
a
figure 3

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3.4. Comment faut-il orienter la voile solaire pour que la composante
θ
θ
FFe
=×
urr
soit la plus
grande possible ?
Calculer, en degrés, la valeur de l’angle am pour laquelle cette condition est réalisée.
3.5. Calculer la valeur de l’accélération a = Fq/m subie par une voile solaire de surface
S = 1000 m2, de masse m = 100 kg, inclinée de am, située au voisinage de l’orbite terrestre (r = rT) et
recevant un flux incident de lumière égal à F = 1350 W×m-2.
4. TEMPS DE TRANSIT
4.1. On se place dans les conditions de la
question 1, et l’on considère un corps suivant une or-
bite héliocentrique circulaire r(t) = r0. À un instant
donné, on exerce sur le corps une force supplémentaire
r
r
FFe
=
urr
purement radiale, dirigée vers l’extérieur et
d’intensité constante très faible. Le potentiel associé à
cette force radiale est représenté sur la figure ci-contre
(figure 4) par une droite décroissante en traits pointil-
lés. On cherche à déterminer la modification de tra-
jectoire résultant de cette force supplémentaire.
L’énergie potentielle « radiale » totale, repré-
sentée en trait gras sur la figure 4 résulte de l’addition
de la fonction représentée en trait fin et de la droite en
pointillé.
En s’appuyant sur ce schéma, justifier qu’une force purement radiale et de faible intensité
n’est pas de nature à modifier de façon significative le rayon de l’orbite héliocentrique.
4.2. On se place dans les conditions de la question 1 et l’on considère un corps suivant une
orbite héliocentrique circulaire de rayon r0. À un instant donné, on exerce sur le corps une force
supplémentaire
θ
θ
FFe
=
urr
purement orthoradiale, dirigée vers l’avant de la trajectoire et d’intensité
constante très faible.
Exprimer la variation temporelle de moment cinétique du corps par rapport au Soleil en
fonction de Fq et du rayon r(t).
4.3. On néglige désormais le terme
(
)
2
2
drt
dt
dans la relation issue du principe fondamental de
la dynamique, ainsi que l’effet de la composante radiale Fr. de la force
F
ur
. On suppose aussi que
l’orbite reste en permanence proche d’une orbite circulaire (c’est une spirale lentement croissante).
Montrer qu’alors le rayon r(t) de l’orbite s’accroît avec le temps, obéissant à l’équation différen-
tielle
(
)
( )
3/2
θ
drt
F
Crt
dtm
= où C est une constante que l’on déterminera.
4.4. Dans le cas de la voile solaire, la force
F
ur
provient de la pression de radiation, et dépend
donc de la distance à l’astre r, à travers le flux d’énergie lumineuse F(r). La conservation de
l’énergie entraîne la conservation du produit F(r)×r2. Si le flux lumineux est de
F(rT) = 1350 W×m-2à la distance rT = 1,5´1011 m du Soleil, combien vaut-il à la distance de Mars
rM = 2,3´1011 m ?
Montrer que l’équation différentielle pour le rayon de l’orbite devient
(
)
( )
'
drt
a
C
dt
rt
= avec
(
)
T
/
aFrm
q
= défini et calculé à la question 3.5, et C’une autre constante à déterminer.
4.5 Intégrer l’équation précédente et calculer le temps de transit tTM nécessaire pour rallier à
la voile solaire l’orbite de Mars (r = rM), en partant de l’orbite terrestre (r = rT), en ne considérant
que la force de gravité du Soleil et la force de pression de radiation.
E(r)
r
figure 4

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Indication : la solution de l’équation différentielle du premier ordre
(
)
( )
drt
K
dt
rt
= entre les
instants 0 et t vérifie
( ) ( )
3/23/2
3
0
2
rtrKt
-=.
EXERCICE
ÉTUDE D'UN CIRCUIT EN RÉGIME SINUSOÏDAL.
Dans les circuits étudiés ici, les grandeurs dépendant du temps sont des fonctions sinusoï-
dales de pulsation w.
1. On considère le dipôle constitué d'une résistance R en parallèle avec une capacité C. Dé-
terminer la résistance R’et la capacité C’qui, en série, ont, pour une pulsation donnée w de la ten-
sion appliquée, la même impédance que ce dipôle. Tracer sur le même graphique les courbes repré-
sentatives de R/R’et de C/C’en fonction du rapport (w/w 0) où w0 = 1/RC.
2. On se place dans le cas où w = w0. On considère le
dispositif de la figure 1 où le dipôle précédent est mis en série
avec le dipôle constitué de la résistance R en parallèle avec la
capacité C.
On note u(t), d’amplitude U, la tension entre les points
M et N, u’(t), d’amplitude U’, celle entre N et P et u0(t),
d’amplitude U0, la tension totale appliquée entre M et P.
Calculer les rapports U/U0 et U’/U0, ainsi que le déphasage j du courant total i(t) par rapport
à u0(t). Calculer l'amplitude de ce courant pour U0/R = 50 mA.
3. Le système précédent est complété par une
résistance R0 placée en parallèle entre M et P. Les
bornes d'un voltmètre (v) de très grande impédance
sont reliées aux points N et Q (cf. figure 2). Le point
Q partage R0 en deux parties k × R0 et (1 – k)×R0.
3.1 Déterminer la valeur de k telle que la dif-
férence de potentiel indiquée par (v) soit rigoureu-
sement nulle.
3.2 Cette valeur de k étant adoptée, on superpose à la tension u0(t) de pulsation w0 une com-
posante sinusoïdale de pulsation 2w
0
, d'amplitude U1. Soit uv(t) = uNQ(t) la tension aux bornes du
voltmètre. Calculer le rapport des amplitudes Uv/U1 et le déphasage existant entre ces deux tensions.
R
C
C
~
u0(t)
M N P
R
i(t)
figure 1
R
C
C
~
u0(t)
M N P
R
i(t)
figure 2
k×R0
Q
(1 – k)
×
R0
v