Chapitre 6 Le dipôle RC

Chapitre 6
Le dipôle RC
1. Condensateur
2. Charge
3. Décharge
4. Energie emmagasinée
Rappels
Symboles
Générateurs de tension
+
U AB=V A−V B=E
U AB=V A −V B=E−rI
Générateurs de courant
+
r
+
Conducteur ohmique
Loi d'Ohm U BA= RI
Lampe
Interrupteur
R
Loi des mailles :
 U=0
Loi des mailles (Maille rouge)
U ACU BAU CB =0
+
E − R 1 I 1−R 2 I 2= 0
R2
Loi des mailles (Maille rouge)
U CAU BC U AB =0
−ER 3 I 3R1 I 1=0
R3
R1
Loi des noeuds :  Iavant =  I après
Loi des noeuds en B
I 1=I 2I 3
1. Les condensateurs
1.1 Description
Il s’agit de composants électriques comportant 2 armatures conductrices en regard,
séparées par un isolant appelé diélectrique.
Symbole
1.2 Charge d’un condensateur
•
Lorsqu’on ferme (K), la lampe s’éclaire, puis s’éteint. Un courant transitoire
apparaît dans le circuit.
• Des électrons quittent l’armature A pour s’accumuler sur l’armature B.
qA(t) = -qB(t)
qA = qB est appelé charge du condensateur ou quantité d’électricité emmagasinée. Elle se
mesure en coulombs (C).
+
1.3 Charge et intensité
Par définition, l’intensité du courant dans un fil conducteur correspond au débit de
charges transportées, c’est-à-dire à la charge transportée par unité de temps.
it=
dq t
dt
2. Charge à intensité constante I
Relation entre qA et UAB
A chaque instant, la charge qA de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la
tension UAB entre ses armatures A et B :
q A  t =C u AB  t 
C est appelé capacité du condensateur, exprimé en farads (F).
+
3. Charge d’un condensateur par un échelon de tension.
3.1 Etude expérimentale
Le condensateur d’un dipôle (R,C) soumis à un échelon de tension ne se charge pas
instantanément : il s’agit d’un phénomène transitoire.
R
+
3.2 Constante de temps τ
Voir TP : La durée de charge du condensateur d’un dipôle (R,C) augmente quand
lavaleurdu produit RC augmente. Le produit RC = τ , homogène à une durée, est la
constante de temps du dipôle (R,C). τ s’exprime en secondes (s).
Dimension de τ
[]=[RC ]=
[u] [q A ] [u] [it] U IT
=
=
=T
[i] [u] [i] [u] I U
3.2 Etude théorique
•
Loi d’ohm U DA=Ri
•
Loi du condensateur q A =Cu AB=Cu
•
Définition de l’intensité i=
•
Loi des mailles
dq A
du
=C
dt
dt
E=U DA U AB
dut
E=RC
ut
dt
Il s’agit d’une équation différentielle (de 1er ordre car relation entre la fonction u(t) et sa
dérivée première)
La solution en est :
−
t

ut=E1−e 
u(0) = 0
u(t) → E quand t → ∞
τ donne l’ordre de grandeur de la
durée de la charge du condensateur.
Après τ, le condensateur est chargé à
63%.
Après 5τ, le condensateur est chargé
à plus de 99%.
t1/2 = τ.ln2
expression de i(t)
t
t
− 
dq  t  d  Cu  t  E − 

i  t =
=
= e =I 0 e
dt
dt
R
4. Décharge d’un condensateur
4.1 Etude expérimentale (voir TP)
4.2 Etude théorique
• Loi des mailles
0 =U DAU AB
RC
du  t 
u  t =0 équation différentielle de 1er ordre
dt
−
Solution u  t =E e
t

−
et i  t =− I 0 e
t

5. Energie stockée dans un condensateur
Au cours de la charge, un condensateur emmagasine de l’énergie qu’il restitue lors de la
décharge.
L’énergie Ee emmagasinée dans un condensateur dont la tension entre les bornes est u est
1
2
2
donnée par : E e = Cu =
1 q2
2C
Une question qui tombe souvent au bac
Comment montrer que lors d'une charge,
différentielle E=RC
−t
u  t = A  1 −e   est solution de l'équation
dut
ut et déterminer A et τ.
dt
dut
ut
dt
−t
−t
−t
RCA 
du
t  A 

E=
e A1−e  avec
= e


dt
−t
−t
RCA 
E=
e  A− Ae 

−t
RC
E = A  Ae  
− 1

E=RC
↔
↔
↔
Cette équation différentielle est vérifiée quel que soit t, à condition que:
RC
−1= 0

A =E et  =RC
A =E et
↔
Même type de raisonnement pour vérifier la solution de l'équation différentielle lors de la
décharge du condensateur.