Les programmes de géométrie

Les programmes de
géométrie plane
en 2012 - 2013
1
Ecole primaire
CYCLE 1
Dessiner un rond, un carré, un triangle
2
CYCLE 2
• Les élèves enrichissent leurs connaissances en
matière d’orientation et de repérage.
• Ils apprennent à reconnaître et à décrire des
figures planes.
• Ils utilisent des instruments et des techniques
pour reproduire ou tracer des figures planes.
• Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
3
 Reconnaître un triangle;
 Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un
triangle rectangle;
 Utilisation de la règle, de l’équerre, du gabarit d’angle
droit;
 Percevoir et reconnaître: alignement, angle droit, axe
de symétrie, égalité de longueurs
 Utiliser un vocabulaire géométrique adapté.
 Mesurer des segments, des distances.
 Utiliser la règle graduée pour tracer des segments,
comparer des longueurs
4
• Exemples (évaluation CE2 2006):
- construire un rectangle Exercices\CE2 2006
rectangle.pdf
- reconnaître un alignement Exercices\CE2
2006 alignement.pdf
- Reconnaître un angle droit Exercices\CE2
2006 angle droit.pdf
- Tracer un segment Exercices\CE2 2006
segment.pdf
5
CYCLE 3
L’objectif principal de l’enseignement de la
géométrie du CE2 au CM2 est de permettre
aux élèves de passer progressivement d’une
reconnaissance perceptive des objets à une
étude fondée sur le recours aux instruments
de tracé et de mesure.
6
• Les relations et propriétés géométriques :
alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de
longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.
• L’utilisation d’instruments et de techniques : règle,
équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier
pointé, pliage.
• Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange,
le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers,
le cercle .
• Description, reproduction, construction ;
• Vocabulaire spécifique relatif à ces figures;
• Agrandissement et réduction de figures planes,
7
• Les longueurs, les masses, les volumes : mesure,
estimation, unités légales;
Périmètre d’un polygone;
Formule du périmètre du carré et du rectangle,
de la longueur du cercle.
• Les aires : comparaison de surfaces selon leurs
aires, unités usuelles ;
Formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.
• Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit
et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
8
Exemples (évaluations CM2 2009 et 2010):
Exercices\Eval CM2 reconna perp - parall.pdf
Exercices\Eval CM2 recon carré.pdf
Exercices\Eval CM2 tracer - reproduire.pdf
9
COLLEGE
• Passer de l’identification perceptive (la reconnaissance par
la vue) de figures et de configurations à leur caractérisation
par des propriétés (passage du dessin à la figure) ;
• Isoler dans une configuration les éléments à prendre en
compte pour répondre à une question ;
• Découvrir quelques transformations géométriques
simples : symétries : symétries axiales et centrales ;
• Se constituer un premier répertoire de théorèmes et
apprendre à les utiliser.
• Se familiariser avec l’usage des longueurs, angles, aires;
• Connaître et utiliser les périmètres, aires des figures planes
étudiées.
10
Trace le carré
ABCD de côté
2 cm.
Trace le cercle
de centre B
passant par A.
11
Sixième et cinquième
Sixième
Les travaux doivent viser à stabiliser
les connaissances et à les structurer
…
L’objectif d’initier à la déduction est
aussi pris en compte.
Les activités qui permettent le
développement des capacités à
décortiquer et à construire des
figures simples, à partir de la
reconnaissance des propriétés
élémentaires, occupent une place
centrale.
Différents cadres: espace ordinaire,
espace de la feuille de papier, écran
d’ordinateur.
Cinquième
L’étude de la symétrie centrale
permet de réorganiser et de
compléter les connaissances sur les
figures.
Les travaux prennent toujours appui
sur des figures dessinées, suivant les
cas, à main levée, à l’aide des
instruments ou dans un
environnement informatique.
Les activités de géométrie habituent
les élèves à expérimenter et à
conjecturer, et permettent de
s’entraîner à des justifications
mettant en œuvre les outils du
programme et ceux acquis en
12
sixième.
Sixième et cinquième
Sixième
Cinquième
Parallèle
Perpendiculaire
Cercle
Propriétés des quadrilatères
usuels
Propriétés des triangles
Médiatrice : caractérisation
Bissectrice
Constructions géométriques
Symétrie axiale
Angles : rapporteur
Aires : triangle, disque
Parallélogramme
Triangle :
- somme des angles
- construction
- inégalité triangulaire
- cercle circonscrit
-médianes
- hauteurs
Symétrie centrale
13
Exemples
14
15
16
• Placer quatre points R, S, T et V non alignés et
tels que (RS) ne soit pas perpendiculaire à (TV).
Construire un point W équidistant de R et S et qui
soit aligné avec T et V.
Justifier la construction.
• Tracer un triangle ABC. Tracer la médiane [AM].
Tracer le point F symétrique de A par rapport à
M. Quelle est la nature du quadrilatère ACFB ?
Justifier la réponse.
17
Quatrième et Troisième
Quatrième
Troisième
Connaître les objets usuels du plan et
utiliser leurs propriétés
géométriques.
Développer les capacités heuristiques
et conduire sans formalisme des
raisonnements géométriques simples
…
Entretenir la pratique des
constructions géométriques.
Initier les élèves à la démonstration.
Connaître les objets usuels du plan et
utiliser leurs propriétés
géométriques.
Développer les capacités
heuristiques, les capacités de
raisonnement et les capacités
relatives à la formalisation d’une
démonstration.
Entretenir la pratique des
constructions géométriques.
Solliciter dans les raisonnements les
propriétés géométriques et les
relations métriques vues dans les
classes antérieures.
18
Quatrième et Troisième
Quatrième
Troisième
Théorème des milieux
Théorème de Thalès dans le
triangle
Théorème de Pythagore
Cosinus d’un angle
Triangle rectangle et cercle
circonscrit
Distance d’un point à une droite
Tangente à un cercle
Bissectrice: caractérisation
Cercle inscrit
Agrandissement et réduction de
figures
Trigonométrie du triangle
rectangle
Théorème de Thalès et réciproque
Angle inscrit, angle au centre
Polygones réguliers
Effet d’une réduction ou d’un
agrandissement sur les aires
19
20
21
22
SECONDE
 L’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est
de rendre les élèves capables d’étudier un problème
dont la résolution repose sur des calculs de distance, la
démonstration d’un alignement de points ou du
parallélisme de deux droites, la recherche des
coordonnées du point d’intersection de deux droites,
en mobilisant des techniques de la géométrie plane
repérée.
 Les configurations étudiées au collège, à base de
triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de
problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les
vecteurs fournissent des outils nouveaux et
performants.
23
• Coordonnées d’un point du plan : distance,
milieu
• Configurations du plan
• Droites : lien avec fonction affine, équation
• Vecteurs : cordonnées, somme, produit par
un réel, relation de Chasles
• Trigonométrie: sinus et cosinus d’un nombre
réel
24
Un exercice
Soit un triangle quelconque ABC.
La parallèle à (BC) passant par A coupe en I la parallèle à (AC)
passant par B et en J la parallèle à (AB) passant par C.
Les droites (IB) et (JC) se coupent en K.
a) Démontrer que IACB et AJCB sont des parallélogrammes.
En déduire que A est le milieu de [IJ].
b) Quel est le milieu de [IK] ? Quel est le milieu de [KJ] ?
c) Démontrer que la médiatrice de [IJ] est une hauteur du
triangle ABC.
d) En déduire que les médiatrices du triangle IJK sont les
hauteurs de ABC.
25
26
PREMIERE S
• L’objectif est de renforcer la capacité des élèves à étudier
des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de
distances et d’angles, la démonstration d’alignement, de
parallélisme ou d’orthogonalité.
• L’outil nouveau est le produit scalaire, dont il importe que
les élèves sachent choisir la forme la mieux adaptée au
problème envisagé.
• L’introduction de cette notion implique un travail sur le
calcul vectoriel non repéré et la trigonométrie.
• La géométrie dans l’espace est source de situations
permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de
l’analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des
problèmes d’optimisation.
27
Première S
• Condition de colinéarité de deux vecteurs
• Equation cartésienne d’une droite. Vecteur
directeur
• Trigonométrie: cercle trigonométrique, le radian,
mesure d’un angle orienté
• Angles orientés : mesure principale
• Produit scalaire
• Applications du produit scalaire : vecteur normal,
équation d’un cercle, formule d’Al Kashi,
théorème de la médiane, formules d’addition et
de duplication en trigonométrie
28
29
PREMIERES STI2D - STL
• Produit scalaire
• Applications du produit scalaire
• Nombres complexes:
affixe, module, argument
30
PREMIERE STD2A
• Figures régulières:
- Transformations: translation, symétrie axiale,
rotation
- Polygones réguliers
- Frises
• Produit scalaire
• Applications du produit scalaire
31
TERMINALE S
• Le plan complexe:
affixe, module, argument
32
TERMINALES STI2D - STL
• Trigonométrie: formules d’addition et de
duplication.
33
TERMINALE STD2A
• Pavages: exemples, formule d’Al Kashi
• Cercle: paramétrage, équation cartésienne
• Ellipse: paramétrage, équation réduite
34