chapitre 4 : cercles

Mathématiques 1 Niv. 2 Deuxième partie GEOMETRIE
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.4, p.1
CHAPITRE 4 :
CHAPITRE 4 :
CERCLES
CERCLES
§ 4.1 Définitions
Un cercle Γ est un ensemble de point situés à une distance donnée d'un point fixe.
Le point fixe est le centre et la distance donnée le rayon du cercle.
C
r
•C•
C est le centre et r un rayon du cercle.
Un disque est une partie finie du plan limitée par un cercle. C’est l’ensemble des points dont la
distance au centre est inférieure ou égale au rayon.
Une droite est une sécante d'un cercle si elle coupe ce cercle en deux points distincts.
A
B
T
tangente
sécante
corde
Le segment limité par les deux points
d'intersection d'une sécante est une corde
(on peut la voir aussi comme l'intersection
d'une sécante et d'un disque).
Une droite est une tangente d'un cercle si
elle coupe ce cercle en un seul point.
Un angle au centre est un angle dont le sommet est situé au centre d'un cercle.
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés
coupent le cercle ou lui sont tangents.
C
!
"
α est un angle au centre β est un angle inscrit

Mathématiques 1 Niv. 2 Deuxième partie GEOMETRIE
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.4, p.2
Un arc de cercle est la partie d'un cercle interceptée par un angle au centre (c'est une ligne).
Un angle au centre et un angle inscrit sont dits correspondants s’ils interceptent le même arc de
cercle.
Un secteur de disque est la partie d'un disque interceptée par un angle au centre (c'est une surface).
C
L
C
S
!!
L est un arc de cercle
et
S un secteur (de disque)
§ 4.2 Périmètre et aire
4.2.1 Rappels
On sait que le périmètre d'un disque (ou d'un cercle) est donné par la formule
P = 2πr , alors que l'aire de ce même disque est donné par la formule S = πr2 .
C
rr
C
P = 2πr S = πr2
Dans ces formules, "r" représente le rayon du cercle et "π" un nombre particulier qui se lit "pi".
Ce nombre, π, est un nombre irrationnel ; cela signifie qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une
fraction de deux entiers et que son écriture décimale n'est pas périodique. π = 3.14159265…
Dans les calculs à la main, on prend l'approximation
!
" # 3.14
, mais on rencontre parfois l'approximation
π ≈
!
22
7
qui, sous la forme décimale, donne π ≈
!
3,142857
.
La calculatrice est munie d'une touche π qui donne une dizaine de décimales exactes.
4.2.2 Longueur d'un arc et aire d'un secteur
Si l'on double un angle au centre, il est évident que
la longueur de l'arc va doubler ainsi que l'aire du
secteur.
!
C L !
CS
On dit que la longueur de l'arc, l'aire du
secteur et l'angle au centre sont des
grandeurs proportionnelles ; elles sont
liées par les formules
!
" !
360!
=
L
2!r
=
S
!r2
où α˚ représente la mesure de l'angle (au
centre) en degré.

Mathématiques 1 Niv. 2 Deuxième partie GEOMETRIE
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.4, p.3
Grâce à ces relations on peut tirer la valeur de l'aire
d'un secteur en fonction du rayon du cercle et de la
longueur de l'arc intercepté ;
en effet, en multipliant la relation
L
2!r
=
S
!r2
par πr2,
on obtient
L! "r2
2"r
=
S! "r2
"r2
, c’est-à-dire S =
L!r
2
.
C!
S
L
S=L!r
2
Remarque :
On peut voir une certaine analogie entre cette formule et celle de l'aire d'un triangle.
§ 4.3 Angles inscrits et angles au centre
Théorème
Un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc de cercle.
!
"
C
!=2"
Démonstration :
Ce théorème se démontre en deux phases; on commence par le démontrer dans un cas particulier,
puis on utilise ce cas particulier pour démontrer le cas général.
Cas particulier.
Considérons un angle au centre β et un
angle inscrit α interceptant le même arc
que β, mais dont un des côtés passe par
le centre du cercle.
Considérons alors le triangle ACD.
!
"
C
A
D
E
#
$
C'est un triangle isocèle, car deux de ces côtés (AC et CD) sont des rayons du cercle.
Donc δ = α, et comme α + δ + γ = 180˚ (la somme des angles d'un triangle), on a
γ + 2α = 180˚. Mais d'un autre côté, γ + β = 180˚ (car γ et β forment un angle plat).
De γ + 2α = 180˚ et γ + β = 180˚, on déduit que β = 2α, ce qui démontre le théorème dans ce
cas.

Mathématiques 1 Niv. 2 Deuxième partie GEOMETRIE
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.4, p.4
Cas général
!
"
!
1
!
2
"
1
"
2
On décompose le cas général en deux cas particuliers, en traçant une droite passant par le sommet
de l'angle inscrit et le centre du cercle.
Par construction, α = α1 + α2 et β = β1 + β2.
Le cas particulier déjà démontré est applicable aux angles α1, β1 et α2, β2.
Donc β1 = 2α1 et β2 = 2α2, et alors β = β1 + β2 = 2α1 + 2α2 = 2(α1 + α2) = 2α
ce qui termine la démonstration du théorème.
Corollaire 1
Les angles inscrits interceptant un même arc sont égaux.
Démonstration
Les angles inscrits interceptant un même arc
correspondent à un seul et même angle au
centre donc β = 2α = 2δ = 2γ, d'où α = δ = γ.
!
"
#
$
Corollaire 2
Les angles inscrits interceptant un demi-cercle sont des angles droits.
Démonstration
Ici, l'angle au centre, β, est un angle plat, donc
2α = β = 180˚, d'où α = 90˚.
C!
"
•

Mathématiques 1 Niv. 2 Deuxième partie GEOMETRIE
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.4, p.5
§ 4.4 Sécantes et tangentes
Théorème
Une sécante à un cercle coupe celui-ci en deux points distincts et la médiatrice de ces deux points
passe par le centre du cercle.
C
A
B
sécante
médiatrice de AB
+
Démonstration
En effet,
AC =BC
car C est le centre du cercle et les points A et B sont sur le cercle.
C se trouve donc à la même distance de A et de B, ce qui signifie qu'il appartient à la médiatrice de
AB.
Théorème
Une tangente à un cercle est perpendiculaire au diamètre passant par ce point.
C
T
Démonstration
En effet, en déplaçant une sécante parallèlement à elle-même, les deux points d'intersection avec le
cercle vont se rapprocher, mais la sécante va rester perpendiculaire au même diamètre. Lorsque les
deux points seront confondus, la sécante sera devenue une tangente et elle sera toujours
perpendiculaire au diamètre.
Remarques
Le terme diamètre est utilisé dans deux sens différents : d'une part c'est une corde d'un cercle
passant par le centre de ce cercle et d'autre part c'est la longueur de cette corde.
De la même façon, le terme rayon est utilisé pour un segment joignant le centre d'un cercle à un point
de ce cercle et aussi pour la longueur de ce segment.