CHAPITRE 11 : MOUVEMENTS PLANS

TERMINALE S – CHAPITRE 11
CHAPITRE 11 : MOUVEMENTS PLANS
I.
DE QUOI ON PARLE
On étudiera dans ce chapitre des mouvements à deux dimensions, avec l’exemple des
corps soumis à la force de gravitation. Nous verrons plus précisément les cas du
projectile dans un champ de pesanteur et de l’orbite des planètes et des satellites.
II.
PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
1. Hypothèses
• Le champ de pesanteur est uniforme (dimensions
Rterre)
• Objet dense par rapport au milieu :
ρ ρfluide ⇔ ρ ⋅V ρfluide ⋅V ⇔ m mfluide ⇔ P Π
La poussée d’Archimède est donc négligeable par rapport au poids du projectile.
• Vitesses faibles (v ∼ quelques m/s) et objet profilé (balle, javelot …) afin que le
frottement fluide soit aussi négligeable devant le poids.
La seule force agissant sur le projectile est donc son poids : c’est l’étude d’un
mouvement de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme
2. Théorème du centre d’inertie
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen :
m
G
g
P
La seule force appliquée au projectile sur l’objet est son poids, la deuxième loi de
Newton s’écrit donc :
m⋅a = m⋅ g ⇒ a = g
L’accélération est donc constante au cours du mouvement, comme dans le cas de la
chute libre verticale : le mouvement est uniformément accéléré. Soulignons de plus
qu’elle est indépendante de la masse de l’objet : la masse du projectile n’influe pas
sur sa trajectoire.
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3. Conditions initiales, choix des axes
z
g
v0
v0 z
α
O
v0 y
y
x
En plus des lois de Newton, nous avons besoin des conditions initiales du
mouvement : quelles sont la position et la vitesse du projectile à l’instant initial ?
Si on introduit un repère O, i , j , k orthonormé, ces conditions s’expriment à l’aide
)
(
des 6 nombres obtenus par projection des vecteurs sur 3 axes orthogonaux :
OG 0 = x0i + y0 j + z0 k
v0 = v0 x i + v0 y j + v0 z k
Orientons l’axe z vers le haut, de manière à ce que que le champ de pesanteur lui
soit colinéaire : g = − g ⋅ k
Nous avons la liberté d’orienter les vecteurs i et j des axes x et y dans le plan
orthogonal à k : on le fait de telle sorte que la coordonnée x de la vitesse initiale v0
( )
soit nulle : v0 x = 0 . On a alors en notant α l’angle i , v0 :
v0 = v0 y j + v0 z k = v0 cos (α ) j + v0 sin (α ) k
Nous avons aussi le choix de la position de l’origine O arbitraire du repère, nous la
choisissons telle que le centre d’inertie du projectile soit à l’origine O à l’instant
initial :
OG 0 = 0
4. Equations horaires
Projetons maintenant le théorème du centre d’inertie sur ces trois axes afin d’obtenir
trois équations différentielles pour les trois composantes de la vitesse :
a = −g ⋅ k
a = dv
dt
⇒
⎧ dvx
⎪ dt = 0
⎪
⎪ dv y
=0
⎨
d
t
⎪
⎪ dvz
⎪ dt = − g
⎩
• La première équation donne par intégration :
vx = cte = v0 x = 0
La vitesse suivant x est donc nulle au cours du mouvement. La coordonnée x
du projectile est une primitive de vx :
x = cte = x0 = 0
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Elle est donc nulle tout au long du mouvement : le mouvement se fait
intégralement dans le plan ( x = 0 ) : le mouvement est plan.
• La deuxième équation donne par intégration :
v y = cte = v0 y = v0 cos α
La composante suivant y de la vitesse est donc constante. La coordonnée y du
projectile est une primitive de vy :
y = v0 cos (α ) × t + y0 = v0 cos (α ) × t
• Intégrons enfin la troisième équation (qui est l’équation de la chute libre
verticale) :
vz = − g ⋅ t + v0 z = − g ⋅ t + v0 sin α
La coordonnée z du projectile est donc :
1
z = − g ⋅ t 2 + v0 sin (α ) × t
2
On a obtenu les équations d’évolution des coordonnées y et z du projectile,
paramétrées par le temps :
y = v0 cos (α ) × t
(et x=0)
1
z = − g ⋅ t 2 + v0 sin (α ) × t
2
Le mouvement du centre d’inertie du projectile est donc la composition d’un
mouvement rectiligne uniforme suivant l’axe y et d’un mouvement de chute libre
verticale suivant l’axe z.
5. Equation de la trajectoire
On isole t dans la première équation et on injecte son expression t = f(y) dans la
deuxième :
y
⎧
⎪t = v cos α
0
⎪
⎨
2
⎛
y ⎞
y
⎪z = − 1 g ⎛
v
+
sin α × ⎜
⎜
⎟
0
⎪
2 ⎝ v0 cos α ⎠
⎝ v0 cos α
⎩
⎞
⎟ + z0
⎠
En simplifiant :
z=−
g
2v02 cos2
α
y 2 + tan (α ) × y
C’est l’équation d’une parabole : un mouvement de chute libre est donc parabolique.
Cette équation contient moins d’information que le système obtenu plus haut : elle
renseigne sur les positions occupées par le projectile mais pas sur les dates aux
différents points.
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6. Importance des conditions initiales
Les caractéristiques exactes du mouvement dépendent fortement des conditions
initiales sur la vitesse v0 et α (ou de manière équivalente vx et vy, ou v0 ). Le graphe cidessous montre par exemple différentes trajectoires pour une même valeur de la
vitesse initiale mais une inclinaison différente par rapport à l’horizontale :
80°
60°
45°
20°
III.
MOUVEMENT DES PLANETES ET DES SATELLITES
1. Lois de Kepler
Les lois qui régissent le mouvement des planètes ont été découvertes
expérimentalement par l’autrichien Johanes Kepler, en s’aidant des relevés très précis
des positions des astres de l’astronome danois Tycho Brahé (qui lui croyait
fermement à une Terre immobile au centre de l’Univers).
• 1e loi de Kepler : loi des ellipses
Les trajectoires des planètes autour du Soleil sont des ellipses, dont l’un des foyers
est occupé par le Soleil.
M
b
Ellipse : FM + MF ′ = cte = 2a
a : demi-grand axe
b : demi-petit axe
pour un cercle : a = b = r
F
F’
a
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• 2e loi de Kepler : Loi des aires
Le rayon vecteur SM balaye des surfaces égales en des durées égales.
Ainsi, la planète M met la même durée pour parcourir les portions CD et EF de
son orbite si les aires SCD et SEF sont égales. La vitesse de la planète est donc
plus élevée lorsqu’elle est proche de l’étoile.
• 3e loi de Kepler
Le rapport du carré de la période de révolution de la planète sur le cube du demigrand axe de l’orbite est le même pour toutes les planètes, il ne dépend que de la
masse de l’étoile.
T2
= cte
a3
2. Force de gravitation
Comme on l’a vu au chapitre 10 :
u=
AB
AB
FA B
A
mA
FA / B = −G
B
mB
mA ⋅ mB
u
d2
3. Mouvement circulaire uniforme
Souvent, il est possible en première approximation de considérer que la trajectoire
des planètes et des satellites est circulaire. La loi des aires indique que, dans ce cas, le
mouvement est uniforme. Nous nous concentrerons dans la fin de ce chapitre sur ce
mouvement particulier.
3.1. Accélération
Lors d’un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est :
• radiale (sa direction est confondue avec le rayon du cercle)
• centripète (de sens vers le centre du cercle)
• de valeur constante égale à a = v 2 R
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τ
On définit la base de Frenet {n ,τ } :
G
n
C
Le vecteur unitaire n est le vecteur normal et le vecteur unitaire τ est le vecteur
tangentiel.
Attention : les vecteurs de la base tournent avec le mobile qui se déplace sur le
cercle ; ils ne sont donc pas constants au cours du mouvement et on ne peut pas
simplement dériver les composantes des vecteurs dans cette base.
Prenons un exemple : la vitesse est tangentielle pour un mouvement circulaire, on
peut donc écrire v = vτ (où v = v ). On a alors :
dv d
dv
dτ
= ( vτ ) = ⋅τ + v ⋅
a=
dt dt
dt
dt
Et le dernier terme n’est pas nul puisque le vecteur tangentiel « bouge » au cours du
mouvement de G (il n’est donc pas constant, sa dérivée n’est pas nulle).
Réécrivons l’accélération lors d’un mouvement circulaire uniforme en utilisant la
base de Frenet :
a = an =
v2
n
R
3.2. 3e loi de Kepler pour le mouvement circulaire uniforme
Plaçons nous dans le référentiel héliocentrique considéré comme galiléen. Soient m la
masse planète et M la masse de l’étoile. Le théorème du centre d’inertie appliqué à la
planète s’écrit :
m⋅M
m⋅M
OM
(avec u =
= −n )
m ⋅ a = −G 2 u = G 2 n
OM
R
R
L’accélération est donc normale, centripète et constante : le mouvement est donc
circulaire uniforme. La deuxième loi de Kepler est bien vérifiée.
Simplifions par la masse de la planète et injectons la relation du §3.1 :
v2
G⋅M
n= 2 n
R
R
Projetons cette relation vectorielle sur l’axe normal (produit scalaire par n ) :
v2 G ⋅ M
= 2
R
R
d’où la valeur de la vitesse de la planète, qui ne dépend que de la masse de l’étoile et
de la distance à l’étoile :
G⋅M
v=
R
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La période de révolution T de la planète autour du Soleil est la durée mise par la
planète pour parcourir la circonférence du cercle de rayon R à la vitesse constante v :
2π R
2π R
R3
v=
⇔ T=
⇔ T = 2π
T
v
G⋅M
Elevons cette relation au carré :
T 2 4π 2
4π 2 R3
2
=
T =
⇔
G⋅M
R3 G ⋅ M
Cette relation permet de mesurer la masse d’une étoile ou d’une planète si on parvient
à mesurer sa distance à l’étoile. Elle est à savoir retrouver.
Remarque :
Cette relation reste valable dans le cas des orbites elliptiques en remplaçant le
rayon du cercle par le demi-grand axe de l’ellipse :
T 2 4π 2
=
a3 G ⋅ M
Exemple : Masse du centre galactique
Depuis 1992, les télescopes de l’Observatoire Austral Européen (European
Southern Observatory, E.S.O.) surveillent le centre de la galaxie, situé dans la
constellation du Sagittaire. Dans cette région, les étoiles se déplacent très
rapidement, l’image ci dessous reconstitue la trajectoire de l’étoile « S2 » entre
1992 et 2006 :
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La première loi de Kepler indique que l’astre autour duquel gravite l’étoile est
situé dans un des foyers de l’ellipse décrite par S2. L’étoile a un mouvement
beaucoup plus rapide « en bas » de l’image, la deuxième loi de Képler permet
donc de situer l’astre massif dans le foyer « du bas » de l’image (noté SgrA* ),
et ce bien qu’aucun astre ne soit visible en ce point.
Enfin, utilisons la troisième loi de Kepler pour évaluer la masse de l’astre
central, le demi-grand axe de l’ellipse étant de 4 jours-lumière :
a ≈ 4 j.l. ≈ 4 × 24 × 3600 × 3 ×108 ≈ 1×1014 m
La période orbitale de l’étoile est de 14 ans (février 1992 à février 2006), soit :
T = 14 ans ≈ 14 × 365 × 24 × 3600 ≈ 4 ×108 s
La troisième loi de Kepler donne donc :
T 2 4π 2
4π 2 R3
=
⇒ M=
≈ 4 ×1036 kg = 2 ×106 M S
3
2
G⋅M
a
G ⋅T
La masse du soleil étant M S = 2,0 ×1030 kg . La masse du centre galactique est
donc 2 millions de fois la masse d’une étoile !! Cet astre exotique est un trou
noir supermassif, dont la masse est si élevée que même la lumière ne peut s’en
échapper, il en existe au centre de la plupart des galaxies.
3.3. Satellites
3.3.1. Expression de la vitesse
Nous nous intéressons maintenant au cas des satellites artificiels de la Terre, en nous
plaçant dans le référentiel géocentrique. Remarquons tout d’abord que d’après la
première loi de Kepler, le plan de la trajectoire contient le centre de la Terre.
L’expression de la vitesse d’un satellite en mouvement circulaire uniforme s’obtient
comme en 2.2. avec l’équation du mouvement :
G ⋅ MT
v=
RT + h
où h est l’altitude du satellite mesurée par rapport à la surface de la Terre et RT le
rayon de la Terre.
3.3.2. Satellites géostationnaire
Définition : Un satellite est dit géostationnaire si il reste en permanence à la verticale
du même point de la surface terrestre.
Comme le plan de l’orbite doit contenir le centre de la Terre (1ère loi de Kepler), un
satellite géostationnaire doit se trouver au dessus de l’équateur.
Sa période de révolution est la période de rotation propre de la Terre Tp
( 24h : 23h56mn4s = 86164s). La troisième loi de Kepler permet d’en déduire
l’altitude du satellite :
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Tp2
( RT + h )
3
=
4π
G ⋅ MT
2
⇒
( RT + h )
3
=
⎛ T p2 ⋅ G ⋅ M
T
⇒ h=⎜
2
⎜
4π
⎝
T p2 ⋅ G ⋅ M T
2
4π
1
⎞3
⎟ − RT = 35,8 ×106 m
⎟
⎠
puisque T p = 86164 s ; M T = 5,98.1024 kg ; RT = 6370 km .
G ⋅ MT
= 3,07 ×103 m/s
RT + h
Sa vitesse est alors de : v =
3.3.3. Impesanteur
Considérons un astronaute A dans une station spatiale S en orbite autour de la Terre,
et plaçons nous dans le référentiel géocentrique pour l’étude du mouvement.
La seule force exercée sur la station est la force de gravitation exercée par la Terre
(on néglige l’interaction gravitationnelle avec les autres astres) :
FT / S = mS ⋅ g ( h )
Rappelons que la force de gravitation peut s’écrire en effet (voir chapitre 10) :
FT / S
⎛
⎞
G ⋅ MT ⎟
⎜
u = mS ⎜ −
u = mS ⋅ g h
= −G
2
2 ⎟
⎜ RT + h
⎟
RT + h
⎝
⎠
mS ⋅ M T
(
)
(
)
( )
La deuxième loi de Newton appliquée à la station donne donc :
mS ⋅ aS = FT / S ⇒ aS = g ( h )
De même, la seule force exercée sur l’astronaute est la force de gravitation exercée
par la Terre sur lui, la deuxième loi de Newton donne donc :
mA ⋅ a A = FT / A ⇒ a A = g ( h )
Les accélérations de la station et de l’astronaute sont donc identiques. Comme leur
vitesse initiale sont aussi identiques, leur mouvement seront les mêmes : ils ne se
déplacent pas l’un par rapport à l’autre, l’astronaute « flotte » dans la station. C’est le
phénomène d’impesanteur.
4. La naissance de la relativité générale (pour ceux qui veulent)
4.1. Rôles de la masse
La masse est une quantité intrigante, car elle joue en physique deux rôles
radicalement différents :
• D’une part, elle entre dans la loi de la gravitation de Newton, et de ce fait elle
est à l’origine de l’attraction gravitationnelle entre deux corps quelconques.
Lorsqu’elle joue ce rôle les physiciens l’appellent parfois masse « grave ».
• Par ailleurs, elle intervient dans la deuxième loi de Newton comme le facteur
de proportionnalité entre la résultante des forces exercées et l’accélération du
mobile. Plus elle est grande, moins l’accélération est intense à force égale, et
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donc moins le mouvement du mobile est modifié. C’est le phénomène de
l’inertie1, la masse est parfois qualifiée de masse « inerte » lorsqu’elle joue ce
rôle.
Appliquons maintenant la deuxième loi de Newton à un objet subissant uniquement
une force de gravitation : comme la masse apparaît des deux côtés de l’équation, elle
se simplifie.
m⋅a = m⋅ g ( z) ⇒ a = g ( z)
masse inerte
masse grave
On obtient l’équation de la chute libre, indépendante de la masse de l’objet en chute
(d’où l’état d’impesanteur vu au paragraphe précédent).
4.2. L’idée d’Einstein
Einstein, en réfléchissant à la chute libre comme nous venons de le faire, eut l’idée de
postuler le principe suivant :
Dans un référentiel en chute libre, il est impossible de détecter localement
la présence d’un champ de gravitation.
Par exemple, l’astronaute est en impesanteur dans le référentiel en chute libre de la
station spatiale : il lui est donc impossible de détecter localement (i.e. dans un petit
volume d’espace, à l’intérieur de la station), par une expérience, le champ de
pesanteur de la Terre. Qu’il lâche par exemple un objet, il ne le verra pas chuter.
4.3. Les prémices de la relativité générale
Réalisons maintenant une expérience de pensée, comme les affectionnait Einstein.
Soit une physicienne équipée d’un laser, enfermée dans une boîte, en chute libre vers
la Terre. Selon le principe du paragraphe précédent, tout se passe dans la boîte
comme s’il n’y avait pas de champ de gravitation. En particulier, la lumière émise
horizontalement par le laser se propage horizontalement en ligne droite dans la boîte
(fig.a).
t
t + Δt
g
a.
1
b.
encore très mal compris en physique théorique aujourd’hui
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Changeons de référentiel pour observer l’expérience depuis la surface de la
Terre (référentiel terrestre). La boîte est uniformément accélérée vers la surface de la
Terre : entre l’émission de la lumière par le laser et son absorption par la paroi de la
boîte, il s’est écoulé une durée Δt au cours de laquelle la lumière a « chuté » en même
temps que la boîte (pour se propager en ligne droite dans le référentiel de la boîte) ;
i.e. la lumière est déviée par un champ de pesanteur (fig.b).
La déviation de la lumière d’une étoile lointaine fut historiquement le premier test de
la relativité générale : Sir Eddington mena une expédition en Afrique en 1935 pour
profiter d’une éclipse solaire. Il put ainsi observer les rayons lumineux provenant
d’étoiles lointaines et passant très près de la surface solaire. Il confirma ainsi que, du
fait de la courbure des rayons lumineux par le champ de gravité solaire, on pouvait
observer des étoiles qui se trouvaient derrière le Soleil.
T
S
Einstein, à qui on avait proposé de participer à l’expédition, refusa : il en connaissait
déjà le résultat.
Lorsque l’astre est suffisamment compact, son champ de gravitation est si intense que
la lumière est piégée dans le voisinage de l’astre et ne peut s’échapper à grande
distance : l’objet est alors invisible, on l’appelle « trou-noir ». C’est ce type de
bestiole qui est tapi au centre de notre galaxie.
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