π π π π π π - Patrice Gaubert Econométrie et autres sujets

2. Les coûts de production : niveau de production optimal.
Hypothèses du raisonnement de l’entrepreneur dans le choix de la technique de production
(puis dans le choix du niveau) :
- maximiser le profit (défini par la différence entre valeur des ventes et coût des
facteurs de production)
- les prix des facteurs sont des données sur lesquelles il n’a aucune influence
- pas de limites aux quantités de facteurs disponibles
- pas de limite quantitative à la production.
Ces différentes hypothèses (sauf la 1ère) correspondent à une hypothèse fondamentale sur
les conditions de fonctionnement du marché (concurrence pure et parfaite).
a) Le choix optimal de techniques : le profit s’écrit
  py
  1 z1   1 z2  ...   m zm 
  m1 zm1   1 z2  ...   ml zml 
où les j sont les prix de facteurs, respectivement variables (jusqu’au m) et fixes audelà (à court terme) ;
- la maximisation du profit consiste au choix du volume de production et des
quantités de facteurs nécessaires pour obtenir ce volume compte tenu des
contraintes de la technique existante
- séparation des 2 choix : niveau de y considéré comme donné (cf. plus loin), le
problème d’optimisation se réduit minimiser les coûts des quantités de facteurs
qui permettent d’obtenir ce niveau.
o le problème d’optimisation :
 minimiser le coût de production sous la contraintes des techniques
existantes, soit
Min  1 z1   2 z2  ... m zm 
avec f  z1 , z2 ,..., zm   y
 les z sont les solutions (les autres éléments sont des constantes)
o 2 facteurs : représentation usuelle
 le niveau de production est représenté par l’isoquante
1



substituabilité des facteurs puisque les 2 combinaisons {0} et {1}
permettent d’atteindre le niveau de production recherché
le coût de la production dû aux facteurs de production est
1 z1   2 z2  C
c’est l’équation d’une droite dont la pente déterminée par le
rapport des prix de facteurs
1
C
z2   z1 
2
2
2


π1
à chaque niveau de production possible correspond une droite
d’isocoût : parallèles pour un rapport de prix donné
combinaison optimale :
3


c’est le point de l’isoquante situé sur le plus bas isocoût, soit A : du
fait de la convexité des isoquantes c’est le point de tangence avec
un isocoût
d’où la propriété majeure : la tangente à une isoquante représente
le taux marginal de substitution technique entre facteurs qui est
égal au rapport des productivités marginales des facteurs, donc
f
z1  1

f
2
z2

ou encore
f
z1
1


-

f
z2
2
soit l’égalité des productivités marginales de facteurs pondérées
par leur prix
l’égalité du TMST et du rapport des prix correspond au choix de
l’entrepreneur face aux éléments qu’il doit prendre comme des
données :
o le TMST représente le rapport selon lequel l’entrepreneur
substitue un facteur à l’autre en maintenant inchangé le
volume de production (1ère contrainte)
o le rapport des prix indique comment on peut remplacer un
facteur par l’autre en restant au minimum de coût de la
production (2ème)
o l’égalité assure bien la solution optimale : 2 objectifs
satisfaits avec une combinaison de facteurs
cas de facteurs complémentaires : situation comparable à ce qui a
été vu pour le consommateur
o pas de possibilité de calculer le TMST (dérivée pas définie)
o pourtant la solution est bien définie : l’isocoût qui passe par
le sommet de l’angle droit représenté par l’isoquante
définissant le niveau de production
variation des prix de facteurs et du niveau de production : déplacement de la
solution optimale
4
 entre la situation {0} et la situation {1} le rapport des prix
1
s’est élevé
2
(production inchangée), les isocoûts pivotent le long de l’isoquante ; on passe
de A à A’ : substitution du facteur 2 au facteur 1 selon le changement du
rapport des prix ;
 si le niveau de la production change pour des prix de facteurs inchangés on
obtient
5
-
Solution analytique : combinaison optimale obtenue par la méthode du
lagrangien
L   1 z1   2 z2  ...   m zm
  y  f  z1 , z2 ,..., zm  
-
les solutions annulent les dérivées partielles par rapport à chaque facteur, soit
j 
f
0
z j
j  1...m
d’où la solution obtenue par l’étude graphique : égalité de toutes les
productivités marginales pondérées par les prix :
f
z1
1
-

f
z2
2
 ... 
f
zm
m
les prix des facteurs et le niveau de la production étant considérés comme des
données extérieures par rapport au choix de la combinaison de facteurs, on peut
écrire la fonction de demande d’un facteur :
z j  z j 1 ,  2 ,...,  m , y 
6
- Application :
o fonction de production de type Cobb-Douglas
 
1 2
le problème s’écrit
y  az z
avec a  0, 0    1, 0    1
Min  1 z1   2 z2
avec y  az1 z2
plutôt que d’utiliser le lagrangien on peut simplement intégrer la contrainte dans la
fonction à minimiser : on exprime z2 à partir de la fonction de production et on
remplace dans la fonction de coût que l’on minimise (une seule variable : une seule
dérivée à calculer et à annuler), soit
1
1



 

1 1
2
1
on annule la dérivée de cette fonction de z1
1
1
 


 

 z  a y z
1   2

a

y z1
0
on obtient finalement les 2 fonctions de demande de facteurs
z1  1 ,  2 , y   a

z2   1 ,  2 , y   a
1
 
1

 
  2 



 1

 
1
y

 
  1       
y



 2
1
- Notion d’élasticité de substitution :
o fonction de production homogène : isoquantes homothétiques, donc la
combinaison des facteurs ne dépend que du rapport des prix
7
le niveau de la production s’élève pour des prix inchangés, la combinaison des
facteurs conserve le même rapport entre les quantités des 2 facteurs ; on peut écrire
 
z2
 k 1 
z1
 2 
si le rapport des prix augmente (hausse du prix du facteur 1 relativement à celui du
facteur 2) on substitue du facteur 2 au facteur 1, donc le rapport des quantités
augmente, on utilise relativement plus de facteur 2 ;
o par exemple si les 2 facteurs sont respectivement le travail et le capital, la hausse
du rapport des prix s’interprète comme la hausse du taux de salaire par rapport
au coût du capital (intérêts versés par exemple) ; elle se traduit par une hausse du
rapport capital/travail, on substitue du capital au travail (techniques « plus
capitalistiques »)
o l’élasticité de substitution mesure la plus ou moins grande substituabilité des
facteurs, on l’écrit :
d  z2 / z1 
z2 / z1

d  1 /  2 
1 /  2
c’est la sensibilité du rapport des quantités de facteurs à une variation du rapport de
leur prix
8
à gauche forte substituabilité, à droite faible
o Exemple pour une fonction Cobb-Douglas
y  az1 z2
on écrit l’égalité du rapport des prix de facteurs au TMST soit
1 a z1 1 z2  z2


 2 a  z1 z2 1  z1
que l’on peut écrire
z2  1

 k  1 /  2 
z1  2
la dérivée de cette fonction par rapport au rapport des prix est
k '  1 /  2  


d’où l’élasticité de substitution, produit de cette dérivée par le rapport

 
 1
 
1 /  2
z2 / z1



o Exemple d’une fonction CES :
y   az1  bz2



1

l’égalité du rapport des prix avec le TMST s’écrit
9
 1 az1 1

 2 bz2 1
ce que l’on peut transformer en
z2  b 1 


z1  a 2 
1
1 
 k  1 /  2 
dont on calcule la dérivée par rapport à cette variable, le rapport des prix de facteurs
k '  1 /  2  
 b 1 
b


a 1     a 2 

1 
et finalement l’élasticité de substitution s’écrit
 b 1 
b


a 1     a 2 

1
1

 b 1  


 a 2 

1 

1
2

1
1 
- Exercices :
o Fonction de production d’une entreprise, un seul input
f  x  4 x
coût de l’unité d’input : 50, prix du produit : 100
 écrire la fonction de profit en termes d’input
  400 x  50 x
 quantité optimale d’input ? quelle production ?
quantité qui annule la dérivée première de la fonction de profit :
1

1
400 x 2  50  0
2
200
x
 50
soit


x
200
4
50
x  16
et donc
y  16
profit maximal : 1600-800=800
taxe sur le produit (prélèvement) de 20 et subvention de l’input de 10
(réduction du prix) : quelles nouvelles conditions d’équilibre ? Nouvelle
fonction de profit
80 * 4 x  40 x
qui fournit les mêmes solutions x=16 et donc
y=16 mais le profit est maintenant de 640
10

au lieu de taxe+subvention impôt sur le bénéfice de 50 % : quel effet sur la
production ?
en fait même fonction qu’au début et prélèvement sur le profit obtenu : donc
même solution en termes de quantités d’inputs et d’outputs (16), mais profit
après impôts réduit à 400.
o soit la fonction de production : f(K,L)=0.5 L + K1/2
 quel type de rendements d’échelle ?
on compare Q=0.5L+K1/2 avec Q’=0.5(L)+(K)1/2 , si >1 l’accroissement
enregistré par Q’ est moins que proportionnel du fait de l’accroissement
produit par le capital : 1/2 , donc rendements d’échelle décroissants
 pour K=4 quelle productivité moyenne du travail ? Quelle productivité
marginale ?
- la fonction peut s’écrire
Q(L,4) = 0.5L + 2 d’où PML = 0.5 + 2/L
la productivité marginale est la dérivée de la fonction Q(L,4) par
rapport au travail soit
PmL = 0.5
o fonction de production Q=K1/2 L1/2
 si les machines augmentent de 1 % comment augmente la production ?
calcul de l’élasticité :
Q
Q K 1 1/ 2 1/ 2
K
1K 1
Q
e

  K L  1/ 2 1/ 2 

K K Q 2
2K 2
K L
K
la production augmente de 0.5 %
11
b) Les courbes de coûts : elles sont un élément majeur dans la détermination du
niveau de production pour obtenir un profit maximal avec une technique de production
choisie et compte tenu du prix du produit fixé par le marché.
Les différents facteurs intervenant dans la production n’ont pas le même impact sur le coût
de la production : coûts fixes et coûts variables
o coûts fixes : indépendants du niveau de la production, quel que soit le
niveau du produit (coûts de création de la société, en courte période tout
élément de capital fixe : installations, gros équipements)
o autres coûts varient avec le niveau de produit
Les coûts (en général) dépendent des prix des facteurs : ces prix sont des données pour le
producteur ; pour une fonction de production de type Cobb-Douglas on peut écrire la
fonction de coût total avec pour variables les prix et le volume de production
CT  1 ,  2 , y   a

1
 








   
  

 
  
 

 

1
       y  
2
 1

mais, du fait de l’impossibilité pour le producteur d’influer sur les prix de facteurs, il suffit
d’exprimer le coût total comme une fonction du niveau du produit y.
On peut écrire
CT(y)=CF + CV(y)
- la fonction de coût variable est une fonction croissante du produit obtenu : elle a
sans doute une dérivée non décroissante (productivité marginale décroissante et un seul
facteur modifiable en courte période : obligé de produire davantage avec des unités
supplémentaires ayant une productivité de moins en moins forte).
12
1) Coût total et coût moyen
La courbe de coût total a une dérivée positive à partir d’un seuil (y0) : expliqué par ses
composantes.
On peut calculer le coût de chaque unité produite en décomposant les différents éléments
de coût :
13
- coût moyen CM  y  
CT  y 
y
, décroissant puis croissant
CF
, strictement décroissant ; le coût, par
y
construction est indépendant du volume de production ;
CV  y 
- coût variable moyen CVM  y  
, décroissant puis croissant ; meilleure
y
organisation de la production dans les premiers stades de l’activité ; ensuite tendance à la
hausse des coûts variables par unité (facteurs fixes qui rendent la production moins efficace)
- coût fixe moyen CFM  y  
2) Coût marginal : dérivée première de la fonction de coût total ; exprime comment
varie le coût pour une petite variation du produit
o peut s’écrire
Cm  y  
c  y 
y

c  y  y   c  y 
y
o en fait correspond à la partie variable des coûts
o peut s’exprimer comme le coût de l’unité de produit supplémentaire (bien
exprimé en termes discrets) mais, plus généralement, c’est un taux de
variation
o évolution du coût marginal par rapport aux autres coûts :
 dans la première partie de la croissance du produit : il ne contient
que l’accroissement de la partie variable des coûts, donc plus
faible que le coût moyen (contient aussi le poids des coûts fixes)
 tant que les coûts moyens sont décroissants le coût marginal est
plus faible que le coût moyen : la moyenne baisse parce que l’on
ajoute aux coûts des montants unitaires plus faibles que la
moyenne
 lorsque les coûts moyens sont croissants la courbe de coût
marginal est au-dessus de la courbe de coût moyen, raisonnement
symétrique du précédent
 donc la courbe de coût marginal coupe la courbe de coût moyen à
son point minimum : on écrit la dérivée de la fonction de coût
moyen (fonction de fonctions
C 'M  y  
soit
U
U 'V  UV '

)
V
V2
CT '  y  y  CT  y 
C 'M  y  
y2

1
Cm  y   CM  y  
y
Cm  y  y  CT  y 
y2
cette dérivée est nulle
quand les coûts moyen et marginal sont égaux, c’est à dire quand la
courbe de coût marginal coupe la courbe de coût moyen
 on peut montrer un résultat similaire pour la courbe de coût
variable moyen par rapport à la courbe de coût marginal
14
c) Passage des fonctions de coûts de courte période aux fonctions de longue période.
o fonctions de longue période : les coûts fixes deviennent plus ou moins
variables quand on allonge la période d’analyse
 le long terme n’est pas défini par une durée précise mais par ce
qui est analysé
 le très long terme peut correspondre à la durée de vie de
l’entreprise : à ce moment tous les coûts deviennent variables
puisque la production devient nulle quand elle se retire du
marché
 plus couramment : caractère fixe des installations qui est remis
en question dans le long terme, donc temps nécessaire pour
que l’entreprise puisse faire varier cette donnée
 une définition plus courte du long terme peut être de faire
varier l’équipement productif (machines) ou même
simplement l’emploi (plutôt que d’accroître l’intensité du
travail existant)
 on peut définir simplement
 le coût moyen de court terme : coût unitaire de la production
compte tenu des facteurs fixes disponibles
 le coût moyen de long terme : coût unitaire obtenu lorsque
tout les facteurs peuvent varier
 les coûts marginaux correspondant sont le coût de l’unité
supplémentaire quand certains facteurs sont fixes ou quand
tout est variable
o économies et déséconomies d’échelle : proximité avec le type des
rendements d’échelle
 économies d’échelle : l’augmentation de la production permet de
réduire le coût unitaire, soit des coûts moyens à long terme
décroissants
 facteurs : meilleure spécialisation des tâches, indivisibilités de
certains équipements, certaines caractéristiques des
technologies utilisées, décroissance des frais fixes
 déséconomies d’échelle : augmentation des coûts moyens à long
terme
 symétriquement on trouve : la lourdeur de l’appareil
administratif, complexité de l’organisation de la production
 ne pas mélanger avec des contraintes liées à la forme du
marché (conditions de concurrence, pouvoir de marché)
15
On peut montrer que la situation de rendements d’échelle croissant correspond à
une phase d’économies d’échelle et inversement ;
o passage de la courte à la longue période : on peut représenter des
situations successives de l’entreprise ; pour chaque niveau de facteur fixe
(0,1,2) l’entreprise fixe ses conditions optimales de production ;
o l’enveloppe définie par la succession des morceaux de courbes de coûts à
court terme est la courbe de coûts à long terme lorsque différents niveaux
de facteurs fixes sont utilisés
16
o passage continu : la courbe de coût à long terme peut être une courbe
continue si sur la longue période les facteurs fixes peuvent varier de cette
manière
o coûts moyens et marginaux
17
Mêmes raisonnements avec les courbes de coûts moyens et de coûts marginaux : ces
coûts à long terme sont simplement les coûts de court terme définis à partir de la
quantité optimale de facteurs fixes
o
18
- Applications :
o coût économique (ou coût d’opportunité) et coût réel
 un étudiant peut acheter un billet pour un match pour un prix
de 6, en faisant la queue 1/2h
 il travaille à temps partiel pour un salaire de 8, assister au
match lui prend 4h
 il peut revendre 20 ce billet au lieu d’assister au match
 comparer les coûts économiques de chaque décision
 coût économique de l’achat : 6 + 4 (1/2h non travaillée en
faisant la queue)
 coût économique du match : 20 (billet non revendu) + 32
(équivalent de 4h de travail) = 52
 s’il travaille le jour du match intérêt à acheter le billet ?
 coût économique du billet 10 pour un prix de vente de 20
o Atelier de réparation dont la fonction de coût est
CT(s) = 2s2 + 10 pour une production s
 calculer CVT, CFT, CVM, CFM, CTM et Cm
 CVT = 2s2
CFT = 10
CVM = 2s
CFM = 10/s
CTM =2s + 10/s
Cm = 4s
o Choix entre 3 installations de production de surface 200, 500 et 1000 avec
un loyer unitaire de 1 ; on suppose que les coûts variables supportés pour
une production de y sont CV(y)=y2 / F, où F est la surface louée
 fonctions de Cm et CM pour F=200 ; quantité de produit qui
minimise le coût moyen ; CM de cette quantité
 CT= y2 / F + F donc
Cm= 2 y / 200= y / 100
CM= y / 200 + 200 / y
annulation de la dérivée de cette fonction
1/200- 200/y2 = 0 d’où y2 =200 x 200 donc y = 200
le CM de cette quantité est 200/200+200/200=2
 mêmes questions pour 500 et 1000
Cm= 2 y / 500= y / 250
CM= y / 500 + 500 / y
y=500
CM=2
idem avec 1000 : 3 courbes de coûts à court terme permettant
de définir les courbes de long terme.
19
d) Fonction d’offre et maximisation du profit.
On construit la fonction d’offre de l’entreprise à partir de la fonction de coût sur la
base de l’hypothèse d’une maximisation du profit dans des conditions données de
concurrence : ces conditions constituent des contraintes.
1) Contraintes imposées
o techniques de productions disponibles : à un moment donné quelques
techniques disponibles entre lesquelles l’entreprise peut choisir, compte
tenu des prix de facteurs
o concurrence sur le marché : la concurrence parfaite
 demande du marché et demande à l’entreprise : l’entreprise
peut pratiquer le prix qu’elle veut mais elle ne peut pas
contraindre les acheteurs à se fournir chez elle
 si elle pratique un prix plus élevé : pas d’acheteur
 si elle fixe un prix plus bas : peut théoriquement capter
toute la demande (voir conditions de fonctionnement, jeu
de la concurrence et élimination du marché)
 concurrence parfaite :
 grand nombre d’entreprises de petite taille
 produit homogène
 libre circulation des facteurs
 techniques disponibles pour toute entreprise
2) Le choix du niveau de production optimal
o la règle d’optimisation : l’entrepreneur maximise son profit soit
Max  py  c  y  


tant que l’entreprise enregistre une recette supplémentaire
supérieure à ce que coûte la production de cette unité elle a
intérêt a accroître le niveau produit
l’équilibre est atteint lorsque la recette marginale est égale au
coût marginal
en concurrence parfaite la recette marginale est toujours égale
au prix du marché par définition : l’entreprise ne peut pas
influer sur le prix du marché (trop petite taille, produit
homogène, libre entrée)
si p est constant on peut écrire

d’où la règle de maximisation du profit

graphiquement : le point d’intersection de la droite de prix avec
la courbe de coût marginal donne la quantité optimale ; à ce
niveau de production correspond un coût moyen : l’écart entre


R  p y
R
p
y
Rm  p  Cm  y 
20
ce coût et le prix du marché donne le profit par unité produite,
à multiplier par la quantité pour obtenir le profit total
(rectangle) ;
o exceptions
 la droite de prix coupe la courbe de coût marginal en 2 points :
le point optimal ne peut pas être celui qui est situé dans la
phase des coûts décroissants (le profit peut être augmenté en
accroissant la production)
 le prix ne dépasse pas le seuil de fermeture : les pertes sont
égales aux coûts fixes plus les coûts variables créés par la
production ; il vaut mieux sortir du marché et ne pas produire :
pertes limitées aux coûts fixes.
3) La courbe d’offre
Le profit réalisé est représenté par le rectangle hachuré : pour chaque unité
vendue c’est l’écart entre coût moyen et niveau du prix
o On appelle seuil de rentabilité le niveau p1 : au delà de ce seuil le profit net
est positif
o On appelle seuil de fermeture le niveau p0 : en-dessous les simples coûts
variables impliqués par la production ne sont pas couverts
21
Dans ce cas l’entreprise enregistre une perte (rectangle hachuré) : le prix est
inférieur au coût moyen ; les coûts variables sont quand même couverts par le prix p
o la courbe d’offre
elle correspond à la courbe de coût marginal à partir du seuil de fermeture.
o courbe inverse : le prix étant une donnée qui s’impose à
l’entreprise on peut considérer la courbe d’offre comme une
fonction du prix
o le surplus du producteur : on peut le mettre en évidence de différentes
manières (mesures plus immédiates que ce qui sert au calcul du surplus
du consommateur)
22


quelque chose qui se rapproche du surprofit mis en évidence
graphiquement : à partir de la courbe de coûts variables
en utilisant la courbe de coût marginal : différents niveaux
successifs de coûts pour les niveaux successifs de la production
le rectangle grisé représente l’excès des recettes sur les coûts variables
moyens pour un niveau optimal de production de y déterminé à partir du prix
p
o La courbe de coût marginal : variation du coût de l’unité produite
supplémentaire depuis la 1ère
23
la partie située au-dessus de cette courbe est l’excédent des recettes sur le
coût « virtuel » : le coût si chaque unité était vendue au coût marginal
o combinaison des 2 types de références :



le rectangle représentant la marge par rapport aux coûts variables
moyens : écart entre prix et seuil de fermeture x quantité produite
le triangle compris entre cette zone et la courbe de coût marginal
correspond à ce qui est au-dessus de la courbe d’offre entre les 2
limites : seuil de fermeture et prix du marché
24

représente l’écart entre ce que l’entreprise reçoit en échange de la
production y et ce qu’elle doit au minimum recevoir (sinon
disparaît du marché) ;
o on s’intéresse surtout à la variation du surplus : quand les conditions du
marché se modifient la situation du producteur est affectée
favorablement ou défavorablement ;
o la variation du surplus mesuré à partir de la courbe d’offre correspond à la
variation du profit : par définition coûts fixes inchangés
25