autocollimation.dvi (autocollimation.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 2
Exercices sur les lentilles
I. Constructions
1. Construction 1 (en annexe) : f′
1= 3 carreaux et f′ 2=−4carreaux. Placer les foyers objet et image
des deux lentilles. Compl´eter le trac´e des trois rayons lumineux et pr´eciser les positions de A1B1, image de
AB par L1, puis de A2B2, image de A1B1par L2.
2. Construction 2 (en annexe) : f′
1=−3carreaux et f′ 2= 4 carreaux. Placer les foyers objet et image des
deux lentilles. Compl´eter le trac´e du rayon lumineux et pr´eciser la position de F′, foyer image de l’ensemble
L1−L2. De quel point F′est-il l’image par L2? Appliquer la relation de Newton `a L2pour trouver la
distance F′
2F′. V´erifier que c’est coh´erent avec la construction.
3. Construction 3 (en annexe) : f′
1=−3carreaux et f′ 2= 4 carreaux. Placer les foyers objet et image des
deux lentilles. Compl´eter le trac´e du rayon lumineux et pr´eciser la position de F, foyer objet de l’ensemble
L1−L2. Quelle est l’image de Fpar L1? Appliquer la relation de Newton `a L1pour trouver la distance
F1F. V´erifier que c’est coh´erent avec la construction.
II. Autocollimation
AB est un objet, L est une lentille mince et M est un miroir plan. La distance focale de la lentille est ´egale
`a deux carreaux du quadrillage. Soit A1l’image de A par la lentille, A2l’image de A1par le miroir et A′
l’image finale.
1. Pour chaque cas de figure, tracer le trajet des deux rayons partant de A pour construire les images
successives.
2. Retrouver par le calcul les positions de A1,A2et A′pour le cas 3.
3. Donner un argument simple permettant de d´eterminer le grandissement transversal du syst`eme sans
calcul.
4. Dans le deuxi`eme cas, l’image et l’objet sont dans le mˆeme plan. Que se passe-t-il si l’on translate le
miroir paral`ellement `a lui-meme? Que se passe-t-il si l’on fait tourner le miroir en ´ecartant sa normale
de l’axe optique de la lentille?
1

Annexe
ao
L1 L2
A
B
Construction 1
ao
L1 L2
Construction 2
ao
L1 L2
Construction 3
2

Autocollimation :
A
B
L M
F
A
B
L
F
A
B
M
F
M
L
3

III. Correction : constructions
1. M´ethode : on construit le trajet des rayons lumineux `a travers les deux lentilles. On trouve A1B1`a
l’intersection des rayons sortants (ou de leurs prolongements) de L1. On trouve A2B2`a l’intersection des
rayons sortants (ou de leurs prolongements) de L2.
2. A∞−L1−> F ′
1
−L2−> F ′:F′est donc l’image de F′
1par L2. On applique la relation de conjugaison
avec origine aux foyers F2F′
1.F ′ 2F′=−(f′
2)2avec F2F′
1=F2O2+O2O1+O1F′ 1= 4 −5−3 = −4carreaux
et F′
2F′=
−(f′
2)2
F2F′
1
=−4carreaux.
3. F−L1−> F2−L2−> A′
∞:Fa donc pour image F2par L1. On applique la relation de conjugaison
avec origine aux foyers F1F.F′
1F2=−(f′
1)2avec F2F′
1=F2O2+O2O1+O1F′ 1= 4 −5−3 = −4carreaux
et F1F=
−(f′
1)2
F′
1F2
=−
9
4=−2,25 carreaux.
IV. Correction : autocollimation
1.
2. A−L−> A1: la relation de conjugaison avec origine aux foyers donne F A.F ′A1=−(f′)2soit
F′A1=
−(f′)2
F A =−
22
1=−4carreaux.
A1−M−> A2: la relation de conjugaison donne F′A1=−F′A2=−4carreaux.
Remarque : Il ´etait donc int´eressant de travailler avec la relation de conjugaison avec origine aux foyers pour
la lentille, car F′est aussi le projet´e orthogonal de A1sur le miroir, donc ce point intervient pour la relation
de conjugaison de la lentille et pour celle du miroir plan.
A2−L−> A′: attention, pour la lumi`ere r´efl´echie, le foyer objet de la lentille est `a la place du foyer
image pour la lumi`ere incidente et r´eciproquement pour le foyer image, il est `a la place du foyer objet soit
f′=OF ′=−2carreaux et F A2= +4 carreaux. Ainsi F′A′=
−(f′)2
F A2
=
−(−2)2
4=−1carreau.
3. Le rayon passant par Bet parral`ele `a l’axe optique est r´efract´e par le foyer image de la lentille, il est
r´efl´echi sur le miroir plan et ressort de la lentille `a nouveau parall`ele `a l’axe optique. Sur ce rayon sortant
se trouve B′. Or ce rayon sortant est `a la meme distance de l’axe optique que le rayon incident donc le
grandissement dans tous les cas est −1.
4. Lorsqu’on translate le miroir plan, l’image se forme toujours `a la meme position et `a la meme taille, elle
est inchang´ee.
Lorsqu’on incline le miroir plan, l’image finale se forme toujours dans le meme plan que l’objet AB, elle a
toujours meme taille que lui mais A′n’est plus sur l’axe optique.
4