autocollimation.dvi (autocollimation.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 2
Exercices sur les lentilles
I. Constructions
1. Construction 1 (en annexe) : f1′ = 3 carreaux et f2′ = −4 carreaux. Placer les foyers objet et image
des deux lentilles. Compléter le tracé des trois rayons lumineux et préciser les positions de A1 B1 , image de
AB par L1 , puis de A2 B2 , image de A1 B1 par L2 .
2. Construction 2 (en annexe) : f1′ = −3 carreaux et f2′ = 4 carreaux. Placer les foyers objet et image des
deux lentilles. Compléter le tracé du rayon lumineux et préciser la position de F ′ , foyer image de l’ensemble
L1 − L2 . De quel point F ′ est-il l’image par L2 ? Appliquer la relation de Newton à L2 pour trouver la
distance F2′ F ′ . Vérifier que c’est cohérent avec la construction.
3. Construction 3 (en annexe) : f1′ = −3 carreaux et f2′ = 4 carreaux. Placer les foyers objet et image des
deux lentilles. Compléter le tracé du rayon lumineux et préciser la position de F , foyer objet de l’ensemble
L1 − L2 . Quelle est l’image de F par L1 ? Appliquer la relation de Newton à L1 pour trouver la distance
F1 F . Vérifier que c’est cohérent avec la construction.
II. Autocollimation
AB est un objet, L est une lentille mince et M est un miroir plan. La distance focale de la lentille est égale
à deux carreaux du quadrillage. Soit A1 l’image de A par la lentille, A2 l’image de A1 par le miroir et A′
l’image finale.
1. Pour chaque cas de figure, tracer le trajet des deux rayons partant de A pour construire les images
successives.
2. Retrouver par le calcul les positions de A1 , A2 et A′ pour le cas 3.
3. Donner un argument simple permettant de déterminer le grandissement transversal du système sans
calcul.
4. Dans le deuxième cas, l’image et l’objet sont dans le même plan. Que se passe-t-il si l’on translate le
miroir paralèllement à lui-meme? Que se passe-t-il si l’on fait tourner le miroir en écartant sa normale
de l’axe optique de la lentille?
1
Annexe
Construction 1
L1
L2
B
ao
A
Construction 2
L1
L2
ao
Construction 3
L1
L2
ao
2
Autocollimation :
L
M
B
A
F
L
M
B
A
F
L
M
B
F
A
3
III. Correction : constructions
1. Méthode : on construit le trajet des rayons lumineux à travers les deux lentilles. On trouve A1 B1 à
l’intersection des rayons sortants (ou de leurs prolongements) de L1 . On trouve A2 B2 à l’intersection des
rayons sortants (ou de leurs prolongements) de L2 .
2. A∞ − L1 − > F1′ − L2 − > F ′ : F ′ est donc l’image de F1′ par L2 . On applique la relation de conjugaison
avec origine aux foyers F2 F1′ .F2′ F ′ = −(f2′ )2 avec F2 F1′ = F2 O2 + O2 O1 + O1 F1′ = 4 − 5 − 3 = −4 carreaux
−(f2′ )2
et F2′ F ′ =
= −4 carreaux.
F2 F1′
3. F − L1 − > F2 − L2 − > A′∞ : F a donc pour image F2 par L1 . On applique la relation de conjugaison
avec origine aux foyers F1 F .F1′ F2 = −(f1′ )2 avec F2 F1′ = F2 O2 + O2 O1 + O1 F1′ = 4 − 5 − 3 = −4 carreaux
−(f1′ )2
9
et F1 F =
= − = −2, 25 carreaux.
4
F1′ F2
IV. Correction : autocollimation
1.
2. A − L− > A1 : la relation de conjugaison avec origine aux foyers donne F A.F ′ A1 = −(f ′ )2 soit
22
−(f ′ )2
= − = −4 carreaux.
F ′ A1 =
1
FA
A1 − M − > A2 : la relation de conjugaison donne F ′ A1 = −F ′ A2 = −4 carreaux.
Remarque : Il était donc intéressant de travailler avec la relation de conjugaison avec origine aux foyers pour
la lentille, car F ′ est aussi le projeté orthogonal de A1 sur le miroir, donc ce point intervient pour la relation
de conjugaison de la lentille et pour celle du miroir plan.
A2 − L− > A′ : attention, pour la lumière réfléchie, le foyer objet de la lentille est à la place du foyer
image pour la lumière incidente et réciproquement pour le foyer image, il est à la place du foyer objet soit
−(f ′ )2
−(−2)2
f ′ = OF ′ = −2 carreaux et F A2 = +4 carreaux. Ainsi F ′ A′ =
=
= −1 carreau.
4
F A2
3. Le rayon passant par B et parralèle à l’axe optique est réfracté par le foyer image de la lentille, il est
réfléchi sur le miroir plan et ressort de la lentille à nouveau parallèle à l’axe optique. Sur ce rayon sortant
se trouve B ′ . Or ce rayon sortant est à la meme distance de l’axe optique que le rayon incident donc le
grandissement dans tous les cas est −1.
4. Lorsqu’on translate le miroir plan, l’image se forme toujours à la meme position et à la meme taille, elle
est inchangée.
Lorsqu’on incline le miroir plan, l’image finale se forme toujours dans le meme plan que l’objet AB, elle a
toujours meme taille que lui mais A′ n’est plus sur l’axe optique.
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