Formation Interuniversitaire de Physique 2006—2007 I) Atome `a

Formation Interuniversitaire de Physique
2006—2007
Module L2 : M´ecanique Quantique
Examen
Jean-Michel Raimond, Adrien Mah´e, Sylvain Nascimbene
Ce probl`eme examine quelques aspects de l’´electrodynamique quantique en cavit´e. Un atome `a deux niveaux est
coupl´e`a un seul mode du champ ´electromagn´etique, soutenu par une cavit´er´esonnante de haute finesse. L’atome
est ´equivalent `aunspin1/2et le mode du champ `a un oscillateur harmonique unidimensionnel. On r´ealise ainsi
un des syst`emes les plus simples et n´eanmoins les plus riches de l’optique quantique.
Ce probl`eme se compose de deux parties. La premi`ere est relative `a la manipulation d’un atome `adeuxniveaux
par un champ r´esonnant classique et traite de la m´ethode spectroscopique des franges de Ramsey. La deuxi`eme
portesurl’interactiondecetatomeavecunmodeduchampquantifi´e dans la cavit´e.
La seconde partie est, dans une large part, ind´ependante de la premi`ere. On pourra si n´ecessaire admettre les
r´esultats donn´es dans l’´enonc´e. Les notes de cours et de TD sont autoris´ees.
On rappelle l’expression des matrices de Pauli :
σx=01
10
σy=0−i
i0σz=10 01
,(1)
et de l’´etat |+θ,ϕcorrespondant `a un vecteur de Bloch pointant dans la direction d´efinie par les angles polaires
θet ϕ:
|+θ,ϕ=cos(θ/2) |++sin(θ/2)eiϕ |− .(2)
I) Atome `a deux niveaux et interf´erom´etrie de Ramsey
On consid`ere deux niveaux non d´eg´en´er´es d’un atome, |eet |g(on suppose que les autres niveaux atomiques
ne jouent aucun rˆole). Le niveau |eest le niveau sup´erieur d’une transition vers |g`alafr´equence angulaire
ω0. On prendra l’origine des ´energies `a mi-chemin entre celles de |eet de |g. On assimilera ce syst`eme `adeux
niveaux `aunspin1/2, plac´e dans un champ magn´etique fictif le long d’un axe Oz (|e´etant l’´etat |+et |g
l’´etat |−). On pourra donc repr´esenter un ´etat arbitraire de l’atome par un vecteur (vecteur de Bloch) sur la
sph`ere de Bloch (|ecorrespondant au pˆole nord et |gau pˆole sud) et utiliser les matrices de Pauli σx,σyet
σzpour d´ecrire les op´erateurs atomiques.
1) Donner l’expression du hamiltonien H0de l’atome en termes de la matrice de Pauli σz. Quelle est la forme
g´en´erique des ´etats situ´es sur l’´equateur de la sph`ere de Bloch ? Donner l’´evolution libre des niveaux |eet |g
en fonction du temps t.
2) L’atome poss`ede un moment dipolaire ´electrique repr´esent´e par l’op´erateur d=d0(σ++σ−), o`ud0est un
vecteur r´eel d´ecrivant la polarisation de la transition. On rappelle que σ±=(σx±iσy)/2. Donner l’expression
matricielle de ddans la base {|e,|g}. Calculer la valeur moyenne de l’op´erateur dipolaire dans un ´etat atomique
arbitraire, en fonction des angles polaires θet ϕd´ecrivant le vecteur de Bloch associ´e. Pour quels ´etats cette
valeur moyenne est-elle de norme maximale?
3) L’atome `a deux niveaux interagit avec un champ ´electrique classique, `alafr´equence ω0lui aussi : E=
iE0αe−iω0t−α∗eiω0t,o`uE0est une amplitude vectorielle r´eelle et |α|= 1. L’interaction entre l’atome et le
champ se fait par le hamiltonien Hi=−d·E. On justifiera rapidement cette forme de Hi.Ecrirel’´equation de
Schr¨odinger r´egissant l’´evolution de l’´etat atomique, |ψ(t).
4) On passe en repr´esentation d’interaction par rapport `aH0. Pour cela, on pose 
˜
ψ(t)=U†
0|ψ(t),avec
U0=exp(−iH0t/¯h). Ecrire l’´equation de Schr¨odinger v´erifi´ee par 
˜
ψ(t). Montrer qu’elle d´ecrit l’´evolution sous
l’action d’un hamiltonien ˜ Hi=˜
d·E,avec˜ d=d0[˜σ+(t)+˜σ−(t)]. Donner l’expression des op´erateurs ˜σ±(t)en
fonction de σ±(on pourra utiliser leur repr´esentation matricielle et celle de U0dans la base {|e,|g}).
5) Montrer que, dans l’expression compl`ete de ˜ Hi, deux termes sont rapidement oscillants et deux termes station-
naires. Justifier que les termes oscillants sont n´egligeables qu’on peut finalement ´ecrire ˜ Hi=−i(¯hΩr/2)(σ+α−
1

σ−α∗). Donner l’expression de Ωr. On pose enfin α=e−iφ. A quelle quantit´e physique correspond φ?Montrer
que ˜ Hi=¯hΩrσu/2, o`uσuest l’op´erateur de Pauli dans une direction uque l’on pr´ecisera.
6) En d´eduire que l’op´erateur d’´evolution U(t)d´ecrivant l’action de ˜ Hipendant un temps tcorrespond, pour
le vecteur de Bloch, `a une rotation d’un angle Θ = Ωrtautour de u. Donner l’expression matricielle de U
dans la base {|e,|g}. L’atome est initialement dans |e. Donner son ´etat final apr`es une application du champ
´electrique correspondant `aΘ=π/2, πet 2π(‘impulsions’ π/2, πet 2π). Commenter le dernier cas.
7) On soumet l’atome, initialement dans |e,`a une impulsion de champ br`eve et intense au voisinage de t=0,de
phase φ= 0, correspondant `aΘ=π/2. Autour de t=T, on soumet l’atome `a une nouvelle impulsion Θ = π/2
de phase ϕ. Donner l’´etat atomique final (on reste en repr´esentation d’interaction par rapport `aH0de telle
mani`ere que les niveaux atomiques n’´evoluent pas en dehors des impulsions de champ). Calculer la probabilit´e
Pede trouver finalement l’atome dans |e. Montrer qu’elle varie sinuso¨ıdalement en fonction de ϕ.Peut-on
interpr´eter ces ‘franges’ en termes d’interf´erences quantiques ? Ce sch´ema est nomm´em´ethode de Ramsey. Les
interf´erences de Ramsey fournissent une sonde tr`es sensible des perturbations subies par le syst`eme atomique
entre les deux impulsions r´esonantes.
8) Entre les instants t1et t2tels que 0 <t
1<t 2<T, dans l’intervalle de temps entre les deux impulsions, une
perturbation externe change l´eg`erement la fr´equence de la transition atomique, qui devient ω
0=ω0+δ. Comment
´evolue l’´etat atomique, en repr´esentation d’interaction par rapport `aH0pendant cet intervalle de temps ? En
d´eduire la nouvelle expression de Pe. Montrer que les franges de Ramsey sont d´ephas´ees de Φ = −δ(t2−t1).
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Transfer
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Transfer
Fig. 1 – Franges de Ramsey
9) La figure 1 pr´esente un signal de Ramsey Pe(φ) obtenu sur une transition entre niveaux de Rydberg circulaires.
On donne ω0/2π=51.1GHz,T= 400μs. Pour chaque point, on inf`ere Pede la d´etection de Natomes. Les
barres d’erreur correspondent aux incertitudes statistiques. Donner, d’apr`es la figure, un ordre de grandeur de
N. On cherche a d´eterminer une petite phase additionnelle dΦ. Quelle est qualitativement la valeur optimale
de φ? Quelle est alors la plus petite variation dΦdeΦmesurableend´etectant Natomes ? A quelle variation
de la fr´equence atomique correspond-elle si t2−t1≈T? Commentez.
10) Le contraste des franges de la figure 1 est diff´erent de l’unit´e. Des champs parasites provoquent, d’un atome
`a l’autre, une dispersion de la phase Φ autour de sa valeur moyenne. On suppose donc que Φ varie d’un atome
`a l’autre comme une variable al´eatoire uniform´ement distribu´ee entre −ΔΦ/2etΔΦ/2. Calculer Pedans ces
conditions. D’apr`es la figure, donner un ordre de grandeur de ΔΦ. Que se passerait-il si ΔΦ = 2π?
2

II) Interaction atome-cavit´e : mesure sans absorption d’un photon
unique.
L’atome `a deux niveaux interagit maintenant avec un mode du champ quantifi´e soutenu par une cavit´e
r´esonnante.Onrappellequecemodeestformellement´equivalent `a un oscillateur harmonique unidimensionnel
de fr´equence ω.Onnoteraaet a†les op´erateurs d’annihilation et de cr´eation associ´es.
1) Rappeler l’expression du hamiltonien du mode, Hc,enfonctiondeaet a†. Quelles sont ses ´energies propres ?
On notera |nl’´etat `anphotons. On s’int´eresse pour cette question aux niveaux du syst`eme atome-champ sans
couplage. Quels sont les ´etats propres de H0+Hc? Sont-ils des ´etats intriqu´es atome-champ ? Donner leurs
´energies. On posera Δ = ω0−ωet on supposera dans toute la suite 0 <Δω0.Repr´esenter graphiquement
la position de ces niveaux non coupl´es.
2) On consid`ere maintenant le couplage entre le dipˆoleatomiqueetlechampquantifi´e. L’op´erateur champ
´electrique s’´ecrit E=iE0(a−a†), o`uE0est une amplitude vectorielle r´eelle. Ecrire le hamiltonien d’inter-
action atome-champ Hi. Montrer qu’il fait intervenir quatre termes op´eratoriels et les interpr´eter physique-
ment. Montrer que deux d’entre eux ont une influence n´egligeable si ω≈ω0.End´eduire qu’on peut ´ecrire
Hi=−i¯h(Ω0/2)(aσ+−a†σ−).
3) Montrer que Hine couple que les niveaux |e, net |g, n +1.End´eduire que la diagonalisation du hamiltonien
total H=Ha+Hc+Hise ram`ene `a la diagonalisation s´epar´ee de hamiltoniens 2×2. On notera Hnla restriction
de Hau sous-espace {|e, n,|g, n +1}.OnposeHn=¯hω(n+1)11+Vn. Donner l’expression matricielle de Vn
(on notera Ωn=Ω
0√n+ 1). On associe `a l’espace {|e, n,|g, n +1} un spin 1/2(|e, n´etant assimil´e`a|+).
Donner l’expression de Vnen termes des matrices de Pauli associ´ees `a ce spin.
4) Donner les ´energies propres de Hn.Ses´etats propres sont appel´es ‘´etats habill´es’ (on notera |+,nl’´etat de
plus grande ´enegie, |−,ncelui de moindre ´energie). Montrer que :
|+,n=cosθn
2|e, n+isin θn 2|g, n +1;|−,n=sinθn 2|e, n−icos θn 2|g, n +1,(3)
o`uθnest d´efini par tan θn=Ω
n/Δ. S’agit-il d’´etats intriqu´es atome-champ ? Quels sont les r´esultats dans le cas
Δ=0?Repr´esenter dans ce cas graphiquement la position des quelques premiers niveaux habill´es (on suppose
Ωnω0). Quel est le niveau fondamental ?
5) L’atome entre dans le niveau |edans la cavit´er´esonnante (Δ = 0) contenant exactement |nphotons. Donner
l’expression de l’´etat |Ψ(t)du syst`eme `a l’instant tdans la base {|e, n,|g, n +1}.End´eduire la probabilit´e
Pe|n(t) de trouver l’atome dans l’´etat |e. Montrer qu’elle oscille entre z´ero et un `alafr´equence Ωn.
6) On se place maintenant et jusqu’`alafinduprobl`eme dans le cas Ω0Δω0. Montrer que les ´etats
habill´es |±,nsont pratiquement identiques, `a des phases pr`es, aux ´etats |e, net |g, n +1.End´eduire que le
nombre de photons ne change pas et que l’interaction atome-champ r´esulte simplement dans un d´eplacement
de l’´energie des niveaux |e, net |g, n. Donner ce d´eplacement au premier ordre non nul en Ω0/Δ.
7) En d´eduire que la pulsation de la transition atomique est d´eplac´ee, quand la cavit´e est dans l’´etat |n,
d’une quantit´es0(2n+ 1). Donner la valeur de la pulsation s0en fonction de Ω0et Δ. On place l’interaction
atome-cavit´e, durant un temps ti, entre les deux impulsions de champ classique d’un interf´erom`etre de Ramsey.
Montrer que les franges de Ramsey sont d´ephas´ees par l’interaction atome-champ d’une quantit´eΦquel’on
pr´ecisera. On r´ealise s0ti=π/2. Repr´esenter les franges pour une cavit´e vide et une cavit´e contenant un photon.
8) Comment choisir la phase φde l’interf´erom`etre de Ramsey pour que l’´etat atomique final soit corr´el´esans
ambig¨uit´e au nombre de photons (0 ou 1) dans la cavit´e(|ecorrespondant `a|1et |g`a |0)? La d´etection
de l’atome dans un niveau ou l’autre r´ealise alors une mesure du nombre de photons dans la cavit´e. Quelle est
la propri´et´e remarquable de cette mesure ? La cavit´e est initialement dans l’´etat (|0+|1)/√2. On envoie une
s´erie d’atomes dans le dispositif. Que peut-on s’attendre `aobserver?
9) On couple `alacavit´e une source classique r´esonnante `at= 0. Elle cr´ee, apr`es un temps t,un´etat coh´erent
d’amplitude α=vt. Donner le nombre moyen de photons en fonction du temps. A quel instant t1aura-t-on un
photon en moyenne ? Pendant le couplage cavit´e-source, on r´ealisedefa¸con r´ep´et´ee la mesure sans absorption
du nombre de photons par un atome. L’intervalle de temps τentre deux mesures est beaucoup plus court que
t1. Quelle est la probabilit´e de trouver 1 photon dans la premi`ere mesure ? Si on trouve z´ero photon, quelle est
la probabilit´e d’en trouver un dans la deuxi`eme mesure ? Que va-t-on observer finalement ? Au bout de combien
de temps en moyenne finira-t-on par d´etecter un photon ? Commenter.
10) La figure 2 pr´esente une s´erie de d´etections atomiques. Un atome dans |gcorrespond a un trait vertical
vers le bas, un atome dans |ea un trait vers le haut. Commenter cette figure.
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Fig. 2–S´equence de d´etection du champ dans la cavit´e. D’apr`es Kuhr et al, quant-phys/0612031
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