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Chapitre 8 : Cercles et droites remarquables du triangle 1/3 4
èmes
Ozar Hatorah 2011-2012
CHAPITRE VIII
Cercles et droites remarquables du triangle
Objectifs du Chapitre
1 Déterminer la distance d’un point à une droite
2 Tracer la droite tangente à un cercle en un point donné
3 Définitions et propriétés des droites remarquables d’un triangle
4 Utiliser le th. des droites remarquables confondues et sa réciproque
5 Utiliser les propriétés du cercle circonscrit à un tri. rectangle
I. Distance et tangente
1) Distance d’un point à une droite
Soit une droite D et un point A qui n’est pas sur D.
 Le point de D le plus proche de A est le point H tel que (AH)
⊥
D.
 On appelle distance de A à D la longueur AH, notée d (A ; D).
 Pour tout point M de D, AH
≤
AM (avec égalité lorsque H=M).
2) Tangente à un cercle
Soit un cercle C et une droite D.
 On dit que D est tangente à C lorsqu’elle coupe C en un unique point.
 Il existe une unique tangente à un cercle en un point donné. Voilà
pourquoi on parle de la tangente à C en A.
 Si une droite est tangente à un cercle en un point, alors elle est
perpendiculaire au rayon en ce point.
 Si une droite est perpendiculaire au rayon d’un cercle en un point du
cercle, alors c’est la tangente au cercle en ce point.
II. Droites remarquables dans un triangle
1) Médiane
On appelle médiane le segment qui relie un sommet du triangle au milieu du côté opposé.
On dit que [AA’] est la médiane issue de A, ou relative à [BC].
 Tout triangle admet trois médianes distinctes.
 Les médianes d’un triangle sont concourantes.
 Le point de concours des médianes s’appelle le centre de gravité .
 Le centre de gravité est au
3
2
de la médiane, en partant du sommet .
 Par conséquent : AG =
3
2
AA’ BG =
3
2
BB’ CG =
3
2
CC’
2) Hauteur
On appelle hauteur la droite qui joint un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.
On dit que (AH) est la hauteur issue de A, ou relative à [BC].
 Tout triangle admet trois hauteurs distinctes.
 Les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
 Le point de concours des hauteurs s’appelle l’orthocentre .
M
A
H
D
+
A
O
C
D

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3) Médiatrice
On appelle médiatrice d’un segment la droite qui est perpendiculaire au segment en son milieu.
 Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant
des extrémités de ce segment.
 Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est
sur la médiatrice de ce segment.
 Tout triangle admet trois médiatrices distinctes.
 Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
 Le point de concours des médiatrices s’appelle le centre du cercle
circonscrit au triangle
.
 Le cercle circonscrit d’un triangle (d’un polygone) est le cercle qui
relie les trois sommets du triangle (tous les sommets du polygone).
 Par conséquent : OA = OB = OC.
4) Bissectrice
On appelle bissectrice d’un angle la demi-droite qui le partage en deux angles égaux.
 Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant
des côtés de l’angle.
 Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il est sur la
bissectrice de cet angle.
 Tout triangle admet trois bissectrices distinctes.
 Les bissectrices d’un triangle sont concourantes.
 Le point de concours des bissectrices s’appelle le centre du cercle
inscrit dans le triangle
.
 Le cercle inscrit d’un triangle (d’un polygone) est le cercle tangent
aux trois côtés du triangle (à tous les côtés du polygone).
 Par conséquent : O’D = O’E = O’F
III. Triangles particuliers
1) Triangle rectangle
a) Définition
On dit qu’un triangle est rectangle lorsqu’il possède un angle de 90°.
On appelle hypoténuse le côté opposé à l’angle droit.
On dit que les deux angles aigus du triangle rectangle sont complémentaires .
(i.e. : leur somme est égale à 90°).
b) Caractérisation par le centre du cercle circonscrit
 Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le
centre du cercle circonscrit.
 Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un
diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce
point.

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c) Caractérisation par la médiane relative au grand côté
 Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue
de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de
l’hypoténuse.
 Si dans un triangle, la mesure de la médiane relative à un côté est
égale à la moitié de la longueur de celui-ci, alors le triangle est
rectangle en le sommet dont la médiane est issue.
d) Caractérisation par l’orthocentre
 Si un triangle est rectangle, alors son orthocentre est confondu
avec le sommet de l’angle droit.
 Si l’orthocentre d’un triangle est confondu avec un sommet,
alors le triangle est rectangle en ce sommet.
2) Triangle isocèle
a) Définition
On dit qu’un triangle ABC est isocèle en A lorsque AB = AC.
On appelle base du triangle isocèle le côté [BC].
b) Caractérisation par les angles de la base
 Si un triangle est isocèle, alors les angles de sa base sont de même mesure.
 Si un triangle possède deux angles de même mesure,
alors il est isocèle en le sommet relatif au troisième angle.
Remarque :
Un triangle possédant deux angles de 45° est appelé triangle isocèle rectangle .
c) Caractérisation par les droites remarquables
 Si un triangle est isocèle en un sommet,
alors toutes les droites remarquables issues de ce sommet sont confondues.
 Si deux droites remarquables issues du même sommet d’un triangle sont confondues,
alors ce triangle est isocèle en le sommet donné.
3) Triangle équilatéral
a) Définition
On dit qu’un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés sont de même mesure.
Remarque :
 Si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle en ses trois sommets.
 Si un triangle est isocèle en deux sommets, alors il est équilatéral.
b) Caractérisation par les angles
 Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles mesurent 60°.
 Si un triangle possède deux angles de 60°, alors il est équilatéral.
c) Caractérisation par les droites remarquables
 Si un triangle est équilatéral, alors toutes les droites remarquables sont concourantes.
 Si deux points de concours des droites remarquables d’un triangle sont confondus,
alors ce triangle est équilatéral.
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