Équations de mouvement de l`avion

EQUATIONS DE MOUVEMENT D'UN AVION RIGIDE
STABILITÉ LONGITUDINALE ET LATÉRALE
1
SYSTÈMES DES AXES LIÉ À L'AVION
Xa
XT
YT
Ya
ZT
Za
Nord
Ouest
Est
Sud
XTYTZT
- Système d'axes lié à la Terre
XaYaZa
- Système d'axes lié à l'avion a
2
CALCUL DES FORCES
(2ième Loi de Newton)
∑ F = dtd (m v )
où
F - Somme des forces externes appliquées
m - Masse de l’avion
VT - Vitesse vraie de l’avion
->
Fx = d (mu )
dt
Fy = d (mv)
dt
3
Fz = d (mw)
dt
CALCUL DES MOMENTS
(2ième Loi de Newton)
∑ M = dtd (H )
où
M - Somme des moments externes appliquées
m - Masse de l’avion
H - Moment d'impulsion
->
L= dH x
dt
M = dH y
dt
4
N = dH z
dt
CALCUL DES FORCES SUR UN AVION
CM r
r
δm
Xa
Ya
Za
Vc
δm – masse d'un élément de l'avion
∑ δ F = ∑ δ m ddtv = F
5
CALCUL DES FORCES SUR UN AVION
Suite
V =Vc + dr
dt
Vc –
Vitesse de CM
dr/dt – Vitesse d'un élément par rapport au CM
6
CALCUL DES FORCES SUR UN AVION
Remplacer V dans la Σ δF = F
->
d2
c
c
dV
d
dr
dV
F =m
+
δm =m
+
rδ m
dt dt ∑ dt
dt dt 2 ∑
r mesuré à partir de CM ->
Σ rδm = 0
->
F = m dV c
dt
7
CALCUL DES FORCES SUR UN AVION
Suite
A scalaire ->
dA = dA + ω x A
dt T dt a
->
F T =m dVc + m(ω xVc )
dt a
8
CALCUL DES FORCES SUR UN AVION
Vc = ui + vj + wk
dV c  = i du + j dv + k dw
dt  a
dt
dt
dt
ω = ip + jq + kr
->
F T = m dV c
dt
9
a
+ m (ω x V c )
CALCUL DES FORCES SUR UN AVION
F = iF x+ jF y+ k F
->
(
F = m du + qw − vr
dt
x
(
)
(
)
Fy =m dv + ru − pw
dt
FZ =m dw + pv−qu
dt
10
)
z
Détails sur le produit vectoriel
j k
i

A ⊗ B =  A1 A2 A3  = i( A2 B3 − B2 A3 ) − j( A1B3 − A3 B1 ) + k( A1B2 − A2 B1 )
B1 B2 B3 
11
CALCUL DES MOMENTS
(2ième Loi de Newton)
δ M = d δ H = d (r x V )δ m
dt
dt
->
H = Σ δH = Σ (r x Vc) δm + Σ [ r x ( ω x r ) ] δm
= zéro
H = (pi+qj+rk) Σ (x2+y2+z2) δm - Σ (xi+yj+zk)(px+qy+rz) δm
12
CALCUL DES MOMENTS
(2ième Loi de Newton)
->
Hx = pIx – q Ixy – r Ixz
Hy = - pIxy + q Iy – r Iyz
Hz = - pIxz - q Iyz + r Iz
où
Ii - Moment d'inertie de masse
Iij - Produit d'inertie, i # j
13
CALCUL DES MOMENTS
(2ième Loi de Newton)
M = dH
dt
] = dHdt ] + ω ⊗ H
T
a
où
H=I⊗ω
->
L= H& x + qH −rH
z
y
M =H& y +rH − pHz
x
14
N =H& z + pHy −qH
x
CALCUL DES MOMENTS
(2ième Loi de Newton)
Plane xz ->
Plane de symétrie de l'avion ->
L= Ix
dp
− I xz dr + ( I z − I y ) qr − I xz pq
dt
dt
M =I y
dq
+(I x −I z)rp+ I xz(p2−r2)
dt
N =−I xz
dp dr
+ I z + pq(I y − I x )+ I xz qr
dt
dt
15
Orientation et position de l'avion
• Éqs. de mvt dérivées par rapport à l'avion a
• Définies -> Axes de références fixes -> À t=0 - Axes coïncident
• L'orientation de l'avion est décrite par 3 rotations consécutives
(ordre !!! )
• Rotations angulaires -> Angles d'Euler
16
Orientation et position de l'avion (suite)
L'orientation de système d'axes a par rapport au système T
- L'avion positionné tel que le système a || T
- Appliquer les rotations suivantes:
17
Orientation et position de l'avion (suite)
XT
X1
Ψ
YT
O
Ψ
Y1
&
Ψ
ZT = Z1
1)
Tourner
XTYTZT autour de OZT avec ψ
18
-> X1Y1Z1
Orientation et position de l'avion (suite)
X2
XT
X1
Ψ
θ
O
Z2 θ
YT
Ψ
Y1 = Y2
θ&
&
Ψ
ZT = Z1
2)
Tourner
X1Y1Z1 autour de OY1 avec θ
19
-> X2Y2Z2
Orientation et position de l'avion (suite)
X2 = X3 = Xa
XT
X1
Ψ
θ
Ψ
O
Z3=Za
φ
φ
Z2 θ
YT
φ&
Y1 = Y2
θ&
&
Ψ
Y3=Ya
ZT = Z 1
3)
Tourner
X2Y2Z2 autour de OX2 avec φ
20
-> X3Y3Z3
Orientation et position de l'avion (suite)
Composantes de la vitesse dans XTYTZT
1
2
->
->
Composantes sur X1, Y1 et Z1
Composantes sur X2, Y2 et Z2
X2 = X3 = Xa
XT
X1
Ψ
θ
Z3=Za
Ψ
φ
φ
Z2 θ
YT
φ&
O
dX/dt, dY/dt et dZ/dt
Y1 = Y2
θ&
&
Ψ
Y3=Ya
ZT = Z 1
21
Orientation et position de l'avion (suite)
X2 = X3 = Xa
XT
X1
Ψ
θ
Ψ
O
Z3=Za
φ
φ
Z2 θ
YT
φ&
Y1 = Y2
θ&
&
Ψ
Y3=Ya
ZT = Z1
dX =u cosψ −v sinψ
1
dt 1
u1 =u 2 cosθ + w2 sinθ
u2 =u
dY =u sinψ + v cosψ
1
dt 1
dZ = w 1
dt
w1 =−u2 sinθ +w2 cosθ
v1 = v 2
w2 =vsinφ + wcosφ
u2 =vcosφ − wsinφ
22
Vitesse absolue en fonction des angles d'Euler et
les composantes de la vitesse en a
->









dX 
dt  Cθ Cψ Sφ Sθ Cψ −Cφ Sψ Cφ Sθ Cψ +Sφ Sψ  u 

 
dY  Cθ Sψ Sφ Sθ Sψ +Cφ Cψ Cφ Sθ Sψ −Sφ Cψ  v 
 
dt =

 
 w
SφCθ
Cφ Cθ
 
dZ   −Sθ
 
dt  


Intégrer -> Position de l'avion par rapport à T
23
Vitesses d'Euler vs Vitesses angulaires dans a
− Sθ
 p  1 0

 
 q  = 0 C φ Cθ Sφ
  
 r  0 − Sφ C θ C φ
  

->
  φ& 
 
 & 
 θ 
 
 ψ& 
  
 φ&   1 Sφ tan θ C φ tan θ
  
0
θ&  =  0
  
ψ&   0 S φ sec θ C φ sec θ
  
Intégrer
-> ψ, θ, φ
24
 p 
 
 q 
 
 r 
  

Forces de gravité
Xa
θ
θ
Za
mg
φ
φ
φ
Za
Ya
FXg = -mg sinθ
FYg = mg cosθ sinφ FZg = mg cosθ cosφ
25
Forces de propulsion
FXp = XT
Lp = LT
FYp = YT
Mp=MT
26
FZp = ZT
Np = NT
Sommaire des équations des forces
X − mgS θ = m(u& + qw − vr )
Y +mgC θ Sφ =m(v&+ ru − pw )
Z + mgC θ Cφ =m(w& + pv − qu )
27
Sommaire des équations des moments
L= I x p& − I xzr&+(I z − I y)qr− I xz pq
M = I y q& +(I x − I z)rp + I xz (p 2 −r 2 )
N = − I xz p& + I z r&+ pq (I y − I x )+ I xz qr
28
Vitesses angulaires p, q, r vs Angles d'Euler et Vitesses d'Euler
− Sθ
 p  1 0

 
 q  = 0 C φ Cθ Sφ
  
 r  0 − Sφ Cθ C φ
  
φ&  1 Sφ tanθ Cφ tanθ
  
θ& = 0 0
  
ψ&  0 Sφ secθ Cφ secθ
  
29
  φ& 
 
 & 
θ 
 
 ψ& 
  
 p 
 
 q 
 
 r 
 

Vitesse de l'avion dans T
 dX 
 dt  Cθ Cψ Sφ Sθ Cψ −Cφ Sψ Cφ Sθ Cψ +Sφ Sψ
  
 dY  Cθ Sψ Sφ Sθ Sψ +Cφ Cψ Cφ Sθ Sψ −Sφ Cψ
 dt =
 dZ   −Sθ
SφCθ
Cφ Cθ
 dt  
  
30
u
 
 v 
 
w
 

Théorie des petites perturbations
• Le mouvement de l'avion ->
Perturbations petites autour de la condition permanente de vol
• Variables -> Valeur de référence (indice 0) plus une perturbation (∆)
u = u0 + ∆u, v = v0 + ∆v, w = w0 + ∆w
p = p0 + ∆p, q = q0 + ∆q, r = r0 + ∆r
X = X0 + ∆X, Y = Y0 + ∆Y, Z = Z0 + ∆Z
M = M0 + ∆M, N = N0 + ∆N, L =L0 + ∆L
δ = δ0 + ∆δ
31
Théorie des petites perturbations
suite
• Condition de vol de référence -> Symétrique
• Forces de propulsion constantes
->
v0 = p0 = q0 = r0 = φ0 = ψ0 = 0
• Aligner l'axe des X dans la direction de Vc -> w0 = 0
32
Théorie des petites perturbations
Suite
Exemple:
L'équation des forces selon l'axe des X
X − mgS θ = m (u& + qw − vr )
Remplacer variables des petites perturbations dans l'éq des forces selon X
[
]
X 0 +∆X −mg sin(θ0 +∆θ )=m d (u0 +∆u )+(q0 +∆q)(w0 +∆w)−(r0 +∆r )(v0 +∆v )
dt
w0 = v0 = p0 = q0 = r0 = φ0 = ψ0 = 0
∆q ∆w = 0 et ∆r ∆v = 0 et u0 = constante ->
X 0 + ∆ X −mg sin(θ0 + ∆ θ )=m ∆ u&
33
Théorie des petites perturbations
Suite
X 0 + ∆ X −mg sin(θ0 + ∆ θ )=m ∆ u&
On sait que
sin( θ0 + ∆θ ) = sin θ0 + ∆θ cos θ0
pour
∆θ
petit
->
34
Théorie des petites perturbations
Suite
X 0 + ∆ X −mg (sin θ0 + ∆ θ cos θ0 )=m ∆ u&
->
Vol de référence
X0 – mg sin θ0 = 0
-> Équation en X
∆X −mg( ∆θ cosθ0 )=m∆u&
35
Théorie des petites perturbations
suite
Force ∆X -> Série Taylor
∆ X = ∂ X ∆ u + ∂ X ∆ w+ ∂X ∆ δ e + ∂ X ∆ δ T
∂u
∂w
∂δ e
∂δ T
Coefficients de ∆u, ∆w, ∆δe et ∆δT –
Dérivées de stabilité à une condition de vol de référence
36
Théorie des petites perturbations
suite
Remplacer ∆X dans l'éq des forces sur l'axe des X ->
∂X ∆u+ ∂X ∆w+ ∂X ∆δe + ∂X ∆δT −mg( ∆θ cos θ0 )=m∆u&
∂u
∂w
∂δ e
∂δT
ou sous la forme
( )
 m d − ∂X ∆u− ∂X ∆w+(mgcos θ )∆θ = ∂X ∆δ e + ∂X ∆δ
 dt ∂u 
T
0
w
∂
∂
δ
∂
δ
e


T
37
Théorie des petites perturbations
suite
Diviser l'éq. par la masse m ->
 d −X
 dt

u
∆u− X w∆w+(gcos θ )∆θ = X ∆δ e + X ∆δ

T
0
δT
δ

e
38
DÉRIVÉES AÉRODYNAMIQUES
MOUVEMENT LONGITUDINAL
∆X = ∂X ∆u+ ∂X ∆w+ ∂X ∆δ e + ∂X ∆δT
∂u
∂w
∂δ e
∂δT
∆Z=∂Z ∆u+∂Z ∆w+∂Z ∆w& +∂Z ∆q+ ∂Z ∆δe + ∂Z ∆δT
∂u
∂w
∂w&
∂q
∂δT
∂δe
∆M=∂M ∆u+∂M ∆w+∂M ∆w& +∂M ∆q+∂M ∆δe +∂M ∆δT
∂u
∂w
∂w&
∂q
∂δT
∂δe
39