Concepts de base de la théorie de portefeuille
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Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification INTRODUCTION La gestion des actifs dont l’un des aboutissements théoriques est sans équivoque la théorie des portefeuilles, a pour objectif d’augmenter le « return » d’un portefeuille tout en limitant ses risques. Les méthodes de gestion traditionnelles, que ce soit l’analyse technique ou fondamentale, utilisent ce principe de façon implicite. La prolifération des instruments de couverture des risques, l’ouverture des économies, le développement des télécommunications, l’augmentation du nombre des intervenants et, de ce fait, de la liquidité des produits ont engendré, depuis le début des années quatre vingt, une volatilité accrue sur les marchés. Ces irrationalités apparentes ont gagné petit à petit tous les marchés et ont forcé les gérants de portefeuilles à mieux structurer leur gestion pour en tirer profit. Aujourd’hui, si les instruments financiers utilisés ne constituent pas des innovations récentes, par contre, la gestion de patrimoine est devenue hautement sophistiquée car elle nécessite un support informatique important afin de tirer profit de bandes de données multiples. Cette dernière approche trouve sa pleine expression dans ce que l’on appelle la gestion quantitative. Il s’agira pour nous (moi) de survoler dans ce résumé la théorie de portefeuille à travers les trois notions fondamentales : rendement, risque, diversification. I- La notion de rendement En préambule à cette section, signalons que le choix de portefeuille est généralement précédé par une analyse financière d’un ensemble des actions individuelles. Si l’objectif de l’investisseur est de maximiser ses gains futurs, son portefeuille ne sera constitué que d’une seule valeur, celle qui lui assure une rentabilité espéré maximale. Cependant aucun investisseur ne détient simplement une valeur mais plutôt un portefeuille diversifié, ce qui rend le choix optimal et portefeuille plus difficile pour l’investisseur qui doit déterminer selon quel critère doit-il choisir entre ses placements. La variance est le critère le plus célèbre qu’a été proposé par Markowitz en 1952 dans sa théorie moyenne-variance dont l’objectif est de déterminer les combinaisons optimales de plusieurs données. Sur la base du critère de la variance d’autres critères se sont apparus entre autres : la semi-variance, l’écart absolu, moyen et la double semi-variance à titre d’exemple. De façon pragmatique considérons un portefeuille compose de deux A et B ayant les caractéristiques suivantes : Le titre A ayant un risque de 12% et une espérance de rendement de 10% Le titre B ayant un risque de 17% et une espérance de rendement de 20% Comment à partir de ces caractéristiques individuelles des titres A et B peut-on en déduire la rentabilité et le risque au niveau du portefeuille. Ce qui sera dit ci-après pour un portefeuille de deux titres est évidemment généralisable pour des portefeuilles de plusieurs titres. Le rendement du portefeuille : Etant donné que l'espérance mathématique est un opérateur linéaire, cela nous permet de poser que l'espérance de gain du portefeuille est égale a la somme des espérances de gain des titres qui le composent, soit : E(Rp) = aE(RA) + bE(RB) Avec E(Rp): l'espérance de rendement du portefeuille E(RA): l'espérance de rendement du titre A E(RB): l'espérance de rendement du titre B a: la part investie dans le titre A en pourcentage b: la part investie dans le titre B (b = 100% - a) Si l'on reprend notre exemple et que l'on investit 60% des capitaux du portefeuille dans le titre A et 40% dans le titre B, nous obtenons une espérance de rendement qui est de 14% : 0.6 x 10% + 0.4 x 20% = 14% II- La notion de risque du portefeuille. Année Académique 2008/2009 Page 1 Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification L'espoir d'un gain substantiel, lors d'un investissement, est généralement proportionnel à l'incertitude du résultat. Ce que les prudents appellent le risque, est qualifié d'espoir par d'autres. La mesure du risque, donc de la difficulté – incertitude - de prévoir le rendement d'un investissement ou d'un portefeuille est bien connue en statistique : l’ÉCART-TYPE qui n'est autre que la racine carrée de la variance. Le gestionnaire cherchera toujours à maximiser le rendement et à minimiser le risque. La diversification dans le choix des actifs financiers d'un type d'investissement bien défini conduit en théorie, à annuler la part du risque inhérente au choix d'un actif financier pour un type d'investissement. Par ailleurs au-delà du risque inhérent au choix d’un actif, les incertitudes des marchés financiers proviennent notamment: 1) Risque de change. C'est la conséquence de tout investissement en devises étrangères, à moins que cet investissement ne soit justement fait pour annuler un risque de change. Ainsi, la vente de 100.000 USD à terme constitue à priori une position de risque de change dans un portefeuille sauf si cette vente est faite pour contrebalancer une position globalement haussière du même montant dans cette devise. 2) Risque d'inflation. La réduction du pouvoir d'achat varie selon les époques en réduisant constamment le rendement réel des placements. L'enrichissement réel d'un investisseur est effectivement la différence entre l'accroissement de valeur de son patrimoine et la réduction de pouvoir d'achat due à l'inflation. Ceci conforte l'adage populaire qui veut que "pour être riche, il faille s'endetter". Il est certain qu'un endettement élevé aujourd'hui sera moins conséquent dans 20 ans. 3) Risque des taux d'intérêt. En théorie, le rendement à l'échéance d'obligations d'un même niveau de risque, sont égaux. En conséquence, toute hausse des taux d'intérêt pour une échéance d'obligations induit une baisse des cours de ces obligations, donc un appauvrissement des porteurs d'obligations. En pratique, l'efficience des marchés obligataires est imparfaite, ce qui crée la possibilité d'arbitrages. 4) Risque des marchés. La tendance des marchés est essentiellement fonction des données économiques. Cependant, tout marché est influencé par le comportement psychologique et les anticipations des investisseurs. Un investissement particulier est encore plus influencé par ces éléments difficilement pondérables. Au moment où un intervenant veut opérer sur un marché, la liquidité de ce marché peut être insuffisante. Après que la transaction a été effectuée, la contrepartie peut faire défaut. 5) Risque de l'entreprise. Un émetteur d'obligations peut devenir défaillant. Une entreprise évolue avec plus ou moins de bonheur dans un secteur. Un contrat, une découverte, un accident, ... peuvent modifier la valeur d'une entreprise. Le marché cherche souvent à anticiper; ainsi l'annonce d'un événement majeur dans la vie d'une entreprise, n'a pas toujours l'effet escompté sur le prix du marché. 6) Risque politique. Tout État est par essence souverain. Il peut donc unilatéralement dénoncer ses engagements. (Ex.: emprunts russes, pays d'Amérique du Sud ...). Année Académique 2008/2009 Page 2 Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification Pour donc estimer la notion de risque dans le cadre d’un portefeuille il faut tenir compte le fait que contrairement à l'espérance mathématique, la variance n'est pas un opérateur linéaire, ce qui ne nous autorise pas à poser que la variance du portefeuille est égale à la somme des variances. En fait, la variance du portefeuille vaut : ä2p = aä2A + bä2B + 2ab cov(A,B) Ou encore : äp = _ äA + äB + 2ab ñAB x äAx äB Avec : äp: le risque du portefeuille (variabilité ou dispersion des rendements du portefeuille) äa: le risque du titre A äb: le risque du titre B ñab: le coefficient de corrélation entre les rendements du titre A et du titre B a: la part investie dans le titre A en pour-cent b: la part investie dans le titre B (b = 100% - a) Dans notre exemple, si l'on suppose un coefficient de corrélation de -0.2, nous obtenons un risque du portefeuille de 8.8%. Notre portefeuille présente donc un risque de 8.8% et un rendement de 13%: on remarque qu'il est moins risqué et plus rentable qu'un investissement dans le titre A. Il vaut donc mieux investir dans le portefeuille que dans le titre A. La notion de risque va nous conduire à étudier la théorie de la diversification du portefeuille comme un des facteurs influençant le niveau du risque. III- Diversification de portefeuille : Pourquoi devrait-on diversifier notre portefeuille ? Chaque titre comporte un risque que l'on peut décomposer en deux catégories: le risque spécifique de chaque titre, et le risque systématique, lié aux mouvements du marché. Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète dans différentes proportions plusieurs titres. L'un des grands principes de la constitution de portefeuilles repose sur un adage de pur bon sens: ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier. Le pionnier de la finance moderne, Markowitz, inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait arrivé à démontrer en termes mathématiques la réalité de ce proverbe. Il a établi de manière irréfutable que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres (diversifier ses investissements) permet de diminuer le risque sans perte de rendement. Cette découverte repose sur le fait que les risques spécifiques de chaque titre se compensent et finissent par disparaître complètement à partir d'un certain nombre de titres. Le seul risque qui subsiste pour ce type de portefeuilles, dits portefeuilles bien diversifiés, est la combinaison des risques systématiques des différents titres. Risque et diversification Année Académique 2008/2009 Page 3 Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification Ce graphique illustre la réduction du risque issue de la diversification. Pour trois niveaux différents du bêta, on constate que le risque diminue lorsque le nombre de titres augmente. Cependant, il est à noter qu'à partir d'un certain nombre de titres (500 dans le graphique) le risque ne baisse plus même si l'investisseur en acquiert davantage. D'ailleurs, un portefeuille avec un grand nombre de titres perd de son caractère et devient vite difficilement gérable. Comment alors diversifier avec un minimum de titres qui assurent un risque minimum ? Pour répondre à cette question, il faut procéder à un traitement statistique et calculer les corrélations deux a deux des titres. Le coefficient de corrélation (ñ) Le coefficient de corrélation linéaire permet de mesurer la relation statistique pouvant exister entre les variations des titres pris deux à deux. Un coefficient de corrélation ñAB entre les prix de deux titres A et B prix sur une période peut varier entre -1 et +1. Une valeur de : -1, signifie que la hausse d'un titre (A) est compensée par la baisse de l'autre titre (B) 0, signifie qu'il n'existe aucune relation linéaire de la variation du prix d'un titre par rapport à l'autre 1, signifie que les deux titres varient dans le même sens. La réduction du risque est d'autant plus importante que les actifs sont non auto corrélés ou ne varient pas dans le même sens. En effet, si le titre A baisse lorsque le titre B augmente, le portefeuille variera peu et donc son risque sera faible. Pratiquement, ce traitement statistique est fait sur l'ensemble des titres éligibles au portefeuille, en calculant la matrice des auto-corrélations sur la base de laquelle on sélectionne ceux que l'on intégrera au portefeuille. La frontière d’efficience : Un portefeuille est représenté par un couple «espérance-variance », ce cycle dépend des rendements espérés, des variations des rendements des différents titres composants le portefeuille et des corrélations entre ceux-ci. Un portefeuille est dit «efficient » pour un investisseur, si pour un rendement espéré donné, sa variance est minimale, ou si, pour une variance fixée, son rendement espéré est maximal. L’ensemble des portefeuilles ainsi définis constitue la frontière efficiente. Cette frontière permet à l’investisseur de savoir les meilleurs gains qu’il peut attendre et de compte tenu du niveau du risque qu’il a pris. La diversification d'un portefeuille amène une réduction de risques pour l'investisseur. En d'autres termes, un investisseur a intérêt à investir dans plusieurs titres, c'est-à-dire qu'il doit composer un portefeuille. Il s'agit maintenant de savoir quel portefeuille il devra choisir. Soient les portefeuilles suivants : portefeuille A, dont le risque est de 10% et le rendement de 20% Année Académique 2008/2009 Page 4 Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification portefeuille B, dont le risque est de 10% et le rendement de 10% portefeuille C, dont le risque est de 10% et le rendement de 15% On remarque que tous les portefeuilles ont le même niveau de risque. Dès lors, tout investisseur rationnel va choisir le portefeuille qui offre le plus de rendement : le portefeuille A. Il s'agit en fait d'un portefeuille efficient. Les portefeuilles efficients sont un ensemble de portefeuilles qui, pour un risque donné, présentent un rendement maximum ou qui, pour un rendement donné, présentent un risque minimum. Dans le cas ou il y'a ou égalité de rentabilité ou égalité de risque (cas de nos 3 portefeuilles qui ont même risque de 10%), le choix d'un portefeuille est immédiat. Mais les choses se compliquent quand on doit choisir entre des portefeuilles ayant des rentabilités et des risques différents. Comment choisir dans ces cas ? C’est ou va intervenir la notion de frontière efficiente. La frontière efficiente correspond, sur un graphique mettant en relation le risque et le rendement, à la courbe composée de tous les portefeuilles efficients. Elle peut être interprétée de deux manières: il n'existe aucun portefeuille qui, pour un risque donné, n'ait une espérance de rendement supérieure au portefeuille qui possède le même risque et qui se situe sur la frontière efficiente il n'existe aucun portefeuille qui, pour un rendement donné, n'ait un risque supérieur au portefeuille qui possède le même rendement et qui se situe sur la frontière efficiente. Pour trouver cet ensemble de portefeuilles, il suffit d'écrire un programme qui, pour chaque niveau de risque (5%, 6%,...) maximise l'espérance de rendement en changeant les pondérations investies dans chaque titre. Le graphique qui suit illustre ce point : Frontière des portefeuilles efficients Les croix représentent les titres individuels (positionnés en fonction de leur risque et leur rendement) et la partie de la courbe en rouge représente l'ensemble des portefeuilles efficients composés à partir des titres individuels. Cette méthode permet à chaque investisseur de choisir son portefeuille optimal en fonction de son attitude face au risque. Le portefeuille de marché et la frontière efficiente Si, dans la détermination du portefeuille efficient, nous incluons l'actif hors risque, nous allons obtenir une droite qui représentera la frontière efficiente. Il a été démontré que cette droite est la tangente à la frontière efficiente lorsque celle-ci est calculée sans l'actif hors risque (courbe) au point qui représente le portefeuille de marché. Le portefeuille de marché est le portefeuille qui contient tous les actifs risqués (toutes les actions) dans les proportions de leurs capitalisations boursières. Année Académique 2008/2009 Page 5 Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification Portefeuille de marché et frontière efficiente Tous le monde va donc chercher, en d'autres termes, à détenir une certaine quantité d'actif hors risque (obligation de la Confédération) et une certaine quantité du portefeuille de marché (indice SMI) en fonction de l'attitude face au risque propre à chaque investisseur. l'investisseur très averse au risque investira toute sa fortune dans l'actif hors risque (A) d'autres désireux de supporter certains risques investiront une partie de leur fortune dans l'actif hors risque et l'autre dans l'actif risqué (B) d'autres, qui sont prêts à assumer plus de risque, investiront toute leur fortune dans l'actif risqué (C) enfin, ceux qui veulent encore plus de risque, emprunteront pour investir plus que leur fortune dans l'actif risqué (D) Pour finir, il faut savoir qu’il existe plusieurs modèles de gestion de portefeuille entre autres en plus du modèle de Markowitz (1959) : Le modèle MEDAF ou modèle d’Equilibre Des Actifs Financiers: (travaux de Sharp, Lintner, Treynor, Mossin, Jacquillat at Solnik). Ce modèle permet d’estimer le taux de rentabilité espérée d’un portefeuille à partir de trois éléments: le taux d’intérêt sans risque, le coefficient de risque lié au portefeuille, et l’espérance de rentabilité du marché. LE CAPM Le CAPM (Capital Asset Pricing Model) est le modèle le plus utilisé au monde, tant pour le choix de titres que dans l'évaluation de la performance des portefeuilles. Il énonce quel devrait être le rendement d'un titre en fonction de son niveau de risque systématique, donné par le bêta. Le rendement d'un titre se décompose donc en rendement d'un actif sans risque, plus une prime de risque par unité multipliée par la quantité de risque de l'actif (le bêta). Le CAPM a connu de nombreuses extensions depuis sa découverte (CAPM basé sur la consommation etc.), afin d'essayer d'améliorer sa performance. Il reste difficile d'emploi lorsqu'il s'agit de prévoir la rentabilité d'un titre précis, à cause des nombreuses sources de risque spécifiques à chaque titre, mais présente un grand intérêt dans le cadre des politiques de placement et dans l'évaluation de ces dernières. Malgré le fait qu'il soit assez incomplet comme modèle de description des risques (il résume toutes les sources sous l'appellation "risque de marché"), il permet de faire des choix de gestion financière sur une base rationnelle. L'APT L'APT (Arbitrage Pricing Theory) fut un pas marquant dans les modèles d'évaluation des actifs financiers. En fait, il a permis de décomposer le risque systématique d'un actif en différentes sources, permettant ainsi d'évaluer sa sensibilité à un certain nombre de facteurs. Année Académique 2008/2009 Page 6 Concepts de base de la théorie de portefeuille : Rendement, Risque et Diversification Son expression mathématique est donnée par la formule: L'idée de base de l'APT est qu'il existe un petit nombre de facteurs communs influençant le rendement de tous les titres. Intuitivement, un certain nombre vient à l'esprit: les taux d'intérêt et d'inflation, la croissance de la production industrielle, les prix des matières premières etc. L'application de ce modèle pose un certain nombre de problèmes, notamment dans l'estimation des facteurs communs, mais il permet en revanche d'affiner la sélection de titres en fonction des sources de risque spécifiques auxquelles l'on est exposé. Ainsi, les caisses de pension sont très dépendantes des variations des taux d'intérêt; un titre qui présenterait une faible sensibilité à ce facteur (avec un coefficient bêta pour les taux d'intérêt faible, c'est-àdire un rendement réagissant peu aux variations de taux d'intérêt) sera plus intéressant qu'un autre pour ce type CONCLUSION La gestion du risque est le processus qui évalue l’arbitrage entre les gains et les coûts d’une réduction des risques, et qui décide quelle stratégie choisir. La théorie du portefeuille correspond à l’analyse quantitative de ces arbitrages, pour trouver la stratégie optimale. Tous les risques sont finalement supportés par les individus, en tant que consommateurs, parties prenantes des entreprises et autres organisations, ou contribuables. Le risque d’un actif ou d’une transaction ne peut être évalué isolément ou dans l’absolu ; il dépend du cadre de référence. Dans un contexte donné, l’achat ou la vente d’un actif peut augmenter l’exposition au risque de la personne concernée ; dans un autre cas de figure, la même transaction peut conduire à une réduction de risque. Les spéculateurs sont des investisseurs qui prennent des positions telles qu’elles augmentent leur exposition à certains risques, dans l’espoir que cela augmentera leur richesse. Par opposition, ceux qui se couvrent (hedgers) prennent des positions qui réduisent leurs risques. Une même personne peut spéculer sur certains risques et se couvrir sur d’autres. La plupart des décisions d’allocation des ressources, comme les décisions d’épargne, l’investissement et de financement, subissent l’influence du risque et sont, par conséquent, en partie des décisions de gestion du risque. Lorsque l'on débute, surtout si le marché est en période haussière, on perçoit très bien les possibilités de gain, mais plutôt mal les risques. Avec l'expérience, on comprend qu'il faut s'intéresser au couple rendement/risque plutôt qu'au rendement seul. On est alors confronté à un triple problème : celui de la nature du risque, celui de sa mesure ou de sa quantification et celui de sa gestion. Le risque est la pierre maîtresse de l'édifice. L'ignorer revient à courir à une ruine quasi certaine ou à limiter sérieusement ses plus-values. La différence principale entre un particulier et un professionnel, ou au moins un amateur éclairé, réside probablement dans le rapport au risque. De ce fait nous comprendrons que la gestion de risque est au cœur de la théorie des portefeuilles. Année Académique 2008/2009 Page 7
