Concepts de base de la théorie de portefeuille

Concepts de base de la théorie de portefeuille :
Rendement, Risque et Diversification
INTRODUCTION
La gestion des actifs dont l’un des aboutissements théoriques est sans équivoque la théorie des
portefeuilles, a pour objectif d’augmenter le « return » d’un portefeuille tout en limitant ses risques.
Les méthodes de gestion traditionnelles, que ce soit l’analyse technique ou fondamentale, utilisent ce
principe de façon implicite.
La prolifération des instruments de couverture des risques, l’ouverture des économies, le
développement des télécommunications, l’augmentation du nombre des intervenants et, de ce fait, de
la liquidité des produits ont engendré, depuis le début des années quatre vingt, une volatilité accrue sur
les marchés.
Ces irrationalités apparentes ont gagné petit à petit tous les marchés et ont forcé les gérants de
portefeuilles à mieux structurer leur gestion pour en tirer profit.
Aujourd’hui, si les instruments financiers utilisés ne constituent pas des innovations récentes, par
contre, la gestion de patrimoine est devenue hautement sophistiquée car elle nécessite un support
informatique important afin de tirer profit de bandes de données multiples.
Cette dernière approche trouve sa pleine expression dans ce que l’on appelle la gestion quantitative.
Il s’agira pour nous (moi) de survoler dans ce résumé la théorie de portefeuille à travers les trois
notions fondamentales : rendement, risque, diversification.
I- La notion de rendement
En préambule à cette section, signalons que le choix de portefeuille est généralement précédé par une
analyse financière d’un ensemble des actions individuelles. Si l’objectif de l’investisseur est de
maximiser ses gains futurs, son portefeuille ne sera constitué que d’une seule valeur, celle qui lui
assure une rentabilité espéré maximale. Cependant aucun investisseur ne détient simplement une
valeur mais plutôt un portefeuille diversifié, ce qui rend le choix optimal et portefeuille plus difficile
pour l’investisseur qui doit déterminer selon quel critère doit-il choisir entre ses placements.
La variance est le critère le plus célèbre qu’a été proposé par Markowitz en 1952 dans sa théorie
moyenne-variance dont l’objectif est de déterminer les combinaisons optimales de plusieurs données.
Sur la base du critère de la variance d’autres critères se sont apparus entre autres : la semi-variance,
l’écart absolu, moyen et la double semi-variance à titre d’exemple.
De façon pragmatique considérons un portefeuille compose de deux A et B ayant les caractéristiques
suivantes :
Le titre A ayant un risque de 12% et une espérance de rendement de 10%
Le titre B ayant un risque de 17% et une espérance de rendement de 20%
Comment à partir de ces caractéristiques individuelles des titres A et B peut-on en déduire la
rentabilité et le risque au niveau du portefeuille. Ce qui sera dit ci-après pour un portefeuille de deux
titres est évidemment généralisable pour des portefeuilles de plusieurs titres.
Le rendement du portefeuille :
Etant donné que l'espérance mathématique est un opérateur linéaire, cela nous permet de poser que
l'espérance de gain du portefeuille est égale a la somme des espérances de gain des titres qui le
composent, soit :
E(Rp) = aE(RA) + bE(RB)
Avec
E(Rp): l'espérance de rendement du portefeuille
E(RA): l'espérance de rendement du titre A
E(RB): l'espérance de rendement du titre B
a: la part investie dans le titre A en pourcentage
b: la part investie dans le titre B (b = 100% - a)
Si l'on reprend notre exemple et que l'on investit 60% des capitaux du portefeuille dans le titre
A et 40% dans le titre B, nous obtenons une espérance de rendement qui est de 14% : 0.6 x
10% + 0.4 x 20% = 14%
II- La notion de risque du portefeuille.
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Rendement, Risque et Diversification
L'espoir d'un gain substantiel, lors d'un investissement, est généralement proportionnel à
l'incertitude du résultat.
Ce que les prudents appellent le risque, est qualifié d'espoir par d'autres.
La mesure du risque, donc de la difficulté – incertitude - de prévoir le rendement d'un
investissement ou d'un portefeuille est bien connue en statistique : l’ÉCART-TYPE qui n'est
autre que la racine carrée de la variance.
Le gestionnaire cherchera toujours à maximiser le rendement et à minimiser le risque.
La diversification dans le choix des actifs financiers d'un type d'investissement bien défini
conduit en théorie, à annuler la part du risque inhérente au choix d'un actif financier pour un
type d'investissement.
Par ailleurs au-delà du risque inhérent au choix d’un actif, les incertitudes des marchés
financiers proviennent notamment:
1) Risque de change.
C'est la conséquence de tout investissement en devises étrangères, à moins que cet
investissement ne soit justement fait pour annuler un risque de change.
Ainsi, la vente de 100.000 USD à terme constitue à priori une position de risque de change
dans un portefeuille sauf si cette vente est faite pour contrebalancer une position globalement
haussière du même montant dans cette devise.
2) Risque d'inflation.
La réduction du pouvoir d'achat varie selon les époques en réduisant constamment le
rendement réel des placements.
L'enrichissement réel d'un investisseur est effectivement la différence entre l'accroissement de
valeur de son patrimoine et la réduction de pouvoir d'achat due à l'inflation.
Ceci conforte l'adage populaire qui veut que "pour être riche, il faille s'endetter". Il est certain
qu'un endettement élevé aujourd'hui sera moins conséquent dans 20 ans.
3) Risque des taux d'intérêt.
En théorie, le rendement à l'échéance d'obligations d'un même niveau de risque, sont égaux.
En conséquence, toute hausse des taux d'intérêt pour une échéance d'obligations induit une
baisse des cours de ces obligations, donc un appauvrissement des porteurs d'obligations.
En pratique, l'efficience des marchés obligataires est imparfaite, ce qui crée la possibilité
d'arbitrages.
4) Risque des marchés.
La tendance des marchés est essentiellement fonction des données économiques.
Cependant, tout marché est influencé par le comportement psychologique et les anticipations
des investisseurs.
Un investissement particulier est encore plus influencé par ces éléments difficilement
pondérables.
Au moment où un intervenant veut opérer sur un marché, la liquidité de ce marché peut être
insuffisante.
Après que la transaction a été effectuée, la contrepartie peut faire défaut.
5) Risque de l'entreprise.
Un émetteur d'obligations peut devenir défaillant.
Une entreprise évolue avec plus ou moins de bonheur dans un secteur. Un contrat, une
découverte, un accident, ... peuvent modifier la valeur d'une entreprise.
Le marché cherche souvent à anticiper; ainsi l'annonce d'un événement majeur dans la vie
d'une entreprise, n'a pas toujours l'effet escompté sur le prix du marché.
6) Risque politique.
Tout État est par essence souverain. Il peut donc unilatéralement dénoncer ses engagements.
(Ex.: emprunts russes, pays d'Amérique du Sud ...).
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Pour donc estimer la notion de risque dans le cadre d’un portefeuille il faut tenir compte le fait
que contrairement à l'espérance mathématique, la variance n'est pas un opérateur linéaire, ce
qui ne nous autorise pas à poser que la variance du portefeuille est égale à la somme des
variances.
En fait, la variance du portefeuille vaut :
ä2p = aä2A + bä2B + 2ab cov(A,B)
Ou encore :
äp = _ äA + äB + 2ab ñAB x äAx äB
Avec :
äp: le risque du portefeuille (variabilité ou dispersion des rendements du portefeuille)
äa: le risque du titre A
äb: le risque du titre B
ñab: le coefficient de corrélation entre les rendements du titre A et du titre B
a: la part investie dans le titre A en pour-cent
b: la part investie dans le titre B (b = 100% - a)
Dans notre exemple, si l'on suppose un coefficient de corrélation de -0.2, nous obtenons un
risque du portefeuille de 8.8%. Notre portefeuille présente donc un risque de 8.8% et un
rendement de 13%: on remarque qu'il est moins risqué et plus rentable qu'un investissement
dans le titre A. Il vaut donc mieux investir dans le portefeuille que dans le titre A.
La notion de risque va nous conduire à étudier la théorie de la diversification du
portefeuille comme un des facteurs influençant le niveau du risque.
III- Diversification de portefeuille : Pourquoi devrait-on diversifier notre
portefeuille ?
Chaque titre comporte un risque que l'on peut décomposer en deux catégories: le risque
spécifique de chaque titre, et le risque systématique, lié aux mouvements du marché.
Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète dans différentes proportions
plusieurs titres. L'un des grands principes de la constitution de portefeuilles repose sur un
adage de pur bon sens: ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier. Le pionnier de la
finance moderne, Markowitz, inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait
arrivé à démontrer en termes mathématiques la réalité de ce proverbe. Il a établi de manière
irréfutable que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces
titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres (diversifier ses
investissements) permet de diminuer le risque sans perte de rendement.
Cette découverte repose sur le fait que les risques spécifiques de chaque titre se compensent et
finissent par disparaître complètement à partir d'un certain nombre de titres. Le seul risque qui
subsiste pour ce type de portefeuilles, dits portefeuilles bien diversifiés, est la combinaison
des risques systématiques des différents titres.
Risque et diversification
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Rendement, Risque et Diversification
Ce graphique illustre la réduction du risque issue de la diversification. Pour trois niveaux
différents du bêta, on constate que le risque diminue lorsque le nombre de titres augmente.
Cependant, il est à noter qu'à partir d'un certain nombre de titres (500 dans le graphique) le
risque ne baisse plus même si l'investisseur en acquiert davantage. D'ailleurs, un portefeuille
avec un grand nombre de titres perd de son caractère et devient vite difficilement gérable.
Comment alors diversifier avec un minimum de titres qui assurent un risque minimum ? Pour
répondre à cette question, il faut procéder à un traitement statistique et calculer les
corrélations deux a deux des titres.
Le coefficient de corrélation (ñ)
Le coefficient de corrélation linéaire permet de mesurer la relation statistique pouvant exister
entre les variations des titres pris deux à deux. Un coefficient de corrélation ñAB entre les
prix de deux titres A et B prix sur une période peut varier entre -1 et +1. Une valeur de :
-1, signifie que la hausse d'un titre (A) est compensée par la baisse de l'autre titre (B)
0, signifie qu'il n'existe aucune relation linéaire de la variation du prix d'un titre par
rapport à l'autre
1, signifie que les deux titres varient dans le même sens.
La réduction du risque est d'autant plus importante que les actifs sont non auto corrélés ou ne
varient pas dans le même sens. En effet, si le titre A baisse lorsque le titre B augmente, le
portefeuille variera peu et donc son risque sera faible.
Pratiquement, ce traitement statistique est fait sur l'ensemble des titres éligibles au
portefeuille, en calculant la matrice des auto-corrélations sur la base de laquelle on
sélectionne ceux que l'on intégrera au portefeuille.
La frontière d’efficience :
Un portefeuille est représenté par un couple «espérance-variance », ce cycle dépend des
rendements espérés, des variations des rendements des différents titres composants le
portefeuille et des corrélations entre ceux-ci.
Un portefeuille est dit «efficient » pour un investisseur, si pour un rendement espéré donné, sa
variance est minimale, ou si, pour une variance fixée, son rendement espéré est maximal.
L’ensemble des portefeuilles ainsi définis constitue la frontière efficiente. Cette frontière
permet à l’investisseur de savoir les meilleurs gains qu’il peut attendre et de compte tenu du
niveau du risque qu’il a pris.
La diversification d'un portefeuille amène une réduction de risques pour l'investisseur. En
d'autres termes, un investisseur a intérêt à investir dans plusieurs titres, c'est-à-dire qu'il doit
composer un portefeuille. Il s'agit maintenant de savoir quel portefeuille il devra choisir.
Soient les portefeuilles suivants :
portefeuille A, dont le risque est de 10% et le rendement de 20%
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Rendement, Risque et Diversification
portefeuille B, dont le risque est de 10% et le rendement de 10%
portefeuille C, dont le risque est de 10% et le rendement de 15%
On remarque que tous les portefeuilles ont le même niveau de risque. Dès lors, tout
investisseur rationnel va choisir le portefeuille qui offre le plus de rendement : le portefeuille
A. Il s'agit en fait d'un portefeuille efficient.
Les portefeuilles efficients sont un ensemble de portefeuilles qui, pour un risque donné,
présentent un rendement maximum ou qui, pour un rendement donné, présentent un risque
minimum.
Dans le cas ou il y'a ou égalité de rentabilité ou égalité de risque (cas de nos 3 portefeuilles
qui ont même risque de 10%), le choix d'un portefeuille est immédiat. Mais les choses se
compliquent quand on doit choisir entre des portefeuilles ayant des rentabilités et des risques
différents. Comment choisir dans ces cas ? C’est ou va intervenir la notion de frontière
efficiente.
La frontière efficiente correspond, sur un graphique mettant en relation le risque et le
rendement, à la courbe composée de tous les portefeuilles efficients. Elle peut être interprétée
de deux manières:
il n'existe aucun portefeuille qui, pour un risque donné, n'ait une espérance de
rendement supérieure au portefeuille qui possède le même risque et qui se situe sur la
frontière efficiente
il n'existe aucun portefeuille qui, pour un rendement donné, n'ait un risque supérieur
au portefeuille qui possède le même rendement et qui se situe sur la frontière
efficiente.
Pour trouver cet ensemble de portefeuilles, il suffit d'écrire un programme qui, pour chaque
niveau de risque (5%, 6%,...) maximise l'espérance de rendement en changeant les
pondérations investies dans chaque titre. Le graphique qui suit illustre ce point :
Frontière des portefeuilles efficients
Les croix représentent les titres individuels (positionnés en fonction de leur risque et leur
rendement) et la partie de la courbe en rouge représente l'ensemble des portefeuilles efficients
composés à partir des titres individuels.
Cette méthode permet à chaque investisseur de choisir son portefeuille optimal en fonction de
son attitude face au risque.
Le portefeuille de marché et la frontière efficiente
Si, dans la détermination du portefeuille efficient, nous incluons l'actif hors risque, nous
allons obtenir une droite qui représentera la frontière efficiente. Il a été démontré que cette
droite est la tangente à la frontière efficiente lorsque celle-ci est calculée sans l'actif hors
risque (courbe) au point qui représente le portefeuille de marché.
Le portefeuille de marché est le portefeuille qui contient tous les actifs risqués (toutes les
actions) dans les proportions de leurs capitalisations boursières.
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