Blancheur et surgaussianité en déconvolution aveugle en contexte

Blancheur et surgaussianité en déconvolution aveugle en
contexte bruité appliquée à l’imagerie sismique
Anthony Larue
23 mai 2006

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Table des matières
1 Imagerie sismique et la déconvolution par les statistiques d’ordre supérieur. 9
1.1 L’imageriesismique..................................... 11
1.1.1 Acquisition sismique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Modèle convolutif pour les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Approches "simples" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Statistiques d’ordre supérieur pour les variables et vecteurs aléatoires . . . . . . . . . 16
1.2.1 Variables aléatoires scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Vecteurs aléatoires réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2.2 Propriétés des moments et cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Les statistiques d’ordre supérieur pour l’analyse des signaux monodimensionnels . . . 25
1.3.1 Multicorrélation et multispectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Effet du filtrage sur multicorrélation et multispectre . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 État de l’art de la déconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1 Filtrage de Wiener : ondelette connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2 Déconvolution semi-aveugle : ondelette inconnue, phase connue . . . . . . . . . 32
1.4.2.1 Égalisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2.2 Méthodes dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3 Déconvolution aveugle : ondelette (module et phase) inconnue . . . . . . . . . 37
1.4.3.1 Domaine fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.3.2 Domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.4 Résumé ....................................... 40
2 Déconvolution aveugle dans le domaine temporel par le taux d’information mu-
tuelle 43
2.1 Développements théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Algorithme de déconvolution MAMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Gradientducritère................................. 46
2.2.2 Description de l’algorithme MAMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.3 Donnéessimulées .................................. 49
2.3 Algorithme ARMV de déconvolution d’ondelette MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Calculdugradient ................................. 51
2.3.2 AlgorithmeARMV................................. 52
2.3.3 Résultats ...................................... 53
2.4 Estimation de la fonction score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Estimateur de fonction score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1.1 Estimateur à noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3

4 TABLE DES MATIÈRES
2.4.1.2 Estimation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Étude des performances des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2.1 Fonctions scores théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2.2 Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.3 Conclusion...................................... 62
3 Le taux d’information mutuelle pour la déconvolution de données bruitées 65
3.1 Applications et performances de l’algorithme MAMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Application à des données réelles séismovolcaniques . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2 Performances de l’algorithme MAMV en présence de bruit gaussien . . . . . . 70
3.2 Déconvolution par le taux d’information mutuelle dans le domaine fréquentiel . . . . . 73
3.2.1 Critère de déconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.2 Gradient du critère et algorithme FBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3 Réglages des hyperparamètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.4 Donnéessimulées .................................. 78
3.3 Traitement de données réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1 Données réelles séismovolcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Données réelles : explosion sous marine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Conclusions ......................................... 85
4 Déconvolution par non-gaussianité 87
4.1 Déconvolution par non-gaussianité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.1 Mesure de non-gaussianité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.2 Déconvolution par minimisation de la négentropie . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.3 Résultats de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Contexte général pour d’autres méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1 Rappel sur les lois gaussiennes généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.2 AlgorithmeMED .................................. 97
4.2.3 Déconvolution par variation de norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.4 Transformation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.5 Algorithme de Godfrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Calculs théoriques des performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 Contraintes pour les critères admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 Consistance de l’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.3 Variance asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4 Comparaison des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.1 Fonctionscore....................................117
4.4.2 Résultats de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Résumé ...........................................121
5 Robustesse en contexte bruité 125
5.1 Influence du bruit sur le critère et l’estimation du filtre inverse . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.1 MED-kurtosis....................................125
5.1.2 Monalgo ......................................125
5.1.3 Negentropie .....................................125
5.2 Discussions .........................................125
5.2.1 Signauxsimulés...................................125

TABLE DES MATIÈRES 5
5.2.2 Donnéesréelles ...................................125
Conclusion 127
Annexes 129
A Développement théorique relatif au chapitre 2 131
A.1 Preuvedulemme1.....................................131
A.2 Calculde(2.15).......................................132
A.3 Preuvedulemme2.....................................133
B Calcul des fonctions scores théoriques 135
B.1 Préliminaires ........................................135
B.2 Cas de la réflectivité laplacienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.3 Cas de la réflectivité Bernoulli-gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B.4 Cas de réflectivité Bernoulli-laplacienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
B.5 Cas de la réflectivité uniformément distribuée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C Règles de dérivation et gradient par rapport à une variable complexe 141
C.1 Définitions et relations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
C.2 Définition du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
D Performances asymptotiques de l’algorithme MANege 143
D.1 Matricedecovariance....................................143
Bibliographie 146