Banque
((
Agro
))
A
et
AE
-
0900
MATHÉMATIQUES
Épreuve
c
Durée
:
3
heures
L
'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
RAPPELS.
Si
N
est un entier naturel non nul, la commande en langage PASCAL
:
X
:=
rundom(N)
+
1;
affecte
à
la variable
X,
de type integer, une valeur aléatoire entière
k
vérifiant
:
1
5
k
5
N.
On admettra su'à chaque exécution, la probabilité d'obtenir un entier
k
fixé
est de
La commande
:
Y:=random; affecte
à
la variable Y, de type real, une valeur aléatoire réelle p,
(O
5
p
<
1).
On admettra que cette valeur suit la loi uniforme sur
[0,1] à
chaque exécution.
Les appels successifs aux fonctions random sont considérés comme des épreuves indépendantes.
PARTIE
1
:
Le but de cette partie est de montrer comment on peut exprimer
différentes variables aléatoires
h
l'aide d'une variable uniforme.
Dans toute cette partie, et dans la suivante,
U
désignera une variable suivant la loi uniforme
sur [0,1].
1.l.a.
On
consi&ere la variable aléatoire
D
définie par
:
D
=
-Zn(U)
sur
[U
rf
O]
et
D
=
O
sur
Quel est l'ensemble des valeurs prises par
D?
Déterminer sa fonction de répartition et en
déduire sa loi.
1
.l.
b.
Dans cette question,
X
est un réel strictement positif et on considère la variable aléatoire
définie par
[U
=
O].
D
DA=
7.
Déterminer sa loi. Rappeler l'espérance et la variance de
DA.
1.2.
On dit qu'une variable aléatoire
G
suit la loi &métrique de paramètre
p,
(O
<
p
<
l),
si
elle prend ses valeurs dans
N"
et si pour tout entier naturel
i,
non nul
:
1.2.a.
Quelle est la loi de la variable aléatoire
1
-
U?
1.2.b.
Montrer que pour tout
q
réel,
(O
<
q
<
l),
et tout élément
a!
de
]O,
11,
il existe
un
unique
entier naturel non nul
no
tel que
:
qnO
<
Q
5
qno--l.
1.2.c.
Montrer que, si on pose, pour tout
k,
entier naturel non nul
:
EI,
=
[(l-
p)k
<
1
-
u
5
(1
-p)"-l],
alors la famille des
EI,,
lorsque
k
décrit
N*,
constitue avec
[U
=
11
un système complet
d
'
évènement
s
,
1.2.d.
Montrer qu'on définit une variable aléatoire
G
suivant une loi géométrique en posant
:
G=
1
sur
[U=
11
et
VkE
N*,
G
=
k
sur
EI,.
Préciser son espérance.
114
T.S.V.P.