Chapitre 4

Chp4 lentilles C4-1
Chapitre 4 dioptres & lentilles
C4.1 Réfraction par un dioptre sphérique : source ponctuelle
♦ Rappelons qu'un dioptre est constitué par deux milieux transparents d'indices de réfraction
différents séparés par une surface. Si cette surface est sphérique, le dioptre est dit sphérique1.
♦ Etudions la réfraction sur un dioptre sphérique dans les conditions de l'approximation de
Gauss. Soit une surface sphérique de rayon R, de centre C séparant deux régions de l'espace
d'indice de réfraction n1 et n2 , avec n1 < n2. Considérons une source ponctuelle située au point P
sur l’axe optique. Les rayons issus de P en divergent (objet réel) et sont réfractés. Considérons le
rayon passant par C (angle i = 0) : il n’est pas dévié (r = 0). Soit un autre rayon incident PA
faisant un angle d’incidence i avec la normale AC au dioptre et un angle α avec l’axe optique (α
arbitraire mais suffisamment petit pour vérifier l’approximation de Gauss). Après réfraction, ce
rayon coupe l’axe optique en P’ Ö les rayons réfractés convergent en P’, image réelle de P.
Appelons β et γ les angles que font respectivement la normale et le rayon réfracté AP’ avec l’axe
optique et r l’angle de réfraction.
AIR VERRE
L’arc de cercle (car les angles [radians] sont <<).
AS= R PS P'Sβα γ≈≈
Appelons p et p’ respectivement les distances PS et P’S.
Ö Des considérations géométriques montrent que :
∆
∆
PAC i
PAC r
:
':
=
+
=+
α
β
βγ
La loi de la réfraction s’écrit dans l’approximation des petits angles :
ni n r
nn
nn nn
12
12
12 21
⋅=
⋅
⇒⋅+=⋅−
⇒⋅+⋅=−⋅
αβ βγ
αγ
bgbg
bg
β
On établit ainsi la formule de Descartes pour la réfraction au passage d’une surface sphérique:
n
p
n
p
nn
R
1221
+=
−
'
(4.1)
dans laquelle les grandeurs p, p’ et R doivent être introduites avec leur signe déduit des
conventions définies § suivant.
1Dioptre plan = dioptre sphérique de rayon infini.

Chp4 lentilles C4-2
NB
• Très souvent on considère les valeurs algébriques des distances repérées par rapport au sommet S
(ainsi, dans le cas traité PS et P’S sont de signe contraire (SP = -PS = -p) et on trouve souvent la
loi de Descartes sous la forme : n
p
n
p
nn
R
212
'−= 1
−
• La relation (4.1) indique qu’il n’existe qu’une seule image ponctuelle d’un objet ponctuel, tant
que l’ouverture de la surface sphérique reste petite (approximation de Gauss).
• Dans la réalité, on a presque toujours à faire à des réfractions au niveau de plusieurs dioptres
sphériques, au moins deux pour former une lentille dont tous les centres se trouvent sur une
même droite (systèmes centrés) Ö §C4.4.
C4.2 Convention de signes (dioptres)
♦ Les signes peuvent être fixés par un raisonnement physique propre au problème de la figure du
§ C4.1 où la lumière diverge d’un objet réel, tombe sur une surface convexe de réfraction et
converge après réfraction pour former une image réelle : nous considérerons alors que p, p’ et R
ont des valeurs numériques positives.
Contrairement au cas des miroirs, ici l’énergie lumineuse traverse la surface de réfraction et
c’est de l’autre côté de cette surface que se formera une image réelle qui devient ainsi le côté
REEL "R". Le côté d’où provient la lumière incidente sera donc considéré comme le côté
VIRTUEL "V" (c’est le lieu où se formera une image virtuelle).
Corollaire: p positif (objet réel) si les rayons divergent de l’objet pour frapper la surface.
Dioptre ou lentille mince
Lumière réfractée Lumière incidente
R négatif si C de ce côté
p positif p' négatif
Côté virtuel
Image virtuelle V Côté réel Image réelle
R
R positif si C de ce côté
p négatif p' positif
n1 < ou > n2, surface convexe ou concave, position de P Ö EXERCICES !!!
♦ Différents cas à étudier :
n1 < n2 : surface convexe avec P proche du dioptre n1 > n2 : surface concave avec P éloigné du dioptre

Chp4 lentilles C4-3
C4.3 Dioptre plan
Si la surface de réfraction est plane, son rayon de
courbure R est 4. Dès lors l'équation (4.1) devient :
n
p
n
ppn np
12 2
1
0+= ⇒ =−
'' (4.2)
La figure ci-contre illustre la situation:
un observateur femme placée dans l’air voit l’objet
(plongeur, d’où proviennent les rayons lumineux)
plus proche d'un facteur :
|p'/p| = n2/n1 = nair/neau = 1/1,33 = 0,75
Par contre, l'observateur (plongeur) placé dans l’eau
voit la femme (objet) dans l’air, plus élevée d’un
facteur : n2/n1 = neau/nair = 1,33
N.B. p > 0, n1 et n2 > 0 Ö p’ < 0 (image virtuelle).
C4.4 Lentilles :généralités
♦ Les lentilles se définissent comme un matériau transparent limité par deux surfaces courbes,
généralement sphériques. Il existe six formes différentes de lentilles appelées :
- lentille biconvexe : R1 > 0, R2 < 0 (a)
- lentille plan-convexe: R1 > 0, R2 = 4 (b)
- lentille concave-convexe ou ménisque convergent : R1 < R2 < 0 (c) f > 0
- lentille biconcave: R1 < 0, R2 > 0 (d) f < 0
- lentille plan-concave : R1 = 4, R2 > 0 (e)
- lentille convexe-concave ou ménisque divergent: 0 < R1 < R2 (f)
Les lentilles qui sont plus épaisses au centre qu’à la périphérie sont des lentilles convergentes ou
lentilles convexes car elles font converger des rayons parallèles, tandis que les lentilles plus
épaisses sur leurs bords dispersent ou rendent divergent un faisceau de rayons parallèles ± sont
appelées lentilles divergentes ou concaves (lunettes correctives de la myopie = lentilles
convexes-concaves).

Chp4 lentilles C4-4
♦ La figure ci-dessous schématise une lentille épaisse (c'est-à-dire dont on ne néglige pas
l’épaisseur e) dont les deux surfaces possèdent des rayons de courbure R 1 et R 2. Supposons que
la lentille possède un indice de réfraction n et soit entourée d'air (indice de réfraction ≈1).
Soit un objet ponctuel P1 placé sur l’axe optique, près de la surface # 1 (celle de gauche,
considérant la propagation de la lumière de la gauche vers la droite). Un rayon issu de P1 le long
de l’axe n'est pas dévié par les surfaces sphériques lorsqu’il entre ou sort du verre, puisqu’il
frappe ces surfaces perpendiculairement. Un deuxième rayon quittant P1 à un angle α
quelconque, frappe la surface # 1 au point A1, est réfracté et frappe la surface # 2 en A2. Le rayon
est réfracté une seconde fois et coupe l’axe optique en P’2 qui est l’image de P1 puisqu'elle est à
l'intersection des deux rayons émergeant de la lentille.
Détaillons les deux étapes de réfraction aux deux surfaces # 1 et # 2 :
1/. A la surface # 1 se forme une image virtuelle de P en P' telle que (éq. 4.1) :
1 1
n
p
n
p
nn
R
air verre verre air
11 1
+=
−
'bg
Posons nair = 1, nverre = n et tenons compte que P’ 1 est une image virtuelle c'est-à-dire p’1 négatif
(ceci revient à introduire arbitrairement un signe moins correspondant à une image virtuelle) :
11
11 1
p
n
p
n
R
−=
−
'bg
(4.3)
2/. L'image (virtuelle) P’1 formée par la surface # 1 devient l'objet réel P 2 pour la surface # 2.
La distance qui sépare cet objet de la surface # 2 est :
p
p
e
21
=
+
'
1
Appliquons l’équation (4.1) à la surface # 2 (n = n, n 2 = 1 cette fois) :
n
pp
n
R
n
pep
n
R
22 2 1 2 2
1111
+=
−
⇒++=
−
'''
bg bg
C4.5 Lentille mince
♦ Supposons que l’épaisseur de la lentille soit négligeable vis-à-vis des autres distances
(typiquement R 1 et R 2); c’est l’approximation de la lentille mince : e ≈ 0
Ö n
pp
n
R''
12 2
11
+=−
−
(4.4)
L’addition des relations (4.3) et (4.4) donne : 111
11 12 1 2
p
n
p
n
pp
n
R
n
R
−+ += 1
−
−−
'''

Chp4 lentilles C4-5
Ö 11 111
12 1 2
pp nRR
+=− −
F
H
GI
K
J
'bg
Comme les deux surfaces de réfraction sont accolées (e = 0), on ne distingue plus les indices 1 et
2 et on désigne par p la distance objet-lentille mince et p’ la distance lentille mince-image.
11 111
12
pp nRR
+=− −
F
H
GI
K
J
'bg
Finalement, on obtient : (4.5)
NB Si P1' est réel (p1' positif), dans ce cas e = p1' + p2 et on obtient la même formule finale.
Vous pouvez vérifier. .
♦ Symboles
On convient de représenter une lentille mince par un plan perpendiculaire à l’axe optique passant
par le centre optique C et symboliquement comme illustré ci-dessous, pour une lentille
convergente (à gauche) et divergente (à droite).
C4.6 Convention de signes (lentilles minces)
Les signes se rapportant aux distances de l'équation (4.5) sont similaires à ceux des simples
surfaces de réfraction (cf §C4.2). On définit ainsi un côté réel "R" et un côté virtuel "V" par
rapport à la lentille mince, se référant ainsi à la nature de l'image.
R V
Objet virtuel : p<0
Image réelle : p'>0
Objet réel : p>0
Image réelle : p'>0
Objet réel : p >0
Image virtuelle : p'<0
Objet virtuel : p<0
Image virtuelle : p'<0