Généralisation des tests LMC et KPSS

Généralisation des tests LMC et KPSS
Apparition d’une singularité
Frédéric Proïa
Université de Bordeaux
(Ex-)Équipe ALEA (INRIA Bordeaux Sud-Ouest)
Équipe Proba-Stat (Institut de Mathématiques de Bordeaux)
Journées MAS
Toulouse
27-29 août 2014
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
1 / 25
Cadre de travail
Sommaire
1
Cadre de travail
Le processus autorégressif
Deux approches complémentaires
Quelques processus stochastiques utiles
Principaux résultats
2
Focus sur un cas particulier
3
Conclusion
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
2 / 25
Cadre de travail
Le processus autorégressif
Le processus autorégressif
Définition
On dit que la série chronologique (Xt ) définie sur Z est un « processus autorégressif d’ordre p »
si elle est définie, pour tout t ∈ Z, par
Xt = µ + θ1 Xt−1 + . . . + θp Xt−p + εt
où (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 et θp 6= 0.
Pour tout t ∈ Z, on écrit
A(L)Xt = µ + εt
avec, pour tout z ∈ C,
A(z) = 1 − θ1 z − . . . − θp z p .
Proposition
S’il existe z0 ∈ C tel que |z0 | = 1 et A(z0 ) = 0, alors le processus (Xt ) n’est pas stationnaire. Il
est intégré et possède une racine unitaire.
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
3 / 25
Cadre de travail
Deux approches complémentaires
Deux approches complémentaires
H0 : “(Xt ) est intégré"
Pour tout t ∈ Z,
(1 − L)A0 (L)Xt = Tt + εt
{z
}
|
vs
sous H0
A(L)Xt = Tt + εt .
|
{z
}
sous H1
Principe des tests de racine unitaire : estimer la racine supposée unitaire et tester la
significativité de sa proximité avec 1.
−→ Test DF, test ADF, test PP.
H0 : “(Xt ) est stationnaire"
Pour tout t ∈ Z,
A(L)Xt = Tt + εt
|
{z
}
sous H0
vs
A(L)Xt = Tt + Stη
{z
}
|
sous H1
(Stη )
où
est une marche aléatoire engendrée par (ηt ).
Principe des tests de stationnarité : chercher la présence d’intégration dans les résidus.
−→ Test KPSS, test LMC.
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
4 / 25
Cadre de travail
Quelques processus stochastiques utiles
Quelques processus stochastiques utiles
Définition
Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et d ∈ N, par
W (d) (t) =
Z
t
Z
s1
sd−1
Z
...
0
0
W (sd ) dsd . . . ds1
0
est appelé un « processus de Wiener intégré d’ordre d ». Par convention, W (0) (t) ≡ W (t).
Par exemple
W (1) (t) =
t
Z
W (s) ds,
0
W (2) (t) =
W (u) du ds.
0
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
s
tZ
Z
0
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
5 / 25
Cadre de travail
Quelques processus stochastiques utiles
Quelques processus stochastiques utiles
Définition
Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et r ∈ N, par
Br (t) = hr (W )(t)
est appelé un « pont brownien généralisé d’ordre r ». La fonction hr de C ([0, 1]) dans C ([0, 1])
est donnée explicitement par MacNeill en 1978.
Par exemple
B0 (t) = h0 (W )(t) = W (t) − t W (1),
1
Z
B1 (t) = h1 (W )(t) = W (t) + t (2 − 3t)W (1) − 6t (1 − t)
W (s) ds.
0
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
6 / 25
Cadre de travail
Quelques processus stochastiques utiles
Quelques processus stochastiques utiles
Définition
Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et r , d ∈ N, par
Cr ,d (t) = hr (W (d) )(t)
est appelé un « pont brownien intégré d’ordre r × d ». Par convention, Cr ,0 (t) ≡ Br (t).
Par exemple
C0,1 (t) = h0 (W (1) )(t) =
Z
t
Z
1
Z
W (s) ds + t (3t − 4)
0
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
t
W (s) ds,
0
0
C1,1 (t) = h1 (W (1) )(t) =
1
Z
W (s) ds − t
1
Z
W (s) ds + 6t (1 − t)
0
Généralisation des tests LMC et KPSS
s W (s) ds.
0
28/08/2014
7 / 25
Cadre de travail
Quelques processus stochastiques utiles
Quelques processus stochastiques utiles
Définition
Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et r , d ∈ N, par
Wr ,d (t) =
dCr ,d+1 (t)
dt
est appelé un « processus de Wiener recentré d’ordre r × d ».
Par exemple
Z 1
dC0,1 (t)
= W (t) −
W (s) ds,
dt
0
Z 1
Z 1
dC1,1 (t)
W1,0 (t) =
= W (t) + (6t − 4)
W (s) ds + (6 − 12t)
s W (s) ds.
dt
0
0
W0,0 (t) =
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
8 / 25
Cadre de travail
Principaux résultats
Cadre général
Modélisation
Pour tout 0 ≤ t ≤ T , soit
A(L)Xt = (α0 + α1 tT + . . . + αr tTr ) I{κ 6= 0} + Stη + εt
avec
η
Stη = ρSt−1
+ ηt
où κ est un indicateur, |ρ| = 1 et (εt ) et (ηt ) sont des bruits blancs non corrélés.
Estimation
θ est estimé par maximum de vraisemblance (sous H0 : “ση2 = 0”).
α est estimé par moindres carrés sur les résidus issus de la régression précédente.
On définit les processus des sommes partielles et la statistique de test
St =
t
X
k=1
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
εbk ,
Qt =
t
X
εbk2
et
bT =
K
k=1
Généralisation des tests LMC et KPSS
T
1 X 2
S .
TQT t=1 t
28/08/2014
9 / 25
Cadre de travail
Principaux résultats
Principaux résultats
Proposition
Sous H0 : “ση2 = 0”,
L
bT −→
K
1
Z
0
Br2 (s) ds.
De plus, sous H1+ : “ση2 > 0 et ρ = 1”,
P
bT −→
K
+∞
et
R1 2
bT L
K
0 Cr ,1 (s) ds
−→ R 1
.
2
T
0 Wr ,0 (s) ds
Enfin, sous H1− : “ση2 > 0 et ρ = −1”,
P
bT −→
K
0
et, lorsque κ = 0,
L
bT −→
TK
2σε2
R1
0
R
Wε2 (s) ds + ση2 01 Wη2 (s) ds
.
R
2ση2 01 Wη2 (s) ds
Les processus apparaissant dans les distributions limites sont identifiables et construits sur le
processus de Wiener (intégrés, généralisés, ponts).
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
10 / 25
Cadre de travail
Principaux résultats
Distribution asymptotique
Sous H0 : “ση2 = 0”
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
11 / 25
Cadre de travail
Principaux résultats
Distribution asymptotique
Sous H1+ : “ση2 > 0, ρ = 1 et d = 1”
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
12 / 25
Cadre de travail
Principaux résultats
Distribution asymptotique
Sous H1+ : “ση2 > 0, ρ1 = ρ2 = 1 et d = 2”
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
13 / 25
Focus sur un cas particulier
Sommaire
1
Cadre de travail
2
Focus sur un cas particulier
Bruit blanc ou marche aléatoire ?
Principes d’invariance
Distribution asymptotique de KbT
3
Conclusion
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
14 / 25
Focus sur un cas particulier
Bruit blanc ou marche aléatoire ?
Bruit blanc ou marche aléatoire ?
Modélisation
Pour tout 0 ≤ t ≤ T , soit
A(L)Xt = (α0 + α1 tT + . . . + αr tTr ) I{κ 6= 0} + Stη + εt
avec
η
Stη = ρSt−1
+ ηt
où κ est un indicateur, |ρ| = 1 et (εt ) et (ηt ) sont des bruits blancs non corrélés.
Cas particulier
Considérons le cas p = 0 et κ = 0. Pour tout 0 ≤ t ≤ T , soit
Xt = Stη + εt
avec
η
Stη = ρSt−1
+ ηt .
Estimation résiduelle
On a tout simplement εbt = Xt et donc, pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
St =
t
X
Xk ,
k=0
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Qt =
t
X
Xk2
et
bT =
K
k=0
Généralisation des tests LMC et KPSS
T
1 X 2
S .
TQT t=0 t
28/08/2014
15 / 25
Focus sur un cas particulier
Bruit blanc ou marche aléatoire ?
Sous H0 : “ση2 = 0”
Pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
Xt = εt .
Le processus est stationnaire.
Sous H1+ : “ση2 > 0 et ρ = 1”
Pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
Xt =
t
X
ηk + εt .
k=0
Le processus n’est pas stationnaire.
Sous H1− : “ση2 > 0 et ρ = −1”
Pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
Xt =
t
X
(−1)t−k ηk + εt .
k=0
Le processus n’est pas stationnaire.
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
16 / 25
Focus sur un cas particulier
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Bruit blanc ou marche aléatoire ?
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
17 / 25
Focus sur un cas particulier
Principes d’invariance
Principes d’invariance associés à la marche aléatoire
Théorème (Donsker)
Pour tout 1 ≤ t ≤ T , soit la marche aléatoire
Stη =
t
X
ηk
k=0
où (ηt ) est un bruit blanc de variance 0 < ση2 < ∞. Alors, pour 0 ≤ τ ≤ 1,
η
S[T
τ]
L
√ −→ W (τ ).
ση T
Continuité
Z 1
T
T Z t+1 S η
X
X
T
1
[Ts]
L
η
√
S
=
ds
−→
W (s) ds ≡ W (1) (1).
t
t
ση T 3/2 t=0
ση T
0
t=0 T
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
18 / 25
Focus sur un cas particulier
Principes d’invariance
Principes d’invariance associés à la marche aléatoire alternée
(Dedecker-Rio)
Pour tout 1 ≤ t ≤ T , soit la marche aléatoire
Stη =
t
X
(−1)t−k ηk .
k=0
Alors, pour 0 ≤ τ ≤ 1,
η
S[T
τ]
L
√ −→ W (τ )
ση T
car le processus ((−1)t ηt ) est stationnaire de variance ση2 .
Compensation
Supposons que T est pair. Alors,
1
√
ση T
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
T
X
t=0
Stη =
1
√
ση T
T /2
X
t=0
L
η2t −→ W
1
2
Généralisation des tests LMC et KPSS
L W (1)
= √ .
2
28/08/2014
19 / 25
Focus sur un cas particulier
bT
Distribution asymptotique de K
Distribution asymptotique de KbT
Sous H0 : “ση2 = 0”
Pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
St =
t
X
εk
et
Qt =
k=0
t
X
εk2 .
k=0
Ainsi,
Z 1
T
T Z t+1 S[Ts] 2
T
1 X 2 X
L
√
W 2 (s) ds,
S
=
ds
−→
t
t
σε2 T 2 t=0
σε T
0
t=0 T
QT
−→ σε2
T
p.s.
Finalement,
L
bT −→
K
1
Z
W 2 (s) ds.
0
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
20 / 25
Focus sur un cas particulier
bT
Distribution asymptotique de K
Distribution asymptotique de KbT
Sous H1+ : “ση2 > 0 et ρ = 1”
Pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
St =
t
X
Skη + εk
et
Qt =
k=0
t
X
Skη + εk
2
.
k=0
Ainsi,
2
2
Z 1 Z s
T Z t+1 T
S[Ts]
T
1 X 2 X
L
=
ds,
S
−→
W
(u)
du
ds
t
t
ση2 T 4 t=0
ση T 3/2
0
0
t=0 T
T
T Z t+1
T
QT
1 X η 2 X
∼
S
=
t
ση2 T 2
ση2 T 2 t=0 t
t=0 T
η
S[Ts]
√
ση T
!2
L
1
Z
ds −→
W 2 (s) ds.
0
Finalement,
P
bT −→
K
+∞
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
et
bT L
K
−→
T
R1
W (1) 2 (s) ds
.
R1
2
0 W (s) ds
0
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
21 / 25
Focus sur un cas particulier
bT
Distribution asymptotique de K
Distribution asymptotique de KbT
Sous H1− : “ση2 > 0 et ρ = −1”
Pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
St =
t
X
Skη + εk
et
Qt =
k=0
t
X
Skη + εk
2
.
k=0
Ainsi,
Z 1
Z
T
T Z t+1 S[Ts] 2
ση2 1 2
T
1 X 2 X
L
√
ds −→ σε2
Wε2 (s) ds +
S
=
Wη (s) ds,
t
2
t
T t=0
2 0
T
0
t=0 T
QT
L
−→
ση2 T 2
Z
0
1
Wη2 (s) ds.
Finalement,
P
bT −→
K
0
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
et
L
bT −→
TK
2σε2
R1
0
R
Wε2 (s) ds + ση2 01 Wη2 (s) ds
.
R
2ση2 01 Wη2 (s) ds
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
22 / 25
Focus sur un cas particulier
bT
Distribution asymptotique de K
Simulations en présence de racine unitaire négative
KPSS : 0.957
Correction apportée : 0.058
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
23 / 25
Conclusion
Sommaire
1
Cadre de travail
2
Focus sur un cas particulier
3
Conclusion
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
24 / 25
Conclusion
Conclusion
Généralisation apportée aux cas p > 0, κ 6= 0 et r > 0.
Gestion de la multi-intégration (processus ARIMA avec d > 0).
Modélisation des signaux à haute fréquence par une racine unitaire négative ?
Estimation jointe de α et de θ pour une amélioration conséquente du test LMC.
Merci de votre attention !
Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux)
Généralisation des tests LMC et KPSS
28/08/2014
25 / 25