Algorithmes en Calcul Formel et en Automatique En

Algorithmes en Calcul Formel et en Automatique
En cours de r´edaction
Notes du cours 2-22 du MPRI, ann´ee 2006–2007
Version du 5 d´ecembre 2006
Alin Bostan
Fr´ed´eric Chyzak
Marc Giusti
Bruno Salvy
´
Eric Schost

Table des mati`eres
Les sections indiqu´ees par ?peuvent ˆetre omises en premi`ere lecture. Elles ne
sont g´en´eralement pas trait´ees dans le cours oral.
Cours 1. Introduction 1
1. D´ecider, calculer 1
2. Calculer rapidement 6
3. Organisation du cours 10
Notes 10
Bibliographie 11
Premi`ere partie. Algorithmes Fondamentaux 13
Cours 2. Multiplication rapide 15
1. Introduction, r´esultats principaux 15
2. Algorithme na¨ıf 17
3. Algorithme de Karatsuba 18
4. Transform´ee de Fourier rapide 20
5. L’algorithme de Sch¨onhage et Strassen 24
6. Algorithmes pour les entiers 25
7. Un concept important : les fonctions de multiplication 26
Notes 27
Bibliographie 28
Cours 3. Calculs rapides sur les s´eries 29
1. S´eries formelles 29
2. La m´ethode de Newton 30
3. Op´erations quasi-optimales 32
4. La composition des s´eries 36
Exercices 38
Notes 40
Bibliographie 40
Cours 4. Division euclidienne, fractions rationnelles et r´ecurrences lin´eaires `a
coefficients constants 41
1. Division de polynˆomes 41
2. Fractions rationnelles et r´ecurrences `a coefficients constants 43
3. Suites r´ecurrentes lin´eaires `a coefficients constants 45
Notes 47
Bibliographie 48
Cours 5. Calculs modulaires, ´evaluation et interpolation 51
iii

iv TABLE DES MATI` ERES
1. Introduction 51
2. Pr´esentation, r´esultats 52
3. Interpolation de Lagrange 54
4. Algorithmes rapides 55
Notes 60
Bibliographie 61
Cours 6. R´ecurrences lin´eaires `a coefficients polynomiaux : n-i`eme terme, n
premiers termes 63
1. Calcul na¨ıf de n! et de suites P-r´ecursives 64
2. Pas de b´eb´es et pas de g´eants 65
3. Scindage binaire 66
Exercices 68
Notes 69
Bibliographie 69
Cours 7. Alg`ebre lin´eaire : de Gauss `a Strassen 71
1. Introduction 71
2. Matrices denses 73
Exercices 77
Bibliographie 80
Cours 8. Solutions s´eries d’´equations diff´erentielles 81
1. ´ Equations diff´erentielles d’ordre 1 82
2. ´ Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre sup´erieur et syst`emes d’ordre 1 83
3. Cas particuliers 87
4. Extensions 89
Notes 90
Bibliographie 90
Cours 9. Principe de Tellegen 91
Cours 10. Pgcd, r´esultant, et approximants de Pad´e 93
1. Algorithme d’Euclide 93
2. R´esultant 97
3. Approximants de Pad´e-Hermite et algorithmes efficaces 106
Notes 108
Bibliographie 108
Cours 11. Algorithme rapide pour le pgcd 111
1. Algorithme d’Euclide rapide 111
Notes 115
Bibliographie 115
Cours 12. Algorithmique des s´eries D-finies 117
1. ´ Equations diff´erentielles et r´ecurrences 117
2. Somme et produit 120
3. Produit d’Hadamard 121
4. S´eries alg´ebriques 122
5. ?Limitations ?123
Exercices 123

TABLE DES MATI` ERES v
Notes 124
Bibliographie 124
Deuxi`eme partie. Syst`emes Polynomiaux 127
Cours 13. Bases standard 129
1. Introduction 129
2. Ordres totaux admissibles sur le mono¨ıde des monˆomes 130
3. Exposants privil´egi´es et escaliers 131
4. noeth´erianit´e du mono¨ıde des monˆomes 131
5. Divisions 131
Exercices 132
Notes 132
Cours 14. Syzygies et construction des bases standard pour des id´eaux
homog`enes 133
Cours 15. Fonction et polynˆome de Hilbert. Dimension, degr´e 135
Cours 16. Triangularisation des id´eaux, Nullstellensatz, mise en position de
Noether 137
Cours 17. Th´eorie de la dimension 139
Cours 18. G´eom´etrie affine/g´eom´etrie projective. Clˆoture projective 141
Cours 19. Quˆete d’une meilleure complexit´e 143
Cours 20. R´esolution g´eom´etrique I : algorithme 145
Cours 21. R´esolution g´eom´etrique II : complexit´e 147
Troisi`eme partie. ´ Equations Diff´erentielles et R´ecurrences Lin´eaires 149
Cours 22. R´esolution d’´equations diff´erentielles lin´eaires 151
1. Syst`eme et ´equation 151
2. Solutions s´eries et singularit´es 152
3. Solutions polynomiales 153
4. Solutions rationnelles 154
Notes 154
Bibliographie 155
Cours 23. ´ Equations fonctionnelles lin´eaires et polynˆomes tordus 157
1. Des polynˆomes non-commutatifs pour calculer avec des op´erateurs
lin´eaires 157
2. Clˆotures par morphismes entre anneaux de polynˆomes tordus 159
3. Division euclidienne 161
4. Recherche de solutions et factorisation d’op´erateurs 162
5. Algorithme d’Euclide 163
6. Relations de contigu¨ıt´e 164
Bibliographie 166