critères de choix des titres pour la diversification d`un portefeuille d

CRITÈRES DE CHOIX DES TITRES
POUR LA DIVERSIFICATION D’UN PORTEFEUILLE
D’INVESTISSEMENTS
G. Gatev1
A. Malakhova2
1
Chaire Systèmes et Commande, Université Technique de Sofia, Bulgarie, E-mail:
[email protected], Tél: +359-2-965- 25-96.
2
Ecole Doctorale Internationale, Centre régional francophone d’ingénierie pour le
développement, Chairе “UNESCO”, Université Technique de Sofia, Bulgarie, E-mail:
[email protected], Tél: +359-88-628-92-35
Résumé: L’effet de la diversification est étudié sous conditions d’un actif à corrélation faible, positive ou
négative avec des actifs différents en même temps. La sélection d’un actif à ajouter au portefeuille est
effectuée en utilisant les coefficients de Sharpe et Treynor. Le portefeuille est synthétisé en utilisant le
modèle de Markowitz et le modèle de marché. La détermination du nombre minimal des actifs pour la
diversification est basée sur la stabilisation de la valeur minimale du risque du portefeuille, mesuré par la
variance (ou l’écart-type). L’algorithme proposé est démontre par un exemple illustratif.
Mots clés: Diversification du portefeuille, frontière efficace, modèle de Markowitz, modèle de marché,
titre de valeur, portefeuille d’investissement, solution optimale.
1. Introduction.
La diversification de la composition d’un portefeuille d’investissements a comme but la réduction
des fluctuations éventuelles de la rentabilité du portefeuille, c’est-à-dire, l’obtention d’un écarte-type
de la rentabilité assez faible [1]. Même dans le cas d’une corrélation faible et positive, la
diversification est possible et souhaitable, car le risque du portefeuille, mesuré par l’écart-type, reste
inférieur à celui de chaque investissement, évalué séparément. Un cas extrême correspond à la parfaite
corrélation négative qui permet d’annuler ce risque totalement. L’autre cas extrême, celui de la parfaite
corrélation positive, revient à choisir uniquement l’investissement dont le risque propre est le plus
faible [6]. Dans le cas réel il est difficile de trouver des actifs parfaitement corrélés, car un même actif
peut avoir une corrélation faible, positive ou négative avec des actifs différents. Souvent on ne sait pas
comment sélectionner l’actif à ajouter au portefeuille afin qu’il soit le plus efficace possible. Il semble
actuel d’élaborer des critères pour choisir des actifs à ajouter et pour déterminer leur nombre minimal
dans un portefeuille.
Dans cet article nous proposons d’effectuer le choix des actifs à ajouter au portefeuille en utilisant
les coefficients de Sharpe et Treynor [2] pour évaluer les actifs individuels et les portefeuilles des
actifs. Comme critère pour déterminer le nombre minimal des actifs pour la diversification nous
proposons d’utiliser la stabilisation de la valeur minimale du risque du portefeuille, mesuré par la
variance ou l’écart-type.
2. Concepts de base.
D’abord on introduit les indices qui sont utilisés pour caractériser un actif [1]-[4].
La rentabilité mensuelle mouvante d’un actif i, i = 1, n est obtenue comme:
Rit =
Pit
Pi ( t +1− m )
’ t = m, N
(1)
où Pit , Pi (t +1− m ) sont les prix de vente et d’achat à la fin et au début d’une période d’investissement
de 21 jours, m=22, N est le nombre d’observations des prix d’une période de 252-jours, N=252.
La valeur mensuelle moyenne de la rentabilité d’un actif i est définie comme:
Ri =
N
1
N
∑R
t =m
it
(2)
Le risque d’un actif est caractérisé par la variance σ i2 (ou l’écart-type σ i ), qui met en évidence la
dispersion possible des valeurs Rit autour de R i :
1 N
∑ ( Rit − R i ) 2 , σ i = σ i2
N − 1 t =m
σi2 =
(3)
La covariance entre deux actifs i et j indique leur évolution ensemble [7].
Cov ij =
1 N
∑ ( Rit − R i )( R jt − R jt )
N − 1 t =m
(4)
La covariance normée est mesurée par le coefficient de corrélation :
Covij
(5)
ρ ij =
σ i ⋅σ j
Le risque systématique, ou non diversifiable d’un actif, dû à l’influence du marché, est mesuré par
le coefficient ‘bêta’. Ce coefficient évalue la réponse de la rentabilité d’une action aux fluctuations de
la rentabilité du marché, mesurée par la rentabilité de l’index du marché I:
Cov
(6)
β iI = 2 iI ,
σ I
où CoviI est la covariance entre la rentabilité d’actif et celle du marché, et σ 2 I représente la
variance de la rentabilité de l’index I.
Le risque non systématique ou diversifiable d’un actif, est mesuré par le coefficient ‘alfa’:
α iI = R i − β iI ⋅ R I
(7)
La rentabilité d’un actif est obtenue comme [8]:
Ri = α iI + β iI ⋅ RI + ε iI
(8)
où ε iI est une valeur aléatoire [3].
La rentabilité du portefeuille est obtenue comme:
n
R p = ∑ wi ⋅ R i ,
(9)
i =1
où wi est le poids de l’actif i dans le portefeuille.
La variance d’un portefeuille est déterminée d’après le modèle de Markowitz [1] comme:
σ p 2 = ∑ wi ⋅ w j ⋅ Covij
(10)
La variance d’un portefeuille est déterminée d’après le modèle de marché [3] comme:
σ 2 p = β 2 pI ⋅ σ 2 I + σ 2 εp ,
(11)
ij
n
β 2 pI = (∑ wi ⋅ β iI ) 2
(12)
σ 2 εp = ∑ wi2 ⋅ σ ε2i
(13)
i =1
n
i =1
où σ ε2i est la variance de la valeur aléatoire ε iI .
Dans le modèle de marché, le premier composant de la somme (11) est dit risque du portefeuille
systématique, qui ne peut pas être réduit par diversification, tandis que le deuxième composant est
nommé risque diversifiable, qui peut être diminué par diversification.
Un portefeuille est dit efficace, si il n’existe pas [6]:
- de portefeuille ayant le même écart-type mais une espérance de la rentabilité
supérieure à celle du portefeuille efficace
- de portefeuille ayant la même espérance de la rentabilité mais un écart-type inférieur à
celui du portefeuille efficace.
L’ensemble des portefeuilles efficaces peut être obtenu en résolvant un problème d’optimisation,
formulé selon le modèle de Markowitz ou selon le modèle de marché [1], [9], [10]:
J M = ∑ wi ⋅ w j ⋅ Cov ij → min
(14)
ij
Sous contraintes:
∑w ⋅R = R
∑w =1
i
i
(15)
i
wi ≥ 0
ou bien
J m = β 2 pI ⋅ σ 2 I + σ 2 εp → min
Sous contraintes:
∑w ⋅R = R
∑w =1
i
i
(16)
(17)
i
wi ≥ 0
L’ensemble des portefeuilles efficaces de 2 actifs pour des valeurs différentes du coefficient de
corrélation ρ est exposé dans la figure 1 [6].
Figure 1. Représentation des portefeuilles dans le plan “espérance – écart-type”
Comme mesures d’efficacité du portefeuille d’investissement on utilise le coefficient de Sharp
(RVAR – ‘reward-to-variability ratio’) et le coefficient de Treynor (RVOL – ‘reward-to-volatility ratio’)
[2], [3]:
RVAR =
RVOL =
Rp − R f
σp
Rp − R f
βp
où R f est la rentabilité de l’actif sans risque (« risk-free asset ») [3].
(18)
(19)
3. Diversification d’un portefeuille d’investissement.
3.1 Exemple illustratif.
On considère des actifs vendus sur La Bourse Commerciale Russe (Russian Trading System Stock
Exchange) [11]. Nous avons sélectionné 25 actions représentées par des compagnies des branches
industrielles différentes. Les données statistiques des actions sélectionnées ont été étudiées pour une
période d’une année, notamment septembre 2004 - août 2005. Nous avons déterminé les valeurs
moyennes de rentabilité des actifs par mois et nous avons calculé la matrice des covariances, en
utilisant (1)-(4). Une partie de la matrice des covariances est présentée dans le tableau 1.
Tableau 1. Matrice des covariances
Pour mettre en évidence l’effet de la diversification, nous avons calculé les coefficients de
corrélation, pour 4 actifs en utilisant (5). Les titres de valeur et les résultats sont donnés dans le tableau
2.
Tableau 2. Matrice des corrélations
On voit qu’un actif peut avoir une corrélation faible, positive ou négative, avec des actifs
différents en même temps. Nous avons synthétisé un portefeuille de 3 actifs pris par hasard,
notamment Aeroflot, AptSet, AVAZ, en utilisant (14) et (16). Les résultats, présentés dans la figure 2,
indiquent que pour la Bourse Commerciale Russe le modèle (16) est plus convenable, car le risque
pour atteindre la rentabilité donnée est plus petit. En ajoutant d’autres actifs - le 4 ème, le 5 ème etc.
nous diversifions le portefeuille. L’effet de la diversification est montré dans la figure 3.
1,075
1,07
1,065
1,06
R
1,055
1,05
1,045
1,04
0,06
Marche
Markow itz
0,065
0,07
0,075
StDev
Figure 2. L’ensemble ‘espérance – écart-type’ selon
le modèle de marché et le modèle de Markowitz
Figure 3. L’effet de la diversification
On peut voir que le portefeuille composé de 4 actifs est plus efficace que celui de 3 actifs et moins
efficace que celui de 5 actifs. Parmi les portefeuilles de la figure 3 le plus efficace est celui synthétisé
de 7 actifs. La prise des actifs par hasard peut être considéré comme «diversification aveugle» («blind
diversification» – [1]). Il semble actuel d’élaborer des critères pour choisir des actifs à ajouter et pour
déterminer leur nombre minimal dans un portefeuille.
3.2. Critères pour choisir des actifs à ajouter et pour déterminer leur nombre minimal dans
un portefeuille.
Pour mesurer l’effet de la diversification, il faut évaluer son influence sur la rentabilité et sur la
variance d’un portefeuille. Les coefficients de Sharpe et Treynor peuvent être utilisés pour comparer les
actifs entre eux et pour évaluer l’effet de la diversification.
Afin d’obtenir les valeurs des coefficients de Sharpe et Treynor nous avons calculé les coefficients
α et β des actifs en utilisant (6) et (7). Nous avons choisi 12 actions parmi 25, pour lesquelles la
valeur de coefficient de corrélation est suffisamment grande ( >0.65 ). Les résultats sont présentés dans
le tableau 3.
Les coefficients de Sharpe et Treynor ont été calculés pour les actifs sélectionnés en utilisant (18)
et (19) et en supposant R f = 1% . Les actifs ont été rangés selon les coefficients de Sharpe et Treynor.
Les résultats sont présentés dans le tableau 4.
Les résultats du tableau 4 montrent que les coefficients de Sharpe et Treynor donnent des
rangements différents. Le choix du coefficient dépend de l’investisseur. S’il possède d’autres actifs
financiers, il est plus raisonnable d’utiliser le coefficient de Treynor, qui tient compte de la valeur β , la
dernière étant une mesure du risque systématique (ou non diversifiable), du à l’influence du marché.
S’il ne possède pas d’autres actifs, il peut utiliser le coefficient de Sharpe.
Selon le coefficient de Sharpe nous avons sélectionné les premiers 3 actifs parmi les 12, pour
commencer la synthèse, et nous avons calculé la frontière efficace. Les résultats sont montrés dans la
figure 4.
Tableau 3. Valeurs statistiques d’analyse de régression
Tableau 4. Rangement des actifs selon les coefficients de Sharpe (RVAR) et Treynor (RVOL)
1,072
Return
1,07
1,068
1,066
1,064
1,062
1,06
StDev
1,058
0,06
0,061
0,062
0,063
0,064
0,065
0,066
0,067
Figure 4. Frontière efficace pour les portefeuilles composés de 3 actifs
Nous avons synthétisé les portefeuilles de 4 instruments (en considérant tous combinaisons
possibles des 3 choisis et un 4ème instrument) en fixant la rentabilité souhaitable au niveau 6%. Pour
chaque combinaison on a évalué les coefficients de Sharpe et Treynor pour le portefeuille (tableau 5). Le
4ème actif, notamment AptSet, à ajouter au portefeuille a été sélectionné selon le coefficient de Sharpe.
Noter que, comme dans le cas précédent du Tableau 4, le coefficient RVOL (de Treynor) détermine un
autre actif à ajouter, notamment BashkirEn. De la même façon on a sélectionné le 5ème, 6ème, 7ème et
8ème actif. Les résultats sont présentés dans le tableau 6.
Tableau 5. Les paramètres des portefeuilles composés de 4 actifs
Tableau 6. Les paramètres des portefeuilles
3
SBER
LKOH
Kalina
AptSet
BashkirEn
EESR
GMKN
SGNG
BetaPort
Variance
StDev
RVAR
RVOL
0,614614145
0,368448511
0,016937344
0
0
0
0
0
0,711041409
0,003778288
0,061467784
0,813450505
7,03207984
Number of assets
4
5
Weight of the Asset
0,560754264
0,632460207
0,283175586
0,053503675
0
0,03232754
0,15607015
0,146963048
0
0,13474553
0
0
0
0
0
0
Portfolio parameters
0,703205539
0,662097268
0,003635384
0,003509825
0,060294147
0,059313779
0,829267922
0,843970689
7,1102969
7,551762423
6
7
0,632443557
0,053511689
0,032320909
0,14696047
0,134763375
0
0
0
0,632460127
0,053503565
0,032327448
0,146962992
0,134745868
0
0
0
0,662099304
0,003509795
0,059243523
0,84395805
7,551593589
0,662097238
0,003509825
0,059243776
0,84397054
7,551761052
L’effet de la diversification est présenté dans la figure 5. On peut voir qu’à partir du 5ème actif le
risque du portefeuille ne diminue pas considérablement et la solution optimale pratiquement ne change
pas (voir tableau 6).
Figure 5. L’effet de la diversification
Nous avons évalué l’efficacité de portefeuille de 5 actifs en comparant sa rentabilité avec la
rentabilité du marché des actions, mesurée par la rentabilité de l’index de marché RTS-Index [11] (voir
figure 6). La valeur de coefficient PQ2 [10] égale à 81,6% indique une bonne performance du
portefeuille composé. Rappelons que ce coefficient représente une mesure de l’efficacité d’un
portefeuille.
1,2
1,1
1
Portf
0,9
RTS
0,8
16.08.05
28.07.05
11.07.05
22.06.05
02.06.05
16.05.05
25.04.05
06.04.05
18.03.05
28.02.05
08.02.05
20.01.05
24.12.04
06.12.04
17.11.04
28.10.04
11.10.04
22.09.04
03.09.04
0,7
Figure 6. La rentabilité du portefeuille et celle de marché (mesuré par RTS-Index)
4. Discussion
Le choix initial des papiers de valeur par l’investisseur dépend des indices des titres de valeur,
comme niveau de liquidité, coefficients EPS, DPS, P/E, etc. [5]. Ayant sélectionné les titres de valeur
qui conviennent, l’investisseur peut les combiner selon la procédure de choix des actifs proposée.
Dans l’étude du portefeuille considéré, nous avons proposé de diversifier le portefeuille, en
prenant au moins les 5 actifs déterminés ci-dessus pour réduire le risque. Ce nombre est obtenu à la
base de la (quazi)stabilisation de la valeur minimale de la variance du portefeuille.
5. Conclusion
Dans cet article nous avons proposé une procédure pour sélectionner les actifs à inclure dans un
portefeuille selon les coefficients de Sharpe et Treynor. Ces coefficients sont utilisés pour comparer les
actifs ainsi que pour évaluer l’effet de la diversification.
Une approche a été proposée pour déterminer le nombre minimal des actifs pour la diversification
du portefeuille, basée sur la stabilisation de la valeur minimale de la variance du portefeuille.
Références
[1]
[2]
[3]
D.G. Luenberger, Investment science, Oxford University Press, 1998, New York
F. J. Fabozzi, Investment Management, Prentice Hall International, Inc., 1995
W.F. Sharpe, G.J. Alexander, J.V. Beiley, Investments, Prentice Hall International, Inc., 1995,
New Jersey
[4] Z. Bodie, A. Kane, A.J.Marcus, Essentials of Investments, McGraw-Hill, 2001, New York
[5] Н.Коларев. Методи на корпоративни финансы, Сиена, 2001, София
[6] G.Causse, A.Chevalier, G.Hirsch, Management financier. Analyse, décision, contrôle, 1979,
Sirey.
[7] V.E. Gmurman, Probabilities and statistics, Higher School, 1999, Moscow
[8] R.Ferrandier, V.Koen, Marchés de Capitaux et Techniques Financières, Economica, 1994, Paris
[9] G.Gatev, A.Malakhova, The Asset Allocation Problem Under Parametric Uncertainty,
Proceedings of the Third International Conference on Challenges in Higher Education and
Research in the 21st century, June 1-3, 2005, Sozopol, Bulgaria, p.319-323
[10] G.Gatev, A.Malakhova, Optimization Models for Investment Portfolio Analysis, Proceedings of
the International Conference ‘Automatics and Informatics’05’, Sofia, October, 3-5, 2005,
Bulgaria, Union of Automation and Informatics, p.179-184
[11] http://www.rts.ru