critères de choix des titres pour la diversification d`un portefeuille d

CRITÈRES DE CHOIX DES TITRES
POUR LA DIVERSIFICATION D’UN PORTEFEUILLE
D’INVESTISSEMENTS
G. Gatev1
A. Malakhova2
1Chaire Systèmes et Commande, Université Technique de Sofia, Bulgarie, E-mail:
[email protected], Tél: [phone].
2Ecole Doctorale Internationale, Centre régional francophone d’ingénierie pour le
développement, Chairе “UNESCO”, Université Technique de Sofia, Bulgarie, E-mail:
[email protected], Tél: [phone]
Résumé: L’effet de la diversification est étudié sous conditions d’un actif à corrélation faible, positive ou
négative avec des actifs différents en même temps. La sélection d’un actif à ajouter au portefeuille est
effectuée en utilisant les coefficients de Sharpe et Treynor. Le portefeuille est synthétisé en utilisant le
modèle de Markowitz et le modèle de marché. La détermination du nombre minimal des actifs pour la
diversification est basée sur la stabilisation de la valeur minimale du risque du portefeuille, mesuré par la
variance (ou l’écart-type). L’algorithme proposé est démontre par un exemple illustratif.
Mots clés: Diversification du portefeuille, frontière efficace, modèle de Markowitz, modèle de marché,
titre de valeur, portefeuille d’investissement, solution optimale.
1. Introduction.
La diversification de la composition d’un portefeuille d’investissements a comme but la réduction
des fluctuations éventuelles de la rentabilité du portefeuille, c’est-à-dire, l’obtention d’un écarte-type
de la rentabilité assez faible [1]. Même dans le cas d’une corrélation faible et positive, la
diversification est possible et souhaitable, car le risque du portefeuille, mesuré par l’écart-type, reste
inférieur à celui de chaque investissement, évalué séparément. Un cas extrême correspond à la parfaite
corrélation négative qui permet d’annuler ce risque totalement. L’autre cas extrême, celui de la parfaite
corrélation positive, revient à choisir uniquement l’investissement dont le risque propre est le plus
faible [6]. Dans le cas réel il est difficile de trouver des actifs parfaitement corrélés, car un même actif
peut avoir une corrélation faible, positive ou négative avec des actifs différents. Souvent on ne sait pas
comment sélectionner l’actif à ajouter au portefeuille afin qu’il soit le plus efficace possible. Il semble
actuel d’élaborer des critères pour choisir des actifs à ajouter et pour déterminer leur nombre minimal
dans un portefeuille.
Dans cet article nous proposons d’effectuer le choix des actifs à ajouter au portefeuille en utilisant
les coefficients de Sharpe et Treynor [2] pour évaluer les actifs individuels et les portefeuilles des
actifs. Comme critère pour déterminer le nombre minimal des actifs pour la diversification nous
proposons d’utiliser la stabilisation de la valeur minimale du risque du portefeuille, mesuré par la
variance ou l’écart-type.
2. Concepts de base.
D’abord on introduit les indices qui sont utilisés pour caractériser un actif [1]-[4].
La rentabilité mensuelle mouvante d’un actif i, ni ,1= est obtenue comme:
)1( mti
it
it P
P
R
−+
=’ Nmt ,= (1)

où sont les prix de vente et d’achat à la fin et au début d’une période d’investissement
de 21 jours, m=22, N est le nombre d’observations des prix d’une période de 252-jours, N=252.
)1(
,mtiit PP −+
La valeur mensuelle moyenne de la rentabilité d’un actif i est définie comme:
∑
=
=
N
mt
it
iR
N
R1 (2)
Le risque d’un actif est caractérisé par la variance (ou l’écart-type
2
i
σ
i
σ
), qui met en évidence la
dispersion possible des valeurs autour de
it
Ri
R:
∑
=
−
−
=
N
mt
i
iti RR
N
2
2)(
1
1
σ
, 2
ii
σσ = (3)
La covariance entre deux actifs i et j indique leur évolution ensemble [7].
∑
=
−−
−
=
N
mt
jt
jt
i
itij RRRR
N
Cov ))((
1
1 (4)
La covariance normée est mesurée par le coefficient de corrélation :
ji
ij
ij
Cov
σσ
ρ
⋅
= (5)
Le risque systématique, ou non diversifiable d’un actif, dû à l’influence du marché, est mesuré par
le coefficient ‘bêta’. Ce coefficient évalue la réponse de la rentabilité d’une action aux fluctuations de
la rentabilité du marché, mesurée par la rentabilité de l’index du marché I:
I
iI
iI
Cov
2
σ
β
=, (6)
où est la covariance entre la rentabilité d’actif et celle du marché, et représente la
variance de la rentabilité de l’index I.
iI
Cov I
2
σ
Le risque non systématique ou diversifiable d’un actif, est mesuré par le coefficient ‘alfa’:
iI
α
=I
iI
iRR ⋅−
β
(7)
La rentabilité d’un actif est obtenue comme [8]:
iIIiIiIi RR
ε
β
α
+⋅+= (8)
où iI
ε
est une valeur aléatoire [3].
La rentabilité du portefeuille est obtenue comme:
∑
=
⋅=
n
i
i
ip RwR
1
, (9)
où est le poids de l’actif i dans le portefeuille.
i
w
La variance d’un portefeuille est déterminée d’après le modèle de Markowitz [1] comme:
∑⋅⋅=
ij
ijjip Covww
2
σ
(10)
La variance d’un portefeuille est déterminée d’après le modèle de marché [3] comme:
IpIp 222
σβσ ⋅= +, (11)
p ε
σ
2
∑
=
⋅=
n
i
iIi
pI w
1
22 )(
ββ
(12)
(13)
2
1
22
i
n
i
i
pw
ε
ε
σσ ⋅= ∑
=

où est la variance de la valeur aléatoire
2
i ε
σ
iI
ε
.
Dans le modèle de marché, le premier composant de la somme (11) est dit risque du portefeuille
systématique, qui ne peut pas être réduit par diversification, tandis que le deuxième composant est
nommé risque diversifiable, qui peut être diminué par diversification.
Un portefeuille est dit efficace, si il n’existe pas [6]:
- de portefeuille ayant le même écart-type mais une espérance de la rentabilité
supérieure à celle du portefeuille efficace
- de portefeuille ayant la même espérance de la rentabilité mais un écart-type inférieur à
celui du portefeuille efficace.
L’ensemble des portefeuilles efficaces peut être obtenu en résolvant un problème d’optimisation,
formulé selon le modèle de Markowitz ou selon le modèle de marché [1], [9], [10]:
∑→⋅⋅=
ij
ijjiM CovwwJ min (14)
Sous contraintes:
∑=⋅ RRw ii (15)
1=
∑i
w
0≥
i
w
ou bien
IpI
m
J22 σβ ⋅= + (16)
p ε
σ
2min→
Sous contraintes:
∑=⋅ RRw ii (17)
1=
∑i
w
0≥
i
w
L’ensemble des portefeuilles efficaces de 2 actifs pour des valeurs différentes du coefficient de
corrélation
ρ
est exposé dans la figure 1 [6].
Figure 1. Représentation des portefeuilles dans le plan “espérance – écart-type”
Comme mesures d’efficacité du portefeuille d’investissement on utilise le coefficient de Sharp
(RVAR – ‘reward-to-variability ratio’) et le coefficient de Treynor (RVOL – ‘reward-to-volatility ratio’)
[2], [3]:

p
fp RR
RVAR
σ
−
= (18)
p
fp RR
RVOL
β
−
= (19)
où est la rentabilité de l’actif sans risque (« risk-free asset ») [3].
f
R
3. Diversification d’un portefeuille d’investissement.
3.1 Exemple illustratif.
On considère des actifs vendus sur La Bourse Commerciale Russe (Russian Trading System Stock
Exchange) [11]. Nous avons sélectionné 25 actions représentées par des compagnies des branches
industrielles différentes. Les données statistiques des actions sélectionnées ont été étudiées pour une
période d’une année, notamment septembre 2004 - août 2005. Nous avons déterminé les valeurs
moyennes de rentabilité des actifs par mois et nous avons calculé la matrice des covariances, en
utilisant (1)-(4). Une partie de la matrice des covariances est présentée dans le tableau 1.
Tableau 1. Matrice des covariances
Pour mettre en évidence l’effet de la diversification, nous avons calculé les coefficients de
corrélation, pour 4 actifs en utilisant (5). Les titres de valeur et les résultats sont donnés dans le tableau
2. Tableau 2. Matrice des corrélations
On voit qu’un actif peut avoir une corrélation faible, positive ou négative, avec des actifs
différents en même temps. Nous avons synthétisé un portefeuille de 3 actifs pris par hasard,
notamment Aeroflot, AptSet, AVAZ, en utilisant (14) et (16). Les résultats, présentés dans la figure 2,
indiquent que pour la Bourse Commerciale Russe le modèle (16) est plus convenable, car le risque
pour atteindre la rentabilité donnée est plus petit. En ajoutant d’autres actifs - le 4 ème, le 5 ème etc.
nous diversifions le portefeuille. L’effet de la diversification est montré dans la figure 3.

1,04
1,045
1,05
1,055
1,06
1,065
1,07
1,075
0,06 0,065 0,07 0,075
StDev
RMarche
Markow itz
Figure 2. L’ensemble ‘espérance – écart-type’ selon
le modèle de marché et le modèle de Markowitz
Figure 3. L’effet de la diversification
On peut voir que le portefeuille composé de 4 actifs est plus efficace que celui de 3 actifs et moins
efficace que celui de 5 actifs. Parmi les portefeuilles de la figure 3 le plus efficace est celui synthétisé
de 7 actifs. La prise des actifs par hasard peut être considéré comme «diversification aveugle» («blind
diversification» – [1]). Il semble actuel d’élaborer des critères pour choisir des actifs à ajouter et pour
déterminer leur nombre minimal dans un portefeuille.
3.2. Critères pour choisir des actifs à ajouter et pour déterminer leur nombre minimal dans
un portefeuille.
Pour mesurer l’effet de la diversification, il faut évaluer son influence sur la rentabilité et sur la
variance d’un portefeuille. Les coefficients de Sharpe et Treynor peuvent être utilisés pour comparer les
actifs entre eux et pour évaluer l’effet de la diversification.
Afin d’obtenir les valeurs des coefficients de Sharpe et Treynor nous avons calculé les coefficients
α
et
β
des actifs en utilisant (6) et (7). Nous avons choisi 12 actions parmi 25, pour lesquelles la
valeur de coefficient de corrélation est suffisamment grande ( >0.65 ). Les résultats sont présentés dans
le tableau 3.
Les coefficients de Sharpe et Treynor ont été calculés pour les actifs sélectionnés en utilisant (18)
et (19) et en supposant . Les actifs ont été rangés selon les coefficients de Sharpe et Treynor.
Les résultats sont présentés dans le tableau 4.
%1=
f
R
Les résultats du tableau 4 montrent que les coefficients de Sharpe et Treynor donnent des
rangements différents. Le choix du coefficient dépend de l’investisseur. S’il possède d’autres actifs
financiers, il est plus raisonnable d’utiliser le coefficient de Treynor, qui tient compte de la valeur
β
, la
dernière étant une mesure du risque systématique (ou non diversifiable), du à l’influence du marché.
S’il ne possède pas d’autres actifs, il peut utiliser le coefficient de Sharpe.