TD Série n°2 - Exercices supplémentaires avec correction 1

UPMC – LP1 - UE 03 – Optique géométrique – TD Série n°2 – Exercices suppl. - 13/11/07 1/8
Université Pierre et Marie Curie - L1 - LP 103 - Année 2007-2008
Optique géométrique, [e-mail]
TD Série n°2 - Exercices supplémentaires avec correction
1 Enoncés
1.1 Champ angulaire d’un miroir
Un observateur place son œil à distance D devant un miroir de diamètre d.
Etant donné que la pupille a un diamètre très faible on assimilera celle-ci à un point A placé
sur l’axe du miroir, à une distance inférieur à la distance focale du miroir.
a) Effectuer la construction graphique du point A’, image de A par le miroir, dans les trois
cas suivants :
a. le miroir est plan ;
b. le miroir est convexe de rayon R.
c. le miroir est concave de rayon R.
b) Quels sont dans les trois cas précédents, les points que l’observateur peut espérer
apercevoir par réflexion dans le miroir ?
Préciser la valeur de l’angle qui caractérise la portion d’espace accessible à la vision (champ
du miroir) .
c) Un observateur place son œil à D = 1 m d’un miroir plan de diamètre d= 15 cm. Calculer
l’angle du cône de vision ?
d) Le miroir est maintenant à 2 m de l’œil. Que peut-on dire du champ ? Quel miroir faut-il
choisir pour retrouver le même champ qu’au c).
e) Le rétroviseur gauche d’une voiture est plan. Quelle est la forme du rétroviseur droit ?
1.2 Formule donnant la focale d’une lentille en fonction des rayons
de courbures
Soit une lentille mince de l’association de deux dioptres sphériques (Figure 1) : S1 et C1 sont
respectivement le sommet et le rayon de courbure de la face de gauche et S2 et C2
respectivement le sommet et le rayon de courbure de la face de droite.
S1
S2
O
C1 C2
x
AA’
a
II’
Figure 1

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On se propose de démontrer la relation qui donne la focale f’ de la lentille mince à savoir :
()
−−=
1122
'
11
1
1
CSCS
n
f
où n est l’indice du verre.
Soit le trajet optique A-I-I’-A représenté sur la Figure 1. Les tangentes aux dioptres aux points
I et I’ forment un angle a. Le trajet A-I-I’-A est par conséquent équivalent à celui représenté
sur la Figure 2.
Figure 2
a) Exprimer l’angle a en fonction de r et r’.
b) Exprimer l’angle de déviation D en fonction des angles i, i’ et a.
c) Dans le cas où les angles a, i et i’ sont faibles exprimer D en fonction de l’indice n du
verre.
d) Puisque la lentille est mince, les distances II’ et S1S2 peuvent être négligées devant
AA’ ; donc I~I’ et S1~S2~O (centre de la lentille). Nous obtenons dans ce cas les
schémas de la Figure 3.
AA’ C1 C2
O
uu'
A’
C1 C2
O
vv'xx
D
d
Figure 3
On suppose les conditions de Gauss vérifiées : les angles u et u’ sont faibles et les rayons
voisins de l’axe optique. Exprimer alors l’angle de déviation D en fonction de h=OI, OA et
OA’.
e) Montrer que a = d.
f) Exprimer d en fonction de h, C1S1 et C2S2.
g) A l’aide de la relation trouvée à la question c), donner la relation de conjugaison entre
les points A et A’ par rapport au centre O.

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h) Exprimer la distance la focale f’ de la lentille en fonction de C1S1 et C2S2.
1.3 Catadioptre1
On place un miroir plan dans le plan focal image d’une lentille convergente de vergence
D=0.1 dioptrie.
a. Montrer qu’un rayon lumineux ressort parallèlement à lui-même après avoir traversé le
système optique (lentille+miroir).
b. Trouver la position et la taille de l’image d’un objet placé dans le plan focal objet de la
lentille.
c. Donner la relation de conjugaison avec origine en F et le grandissement du système étudié.
1.4 La loupe
Un observateur emmétrope (i.e. ayant une vision normale) regarde à l’oeil nu un tout petit
objet plan que l’on assimile à un segment AB de longueur l orthogonal à l’axe optique Ox. On
note dm la distance minimale de vision distincte (le punctum proximum).
a. Déterminer l’angle um sous lequel est vu l’objet à l’oeil nu à la distance dm.
b.L’observateur regarde maintenant AB à travers une loupe (lentille mince convergente) de
distance focale f’ et de centre O. Son oeil est situé à distance a< dm de la loupe. Déterminer
les positions de l’objet rendant possible l’observation nette. Faire une construction
géométrique d’une telle image. L’image est-elle droite ou renversée ? Est-elle réelle ou
virtuelle ?
c. Pour quelle position l’observation se fait-elle sans fatiguer l’oeil ? Exprimer l’angle u’ sous
lequel est vu l’objet dans ce cas. En déduire alors le grossissement commercial de la
loupe (Gc=u’/ um)?
1.5 Distance minimale objet-image
Soit une lentille mince convergente. Rechercher la distance minimale objet réel - image réelle.
1.6 Invariant Lagrange-Helmholtz.
Soit une lentille mince convergente de centre O. Soit AB un objet et A’B’ son image à travers
la lentille (le point A est sur l’axe optique, voir Figure 4). On se place dans les conditions de
Gauss. Montrer que le grandissement transversal (Γ) de l’objet est tel que : OA
OA
AB
BA ' '' =≡Γ .
Soit un rayon quelconque partant de A et convergeant en A’. On définit u l’angle que fait le
rayon incident avec l’axe optique et u’ l’angle que fait le rayon émergeant par rapport à l’axe
optique (voir Figure 4). Démontrer la relation :
''' uBAuAB =appelée invariant de Lagrange-Helmholtz.
1 Catadioptrique: Composé des deux mots catoptrique et dioptrique, et résumant les deux branches de la
physique, et plus spécialement de l'optique, qui ont pour objet l'étude de la réflexion de la lumière à la surface
des corps et l'étude de la transmission de la lumière au travers des corps transparents. La catadioptrique
s'applique à tout ce qui appartient à la fois à ces deux branches et particulièrement à l'étude des instruments
d'optique qui réunissent les effets combinés de la réflexion et de la réfraction.

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B
A
uA’
B’
u'
O
Figure 4
2 Solutions
2.1 Formule donnant la focale d’une lentille en fonction des rayons
de courbures
a) On montre (voir exercice sur le prisme dans le TD1) que a=r+r’
b) On montre ensuite que D=i+i’- (r+r’) = i+i’-a
c) La loi de Descartes appliquée au passage air-verre donne pour des angles petits : i=n r
et pour le passage verre-air : n r’=i’. Ce qui permet d’établir : D=(n-1) a.
d) On a D=u+u’. Par ailleurs u=h/AO et u’=h/OA’, d’où la relation : an
OA
h
OA
h)1(
'−=−
e) On montre que a=d.
f) On a de la même façon que précédemment v+v’=d. Par ailleurs v=h/C1O et
v’=h/OC2, d’où la relation : a
SC
h
SC
h=−
2211
. Cette relation combinée avec celle
établie en d) permet d’établir la relation de conjugaison :
()
−−=−
2211
11
1
1
'
1
SCSC
n
OAOA
g) En vertu de ce qui précède l’inverse de la focale (f’) du système s’exprime :
()
−−=
2211
11
1
'
1
SCSC
n
f
2.2 Catadioptre :
a) Considérons le rayon quelconque (1) représenté sur la Figure 5. Pour en déterminer le trajet
à travers le système considérons le rayon (2) qui lui est parallèle et qui passe par le foyer
objet. Ce rayon sort de la lentille (L) en un rayon parallèle à l’axe optique et rencontre le
miroir au point N pour y être réfléchi en un rayon à nouveau parallèle à l’axe. Après avoir
traversé L, ce rayon ressort donc en passant par le foyer F. Après sorti du système le rayon (2)
reste donc confondu avec lui même. Le rayon (1) étant parallèle à (2), il passe donc par le
point N . Il est réfléchi par le miroir en faisant un angle i avec l’axe optique (voir Figure 5) et
rencontre alors la lentille (L) au point M. En vertu du retour inverse le rayon qui serait

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parallèle au rayon (2) et qui passerait par le point M, convergerait, après avoir traversé L, vers
le point N. En vertu du principe de retour inverse de la lumière il existe un rayon lumineux
(3) qui effectue le même trajet. Par conséquent on conclue que le rayon NM ressort de la
lentille sous forme du rayon (3) parallèle au rayon (1), CQFD.
b) En vertu de ce qui précède, l’objet AB admet – par construction géométrique - l’image
A’B’ représentée sur la Figure 2 (gauche). Le trajet du rayon (1) permet d’établir que AB=-
A’B’, autrement dit le grandissement est égal à -1.
c) L’image A’B’ d’un objet quelconque se construit en utilisant le trajet des deux rayons (1) et
(2) (voir Figure 2, droite) : le rayon (1) permet d’établir que AB=-A’B’, le rayon (2) permet
d’affirmer que A’ est le symétrique de A par F, d’ou la relation de conjugaison FA=-FA’
F
F’
(1)
(2)
i
i
(3)
M
N
Figure 5